(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Children's Library | Biodiversity Heritage Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Lehrbuch der Physik zu eigenem Studium und zum Gebrauche bei Vorlesungen"

fHH mBB&BBBBEBKSM 

m 



HlHnaMVlBKl 





In 



IlliiiH 

. «.nn Hai 

BR9BH ■^■HBBHKSH 

SU äHBIi 



§■1 

BB 



— P—WMM 

HS HwSKKroSss'sb 



■3B9HB9BH 

Hb! Sil 






HESHI 

IM 




9^033H^H^«ga^S^Bg3H^aK 



?6 



>(B 



?6 



VÄ 



¥6 



Vß 



«S 



«8 



% 



* 



VC 



?a 



*e 



C6e ili&tarp 

of the 

Onitoersfitp of iQortö Carolina 






THE LIBRARY OF THE 

UNIVERSnYOF 

NORTH CAROLINA 

AT CHAPEL HILL 



4 



<?< 



«E 



«6 



« 



^ 



«Mi 



"»« 



«ä* 



tsf 



^ss 



ENDOWED BY THE 
DIALECTIC AND PHILANTHROPIC 
SOCIETIES 
Wilson Annex 



QC2] 
• R54 
1905 



ä 



& 



W 



Location 



RECLiASS 

MATHWSICS LIBRARY 
tHhG 



Call Number 






GC-y 






i ") ^ 



V. ) 



Recommended Action: 

Discard Wilson 



Davis 



Comments: 



Hon k ^- /vn /-, ■- ß> /- 



Initials 



_ 



Date 



/*>-, 



eye/ 



Collection Development Oecision: ^ 

IS 

Wilson Davis 



Date 



"ik 



V*i 



S£: 



Ä 






K 



wr 



Digitized by the Internet Archive 

in 2012 with funding from 

University of North Carolina at Chapel Hill 



http://archive.org/details/lehrbuchderphysi01riec 



LEHRBUCH 



DER 



PHYSIK 



ZU EIGENEM STUDIUM UND ZUM 
GEBRAUCHE BEI VORLESUNGEN 

VON 

EDUARD EIECKE, 

O. Ö. PROFESSOR DER PHYSIK 
AN DER UNIVERSITÄT GÖTTINGEN. 

ERSTER BAND. 

MECHANIK , MOLEKULARERSCHEINUNGEN 
UND AKUSTIK. OPTIK. 

DRITTE, VERBESSERTE UND VERMEHRTE AUFLAGE. 
MIT 466 FIGUREN IM TEXT. 



Q 

: i .. / 
11 as* 



^Als 




LEIPZIG 

VERLAG VON VEIT & COMP. 
1905 




Druck von Metzger & Wittig in Leipzig 



Vorwort zur ersten Auflage. 

Das vorliegende Lehrbuch, welches in zwei handlichen Bänden 
das ganze G-ebiet der Physik umfaßt, ist erwachsen aus Vorlesungen, 
die ich an der Universität zu Göttingen gehalten habe: Den Grund- 
stock bilden meine Vorlesungen über Experimentalphysik; ich habe 
damit aber manches verbunden, was den Gegenstand von spezielleren 
Vorträgen oder seminaristischen Übungen gebildet hatte. Meine Ab- 
sicht war darauf gerichtet, den Lesern einen möglichst deutlichen und 
vollständigen Einblick in die Tatsachen und Ideen zu geben, welche 
den Bestand unserer heutigen Physik ausmachen. Das Buch wendet 
sich aber an alle, die der Physik wissenschaftliches Interesse entgegen- 
bringen: an die Hörer der Physik an Universität und technischer Hoch- 
schule, denen es neben der Vorlesung und zu eigenen Studien dienen 
kann; an den Lehrer, der in ihm manches im Zusammenhange finden 
wird, was, oft schwer zugänglich, in Zeitschriften und Sammelwerken 
zerstreut ist; an den großen Kreis derer, die auf verwandten Gebieten 
im Dienste der theoretischen Forschung oder der technischen Anwen- 
dungen tätig, ihre Kenntnisse von der Entwickelung der Physik wieder 
ergänzen möchten. Mit Rücksicht auf diese allgemeinere Bestimmung 
wünschte ich, daß das Buch ein leicht zu lesendes sei; ich habe daher 
mathematische Entwickelungen nur sparsam benützt, und, wo sie nicht 
zu vermeiden waren, in elementaren Grenzen gehalten. So unschätzbare 
Dienste die Mathematik der Physik bei der Begründung und Formu- 
lierung ihrer Gesetze leistet, so sind die physikalischen Wahrheiten doch 
unabhängig von ihrem mathematischen Gewände, und ihr wesentlicher Inhalt 
muß auch ohne die Mittel der Infinitesimalrechnung deutlich zu machen 
sein. In ausgedehnter Weise wird in diesem Sinne von der Zeichnung 
Gebrauch gemacht werden; anschauliche geometrische Bilder haben bei 
der Entdeckung physikalischer Gesetze eine wichtige Rolle gespielt: sie 
bilden ein ebenso wertvolles Hilfsmittel für ihre Überlieferung. 

Über die Anordnung und Auswahl des Stoffes, über seine methodische 
Behandlung wird man immer verschiedenen Ansichten begegnen; einen 
allein seligmachenden Kanon gibt es hier nicht, das subjektive Gefühl 
muß vielmehr sein Recht behalten. Ich glaube, daß die Art, wie sich die 
Wissenschaft historisch entwickelt hat, im großen auch den Weg zeigt, 
den wir beim Unterricht, beim Lernen zu gehen haben; die historische 
Entwickelung ist keine zufällige und willkürliche, es herrscht in ihr viel- 
mehr ein natürliches Gesetz des Fortschrittes von einfachen und nahe- 
liegenden Tatsachen zu verwickelten und verborgenen. Aber auch 
abgesehen hiervon, kann ein Lehrbuch der Physik den stufenweisen Fort- 
schritt der Erkenntnis, die allmähliche Wandlung unserer Anschauungen 
nicht ganz mit Stillschweigen übergehen. Der Zusammenhang der 
Wissenschaft, die Kenntnis des Grundes, auf dem ihr heutiger Bau er- 



IV Vorwort 



wachsen ist, darf nicht verloren gehen; und wenn wir auch den An- 
schauungen von Coulomb, Ampere, Webee oder Caenot jetzt ablehnend 
gegenüberstehen, so dürfen wir doch den vielfachen Nutzen nicht ver- 
gessen, den die aus ihnen geschöpften Vorstellungen uns auch heute 
noch gewähren. Wer Physik verstehen will, der muß auch von den 
Ideenkreisen wissen, die von jenen Männern entwickelt worden sind. 

Daß ein Lehrbuch der Physik naturgemäß mit der Mechanik be- 
ginne, darüber dürfte kaum eine Meinungsverschiedenheit herrschen. Soll 
aber nicht schon an ihre Spitze das Energieprinzip treten, so daß die 
Gesetze der Statik und Dynamik aus ihm als ihrem gemeinsamen Grunde 
entwickelt werden? Es ist dies nicht der Weg der historischen Ent- 
wickelung, und ich glaube auch nicht der Weg, auf dem die in Frage 
kommenden Gebiete am leichtesten zugänglich zu machen sind. Die 
experimentellen Tatsachen sind es allein, die in jedem Wechsel unserer 
Anschauungen dieselben bleiben, und sie werden auch den besten Aus- 
gangspunkt der Darstellung bilden, wenn diese in sich selber ruhen und 
nicht auf schon erworbenen Kenntnissen nur weiterbauen will. 

Ich beginne dementsprechend mit der Mechanik starrer Körper und 
führe sie zunächst bis zu dem von Galilei erreichten Standpunkt; in 
ihre Mitte stelle ich sodann die Entwickelung der NEWTONschen Prinzipien 
und schließe daran Anwendungen der Prinzipien auf wichtige Probleme der 
Bewegung. Nachdem so eine größere Summe von Anschauungen gewonnen 
ist, wird das Energieprinzip zuerst für rein mechanische Systeme ent- 
wickelt; die Fälle, in denen mechanische Energie verschwindet, leiten 
zu der Einführung der Wärmeenergie hinüber; auf die allgemeine Be- 
deutung der energetischen Prinzipien wird nur in vorbereitender Weise 
aufmerksam gemacht, sie stehen aber von jetzt an bei allen folgenden 
Untersuchungen zur Verfügung. 

Der Statik inkompressibler und derjenigen kompressibler Flüssig- 
keiten ist je ein besonderes Kapitel gewidmet; dagegen sind in der 
Dynamik beide Arten flüssiger Körper nebeneinander behandelt. Ein 
erstes Kapitel enthält die Gesetze der Strömungen und Wirbel, ein 
zweites die Erscheinungen der Wellenbewegungen. 

In dem Buche über Molekularerscheinungen hielt ich es für nütz- 
lich, die Verhältnisse der Kristallelastizität wenigstens an einem Bei- 
spiele zu erläutern; ebenso habe ich die interessanten Vorgänge, 
welche bei bleibender Deformation und beim Bruche fester Körper auf- 
treten, durch ein paar Figuren anschaulich gemacht. In der Lehre von 
der Kapillarität ist zunächst das Gesetz der Oberflächenspannung aus 
den experimentellen Tatsachen abgeleitet; es ist aber auch die Theorie 
eines zu der Oberfläche senkrechten Molekulardruckes gegeben, zum Teil 
im Hinblick auf seine Bedeutung für die van dee WAALssche Formel. 
Bei den Molekularerscheinungen der Gase ist für die Darstellung zunächst 
ihre Analogie mit den entsprechenden Erscheinungen der Flüssigkeiten 
maßgebend; der allgemeinen Übersicht über die Erscheinungen folgt dann 



Vorwort 



ein kurzer Abriß der kinetischen Theorie. Die Gesetze selbst werden 
stets ergänzt durch Angabe numerischer Werte für die in ihnen auf- 
tretenden Moduln und Koeffizienten; es war überhaupt in dem ganzen 
Lehrbuche mein Bestreben, die Vorstellungen, welche sich an die allgemeinen 
Gesetze knüpfen, durch Angabe von Maß und Zahl zu möglichst kon- 
kreten zu machen; dabei sind die Maßsysteme, auf welche sich die mit- 
geteilten Zahlen beziehen, stets deutlich bezeichnet worden. 

Die Akustik wurde an die Mechanik angeschlossen, so daß sie mit 
dieser zusammen den ersten Teil des Lehrbuches bildet; um sie nicht 
über Gebühr auszudehnen, habe ich fortgelassen, was der Theorie der 
Musik oder der Physiologie der Tonempfindungen angehört, mit Aus- 
nahme eines kurzen Berichtes über den Phonographen und die mit seiner 
Hilfe ausgeführte Analyse der Vokalklänge, Dinge von so allgemeinem 
Interesse, daß sie meinem Gefühle nach nicht übergangen werden durften. 

Daß ich zum zweiten Teile des Lehrbuches die Optik, zum dritten 
Magnetismus und Elektrizität, zum vierten die Wärmelehre gemacht 
habe, wird nicht durch die innere Natur des Stoffes gefordert. Es hängen 
diese Gebiete in so mannigfacher Weise zusammen, daß, nach Vorweg- 
nahme des Energieprinzips, jede Anordnung möglich scheint, daß jede 
ihre besonderen Vorzüge und Nachteile mit sich bringt. Für meine 
Wahl war einmal der historische Gesichtspunkt maßgebend, dann die 
Überlegung, daß die Wellenlehre des Lichtes wesentlich auf das schon 
bei den Wasserwellen eingeführte Huyghens sehe Prinzip, sowie auf die 
Analogien mit den Erscheinungen des Schalls sich stützt; es schien mir 
daher zweckmäßig, die Optik in dem gleichen Bande zu bringen, wie die 
Kapitel, in denen jene Dinge abgehandelt werden. 

Die Optik selbst zerfällt in drei Bücher; deu Inhalt des ersten 
bilden die Lehren von der geradlinigen Ausbreitung, Keflexion, Brechung 
und Farbenzerstreuung. In dem Kapitel über Brechung werden auch 
schon die allgemeinen Verhältnisse der Doppelbrechung an dem Bei- 
spiele des isländischen Spates entwickelt. In dem Kapitel über Farben- 
zerstreuung findet sich die Theorie des Farbenkreisels und der Farben- 
mischung, soweit sie sich auf physikalischem Boden bewegt. In dem 
Kapitel über das Auge und die optischen Instrumente wird Gelegenheit 
genommen zu einer Darstellung der Gesetze, denen die Brechung in 
einem aus mehreren Medien bestehenden Systeme folgt. Das zweite 
Buch der Optik enthält die Lehren von Emission und Absorption, 
von der Fluoreszenz und der chemischen Wirkung; hier wird auch die 
anomale Dispersion und die auswählende Keflexion erörtert. Das dritte 
Buch ist der Undulationstheorie gewidmet. Einem einleitenden Kapitel 
folgen die Erscheinungen der Interferenz und Beugung. In der Lehre 
von Polarisation und Doppelbrechung werden die Gesetze der Keflexion, 
insbesondere auch die der Metallrefiexion, in möglichst gedrängter Form 
dargestellt. In der Kristalloptik wird ausschließlich die Wellenfiäche 
und nicht die Normalenfiäche benützt, um das Studium dieser nicht 



vi Vorwort 



ganz leichten Dinge so einfach wie möglich zu gestalten. Den Schluß 
des Kapitels bildet die Frage nach der Schwingungsrichtung des pola- 
risierten Lichtes. In einem letzten Kapitel finden sich einige ergänzende 
Betrachtungen, namentlich über das Verhältnis der Emission und der 
Absorption zu der Undulationstheorie. 

Der dritte Teil des Lehrbuches, der erste des zweiten Bandes, 
beginnt mit der Lehre vom Magnetismus, in der die Theorie der Kraft- 
linien ihre einfachste und anschaulichste Begründung findet. Es folgt 
darauf die Elektrostatik, welche für die Lehre vom Potential in ähnlicher 
Weise grundlegend ist; ich habe die Elektrostatik aber auch deshalb voran- 
gestellt, weil die Lehre von den elektrostatischen Apparaten, von der Di- 
elektrizität, von den pyroelektrischen und piezoelektrischen Erscheinungen 
an späterer Stelle den geschlossenen Fortgang der Darstellung unterbrochen 
hätte. In die Elektrostatik ist übrigens auch der VoLTAsche Fundamental- 
versuch hereingezogen worden. Der Elektromagnetismus behandelt in drei 
Kapiteln die Gesetze der Wechselwirkung der Ströme und Magnete, die 
Lehre vom induzierten Magnetismus und die elektromagnetischen Rota- 
tionen. Das folgende Buch bringt dann die Erscheinungen des Dia- 
magnetismus und die Theorie der Spannungen und Drucke im Magnet- 
feld. Die Lehre von der Magnetinduktion wird auf die bekannten 
Beziehungen zu den Kraftlinien und zu dem Energieprinzip gegründet; 
das ÜHMsche Gesetz bildet den wesentlichen Inhalt des Galvanismus, in 
dem aber auch das ÜALLsche Phänomen und das Joule sehe Gesetz ihre 
Stelle gefunden haben. In der Elektrodynamik werden eingehender nur 
die Wechselwirkungen starrer, geschlossener Stromkreise besprochen; das 
allgemeine Gesetz der Voltainduktion wird durch die Betrachtung der 
Induktionslinien gewonnen. An die Besprechung des Ruhmkokff sehen 
Induktors schließt sich die Darstellung der Entladungserscheinungen in 
verdünnten Gasen. Ein besonderes Buch ist der Lehre von den Dynamo- 
maschinen, von den Wechselströmen und Transformatoren gewidmet. 
Ebenso sind die Gebiete der Elektrooptik, der Thermoelektrizität und 
Elektrochemie je in einem eigenen Buche dargestellt. 

Da die Energetik in der Mechanik vorweggenommen wurde, wenig- 
stens so weit, als es für ihre Anwendungen im folgenden wünschenswert 
schien, so konnte die Wärmelehre ohne Bedenken an den Schluß des 
zweiten Bandes gestellt werden. Es schien sich dies aber zu empfehlen 
mit Rücksicht auf die Lehre von der Strahlung; diese wird begründet 
durch die Erscheinungen des Lichtes, sie erscheint in einem neuen 
Zusammenhange in der Elektrooptik und kommt zu einem gewissen Ab- 
schluß erst durch die Wärmelehre. Die letztere selbst wird in fünf Bücher 
geteilt; das erste behandelt Thermometrie und Ausdehnung, das zweite 
Kalorimetrie und spezifische Wärme; hier werden die Verhältnisse der 
Atom- und Molekularwärme bei festen und flüssigen Körpern einerseits, 
bei gasförmigen andererseits eingehender besprochen. Es folgt die mecha- 
nische Theorie der Wärme mit einer ausführlicheren Begründung des 



Vorwort vn 



zweiten Hauptsatzes. Im vierten Buche werden zuerst die Gesetze des 
Schmelzens und Verdampfens untersucht; daran schließt sich dann die 
Lehre von dem thermodynamischen Potential und von seinen Anwen- 
dungen auf allgemeinere Fälle von Zustandsänderungen, sowie auf die 
kritischen Zustände. Das letzte Buch endlich enthält die Lehre von 
Wärme-Leitung und Strahlung. 

Der Darstellung der physikalischen Erscheinungen selbst habe ich 
eine Einleitung vorangeschickt. In ihr sind allgemeine Ausführungen 
über Methode und Gegenstand der physikalischen Forschung, Angaben 
über Messungen und Maßeinheiten, sowie einige mathematische Sätze 
aufgenommen worden, von denen gelegentlich Gebrauch zu machen ist. 
Ich hoffe mit dieser Erinnerung an die Schulbank vielleicht dem einen 
oder anderen meiner Leser einen Dienst zu erweisen. 

Ein ausführliches Sachregister soll an den Schluß des zweiten Bandes 
gestellt werden. 

Die Figuren sind für das vorliegende Buch beinahe sämtlich neu 
gezeichnet worden; nur wenige Zeichnungen von Apparaten sind aus 
Katalogen und aus Reess' Lehre von der Reibungselektrizität kopiert. 
Die Zeichnungen von Interferenzkurven bei Kristallen sind der physi- 
kalischen Kristallographie von Liebisch entnommen. 

Für Lesung einer Korrektur bin ich Herrn Professor Voigt und 
Herrn Dr. Pockels zu großem Danke verpflichtet. Ihre Bemerkungen 
haben zu zahlreichen Verbesserungen des Textes Veranlassung gegeben. 
Weitere solche Bemerkungen, auch von anderer Seite, können mir nur 
willkommen sein. 

Die Zitate beziehen sich auf solche Publikationen, die mir bei der 
Abfassung des Buches unmittelbar vorgelegen haben; sie besitzen keines- 
wegs den Charakter eines systematischen Literaturverzeichnisses. Sie 
sollen nur dem Leser die Kontrolle der im Texte gemachten Angaben 
ermöglichen, ihn auf weniger bekannte Publikationen aufmerksam machen, 
oder ihm Anregungen zu weiterem Studium der im Text behandelten 
Gegenstände geben. 

Wenn ich an meine eigene Studienzeit zurückdenke, so verweilt 
meine Erinnerung besonders gern bei den Stunden, in denen ich Wil- 
helm Webees Vorlesung über Experimentalphysik hörte. Wer seine 
elektrodynamischen Maßbestimmungen gelesen hat, kann sich wohl einen 
Begriff machen von der Kunst, mit der er den Zusammenhang der Er- 
scheinungen zu entwickeln und Schritt für Schritt die Erkenntnis zu 
erweitern und zu vertiefen wußte. So gestaltete sich vor allem die von 
ihm mit Vorliebe behandelte Elektrizitätslehre zu einem Kunstwerk, 
dessen dramatischen Aufbau von Stunde zu Stunde zu verfolgen, mir eine 
Quelle des reinsten Genusses war. Möchte ein Hauch von diesem Geiste 
auch in meiner Darstellung zu spüren sein! 

November 1895. 

Eduard Riecke. 



viii Vorwort 



Vorwort zur dritten Auflage. 

In die Zeit zwischen dem Erscheinen der ersten und der zweiten 
Auflage dieses Buches fiel eine der größten Epochen, welche die Physik 
erlebt hat. Zwar der Röntgenstrahlen konnte in der ersten Auflage 
noch flüchtig gedacht werden, aber Becquerelstrahlen und Zeeman- 
effekt kamen später. Im Zusammenhange damit standen die Unter- 
suchungen über Kathodenstrahlen, Kanalstrahlen und über die 
Ionisierung der Gase, welche über ein weites Gebiet der Elektrizitäts- 
lehre neues Licht verbreitet, und eine Darstellung nach einheitlichen 
Gesichtspunkten ermöglicht haben. Dadurch war bedingt, daß die zweite 
Auflage einen erheblich größeren Umfang bekam als die erste. Es gilt 
dies vor allem von dem zweiten Bande; aber auch der Inhalt des ersten 
wurde durch die Einschaltung eines größeren Abschnittes über gemein- 
same Bewegungen von festen Körpern und von Flüssigkeiten vermehrt. 
In der Tat handelt es sich dabei um Dinge, die ein vielseitiges, prak- 
tisches und theoretisches Interesse besitzen. Bei der Bearbeitung der 
dritten Auflage war es meine Absicht, den Umfang des Buches so 
wenig wie möglich zu vermehren. Wenn trotzdem die Seitenzahl des 
ersten Bandes um 41 gewachsen ist, so liegt die Ursache in einem Tadel, 
der mir in einer Besprechung der zweiten Auflage entgegengetreten 
ist. Man fand mit Recht, daß die geometrische Optik in dem Buche 
etwas stiefmütterlich behandelt sei. Ich halte es nicht für leicht, auf 
diesem Gebiete, wo es sich vielfach um rein geometrische Betrachtungen 
handelt, zwischen einem Zuviel und Zuwenig die richtige Mitte zu finden. 
Schließlich habe ich mich in folgender Weise entschieden. Ein allge- 
meines Interesse knüpft sich für uns an die Frage nach der Leistungs- 
fähigkeit des Mikroskops. Ich habe also in die Darstellung der geo- 
metrischen Optik alle Sätze aufgenommen, die zur Lösung jener Frage 
notwendig sind; dabei habe ich Betrachtungen physikalischer Natur 
weiter ausgeführt, als rein geometrische. Der Erfolg wird zeigen, ob 
ich getroffen habe, was der Leser an dem Buche früher vermißte. Die 
im Inhaltsverzeichnisse mit einem Stern versehenen Paragraphen sind 
in der dritten Auflage neu hinzugefügt. 

Bei der zweiten Auflage haben mich meine Kollegen Professor 
Dr. Wiechekt, Professor Dr. Simon und Dr. J. StAEK bei der Durch- 
sicht der Korrekturbogen in aufopfernder Weise unterstützt; bei der 
dritten Auflage bin ich Dr. Staek wiederum für diesen Dienst zu Dank 
verpflichtet. 

Göttingen, 1. Juli 1905. 

Eduard Riecke. 



Inhalt. 

Seite 

Einleitung 1 

§ 1. Physikalische Erscheinungen und Versuche 1 

§ 2. Erklärung 2 

§ 3. Begriffe und Vorstellungen . 2 

§ 4. Hypothesen 3 

§ 5. Hypothesen und Theorien 4 

§ 6. G-esetze 5 

§ 7. Abgrenzung der Physik • 6 

§ 8. Einteilung der Physik 6 

§ 9. Messen 6 

§ 10. Winkelmessung 7 

§ 11. Längenmessung 11 

§ 12. Abgeleitete Maße 11 

§ 13. Maßeinheit des Gewichtes 12 

§ 14. Längenmaßstab, Nonius 13 

§ 15. Kathetometer 14 

§ 16. Zeitmessung 15 

§ 17. Sternzeit und mittlere Sonnenzeit 16 

§ 18. Siderisches und tropisches Jahr 17 

§ 19. Pendeluhren und Chronometer 17 

§ 20. Veränderung des Tages 18 

§21. Gradmessung der Temperatur 19 

§ 22. Graphische Darstellung 19 

*8 23. Gefälle und Gradient 22 



Erster Teil. Mechanik. Molekularerscheinungen. Akustik. 



Erstes Buch. Mechanik starrer Körper. 

Erster Abschnitt. Statik starrer Körper. 

I. Kapitel. Vom Gleichgewicht der Kräfte 28 

§24. Das Senkel 28 

§ 25. Die Rolle 29 

§ 26. Kräfte gemessen durch Gewichte 29 

§ 27. Graphische Darstellung von Kräften 30 

§ 28. Der Satz vom Parallelogramm der Kräfte 31 

§ 29. Gleichgewicht von Kräften in einem Punkte 32 

§ 30. Verlegung des Angriffspunktes einer Kraft 32 

§ 31. Gleichgewicht von drei Kräften an einem starren Körper . . . . 33 

§ 32. Zerlegung einer Kraft in Komponenten 33 

§ 33. Gleichgewicht eines Stabsystems 34 



x Inhalt 

Seite 

§ 34. Brückenkonstruktionen 36 

§ 35. Das Hebelgesetz 36 

§ 36. Der Mittelpunkt paralleler Kräfte 37 

§ 37. Das Kräftepaar 38 

§ 38. Der Schwerpunkt 40 

§ 39. Gleichgewicht eines drehbaren schweren Körpers .40 

§ 40. Die Hebelwage 40 

II. Kapitel. Die einfachen Maschinen und das Prinzip der virtuellen Ver- 
schiebungen 43 

§ 41. Die schiefe Ebene 43 

§ 42. Das Wellrad 45 

§ 43. Der Flaschenzug 45 

§ 44. Räderwerke 46 

§ 45. Kraft und Weg bei Maschinen 47 

§ 46. Mechanische Arbeit 48 

§ 47. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen 50 

§ 48. Natürliche Bewegungen • . 50 

§ 49. Die Brückenwage 51 



Zweiter Abschnitt. Dynamik starrer Körper. 

I. Kapitel. Geschwindigkeit und Beschleunigung 52 

§ 50. Gleichförmige Bewegung 52 

§ 51. Dimension der Geschwindigkeit 52 

§ 52. Geschwindigkeit und Weg 53 

§ 53. Gleichförmig beschleunigte Bewegung 53 

§ 54. Allgemeine Definition von Geschwindigkeit und Beschleunigung . 56 

II. Kapitel. Fallbewegung und Pendel 58 

§ 55. Die Fallbewegung 58 

§ 56. Beschleunigung und Geschwindigkeit an der ATwooüschen Maschine 62 

§ 57. Arbeit an der ATwooDSchen Maschine 62 

§ 58. Die Wurfbewegung 63 

§ 59. Die Bewegung des Pendels 64 

III. Kapitel. Newtons Prinzipien der Dynamik 66 

§ 60. Die Entwickelung der Prinzipien der Dynamik 66 

§ 61. Das Prinzip der Trägheit 68 

§ 62. Das Prinzip der Masse 69 

§ 63. Beziehung zwischen dem Prinzip der Masse und dem der Trägheit 70 

§ 64. Massenvergleichung 71 

§ 65. Der Einfluß der Masse auf die Bewegung 71 

§ 66. Gleichförmig beschleunigte oder verzögerte Bewegung 72 

§ 67. Das Prinzip der Kombination 73 

§ 68. Das Prinzip von der Gleichheit der Aktion und Eeaktion .... 75 

§ 69. Masseneinheit; technisches und absolutes Maßsystem 75 



70. Spezielle Maßeinheiten . 78 

§ 71. Dichte und spezifisches Gewicht 79 

§ 72. Der Massenmittelpunkt 81 

IV. Kapitel. Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 81 

§ 73. Schwingende Bewegungen 81 

§ 74. Ergänzimg des Pendelgesetzes , 83 

§ 75. Das physische Pendel 84 

§ 76. Das Eeversionspendel 85 

§ 77. Allgemeine Formulierung des Pendelgesetzes 86 

§ 78. Die Beschleunigung der Schwere 87 

§ 79. Die Bifilarsuspension 88 



Inhalt xi 

Seite 

Die gedämpfte Pendelschwingung 89 

Die erzwungene Schwingung 93 

Gesetze der erzwungenen Schwingung 97 

Das Doppelpendel 101 

Aperiodische Dämpfung 103 

Kreisbewegung, Zentralkraft und Winkelgeschwindigkeit .... 105 

Die K.EPLERSchen Gesetze 107 

Newtons allgemeine Gravitation 108 

Sätze über die Anziehung von Kugeln 110 

Bestimmung der Gravitationskonstante und der Dichte der Planeten 110 

Die reine Gravitation der Erde 112 

Die Abplattung der Erde und die Massenverteilung in ihrem Inneren 113 

Gleichgewicht und Bewegung an der Oberfläche der rotierenden Erde 114 

Das FoucAULTSche Pendel 119 

Das sphärische Pendel . . 120 

Botation eines starren Körpers um seinen Schwerpunkt . . . . 121 

Präzessionsbewegung 124 

Kombination von Winkelgeschwindigkeiten 130 

Graphische Darstellung von Kräftepaaren 131 

Winkelbeschleunigung und Kräftepaar 131 

Der Stoß 133 

Bewegungsgröße und Impuls 134 

Erhaltung der Bewegungsgröße 135 

Erhaltung der lebendigen Kraft '.135 

Wellenbewegung einer gespannten Kette 136 

Die Eeflexion der Welle 141 

Stehende Wellen 142 

Energetik 145 

Arbeitsvorrat oder potentielle Energie 145 

Arbeitsvorrat und lebendige Kraft oder kinetische Energie . . . 146 

Energie der allgemeinen Gravitation 147 

Spannkraft 149 

Das Prinzip der Erhaltung und Vermehrung der Energie für ein 

mechanisches System. Maß der Energie 150 

Vernichtung von kinetischer Energie durch Stoß und Reibung. 

Wärmeenergie 151 

Das mechanische Äquivalent der Wärme ' . 152 

Das Prinzip der Vermehrung der Energie für ein thermisch-mecha- 
nisches System • . . . 154 

Allgemeine Bedeutung des Energieprinzips 154 

Das Perpetuum mobile 155 

Die Bewegung der Energie 156 

Beziehung der Energie zu dem Prinzip der virtuellen Verschie- 
bungen 158 



Zweites Buch. Mechanik der Flüssigkeiten und Gase. 

Erster Abschnitt. Statik der Flüssigkeiten und Gase. 

Einleitung. 

§ 119. Inkompressible und kompressible Flüssigkeiten 159 

I. Kapitel. Statik der inkompressiblen Flüssigkeiten . 160 

§ 120. Prinzip der Niveauflächen 160 

§ 121. Druck einer Flüssigkeit gegen die Gefäßwand 160 

§ 122. Das Archimedische Prinzip 161 

§ 123. Das spezifische Gewicht des Wassers bei 4° Celsius 163 



§ 


80. 


§ 


81. 


§ 


82. 


8 


83. 


*§ 


84. 


§ 


85. 


§ 


86. 


§ 


87. 


§ 


88. 


§ 


89. 


§ 


90. 


§ 


91. 


§ 


92. 


§ 


93. 


§ 


94. 


§ 


95 


§ 


96. 


§ 


97. 




98. 


§ 


99. 


§ 


100. 


§101. 


§ 


102. 


§ 


103. 


§ 


104. 


§ 


105. 




106. 


T. Kapitel. 


§ 


107. 


§ 


108. 




109. 


§no. 


§ 


111. 


§ 


112. 


q 


113. 


§ 


114. 


§ 


115. 




116. 


§ i ' • 


§ 


118. 



xii Inhalt 

Seite 
§ 124. Anwendung des Archimedischen Prinzips zur vergleichenden Be- 
stimmung spezifischer Gewichte 164 

Gewichtsaroämeter 165 

Prinzip der gleichmäßigen Ausbreitung des Druckes 166 

Druck im Innern einer schweren Flüssigkeit . . 167 

Kommunizierende Gefäße 170 

Korrespondierende Flüssigkeitshöhen 17ü 

Statik der kompressiblen oder gasförmigen Flüssigkeiten . . 171 

Druck der Luft 171 

Der ToRRiCELLische Versuch 172 

Das Gesetz von Boyle-Maeiotte • . . . 172 

Abweichungen vom BoYLE-MARioiTESchen Gesetz 173 

Das Barometer 174 

Die Luft eine schwere Flüssigkeit .« . . . 176 

Das spezifische Gewicht der Luft ... 177 

Der Atmosphärendruck 177 

Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe 178 

Die virtuelle Druckhöhe 178 

Der Heber 180 

Die Wasserpumpe 180 

Die Luftpumpe 181 

Die Quecksilberluftpumpe 183 

Die Barometerprobe 185 

Spezifisches Gewicht der Gase 186 

Die Kompressionspumpe 187 

Der Luftballon 187 



Zweiter Abschnitt. Dynamik der Flüssigkeiten und Gase. 

I. Kapitel. Strömungen und Wirbel 190 

§ 148. Bewegungen idealer Flüssigkeiten 190 

§ 149. Strömung 191 

§ 150. Zirkulation 193 



§ 


125. 


§ 


126. 




127. 


§ 


128. 


§ 


129. 


. Kapitel. 


s 


130. 


§ 


131. 


§ 


132. 


§ 


133. 


8 


134. 


§ 


135. 


§ 


136. 


S 


137. 


§ 


138. 


§ 


139. 


§ 


140. 


§ 


141. 


§ 


142. 


§ 


143. 


8 


144. 


§ 


145. 


§ 


146. 


§ 


147. 



§ 151. Wirbelbewegung 193 

§ 152. Geradlinige Wirbelfäden und Wirbelringe 195 

§ 153. Druck in einer bewegten Flüssigkeit 200 

§ 154. Strahlbildung 202 

§ 155. Ausfluß einer Flüssigkeit aus einem Gefäße 204 

§ 156. Reaktion des ausfließenden Strahles 207 

§ 157. Verminderter Seitendruck von Flüssigkeitsstrahlen. Versuche und 

Anwendungen (Luftpumpen) 208 

§ 158. Automatische Quecksilberluftpumpe 210 

II. Kapitel. Flüssigkeiten und starre Körper in wechselseitiger Bewegung 212 

§ 159. Ruhende Kugel in einer strömenden Flüssigkeit 212 

§ 160. Bewegte Kugel in einer ruhenden Flüssigkeit 213 

§ 161. Zwei Kugeln in einer Flüssigkeit 215 

§ 162. Eine ebene Scheibe in einem Flüssigkeitsstrome 217 

§ 163. Ergebnisse der Beobachtung; Winddruck 221 

§ 164. Stoß von Flüssigkeitsstrahlen gegen starre Körper 223 

§ 165. Der Drache 225 

§ 166. Der Bumerang 229 

III. Kapitel. Wellenbewegungen 230 

§ 167. Wellen inkompressibler Flüssigkeiten 230 

§ 168. Das HuYGHENSsche Prinzip 234 

§ 169. Stehende Wellen 237 

§ 170. Wellenbewegung in Gasen 240 

S 171. Die Schallgeschwindigkeit 242 



Inhalt 



XIII 



Drittes Buch, Molekularerscheinungen. 

Einleitung. 

Seite 

§ 172. Molekularkräfte , 243 

I. Kapitel. Molekularerscheinungen fester Körper 245 

§ 173. Elastizität; spezielle Gesetze 245 

§ 174. Numerische Werte 247 

§ 175. Allgemeine Theorie der Elastizität 249 

§ 176. Energiegehalt eines deformierten elastischen Körpers 251 

§ 177. Zur Molekulartheorie der Elastizität 252 

§ 178. Elastizität der Kristalle 253 

§ 179. Wellenbewegung in einem isotropen elastischen Körper .... 255 

§ 180. Die Brechung ebener Wellen 258 

§ 181. Erdbebenwellen 263 

§ 182. Elastische Nachwirkung 269 

§ 183. Innere Reibung 271 

§ 184. Festigkeit . . " 271 

§ 185. Adhäsion 274 

§ 186. Gleitende Reibung 274 

§ 187. Rollende Reibung 277 

II. Kapitel. Molekularerscheinuli gen der Flüssigkeiten 278 

§ 188. Kompressibilität der Flüssigkeiten . 278 

§ 189. Oberflächenspannung der Flüssigkeiten 279 

§ 190. Erscheinungen der Ausbreitung 281 

§ 191. Gleichgewichtsfiguren .... 282 

§ 192. Seifenblasen 282 

§ 193. Kapillarität . . 283 

§ 194. Randwinkel 283 

§ 195. Der Radius der Wirkungssphäre ... 284 

§ 196. Bewegung infolge von Kapillarkräften 284 

§ 197. Kapillarwellen 285 

§ 198. Zur Molekulartheorie der Kapillarität 286 

§ 199. Innere Reibung der Flüssigkeiten 290 

§ 200. Relaxation 293 

§ 201. Diffusion 294 

§ 202. Osmotischer Druck . 295 

III. Kapitel. . Molekularerscheinungen der Gase 296 

§ 203. Übersicht über die Erscheinungen 296 

§ 204. Kinetische Theorie der Gase 299 



Viertes Buch. Akustik. 



I. Kapitel. 


§ 


205. 


§ 


206. 




207. 


§ 


208. 


§ 


209. 


§ 


210. 


§ 


211. 


IL Kapitel 


§ 


212. 


8 


213. 


§ 


214. 


§ 


215. 


§ 


216. 


§ 


217. 



Die musikalischen Töne 305 

Entstehung der Töne 305 

Die Tonhöhe 307 

Die Konsonanz 309 

Grenzen der Tonempfindung .310 

Die Luft als Schallmedium 310 

Das DoppLERsche Prinzip . 311 

Beziehung der Akustik zur Mechanik 313 

Freie Schwingungen tönender Körper 314 

Schwingungen der Saiten 314 

Obertöne 316 

Gespannte Membranen 317 

Transversalschwingung von Stäben 317 

Stimmgabeln 318 

Klangscheiben 319 



xiv Inhalt 

Seite 

§ 218. Glocken 320 

§ 219. Longitudinalschwingungen von Saiten und Stäben 321 

§ 220. Schwingungen der Pfeifen 323 

§ 221. Schallgeschwindigkeit in festen Körpern 325 

§• 222. Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten 327 

§ 223. Energie einer schwingenden Saite 327 

§ 224. Zerstreuung der Energie 329 

§ 225. Tonstärke 329 

§ 226. Die Klangfarbe 330 

§ 227. Die Vokalklänge und der Phonograph 333 

III. Kapitel. Erzwungene Schwingung und Resonanz 334 

§ 228. Freie und erzwungene Schwingung 334 

§ 229. Mittönen von Körpern bei synchroner Schwingung 335 

§ 230. Gleichmäßig resonierende Körper 337 

§ 231. Zungenpfeifen und Lippenpfeifen 338 

§ 232. Singende Flammen 339 

§ 233. Resonatoren 340 

§ 234. KüNDTSche Staubfiguren 340 

§ 235. Das CoRTische Organ 342 

IV. Kapitel. Erscheinung der Interferenz und Schwebung 342 

§ 236. Nörrembergs Interferenzversuch 342 

§ 237. Flächen der Stille bei einer Stimmgabel 343 

§ 238. Schwebungen 344 

§ 239. Kombinationstöne 348 

§ 240. Konsonanz und Dissonanz 348 



Zweiter Teil. Optik. 

Einleitung. 

§ 241. Allgemeine Aufgaben der Optik 351 

Erstes Buch. Geradlinige Ausbreitung, Reflexion, Brechung und 

Farbenzerstreuung. 

I. Kapitel. Erscheinungen der geradlinigen Ausbreitung 352 

§ 242. Geradlinige Ausbreitung des Lichtes .... 352 

§ 243. Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes 354 

§ 244. Beleuchtungsstärke und Lichtstärke 359 

IL Kapitel. Reflexion des Lichtes 362 

§ 245. Diffuse und regelmäßige Reflexion 362 

§ 246. Das Reflexionsgesetz • . . . 362 

§ 247. Der ebene Spiegel 363 

§ 248. Messung eines Prismenwinkels 364 

§ 249. Winkelmessung mit Spiegel und Skale 365 

§ 250. Der Heliostat 366 

§ 251. Die sphärischen Spiegel : . . . . 366 

III. Kapitel. Brechung des Lichtes 371 

§ 252. Das Brechungsgesetz 371 

§ 253. Konstruktion des gebrochenen Strahles 373 

§ 254. Umkehr und Kombination von Brechungsverhältnissen .... 374 

§ 255. Optisch dichtere und optisch dünnere Mittel 375 



Inhalt xv 



Seite 

§ 256. Brechung des Lichtes durch ein Prisma 376 

§ 257. Bestimmung des Brechungsverhältnisses 377 

§ 258. Absolutes Brechungsverhältnis und atmosphärische Strahlenbrechung 378 

§ 259. Brechungsvermögen und Molekularrefraktion 379 

§ 260. Totalreflexion 380 

*§ 261. Der Photometerwürfel 382 

§ 262. Brechung an einer sphärischen Fläche 382 

§ 263. Theorie der Linsen 386 

§ 264. Astigmatische Strahlenbündel 392 

§ 265. Doppelbrechung : 396 



* 



IV. Kapitel. Farbenzerstreuung des Lichtes 399 

§ 266. Newtons Fundamentalversuche 399 

§ 267. Die FRAUNHOFERSchen Linien 401 

§ 268. Numerische Werte von Brechungsverhältnissen ....... 402 

§ 269. Totale Dispersion 402 

§ 270. Achromatische Prismen und Linsen 403 

§ 271. Geradsichtprismen 404 

§ 272. Der Farbenkreisel 404 

V. Kapitel. Das Auge und die optischen Instrumente 408 

§ 273. Das Auge 408 

§ 274. Die Lupe 412 

§ 275. Fernrohr und Mikroskop 413 

§ 276. Das Prismenfernrohr von Zeiss 414 

*§ 277. Die optische Divergenz 415 

*§ 278. Das Gesetz der Strahlung und die Helligkeit optischer Bilder . 418 

*§ 279. Die wechselseitige Strahlung zweier konjugierter Flächenelemente 421 

*§ 280. Die Helligkeit des Netzhautbildes 425 

§ 281. Elektrische Lampe und Projektionsapparat 428 

§ 282. Die Schlierenmethode 429 



Zweites Buch. Emission und Absorption des Lichtes und die sie 

begleitenden Erscheinungen. 

I. Kapitel. Emission und Absorption 430 

§ 283. Spektralanalyse 430 

§ 284. Der Spektralapparat 430 

§ 285. Spektra fester und flüssiger Körper 432 

§ 286. Spektra von Metalldämpfen 432 

§ 287. Spektra G-EissLERscher Bohren 434 

§ 288. Spektren chemischer Verbindungen 436 

§ 289. Spektrum und Dampfdichte 437 

§ 290. Chemische Spektralanalyse 438 

§ 291. Absorption des Lichtes 439 

§ 292. Absorptionsspektren 440 

§ 293. Die Umkehrung der Spektrallinien 440 

§ 294. Das Sonnenspektrum als Absorptionsspektrum 441 

§ 295, Anomale Dispersion 442 

§ 296." Oberflächenfarben und Metallglanz 443 

IL Kapitel. Fluoreszenz und chemische Wirkung des Lichtes 443 

§ 297. Die Fundamentalerscheinung der Fluoreszenz 443 

§ 298. Fluoreszenzspektren 444 

§ 299. Phosphoreszenz 545 

§ 300. Chemische Wirkungen des Lichtes ■ . . . 446 

§ 301. Photographie 447 

§ 302. Photographien des Spektrums 447 

§ 303. Farbenphotographie 448 

§ 304. Sichtbarkeit der ultravioletten Strahlen 449 



xvi Inhalt 

Drittes Buch. Das Licht als Wellenbewegung. 

Seite 

I. Kapitel. Emissions- und Undulationstheorie des Lichtes 450 

§ 305. Die Emissionstheorie 450 

§ 306. Die Undulationstheorie 451 

§ 307. Foücaults Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit 454 

IL Kapitel. Interferenz und Beugung . 456 

§ 308. Fkesnels Spiegelversuch 456 

§ 309. Zonenteilung der Wellenfläche und Beleuchtung eines Punktes . 459 

§ 310. FitESNELsche Beugungserscheinungen 461 

§ 311. Beugung durch eine kreisförmige Öffnung 463 

§ 312. FRAUNHOFERsche Beugungserscheinungen 465 

§ 313. Verschiebung der Interferenzstreifen 469 

§ 314. Beugungsgitter und Gitterspektren 470 

§ 315. Rowlands Konkavgitter 474 

§ 316. Wellenlängen des Lichtes 476 

§ 317. Breite der Beugungsbilder und auflösende Kraft eines Gitters . 476 

§ 318. Zur teleskopischen Beobachtung der Beugungserscheinungen . . 479 

*§ 319. Die Leistungsfähigkeit des Mikroskops 482 

*§ 320. Sichtbarmachung ultramikroskopischer Teilchen 487 

§ 321. Farben dünner Blättchen. NEwroNsche Ringe 489 

§ 322. Ringe gleicher Neigung und Interferometer 493 

§ 323. Der Interferentialrefraktor 501 

III. Kapitel. Polarisation und Doppelbrechung 502 

§ 324. Turmalinplatten 502 

§ 325. Zusammensetzung und Zerlegung polarisierter Strahlen .... 504 

§ 326. Natürliches Licht 508 

§ 327. Polarisation durch Reflexion 509 

§ 328. Allgemeine Gesetze der Reflexion und Brechung 510 

§ 329. Totale Reflexion 513 

§ 330. Die Metallreflexion 514 

§ 331. Reststrahlen 518 

§ 332. Trübe Medien 518 

§ 333. Doppelbrechung und Polarisation 520 

§ 334. Das NicoLsche Prisma 522 

§ 335. Wellenfläche einachsiger Kristalle 523 

§ 336. Konstruktion der gebrochenen Welle bei einachsigen Kristallen . 527 

§ 337. Wellenfläche zweiachsiger Kristalle 529 

§ 338. Zur Geometrie der Wellenfläche zweiachsiger Kristalle .... 533 

§ 339. Polarisationsapparate 536 

§ 340. Interferenzfarben dünner Kristallblättchen 537 

§ 341. Der Kompensator 541 

§ 342. Erscheinungen im konvergenten Lichte 543 

§ 343. Zirkularpolarisation 547 

§ 344. Polarisationsebene und Schwingungsrichtung 550 

IV. Kapitel. Probleme der Wellenlehre 552 

§ 345. Emission des Lichtes; Gesetzmäßigkeiten der Spektren .... 552 

§ 346. Kontinuierliche Spektren; Verbreiterung der Linien 564 

§ 347. Erscheinungen der Absorption 566 

§ 348. Fluoreszenz 569 

§ 349. Zirkularpolarisation 575 

Berichtigungen 576 



Einleitung. 



§ 1. Physikalische Erscheinungen und Versuche. Die Untersuchungen 
der Physik beziehen sich auf die Welt der uns umgebenden Körper, von 
deren Dasein uns die verschiedenen Sinne Nachricht geben. Aber diese 
Welt ist nicht starr und tot, sondern in einer ewigen Verwandlung be- 
griffen, sie ist nicht bloß eine Welt von Körpern, sondern eine Welt von 
Erscheinungen. Wir sehen den Fall des Steines, die Wellen des Wassers, 
von den regelmäßigen, feinen Kreisen an der Oberfläche eines Teiches 
bis zu den brandenden Wogen des Meeres; wir fühlen im Sturme den 
Druck der Luft, wir sehen sie zittern über dem von der Sonne erhitzten 
Boden. Aus den sich verdichtenden Wolken fallen die Regentropfen; 
wenn ihr durch die Luft herabhängender Schleier über den Beobachter 
hinweg von der sinkenden Sonne beschienen wird, so wölbt sich über 
der Erde der farbige Kreis des Regenbogens. — Aber der Mensch hat 
sich nicht begnügt, müßig das Schauspiel zu betrachten, das die Natur 
immer von neuem und immer wieder anders vor seinen Augen spielt; 
die Not des Daseins und die eingeborene Lust zum Wissen haben ihn 
veranlaßt, mit eigener Hand in den Lauf der Naturerscheinungen ein- 
zugreifen, sie zu seinem Nutzen zu lenken, durch Versuche die Be- 
dingungen der eintretenden Veränderungen, die Ursachen der beobach- 
teten Wirkungen zu erforschen, das Gebiet der Erscheinungen selbst zu 
erweitern. Er benutzt den Hebel, das Seil und die Rolle zum Heben 
einer Last; durch Wasser und Wind treibt er das Rad der Mühle; 
die Kraft des Dampfes zwingt er in seinen Dienst, mit der Spannkraft 
des Bogens beflügelt er den Pfeil, mit Saite und Pfeife erzeugt er die 
musikalischen Töne, er entdeckt das Farbenspiel der Seifenblasen, die 
doppelte Brechung des Lichtes im Kalkspat, und entwickelt daraus, Ver- 
suche an Versuche reihend, eine neue vorher unbekannte Welt der schönsten 
Farbenerscheinungen. Er findet den natürlichen Magnet, entdeckt seine 
Eigenschaft den Pol zu suchen, er macht die Stahlnadel magnetisch, und 
der Seefahrer sucht nach ihrer Weisung seinen Weg. Der geriebene 
Bernstein zieht leichte Papierstückchen an, auf den genäherten Finger 
springt von ihm ein kleiner Funken. Diese unscheinbaren Beobachtungen 
erweitern sich im Laufe weniger Jahrhunderte zu einer beinahe er- 
schreckenden Fülle von neuen Tatsachen, die für unsere ganze Auf- 
fassung von dem Wirken der Natur von der größten Bedeutung sind. 

Riecke, Physik I. Dritte Aufl. 1 



Einleitung ' § 3 



welche die Verhältnisse unseres Verkehrs und Erwerbes von Grund aus 
umgestalten. 

§ 2. Erklärung. Bei der unendlichen Menge der Erscheinungen, 
mögen sie nun in der Natur ohne unser Zutun sich abspielen oder 
in Versuchen durch eine bewußte Tätigkeit erzeugt worden sein, wäre 
es unmöglich, alle einzelnen im Gedächtnis zu behalten. Schon aus 
einem ökonomischen Bedürfnis müssen wir suchen, die Erscheinungen 
nach einheitlichen Gesichtspunkten zu ordnen; diese Ordnung besteht 
aber nicht in einer äußerlichen Klassifikation nach Ähnlichkeit oder 
Verschiedenheit, sondern in der Herstellung eines Zusammenhanges, bei 
dem wir die Erscheinungen nach dem Verhältnisse von Ursache und 
Wirkung aneinander zu reihen suchen. 

Aus den vielen und mannigfaltigen Tatsachen greifen wir die ein- 
fachsten heraus und machen ihre Bedingungen zum Gegenstand unserer 
Forschung; die komplizierten suchen wir zu zerlegen, so daß sie als 
eine Folge der schon bekannten einfachen erscheinen. Gelingt dieses, 
so haben wir eine Erklärung jener Tatsachen gewonnen. So erscheint 
die Bewegung des Wurfes als eine Verbindung der gleichförmigen Be- 
wegung in der Wurfrichtung mit der Fallbewegung; die Farben- 
zerstreuung des Lichtes erklären wir durch die verschiedene Brechbar- 
keit der verschiedenfarbigen Strahlen. 

§ 3. Begriffe und Vorstellungen. Bei jeder Naturerscheinung 
fassen wir zunächst die Beziehungen auf, welche den allgemeinen An- 
schauungsformen des Raumes und der Zeit entsprechen. Wir unter- 
scheiden verschiedene Körper, ihre Gestalt und Größe, ihre gegenseitige 
Lage und Bewegung. Diese Begriffe, der Physik und der Mathematik 
gemeinsam, sind uns allen in vollkommener Deutlichkeit und Schärfe 
immer in der gleichen Weise gegenwärtig, und wir folgen bei ihrer 
Bildung einer unbewußten inneren Notwendigkeit. Zu ihnen gesellen 
sich die sinnlichen Empfindungen der Farben, der Töne, der Wärme un 
Kälte, die nach Qualität und Intensität eine unendliche Reihe verschie- 
dener Stufen bilden. Zu den Begriffselementen der Zahl, des Raumes 
und der Zeit, zu den sinnlichen Qualitäten fügen wir aber schon bei 
der Betrachtung der einfachsten Naturerscheinungen Vorstellungen, deren 
Bildung nicht durch einen inneren psychologischen Zwang gefordert 
wird. Wir sprechen von der Anziehung, welche die Erde auf den 
fallenden Stein ausübt, von Kräften, mit denen die Körper aufeinander 
wirken; diese Vorstellungen sind entlehnt dem Beispiel unseres eigenen 
Wirkens; wie wir durch die Kraft unserer Muskeln Lasten bewegen, so 
schreiben wir den Körpern Kräfte zu, durch die sie sich wechselseitig 
beeinflussen; wir sind uns bewußt, daß wir Arbeit verrichten können, 
sobald wir wollen, daß wir ein gewisses Maß von Arbeitsfähigkeit be- 
sitzen. Nun kann aber dieselbe Last, die wir durch Muskelkraft in 
die Höhe ziehen, durch ein fallendes Gewicht, durch Dampf oder 
durch elektrische Kraft gehoben werden. Auch die Naturkörper besitzen 



§ 4 Einleitung 3 

danach ein bestimmtes Maß von Wirksamkeit oder Energie. Schon hier 
möge darauf hingewiesen werden, daß ihre Bestimmung eines der wesent- 
lichsten Ziele der physikalischen Forschung bildet. Sie ist wichtig nicht 
bloß für die technische Verwertung der Naturkräfte, sondern auch wissen- 
schaftlich von der größten Bedeutung; denn kein Begriff durchdringt 
und verbindet in gleichem Maße die verschiedenen Gebiete der Er- 
scheinungen, wie der der Arbeitsfähigkeit oder Energie. 

§ 4. Hypothesen. Wenn wir von der Kraft sprechen, die ein Körper 
A auf einen Körper B ausübt, so drücken wir damit nichts anderes aus 
als die Tatsache, daß A bestimmte Veränderungen erleidet, so oft er 
in bestimmte räumliche Beziehungen zu B gebracht wird. Es handelt 
sich dabei nur um eine anschauliche Art, die beobachteten Erscheinungen 
zu beschreiben. Demselben Zweck dienen zunächst auch die mannig- 
fachen Hypothesen, die wir mit den physikalischen Erscheinungen ver- 
binden. Eine nicht kleine Zahl von diesen zeigt einen so verwickelten 
Charakter, daß wir zu keiner Übersicht, zu keiner verständlichen Ord- 
nung gelangen, solange wir uns nur an den beobachteten Tatbestand 
halten. Wir ergänzen diesen durch hypothetische Annahmen über die 
ihm zugrunde liegenden Eigenschaften der Körper, über die Existenz 
von Körpern, die unsichtbar mit den unmittelbar wahrnehmbaren sich 
mischen, Annahmen, durch welche wir gewissermaßen einen verborgenen 
Teil der wirkenden Ursachen zu erraten suchen. Solche Hypothesen 
werden natürlich nicht willkürlich und aufs Geratewohl gebildet, sondern 
man läßt sich dabei von Analogien mit bekannten Tatsachen leiten. So 
wurde man durch die Analogien zwischen Schall und Licht darauf ge- 
führt, die optischen Erscheinungen zu erklären durch Wellen in einem 
den ganzen Baum erfüllenden Stoffe, dem Äther, der jeder anderen 
Wahrnehmung sich entzieht; die elektrischen Erscheinungen hat man 
zuerst in einheitlicher Weise darzustellen gelernt mit Benutzung der 
Analogien, die sie in mancher Hinsicht mit den Bewegungen eines 
flüssigen Körpers zeigen. Man dachte sich an der Oberfläche der elek- 
trischen Körper zwei unsichtbare, den Wirkungen der Schwere entzogene, 
imponderabele Flüssigkeiten, deren Teilchen sich anziehen und abstoßen, 
mit Kräften aufeinander wirken, die mit den zwischen den Himmels- 
körpern beobachteten entweder gleichgerichtet oder entgegengesetzt sind 

In dem Gebiete der Elastizitätserscheinungen wurde ein leitendes 
Band zuerst in der Annahme gefunden, daß die Körper aus kleinen 
Teilchen, den Molekülen, bestehen, die voneinander durch Zwischen- 
räume getrennt sind, im Vergleich mit denen die Dimensionen der 
Moleküle selbst verschwinden; die kontinuierliche Raumerfüllung der 
Körper wäre danach nur ein Schein, sie wären zu vergleichen dem 
Sternhaufen, der am nächtlichen Himmel den Anblick einer gleichmäßig 
leuchtenden Scheibe darbietet, während er aus einer ungezählten Menge 
von Sternen besteht, zwischen denen weite, von Sternen leere Bäume 
sich erstrecken. 



4 Einleitung § 5 

§ 5. Hypothesen und Theorien. Die Hypothesen der Physik ent- 
wickeln sich zunächst aus der Betrachtung von einzelnen Erscheinungen, 
die nicht ohne weiteres auf andere schon bekannte zurückgeführt werden 
können. Wenn man dann auf Grund der gemachten Annahmen das 
gan/.e Gebiet der mit jenen Fundamentalerscheinungen zusammenhängen- 
den Tatsachen in einheitlicher Weise darzustellen sucht, so gelangt 
man zu einer physikalischen Theorie. So wurde man durch eine gewisse 
Gruppe von Fundamentalerscheinungen zu der Hypothese der elektrischen 
Fluida geführt; die konsequente Verfolgung dieser Annahme durch das 
ganze Gebiet der elektrischen Erscheinungen hindurch führte zu einer 
Theorie der Elektrizität. Da die physikalischen Hypothesen sich auf einen 
nur gedachten Teil der Erscheinungen beziehen, der nicht Gegenstand 
der unmittelbaren Beobachtung ist, können sie nie als eine ausgemachte 
Wahrheit gelten; sie tragen den Charakter von Hilfs Vorstellungen, ge- 
eignet größere Gebiete von Erscheinungen in einfacher und verständlicher 
Weise zusammenzufassen. 

Sie liefern uns Bilder der Erscheinungen und ihres Zusammen- 
hanges; wir benutzen sie als Modelle, bei denen jeder zwischen den 
realen Körpern stattfindenden Beziehung eine bestimmte mechanische 
Verbindung, jeder Veränderung in der Körperwelt eine bestimmte 
Änderung des Modelles entspricht. Je weiter nun der Kreis der Er- 
scheinungen ist, den wir auf diese Weise abzubilden vermögen, desto 
größer wird unser Vertrauen sein, daß die benutzte Hypothese, das mit 
ihrer Hilfe konstruierte Modell richtig sei. Darunter aber verstehen 
wir folgendes. Wir haben uns das Modell zunächst gedacht als ein 
Abbild der beobachteten Erscheinungen ; aber es hat gewissermaßen sein 
eigenes, selbständiges Leben, und wir können mit ihm ohne Bücksicht 
auf die Welt der realen Körper spielen, beliebige seiner Teile bewegen 
und zusehen, wie sich die anderen dabei verhalten. Wenn unser Modell 
ein richtiges ist, wenn es keine überflüssigen, bedeutungslosen Bestand- 
teile enthält, so muß jeder solchen Veränderung in dem Modell ein 
realer Vorgang in der Welt der Erscheinungen entsprechen. 

Die Hypothesen und die aus ihnen folgenden Theorien sind danach 
für die Physik nicht bloß ein Mittel der Darstellung, sie sind ein Leit- 
faden zu neuen Versuchen, zu der Entdeckung neuer Erscheinungen. 
Denn die Benützung unseres Modelles, die Anwendung der Theorie ist 
nach dem vorher Gesagten nicht beschränkt auf Verhältnisse, die schon 
einmal Gegenstand der Beobachtung waren; wir können an ihrer Hand 
vorhersagen, was unter neuen Verhältnissen geschehen wird. Die Ent- 
deckung einer neuen Erscheinung auf Grund einer solchen Vorhersage 
bildet den wahren Prüfstein für die Richtigkeit der zugrunde liegenden 
Hypothese, für die Brauchbarkeit des mit ihrer Hilfe konstruierten Modells. 
Eines der berühmtesten Beispiele dieser Art ist die Entdeckung des Nep- 
tuns, nachdem seine Existenz und Stellung vorhergesagt war auf Grund 
von Störungen der Uranusbahn, die durch die Einwirkung der damals 



§ 6 Einleitung 5 

bekannten Planeten nicht zu erklären waren. Daß wir Modelle oder 
Bilder der Erscheinungen konstruieren können, die in dem angegebenen 
Sinne richtig sind, ist eine Tatsache der Erfahrung. Begreiflich aber 
ist dieses Verhältnis nur, wenn Geist und Natur nicht zwei voneinander 
geschiedene Welten, sondern Teile einer höheren Einheit sind. 1 

Da man für eine und dieselbe Erscheinung häufig verschiedene 
Analogien finden kann, so ergibt sich die Möglichkeit verschiedener 
Hypothesen, verschiedener Modelle für einen und denselben Kreis von 
Erscheinungen. So hat man beobachtet, daß die Wechselwirkungen 
elektrischer Konduktoren abhängig sind von dem Mittel, in dem sie sich 
befinden, andere in Luft, andere in Wasserstoff oder Terpentinöl. Man 
wurde dadurch zu der Annahme veranlaßt, daß die elektrischen Wir- 
kungen durch elastische Spannungen der die Konduktoren umgebenden 
an ihrer Oberfläche haftenden Isolatoren vermittelt werden, daß fern- 
wirkende Kräfte zwischen elektrischen Körpern nicht existieren. 

Verschiedene Theorien erweisen sich oft innerhalb eines weiten 
Kreises von Erscheinungen als gleichberechtigt. Sobald wir aber Tat- 
sachen finden, die, über jenes Gebiet hinausliegend, nur dem Vorstellungs- 
kreis einer einzigen von ihnen untergeordnet werden können, für die nur 
eines der Modelle Veränderungen zuläßt, die mit den realen Erscheinungen 
übereinstimmen, wird die Alternative entschieden sein. So hat die Er- 
fahrung gezeigt, daß die elektrischen Wirkungen mit der Geschwindig- 
keit des Lichtes im Räume sich ausbreiten, daß sie vermittelte Wir- 
kungen sind. Damit ist die Annahme der elektrischen Fluida mit den 
zwischen geladenen Konduktoren nach Art der Gravitation in die Ferne 
wirkenden Kräften nicht vereinbar, wohl aber die Annahme von Ver- 
schiebungen und Spannungen im Zwischenmedium, die wellenförmig in 
diesem sich ausbreiten. Die Vorstellungen von den unvermittelt in die 
Ferne wirkenden elektrischen Flüssigkeiten, das auf ihnen beruhende 
Modell der Erscheinungen, sind nur innerhalb eines gewissen Gebietes 
zulässig; darüber hinaus geraten sie in Widerspruch mit den Tatsachen, 
sie stellen sich als unrichtig heraus. Wir werden aber demungeachtet 
nicht auf ihre Benutzung verzichten, da sie in vielen Fällen zu einem 
kürzeren und bequemeren Ausdruck der Tatsachen führen, als die 
Theorie der vermittelten Wirkungen. 

§ 6. Gesetze. Als Ziel der physikalischen Forschung bezeichnen 
wir die Aufstellung von Gesetzen. Wenn man die Umstände, von denen 
eine Erscheinung abhängt, die Verhältnisse, die sie darbietet, vollkommen 
kennt, wenn man sie durch bestimmte gemessene Größen ausgedrückt 
hat, so sucht man eine mathematische Formel, welche die gefundenen 
Zahlen von Maßeinheiten miteinander verbindet, so daß man bei ge- 
gebenen Verhältnissen die eintretende Wirkung nach Maß und Zahl 

1 Vgl. Maxwell, On Farädays Lines of Force. The Scientific Papers of James 
Clerk Maxwell. Vol. I. p. 155. Hertz, Die Prinzipien der Mechanik. Einleitung. 
Gesammelte Werke. Bd. III. 



6 Einleitung § 9 

voraus berechnen kann. Jede derartige Formel bezeichnen wir als ein 
physikalisches Gesetz. Es sei z. B. gefunden, daß der Druck eines Grases 
gleich p Kilograninigewichten auf das Quadratzentimeter, sein Volumen 
gleich v Litern ist; es gilt dann das Gesetz, daß das Produkt aus Druck 
und Volumen konstant, pv = C, ist. Physikalische Gesetze können nicht 
bloß auf dem Wege der unmittelbaren Beobachtung gewonnen werden, sie 
ergeben sich häufig auch als Folgerungen einer Theorie. Aber auch in 
diesem Falle werden wir ihnen Gültigkeit erst dann zuschreiben, wenn sie 
durch Beobachtung bestätigt worden sind. In letzter Instanz beruht also 
die Gültigkeit aller physikalischen Gesetze lediglich auf der Beobachtung. 

§ 7. Abgrenzung der Physik. Ehe wir uns nun zu unserer eigent- 
lichen Aufgabe, der Darstellung der physikalischen Erscheinungen und 
der Entwickelung der für sie geltenden Gesetze, wenden, wollen wir noch 
den Teil der Naturwissenschaft, mit dem wir uns zu beschäftigen haben, 
etwas genauer abgrenzen. Wir überlassen zunächst der Biologie und 
Physiologie alle die Erscheinungen, die auf dem Gebiete der organi- 
schen Natur das ausmachen, was wir Leben nennen. So blieben also 
der Physik die Vorgänge der unorganischen Natur. Aber auch aus dem 
so beschränkten Gebiete scheiden wir noch die große Mannigfaltigkeit 
von Erscheinungen aus, mit denen sich auf der einen Seite Chemie und 
Mineralogie, auf der anderen die Astronomie und die geophysischen 
Wissenschaften beschäftigen; nicht aus sachlichen Gründen, sondern auf 
Grund der historischen Entwickelung und der verschiedenen Ausbildung 
der Methoden. Physik und Chemie insbesondere stehen in der engsten 
Wechselbeziehung, sie sind in ihren Grundlagen und Zielen eins. 

§ 8. Einteilung der Physik. Wir beginnen unsere Untersuchungen 
naturgemäß mit den einfachsten Erscheinungen. Dies sind die Erschei- 
nungen der Bewegung oder Buhe der uns durch tägliche Erfahrung wohl 
bekannten Körper unserer Umgebung. Ihre Erforschung bildet den Gegen- 
stand der Mechanik. Die Frage, welche Vorgänge in der Außenwelt 
stattfinden müssen, damit in uns die Empfindungen des Schalles und des 
Lichtes entstehen, führt auf die Kapitel der Akustik und Optik. Von 
diesen steht die Akustik in der nächsten Beziehung zu der Mechanik, 
da die Lehre von den tönenden Schwingungen der Körper ganz auf den 
Gesetzen der Mechanik beruht. Magnetismus und Elektrizität stehen 
in der innigsten Wechselbeziehung und bilden zusammen ein wohl ab- 
gegrenztes Gebtet von Erscheinungen. Die Wärmelehre knüpft sich 
zunächst an die Untersuchung des Einflusses, den die von unseren Nerven 
als warm oder kalt empfundenen Verschiedenheiten auf die Erscheinungen 
der Körper üben; sie beschäftigt sich weiter mit der Frage nach der 
Erzeugung und der Natur der Wärme. 

§ 9. Messen. Wir haben gesehen, daß physikalische Gesetze durch 
Beobachtung und Messung gefunden oder bestätigt werden. Die letztere 
bildet daher eine fundamentale Aufgabe der physikalischen Forschung. 
Wegen dieser ihrer allgemeinen Bedeutung scheint es zweckmäßig, die 



§10 



Einleitung 



Bemerkungen, welche wir über das Messen zu machen haben, vorweg- 
zunehmen, ehe wir uns auf spezielle Untersuchungen einlassen. Jede 
Messung beruht auf einer Vergleichung der zu messenden Größe, A, mit 
einer anderen von derselben Art, N, die wir als Maßeinheit benutzen. 
Die Aufgabe der Messung ist es, zu ermitteln, wie viele Maßeinheiten N 
zusammen zu nehmen sind, um eine mit A gleiche Größe herzustellen, 
wie oft also die Maßeinheit N in A enthalten ist. Die gefundene Zahl 
A 
N 



n repräsentiert das Maß der Größe A; diese ist gleich dem w-fachen 

der Maßeinheit N. 

§ 10. Winkelmessung. (Die trigonometrischen Funktionen des 
Winkels und dieExponentialfunktion.) Zur Feststellung des Winkel- 
maßes wird der rechte Winkel in 90 gleiche Teile geteilt; ein solcher Teil, 
der Grad, stellt die gewöhnliche Einheit des Winkelmaßes dar. Der 
Grad wird weiter in 60 Minuten, die Minute in 60 Sekunden geteilt; 
1 o = 60', 1' = 60". 




OA-OB -- 1 



f) A 




Fig. 1. 



OA=OB'AB 

Fig. 2. 



A 



Bei der Aufstellung physikalischer Gesetze ist es sehr häufig vorteil- 
haft, die Winkel anders, in dem sogenannten Bogenmaße, zu messen. Um 
den Scheitel O des Winkels a (Fig. 1) beschreiben wir einen Kreis- 
bogen, dessen Halbmesser wir als Ein- 
heit der Länge benützen. Schneidet er 
die Schenkel des Winkels in den Punk- 
ten A und B, so bestimmt die Länge 
des Bogens AB, in Teilen des Halb- 
messers ausgedrückt, das Bogenmaß 
des Winkels. Danach ist das Bogen- 
maß eines rechten Winkels gleich — ; _.. „ 

& 2 ' Fig. 3. 

und ein Winkel von 57-30 Grad hat das 

Bogenmaß Eins (Fig. 2). In einem Kreise vom Halbmesser r gehört zu 

einem Zentriwinkel, dessen Bogenmaß gleich <p, der Bogen rcp (Fig. 3). 




8 



Einleitung 



§10 



Fällen wir von dem Punkte B (Fig. 1) eine Senkrechte Bß auf den 
anderen Schenkel des Winkels, so nennen wir B ß den Sinus, den Ab- 
schnitt ß den Cosinus des Winkels a, Bß= sin cc, Oß = cos«; ziehen 
wir in A die Tangente A C bis zum Schnitt mit dem zweiten Schenkel, 
so ist AG die Tangente des Winkels, AG =tga. Dabei ist immer 
vorausgesetzt, daß A = OB = 1 genommen wird. 
Da CA:Bß sich verhält wie AO'.ßO, so ist: 



tga = 



sin « 
cos a 



Den Winkel u in Fig. 1 können wir als den Winkel betrachten, um 
welchen der Radius A gedreht werden muß, damit er in die Lage O B 
übergeht. Von diesem G-esichtspunkt aus ergibt sich leicht eine Ver- 
allgemeinerung, welche 
in Fig. 1 a dargestellt 
ist. Wir ergänzen den 
in der Fig. 1 mit dem 
Halbmesser Eins be- 
schriebenen Kreisbogen 
zu einem vollen Kreise ; 
in diesem ziehen wir den 
Durchmesser B OB 2 und 
den zu ihmmitBezugauf 
diehorizontaleAchseCLY 
symmetrischen, B x OB 3 . 
Die Lagen OB x , B 2 , 
OB 3 des Radius OA wer- 
den dann durch Dre- 
hungen von (180 — ce)°, 
(180 + «)° und (360-«)° 
erreicht oder, wenn der 
Winkel a im Bogenmaß 
ausgedrückt ist, durch 
Drehungen von tc — a, 
% + u, 2 7i — a. Die Cosinus dieser Winkel sind durch die einander 
gleichen Strecken Oß und ß x dargestellt. Aber es besteht zwischen 
diesen Strecken ein Unterschied der Richtung. Oß, die Projektion des 
Radius B auf die horizontale Achse X, geht nach rechts, ß x , die 
Projektion von 0B 1} nach links. Solche Richtungsunterschiede werden 
wir sehr häufig dadurch kennzeichnen, daß wir die eine Richtung, in 
unserem Falle die Richtung OX, als eine positive, die ihr entgegen- 
gesetzte X' als eine negative betrachten. Wir geben dann auch den 
in der Richtung X liegenden Strecken ein positives, den in der Rich- 
tung X' liegenden ein negatives Zeichen. Mit Rücksicht auf diese 
Festsetzung ergibt sich nun ein Unterschied zwischen den Cosinus der 
vier Winkel. Es ist: 




§10 Einleitung 9 

cos (2 % — et) = cos et = ß, 

cos (% — et) = cos (ti + et) = — ß. 

Betrachten wir ebenso die Richtung Oy als positiv, die ihr entgegen- 
gesetzte Oy' als negativ, so finden wir in derselben Weise die Formeln: 

sin (n — et) = sin et = B ß, 

sin (Ti + et) = sin(27r — et) = — Bß. 

Wir haben bisher den Radius OA im entgegengesetzten Sinne des 
Uhrzeigers gedreht, um ihn in eine der Positionen OB, B x ... zu 
bringen. Insbesondere bei der letzten Position B s liegt es nahe, sie 
durch eine Drehung um den Winkel et im Sinne des Uhrzeigers zu er- 
reichen, statt durch eine Drehung um 2ti — et im entgegengesetzten 
Sinne. Wir können nun auch den Unterschied der Drehungsrichtung 
durch die Worte „positiv" und „negativ" festlegen. Bezeichnen wir die 
zuerst benutzte Drehung, entgegen dem Sinne des Uhrzeigers, als eine 
positive, so wäre die Drehung im Sinne des Uhrzeigers eine negative. 
Der Winkel, um den wir in diesem Sinne drehen müssen, um den 
Radius OA in die Position B 3 überzuführen, ist dann gleich — et. Wir 
haben dementsprechend die Formeln: 

sin(— a) = — sin et und cos (— et) = cos et. 

Im vorhergehenden wurde der Winkel et als Maß einer Drehung 
betrachtet; die Drehung des Radius OA können wir aber beliebig lange 
fortsetzen, den Winkel et beliebig anwachsen lassen. Gehen wir aus 
von der Stellung A ; drehen wir um den Winkel et, so kommen wir zu 
der Stellung OB; drehen wir weiter, so kommt der Radius nach einer 
ganzen Umdrehung, einer Drehung um den Winkel 2%, zurück nach A, 
nach einer weiteren Drehung um et, einer Gesamtdrehung um 2 ti + et, 
wieder nach B\ ebenso wird die Stellung OB nach einer Drehung um 
4 TT + et, Qti + et, ... von neuem erreicht. Die Drehungswinkel n + et, 
3 TT -f- et, Ö7r + et, ... dagegen führen den Radius in die mit OB ent- 
gegengesetzte Stellung B 2 . Aus dieser Bemerkung ergeben sich die 
Gleichungen: 

sin et = sin (2 ti + et) = sin (4 ti + et) = . . . 

cos et = cos (2 ti + et) — cos (4 % + a) = . . . 

— sin et = sin {% + «) = sin (3 ti + «) = .. . 

— cos et = cos (ti + et) — cos (3 % + a) = . . . 

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis einer Kathete 
zu der Hypotenuse gleich dem Sinus des gegenüberliegenden, gleich 
dem Cosinus des anliegenden Winkels; das Verhältnis dieser Kathete 
zu der zweiten gleich der Tangente des gegenüberliegenden Winkels; 
BG ■ AG BG , ,tjv ', 




10 Einleitung § 10 

Der an der Ecke B liegende Winkel des Dreiecks ist gleich \- — «, 
Dem vorhergehenden zufolge ist: 

..(■n \ AG 
sin ( 2 - a ) = ZB = cos a - 

In \ B G 

C0S [2- C/ 'l=ÄB = Sma - 

Bei einem sehr kleinen Winkel a sind die Längen der Linien B ß, 
CA und des Bogens B A in Fig. 1 nicht merklich verschieden. Bei ihm 

sind der Sinus und die Tangente sehr nahe 
gleich seinem Bogenmaße, eine Bemerkung, 
von der wir häufig Gebrauch machen. Zu- 
gleich wird ß sehr nahe gleich A\ d. h. 
der Cosinus eines sehr kleinen Winkels ist nur 
wenig verschieden von Eins. 
Fig. 4. Die Richtigkeit dieser Sätze kann noch 

von einer anderen Seite her bestätigt werden. 
Wenn ein Winkel im Bogenmaß gemessen gleich x ist, so läßt sich der 
Sinus und der Cosinus desselben durch die folgenden Reihen ausdrücken, 
die nach Potenzen von x fortschreiten: 

x 3 , x h 

smx=x - -— + y^j^^ - + • • • 

cosa = l- — + T - ¥ - ri -+... 

Für kleine Werte von x kann man hiernach in der Tat setzen 

sin x = x und cos x = 1 . 

Mit den Potenzreihen für Sinus und Cosinus steht in nahem Zu- 
sammenhang die Potenzreihe 

er x nr nr^ 

■ l + X + 172 + 1.2.3 + 1.2.3.4 + 1.2.3.475 + ' ' ' ' 

Der Wert, den sie für x = 1 annimmt, ist gegeben durch die Reihe; 

14-1-1 L_ 4- - I - I - U 

T T 1.'2 T 1.2,3 T 1.2.3.4 T 1,2.3,4.5 T ' 

Man bezeichnet die hierdurch bestimmte Zahl mit dem Buchstaben e 
und findet 

e= 2,718 

Nun ergibt sich ein sehr merkwürdiger Zusammenhang zwischen dem 
Wert, den die Reihe für ein beliebiges x, und zwischen dem, welchen 
sie für x — 1 besitzt; man findet 

1 4. x 4_ JÜL. j x i — I ü? l = e x 

^^1.2^1.2.3^ 1. 2. 3. 4^1. 2. 3. 4. 5 ^ 

Bezeichnen wir den Wert der links stehenden Reih? mit y, so gilt die 
Gleichung: 

V = e x - 



§12 Einleitung 11 

Mit Beziehung auf diese Gleichung bezeichnet man x als den natür- 
lichen Logarithmus von y\ 

x = log nat?/, oder auch abgekürzt x = \gy. 

Die Zahl e heißt die Basis der natürlichen Logarithmen. Man kann 
aber offenbar jede beliebige Zahl y in der Forin der mit y bezeichneten 
Reihe, oder was dasselbe ist, in der Form e x darstellen; jeder Zahl y 
entspricht in dieser Weise eine andere x, ihr natürlicher Logarithmus. 

§ 11. Längenmessung. Als Längenmaß gebrauchen wir das Meter, m, 
mit seinen dezimalen Unterabteilungen, dem Decimeter, dem, Centimeter, 
cm, Millimeter, mm ; für die Messung sehr kleiner Längen hat man den 
tausendsten Teil des Millimeters mit der Bezeichnung Mikron, fx, ein- 
geführt und das Milliontel Millimeter oder Millimikron, fi/x. Von den 
Vielfachen des Meters dient insbesondere das Kilometer, km, zur Messung 
größerer Entfernungen. 

Bei der Begründung des Metermaßes lag die Absicht vor, daß jede 
Angabe der Entfernung zweier Orte an der Erdoberfläche in Metermaß 
zugleich eine Angabe ihrer Entfernung in Graden, Minuten und Sekunden 
sein sollte; diese Absicht ist aber vereitelt worden durch den zweimaligen 
Wechsel des Winkelmaßes während der französischen Revolution. Erst 
wurde dekretiert, daß der rechte Winkel in 100 Grade, der Grad in 
100 Minuten, die Minute in 100 Sekunden geteilt werden solle; dem- 
entsprechend wurde dann das Kilometer gleich einer solchen Minute, 
d.h. gleich dem 10000 sten Teil des Meridian quadranten, gesetzt. Bald 
aber stellte es sich heraus, daß die dezimale Teilung des Winkels der in 
allen astronomischen und geographischen Werken eingebürgerten Sexa- 
gesimalteilung gegenüber nicht durchgesetzt werden konnte. Das die 
Winkelteilung betreffende Gesetz wurde wieder aufgehoben, das Meter 
aber gleich dem zehnmillionsten Teil des Meridianquadranten gelassen, 
und auf diese Weise der bei der Einführung des Meters verfolgte Zweck 
gänzlich verfehlt. 

Objektiv und ohne Rücksicht auf die im vorhergehenden erwähnte 
Beziehung wird das Meter definiert durch die Entfernung, welche zwei 
auf einem in Paris aufbewahrten Normalstabe gezogene Striche bei der 
Temperatur Null Grad Celsius voneinander besitzen. Die Herstellung, 
Prüfung und Verbreitung von Kopien des Normalmeters für wissen- 
schaftlichen und technischen Gebrauch ist Aufgabe der Eichämter. 

§ 12. Abgeleitete Maße. Nachdem das Meter mit seinen Unter- 
abteilungen als Grundmaß der Länge festgesetzt ist, haben wir nicht 
nötig, für die Messung von Flächen und Räumen besondere neue Grund- 
maße zu wählen; wir leiten sie aus dem Meter ab, indem wir als Maß- 
einheiten für Flächen das Quadratmeter, qm oder in 2 , das Quadrat- 
centimeter, qcm oder cm 2 , das Quadratmillimeter, qmrn oder mm 2 , das 
Ar = 100 qm, das Hektar = 10000 qm, als Maßeinheiten für Raum- 
inhalte das Kubikmeter, cbm oder m 3 , das Kubikcentimeter, ebem oder 



12 Einleitung §13 

cm 3 , das Kubikniillinieter, cbmin oder mm 3 , benutzen. Insbesondere 
dient noch als Hohlmaß für Flüssigkeiten das Kubikdecimeter oder 
Liter = 1 000 cbcm. 

Das Prinzip der abgeleiteten Maße, wie es durch die vorher- 
gehenden Beispiele erläutert wird, spielt in der Physik eine große Rolle. 
In der Tat ist klar, daß Bedeutung und Wert der Maßbestimmungen 
um so sicherer sind, je weniger neue, voneinander unabhängige Grund- 
maße eingeführt werden. 

§ 13. Maßeinheit des Gewichtes. Im metrischen System wurde als 
Einheit des Gewichtes dasjenige genommen, welches ein ccm reinen 
Wassers im Zustande seiner größten Dichtigkeit bei dem Druck der 
Luft besitzt; man bezeichnet diese Einheit als ein Grammgewicht, g-Gew. 
Dementsprechend würde das Milligrammgewicht gleich dem Gewichte 
von 1 cbmm Wasser, das Kilogrammgewicht gleich dem von 1 cbdcm, die 
Tonne gleich dem von 1000 cbdcm Wasser unter den angegebenen Um- 
ständen, d. h. bei einer Temperatur von 4° Celsius, sein. 

Da es nun nicht möglich ist, ein Gewichtsstück herzustellen, das mit 
absoluter Genauigkeit den Ansprüchen der obigen Definition entspricht, 
so ist es richtiger, auch die Gewichtseinheit durch das Gewicht eines 
bestimmten Normalstückes zu definieren. Da man aber bei seiner Her- 
stellung die Bedingungen der früheren Definition mit äußerster Sorgfalt 
zu erfüllen gesucht hat, so ist die vorhandene Abweichung so klein, daß 
sie in der Regel zu vernachlässigen ist. 

Wir werden später sehen, daß es in vieler Beziehung besser ist, das 
Kilogramm nicht als Maßeinheit des Gewichtes, sondern als Einheit der 
Masse zu definieren; doch können wir diesen Punkt erst im Anschluß 
an die Darstellung der dynamischen Prinzipien ausführlicher besprechen. 

Gesetze, die sich auf physikalische Eigenschaften chemisch verschie- 
dener Stoffe beziehen, stellen sich häufig in einfacherer und allgemeinerer 
Form dar, wenn man für jeden Stoff eine besondere Gewichtseinheit 
benützt, das sogenannte Gramm-Molekulargewicht. Es ist dies eine 
Anzahl von Grammgewichten, die numerisch gleich dem Molekulargewichte 
des betreffenden Stoffes ist. Bei Wasserstoff z. B. würde das Gramm- 
molekulargewicht gleich 2 g, bei Sauerstoff gleich 32 g, bei Wasser gleich 
18 g sein. Haben wir eine beliebige Menge eines Stoffes gewogen und 
ein Gewicht von mg gefunden, so erhalten wir die entsprechende An- 
zahl von Grammmolekulargewichten, wenn wir m durch das Molekular- 



m 



gewicht a dividieren. Wir bezeichnen diese Zahl — als die Anzahl der 

(i 

Grammmoleküle, die in der gegebenen Menge des Stoffes enthalten sind. 
Auch die Bedeutung des Grammatomes wird nach dem vorher- 
gehenden nicht zweifelhaft sein. Es ist eine Anzahl- von g-Gewichten, 
die gleich dem Atomgewicht des betreffenden Stoffes ist; 1 g-Atom Wasser- 
stoff ist gleich 1 g-Gewicht Wasserstoff, 1 g-Atom Sauerstoff gleich 16 g- 
Gewichten Sauerstoff. 



14 



Einleitung 



13 



§ 14. Längenmaßstab, Nonius. Ein Längenmaß stab ist entweder 
ein Endmaßstab, der die Längeneinheit zwischen seinen beiden End- 
flächen einschließt, oder ein Strichmaßstab, bei dem die Längeneinheit 
durch zwei in der Nähe der Enden auf der Fläche des Stabes gezogene 
Striche begrenzt wird. Zum Zwecke der praktischen Ausführung von 
Messungen versehen wir den Maßstab mit einer nach Zentimetern oder 
Millimetern fortschreitenden Teilung. Mit einem nach Millimetern geteilten 
Stabe kann man die Länge einer gegebenen Linie unmittelbar bis auf eine 
gewisse ganze Zahl von Millimetern bestimmen; man findet, daß die zu 
messende Linie länger als a mm, aber kürzer als a + 1 mm ist. Den 
Bruchteil eines Millimeters, der zu a noch hinzuzufügen ist, kann man 
schätzen, man kann ihn aber auch messen mit Hilfe eines Instrumentes, 
das in der ganzen messenden Physik eine große Rolle spielt, des Nonius. 
So^ nennen wir einen kleinen geteilten Schieber, der mit dem Maßstab 
verbunden wird, so daß seine Teilstriche denen des Maßstabes gerade 
gegenüber stehen. Die Länge des Nonius machen wir gleich 9 mm (siehe 
die in vergrößertem Maßstabe gezeichnete Fig. 5). Wir teilen ihn in 



10 



so 



15 



10 



Fig. 5. Nonius. 



10 Teile, so daß die Differenz zwischen einem Maßstabteil und einem 
Noniusteil gleich 0-1 mm wird. Stellen wir beispielsweise den Nullpunkt 
des Nonius auf 10 mm, so fällt sein Endstrich auf 19 mm; verschieben 
wir den Nonius um 0-1 mm, so fällt sein erster Teilstrich auf 11 mm, 
verschieben wir ihn um 0-2 mm, so fällt der zweite Strich auf 12 mm, 

verschieben wir allgemein um ~- mm, so fällt der p-te Strich des Nonius 

mit einem Striche der Teilung zusammen. Hieraus ergibt sich für eine 
Längenmessung mit dem Nonius die folgende Eegel. Wir legen den 
Anfangspunkt der zu messenden Linie an den Nullpunkt des Maßstabes 
und schieben den Nullpunkt des Nonius an das Ende der Linie. Wir er- 
halten dann die ganzen Millimeter der zu messenden Länge, wenn wir den 
letzten Teilstrich des Maßstabes ablesen, der von dem Nullpunkt des Nonius 

überschritten ist; wir haben dazu noch ~- mm hinzuzufügen, wenn der 

p-te Strich des Nonius mit einem Striche der Teilung zusammenfällt. 

Es ist einleuchtend, daß das Noniusprinzip einer ganz allgemeinen 

Anwendung fähig ist, Es möge eine nach beliebigen gleichen Intervallen 



14 



Einleitung 



§ 15 



fortschreitende Skale gegeben sein, etwa eine nach halben oder drittel 
Graden fortschreitende Kreisteilung. Wir konstruieren einen in dem 
letzteren Falle natürlich ebenfalls kreisförmigen Nonius, indem wir seine 


















10 
















10 












5 


1.5 


\ 










\ 


























1 






















i 




















5 





10 



Fig. 6. Nonius 



Länge gleich i — 1 Teilen der Skale machen und in i Teile teilen. Die 
Differenz zwischen dem Skalenteil und dem Noniusteil beträgt dann 

— des Skalenteiles, und der Nonius ermög- 

licht eine Messung bis auf den i-ten Bruch- 
teil des Skalenteiles. Um mit einer Kreis- 
teilung, die nach halben öder drittel Graden 
fortschreitet, Winkel bis auf 1 Minute zu 
messen, werden im ersten Fall 30 Noniusteile 
gleich 29 Skalenteilen, im zweiten 20 Nonius- 
teile gleich 19 Skalenteilen zu machen sein. 

Man kann das Verhältnis zwischen dem 
Skalenteil und dem Noniusteil auch in etwas 
anderer Weise gestalten, wie wir an dem Bei- 
spiel eines Nonius erläutern wollen, der ein 
Zehntel des Maßstabteiles, etwa des mm geben 
soll. Wir machen die Länge des Nonius gleich 
11 mm und teilen diese Länge wieder in 10 
gleiche Teile (Fig. 6). Der Noniusteil ist dann 
um 0-1 mm größer als der Maßstabteil. Die 
Regel für die Benützung des Nonius bleibt die- 
selbe wie zuvor, wenn wir die Ziffern am Nonius 
entgegengesetzt laufen lassen, wie am Maßstab. 

§ 15. Kathetometer. In der messenden 
Physik wiederholt sich häufig die Aufgabe, 
Höhenunterschiede gewisser Punkte, z. B. bei 
Flüssigkeitssäulen, zu bestimmen; man hat zu 
diesem Zwecke ein besonderes Instrument kon- 
struiert, das Kathetometer. Dasselbe besteht aus 
einem vertikalen Maßstab, an dem ein mit einem 
Nonius verbundenes Fernrohr verschiebbar ist 
Fig. 7. Kathetometer. (Fig. 7). Die horizontal gestellte Visierlinie 




§16 Einleitung 15 



des Fernrohrs wird erst auf den einen, dann auf den anderen Punkt 
gerichtet; der Höhenunterschied ist dann gleich der Differenz der beiden 
Einstellungen des Nonius. 

§ 16. Zeitmessung. Die Beobachtung von Bewegungserscheinungen 
setzt Zeitmessungen voraus. Wie die Längenmessung auf der Zählung 
von aneinandergereihten, gleich großen Längenabschnitten beruht, so die 
Zeitmessung auf der Zählung von aufeinanderfolgenden gleich großen 
Zeitabschnitten. Es fragt sich nun, wie wir die Gleichheit zweier Zeit- 
abschnitte konstatieren. Sie ist unmittelbar evident, wenn die Zeitab- 
schnitte identisch sind. Wenn zwei Körper ihre Bewegungen im selben 
Momente beginnen und im selben Momente schließen, so sind die hier- 
durch bestimmten Zeiten gleich, ebenso wie zwei Linien gleich sind, 
deren Anfangspunkte und Endpunkte zusammenfallen. Anders verhält 
es sich, wenn die beiden Körper zu verschiedenen Zeiten ihre Be- 
wegungen ausführen; ein direktes Urteil über die Gleichheit oder Un- 
gleichheit der dazu nötigen Zeiten ist dann nicht möglich. Bei der 
Längenmessung tritt der analoge Fall ein, wenn zwei Linien räumlich 
getrennt sind. Um über ihre gleiche oder ungleiche Länge zu ent- 
scheiden, legen wir einen Maßstab erst an die eine, dann an die andere 
an und messen die Linien. Aus der Vergleichung mit der Länge des 
Maßstabes ergibt sich das Verhältnis ihrer eigenen Längen. Diesem 
Verfahren liegt aber die Hypothese zugrunde, daß der Maßstab selbst 
bei der Bewegung seine Länge nicht ändert, eine Hypothese, die ihre 
Rechtfertigung schließlich doch nur darin findet, daß ihre beständige An- 
wendung uns noch nie in einen Widerspruch mit der Erfahrung verwickelt 
hat. Um auf dem Gebiete der Zeitmessung über gleiche oder ungleiche 
Länge verschiedener Zeitabschnitte zu urteilen, bedürfen wir eines Körpers, 
der eine bestimmte Bewegung immer -wieder genau in derselben Weise 
zu wiederholen vermag. Ob irgend ein Körper diese Eigenschaft besitzt, 
können wir nicht wissen; wir können nur vermuten, daß die Umstände, 
unter denen er seine Bewegung wiederholt, immer dieselben seien, daß 
also auch die dazu nötige Zeit die gleiche bleibe. Wir lassen beispiels- 
weise einen Körper aus einer genau bestimmten Höhe auf die Erde 
fallen; wir werden geneigt sein zu der Annahme, daß die Fallzeit die- 
selbe bleibt, so oft die Bewegung wiederholt wird. Diese Annahme be- 
ruht offenbar auf der Voraussetzung, daß die Bewegung vollständig- 
bestimmt sei durch die Fallhöhe. Nun zeigt sich aber, daß die Be- 
wegung auch in etwas beeinflußt wird durch die Reibung der Luft, und 
es erscheint von vornherein nicht so selbstverständlich, daß dieser Ein- 
fluß unter allen Umständen derselbe bleibe. Die Voraussetzung der 
gleichen Fallzeiten hat also in der Tat den Charakter einer Hy]3othese. 
Zu wirklicher Zeitmessung kann aber die Fallbewegung, selbst eine 
vollkommene Gleichmäßigkeit vorausgesetzt, nicht dienen; denn zu diesem 
Behüte ist es nötig, daß die als gleich groß vorausgesetzten Zeitabschnitte 
in ununterbrochener Folge sich aneinanderreihen. Nehmen wir dagegen 



16 



Einleitung 



§17 



einen Körper, der mir unter der Wirkung seiner Trägheit, ohne äußere 
Einwirkung sich bewegt, so können gleiche Wege, die er nacheinander 
durchläuft, eine Reihe gleicher aufeinanderfolgender Zeiten definieren; 
jeder solcher Körper wird also durch seine Bewegung einen Maßstab 
der Zeit liefern können. Ob aber wirklich kein äußerer Einfluß ver- 
ändernd auf seine Bewegung wirkt, bleibt in jedem einzelnen Fall eine 
Hypothese, über deren Zulässigkeit nur die Erfahrung zu entscheiden 
imstande ist. 

§ 17. Sternzeit und mittlere Sonnenzeit. Vor allem geeignet zur 
Messung der Zeit sind die Bewegungen der Erde, zunächst ihre Um- 
drehung um die eigene Achse. Wenn, wie es den Anschein hat, keine 
äußere Kraft auf diese Bewegung einwirkt, so können wir durch die auf- 
einanderfolgenden Umdrehungen gleiche Zeiträume definieren. Die Zeit 
der Umdrehung aber wird für einen beliebigen Beobachtungsort gegeben 
durch die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen eines 
und desselben Fixsterns durch den Meridian, zwei Kulminationen. Man 
bezeichnet diese Zeit als einen Sterntag, der weiter in 24 Stunden zu 
60 Minuten, die Minute zu 60 Sekunden, geteilt wird; l h = 60 min , l min 
== 60 sec . Den Winkelraum von 1 ° durchläuft die Erde bei ihrer Um- 
drehung in 4 min Sternzeit. Der Lauf des bürgerlichen Lebens wird 
nun aber nicht durch die Sterne, sondern durch die Sonne geregelt; 
man hat daher an Stelle der Kulminationen eines Sterns diejenigen der 
Sonne benützt; als Einheit für die Zeitmessung tritt dann an Stelle des 

Sterntages zunächst der sogenannte 
<J4hcfarf wahre Sonnentag, die Zeit zwischen 

zwei aufeinanderfolgenden Kulmi- 
nationen der Sonne. Der wahre 
Sonnentag ist länger als der Stern- 
tag, weil sich die Sonne infolge ihres 
scheinbaren jährlichen Umlaufes 
um die Erde von einem Tag zum 
anderen gegen die Fixsterne ver- 
schiebt in einem der täglichen Be- 
wegung entgegengesetzten Sinne. 
Der wahre Sonnentag ist außerdem 
veränderlich aus doppeltem Grunde; 
einmal, weil die Gech windigkeit, 
mit der die Sonne ihre scheinbare 
jährliche Bahn, die Ekliptik, durch- 
läuft, keine konstante ist, dann aber, 
weil die Ekliptik gegen den Aqua- 
Die tägliche Verschiebung der Sonne 
in der Ekliptik beträgt zur Zeit des Frühlingsäquinoktiums 59-5', zur Zeit 
des längsten Tages 57-3', zur Zeit des Herbstäquinoktiums 58*7', zur 
Zeit des kürzesten Tages 61 «0'. Die Neigung der Bahn gegen den 




Fig. 8. 
tor des Himmelsgewölbes geneigt ist. 



§19 Einleitung 17 

Meridian ist zur Zeit der Äquinoktien gleich 66° 32', zur Zeit des 
längsten und kürzesten Tages gleich 90°. In den Wendepunkten wird 
sich die Sonne von einem Tag zum anderen um den vollen Betrag ihrer 
Verschiebung in der Ekliptik von dem Meridian des ersten Tages ent- 
fernen, in den Äquinoktien wird die Entfernung durch die Neigung der 
Bahn vermindert. Es wird dies deutlich werden durch die Betrachtung 
von Fig. 8, in der A den Frühlingspunkt, B den Punkt des Sommer- 
solstitiums, G den Herbstpunkt darstellt. Beide Ursachen zusammen 
bedingen eine Veränderlichkeit des wahren Sonnentages, die ihn zur 
Zeitmessung unbrauchbar macht. Man hat daher an Stelle der Sonne 
einen fingierten Punkt, die sogenannte mittlere Sonne, gesetzt, der den 
Äquator des Himmels in derselben Zeit vollkommen gleichmäßig durch- 
wandert, in der die Erde ihren jährlichen Umlauf um die Sonne voll- 
zieht. Die Kulminationen dieser mittleren Sonne bestimmen den so- 
genannten mittleren Sonnentag, der die Grundlage unserer bürgerlichen 
Zeitmessung bildet. Der mittlere Sonnentag übertrifft den Sterntag um 
3 min 55-9 see . 

§ 18. Siderisches und tropisches Jahr. Zur Messung größerer Zeit- 
räume benutzen wir als Einheit die Umlaufszeit der Erde um die Sonne. 
Man bestimmt dieselbe durch Beobachtung der Zeitpunkte, in denen das 
Zentrum der Sonne vom Mittelpunkt der Erde aus gesehen wieder in einem 
und demselben Punkte der Ekliptik erscheint; der zwischen zwei solchen 
Punkten enthaltene Zeitraum ist das siderische Jahr. Nun verschiebt sich 
infolge von einer eigentümlichen Bichtungsänderung der Erdachse, der 
Präzession, der Punkt der Frühlings-Tag- und -Nachtgleiche in der 
Ekliptik in einem dem Umlauf der Erde um die Sonne entgegen- 
gesetzten Sinne; dies hat zur Folge, daß in dem siderischen Jahr die 
Tag- und Nachtgleiche von Jahr zu Jahr früher eintritt. Die Tätig- 
keit der Menschen ist aber in einem solchen Maße abhängig von dem 
Wechsel der Jahreszeiten, daß eine Verschiebung derselben gegen die 
Periode des Jahres in der bürgerlichen Zeitrechnung nicht zulässig ist. 
Darin liegt der Grund, daß man an Stelle des siderischen Jahres das 
sogenannte tropische, die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Früh- 
lingsäquinoktien, gesetzt hat. Die Dauer des tropischen Jahres ist nicht 
völlig konstant wegen der ungleichförmigen Geschwindigkeit, mit welcher 
der Frühlingspunkt in der Ekliptik sich verschiebt. Im Mittel beträgt 
die Verschiebung jährlich 50", entsprechend einem Unterschiede zwischen 
dem siderischen und dem mittleren tropischen Jahre von 0-014 Tagen. 
In der Tat umfaßt das siderische Jahr 365-256 Tage, das mittlere tro- 
pische Jahr 365-242 Tage. 

§ 19. Pendeluhren und Chronometer. Ebenso wie die Bewegungen 
der Erde können auch Bewegungen von Körpern an der Oberfläche 
der Erde zur Zeitmessung benutzt werden, wenn sie die Eigenschaft 
haben, stets in derselben Weise ohne Unterbrechung aufeinander zu 
folgen. In der Tat benutzen wir in unseren Pendeluhren die Schwin- 

Riecke, Physik I. Dritte Aufl. 2 



18 Einleitung § 20 

gungen eines Pendels, in den Taschenuhren und Chronometern die 
Schwingungen einer feinen elastischen Feder, der Unruhe, zur Messung 
der Zeit. Alle diese Bewegungen stehen unter dem Einfluß der 
Reibung; die Weite der Schwingungen wird kleiner und kleiner, und 
schließlich hört die Bewegung auf. Um sie dauernd zu erhalten, 
müssen wir dem schwingenden Körper in regelmäßigen Intervallen 
einen Antrieb geben, der den durch die Reibung bedingten Verlust 
wieder ersetzt. Bei den Pendeluhren dient hierzu das ablaufende 
Gewicht. Den Bestandteil der Uhr, der die Verbindung des Pendels 
mit dem Gewicht vermittelt, nennt man die Hemmung. Diese erteilt 
einerseits bei jeder Schwingung dem Pendel einen kleinen Stoß, anderer- 
seits wirkt sie regulierend auf den Ablauf des Gewichtes, so daß dieses 
bei jeder Pendelschwingung um denselben Betrag fällt. Bei den Chrono- 
metern wird die zur Erhaltung der Schwingung nötige Kraft geliefert 
durch eine aufgewundene, allmählich sich entspannende Feder, deren 
Wechselwirkung mit der regulierenden Unruhe, wie bei der Pendeluhr, 
durch eine Hemmung vermittelt wird. Die Zeit, welche wir bei allen 
physikalischen Beobachtungen als Einheit benützen, ist der mittlere 
Sonnentag, beziehungsweise die daraus abgeleiteten Stunden, Minuten 
und Sekunden. Unsere Uhren sind also nach dieser Zeit zu regu- 
lieren. Die einzelnen Sekunden werden bei Sekunden-Uhren durch den 
deutlichen scharfen Schlag markiert, der von Sekunde zu Sekunde durch 
die Hemmung erzeugt wird. 

§ 20. Veränderung des Tages. Wir haben im vorhergehenden zwei 
verschiedene Systeme der Zeitmessung besprochen, von denen das eine 
auf der Umdrehung der Erde um ihre Achse, das andere auf ihrem 
Umlauf um die Sonne beruht. Der Anwendung beider Systeme liegt 
die Voraussetzung zugrunde, daß die Umstände, unter denen jene Be- 
wegungen sich vollziehen, völlig unveränderlich sind. Ein Mittel zur 
Prüfung dieser Voraussetzung liegt eben in der gleichzeitigen Anwendimg 
der beiden Systeme; denn wenn sie nicht richtig ist, so muß ihr Ver- 
hältnis eine allmähliche Veränderung erleiden. Mit Bezug hierauf ist 
es von Interesse, daß wir von vornherein eine Ursache angeben können, 
durch welche die Achsendrehung der Erde allmählich verzögert werden 
muß. Die Anziehung von Sonne und Mond erzeugt in dem die Erde 
bedeckenden Meer eine Flutwelle, welche die Erde in einem ihrer 
Rotation entgegengesetzten Sinne umläuft. Dies muß infolge der Reibung, 
welche das Wasser bei seiner Bewegung erleidet, eine Verzögerung der 
Rotation und damit eine allmähliche Verlängerung des Tages bewirken. 
In der Tat hat man aus Untersuchungen über die Mondbewegung ge- 
schlossen, daß die Dauer eines Sterntages seit 1000 Jahren um 
0-012 Sekunden zugenommen hat. 1 

1 Thomson und Tait, Handbuch der theoretischen Physik. II. Teil. S. 402. — 
Thomson, Mathematical and Physical Papers. Vol. III. Art. XCV. Irregularities of 
the Earth as a Timekeeper. 



§22 



Einleitung 



19 



§ 21. Gradmessung der Temperatur. Die Entwickelimg der Prin- 
zipien und Gesetze, auf denen die Gradmessung der Temperatur beruht, 
ist eine Aufgabe der Wärmelehre. Doch können wir die Einrichtung 
des Quecksilberthermometers, mit dem wir im täglichen Leben Tempe- 
raturen messen, als bekannt voraussetzen. Die Graduierung beruht bei- 
ihm auf der Ausdehnung des Quecksilbers in dem gläsernen Gefäße. 
Die beiden Fundamentalpunkte sind die Temperaturen des schmelzenden 
Eises und des bei einem Barometerstand von 76 cm siedenden Wassers. 
Die Temperatur des ersteren bezeichnen wir als eine solche von 0° Celsius, 
die des letzteren als eine solche von 100° Celsius. Die zwischen den 
Fundamentalpunkten und über sie hinaus liegenden Teilpunkte des 
Thermometers bestimmen andere Temperaturverhältnisse nach Graden 
Celsius. Die unter dem Nullpunkt liegenden werden negativ genommen. 
Bei. gewissen physikalischen Untersuchungen ist es zweckmäßiger, die 
Grade von dem Punkte — 273°, statt von an zu zählen. Die so ge- 
rechneten Temperaturen bezeichnet man als absolute. Zwischen der 
absoluten Temperatur T und der nach der gewöhnlichen Celsiusteilung 
gemessenen t besteht die Beziehung 

T= 273 + t. 

Bei der übrigens kaum noch gebrauchten Gradeinteilung von Röaumur 
wird das Intervall zwischen Nullpunkt und Siedepunkt nicht in 100, 
sondern in 80 gleiche Grade geteilt. In englischen Publikationen findet 
man vielfach Temperaturangaben nach der Skala von Fahrenheit. Bei 
dieser ist der Gefrier- oder Schmelzpunkt mit 32, der Siedepunkt mit 
212 bezeichnet, das Intervall zwischen den beiden Fundamentalpunkten 
somit in 180 gleiche Grade geteilt. Der Nullpunkt der Fahrenheitschen 
Skala entspricht einer Tempe- 
ratur von —17-7° Celsius, der if 
Temperatur einer Kältemi- 
schung aus Kochsalz und Eis. 

§ 22. Graphische Darstel- 
lung. Von der zwischen zusam- 
mengehörigen Beobachtungen 
bestehendenBeziehung gewinnt 
man am leichtesten eine Über- 
sicht durch graphische Dar- 
stellung. Nehmen wir den Fall, 
daß nur zwei veränderliche 
Größen in Betracht kommen, 
wie etwa Druck und Volumen 
der Luft, so tragen wir die 
Werte der einen als Abszis- 
sen x auf einer horizontalen Achse von dem Anfangspunkt O aus ab (Fig. 9); 
in dem Endpunkte jeder Abszisse errichten wir ein Lot, die Ordinate, 

2* 




Fig. 9. 



20 



Einleitung 



§22 



dessen Länge y gleich dem zugehörigen Wert der anderen veränder- 
lichen Größe ist. Wir tragen also in dem angeführten Beispiele auf 
der horizontalen Abszissenachse so viel Längeneinheiten ab, als das Vo- 
lumen der Luft in Kubikzentimetern beträgt; wir machen die zugehörige 
Ordinate gleich so viel Längeneinheiten, als der Druck der Luft 
in Millimetern Quecksilber beträgt. Wir drücken das aus, indem wir 
sagen: wir machen die Abszissen numerisch gleich dem Volumen, die 
Ordinaten numerisch gleich dem Drucke der Luft. Die Endpunkte der 
in dieser Weise gezeichneten Ordinaten verbinden wir durch eine Kurve, 
die dann ein einfaches graphisches Bild von dem Zusammenhange der 
beobachteten Größen x und y gewährt; ist nämlich P irgend ein Punkt 
der Kurve, so brauchen wir durch denselben nur zwei Parallelen PB 
und PA zu der Abszissenachse Ox und zu der durch senkrecht zu ihr 
gezogenen Ordinatenachse Oy zu ziehen; die erste liefert den Wert der 

Ordinate y = AP = OB, die zweite 
den zugehörigen Wert der Abszisse 
x = OA. 

Gehen wir von P über zu einem 
folgenden Punkte P' der Kurve, so 
ist der Zuwachs, den hierbei die 
Abszisse erfährt, gegeben durch PQ', 
der gleichzeitige Zuwachs der Ordi- 
nate durch Q' P'. Bei pyhsikalischen 
Gesetzen handelt es sich nicht selten 
um das Verhältnis jener Zuwüchse, 
unter der speziellen Voraussetzung, 
daß der Punkt P' sehr nahe an P 
gelegen ist (Fig. 10); man bezeichnet 
dann, einem allgemeinen Gebrauche zufolge, den kleinen Zuwachs der 
Abszisse x durch dx, den der Ordinate y durch dy, hat also dx = PQ', 
dy = Q'P'. Wenn aber die Punkte P und P' sehr nahe beieinander 
liegen, so kann man das Dreieck P Q' P' als ein geradliniges betrachten 
und es ist dann 

PQ' dx . SJr r ^ ' 

das Verhältnis der Zuwüchse ist gleich der trigonometrischen Tangente 
des Winkels, unter dem PP' gegen die Abszissenachse geneigt ist; die als 
geradlinig betrachtete Strecke PP' nennt man ein Element der Kurve; 
die Richtung der Kurve an der Stelle P ist gegeben durch die Richtung 
des Elementes PP' . 

Es gibt physikalische Gesetze, durch welche nicht eine unmittel- 
bare Beziehung zwischen zwei meßbaren, veränderlichen Größen x und y 
selbst gegeben wird, sondern nur eine solche zwischen sehr kleinen Zu- 
wüchsen dx und dy, welche beide gleichzeitig erleiden. In solchen Fällen 
gibt die graphische Darstellung immer eine anschauliche Interpretation 




Fig. 10. 



§22 



Einleitung 



21 



des Gesetzes. Denkt man sich die Werte von y als Ordinaten zu 

denen von x als Abszissen aufgetragen, so ist das Verhältnis — - gleich 

der Tangente des Winkels, den die Richtung der Kurve mit der Abszissen- 
achse bildet. Gesetze, die in der genannten Form auftreten, bestimmen 
also nicht die Kurve der Abhängigkeit selbst, sondern nur die Richtungen 
ihrer aufeinanderfolgenden Elemente. Die Kurve selbst kann danach 
gezeichnet werden, wenn noch einer ihrer Punkte, d. h. ein Paar zu- 
sammengehörender Werte von x und y selbst, gegeben ist. 

Wir wollen noch eine andere Aufgabe, die sich gelegentlich an eine 
solche graphische Darstellung knüpft, kurz erwähnen. Es seien Pund U 
(Fig. 11) zwei beliebig entfernte 
Punkte der Kurve, PA und 
UV ihre Ordinaten. Der In- 
halt des Flächenstückes PA V U, 
das zwischen der Abszissen- 
achse, der Kurve und den beiden 
Ordinaten eingeschlossen ist, 
soll berechnet werden. Wir tei- 
len zunächst das Flächenstück 
in schmale Streifen PA AIP', 
P'A'Ä'P", P"A"Ä"P"', . . . 
Jeden einzelnen ersetzen wir 
durch das in ihm liegende 
Rechteck PAA'Q', P'ÄÄ'Q", 
P" A" Ä" Q'", ... Der Inhalt 
jedes Rechtecks ist kleiner als der Inhalt des entsprechenden Streifens, 
aber der Unterschied ist im Verhältnis zu letzterem um so geringer, je 
schmäler wir die Streifen nehmen. 

Es wird also auch die Summe der Rechtecksinhalte 

PA Ä Qf + P' Ä A" Q" + P" A" Ä" Qf" + . . . 

dem Flächeninhalt der Figur PAVU um so näher kommen, je kleiner 
die Breiten der aneinanderliegenden Rechtecke sind. Dies drückt man 
nach einem abkürzenden Sprachgebrauche so aus, daß man sagt: der 
Inhalt der Figur PA VU ist bei unendlich kleiner Breite der Recht- 
ecke gleich der Summe ihrer Inhalte. Setzen wir die Breiten der auf- 
einanderfolgenden Rechtecke 

AÄ = dx, A'A" = dx, Ä'A'" = dx", 

die durch die Ordinaten gegebenen Höhen 

PA = y, P'Ä = y', P"A" = y", 

so ist mit einer beliebig weit zu treibenden Annäherung 

PA Vü = ydx -\-y' dx' + y"dx" + . . . = 2ydx, 

wo J£" das Zeichen für die Summation ist. 




Fig. n. 



22 



Einleitung 



23 



§ 23. Gefälle und Gradient. Es gibt eine Reihe von physikalischen 
Gesetzen, die sich auf gewisse räumliche Änderungen der in Betracht 
kommenden Größen beziehen, auf sogenannte Gefälle oder Gradienten. 
Es scheint zweckmäßig, den einzelnen Anwendungen eine allgemeinere 
Betrachtung über diese Begriffe voranzuschicken. Dabei wollen wir 
uns aber zunächst nicht um eine abstrakte Definition bemühen, sondern 
die Bedeutung jener Begriffe an einzelnen Beispielen erläutern. Ihre 
allgemeine Anwendung wird daraus leicht zu entnehmen sein. 

Wir knüpfen zunächst an die Darstellung eines Geländes durch 
Höhenkurven an. Diese Kurven seien, wie z. B. auf den Karten der 
preußischen Landesaufnahme, in Vertikalabständen von 10 zu 10 m ge- 
zogen; alle Punkte einer bestimmten Kurve liegen in einer und der- 
selben Horizontalebene, zwischen den Punkten zweier aufeinanderfolgen- 
den Kurven besteht ein Höhenunterschied von 10 m. Ziehen wir auf 
der Karte eine Linie, welche die Höhenkurven senkrecht durchschneidet, 
so stellt sie in jedem ihrer Punkte durch ihre Richtung die Richtung 
der steilsten Böschung dar; wir können sie die Fallinie nennen. Die 
Kurven der Fig. 12 wollen wir beispielsweise als solche Höhenkurven 
betrachten. A B sei das zwischen zwei aufeinanderfolgenden Höhenkurven 
liegende Stück der Pallinie. Wenn dieses Stück von einer geraden 
Linie nicht merklich abweicht, nennen wir den Quotienten aus dem 
Höhenunterschiede h der Punkte A und B und aus ihrem durch A B ge- 
messenen horizontalen Abstände das Gefälle des Geländes an der be- 
trachteten Stelle; das Gefälle ist also gleich hjAB, gleich dem auf 
1 m horizontaler Distanz kommenden Höhenunterschiede. Man kann 
nun von dem Punkte A aus in einer beliebigen Richtung eine Linie ziehen, 

760 welche die nächste Höhen- 
kurve in dem Punkte G 
schneidet. Wir bezeichnen 
dann den Quotienten h/A C 
als das Gefälle des Ge- 
7 7ö ländes in der Richtung A C, 
während wir unter Gefälle 
schlechtweg das in der 
Richtung der Fallinie vor- 
handene bezeichnen. 

Ein zweites Beispiel 
bieten die Wetterkar- 
ten, die von den meteoro- 
logischen Zentralstellen 
aus verbreitet und in 
vielen Tageszeitungen ab- 
gedruckt werden. Die auf diesen Karten verzeichneten Kurven, die so- 
genannten Isobaren, verbinden die Punkte gleichen Barometerstandes an der 
Erdoberfläche. Die Kurven (Fig. 12) sind so gezeichnet, daß die Änderung 




§ 23 Einleitung 23 

des Luftdruckes von einer Kurve zur anderen 5 mm beträgt. Zeichnen 
wir eine Linie, welche die Isobaren senkrecht durchschneidet, so findet 
auf ihr die verhältnismäßig stärkste Änderung des Luftdruckes statt. 
Können wir das Stück AB einer solchen Linie, welches zwischen zwei 
aufeinanderfolgenden Isobaren liegt, als geradlinig betrachten, so gibt 
der Bruch b/AB die Änderung des Luftdruckes auf der Längeneinheit 
von A B, den barometrischen Gradienten. Würde die Linie A B zwischen 
den beiden Isobaren noch merklich gekrümmt sein, so müßte man das 
System der Isobaren enger ziehen, bis das zwischen zwei aufeinander- 
folgenden liegende Stück ab von einer Geraden nicht mehr merklich 
abweicht. Wäre dann ß der Unterschied der Barometerstände in den 
Punkten a und b, so wäre der barometrische Gradient bestimmt durch 
den Bruch ß/ab. Spricht man von barometrischen Gradienten schlecht- 
weg, so setzt man immer voraus, daß man sich bei ihrer Bestimmung 
längs einer Linie stärkster Änderung bewege. Man kann aber von A 
aus, ebenso wie bei den Höhenkurven, eine Gerade in beliebiger Richtung 
ziehen; schneidet sie die nächste Isobare in dem Punkte C, so gibt 
der Bruch ß / A den barometrischen Gradienten in der Richtung 
A C; unter ß ist hier der Unterschied der Barometerstände in den 
Punkten A und C verstanden. Es liegt nahe, durch den Punkt A 
zwei ausgezeichnete, zueinander senkrechte Richtungen zu ziehen, die 
eine A x etwa in südnördlicher, die andere A y in ostwestlicher Richtung. 
Sind X und Y die Punkte, in denen die nächstliegende Isobare von jenen 

Linien durchschnitten wird, so sind -£= und -~=> die barometrischen 

AX A Y 

Gradienten in der Richtung Ax und Ay. 

Der Luftdruck nimmt mit der Höhe über dem Meeresspiegel ab; 
wir nehmen einen Punkt P, der in dem Gebiete höchsten Luftdruckes 
liegt, das von der Isobare von 770 mm begrenzt wird. Gehen wir von 
diesem Punkte aus vertikal in die Höhe, so müssen wir auf einen Punkt 
stoßen, in dem der Luftdruck gerade gleich 770 mm wird. Daraus folgt, 
daß das von der Kurve 770 mm begrenzte Gebiet unserer Karte von einer 
Fläche überwölbt wird, in deren Punkten der Luftdruck überall gleich 
770 mm Quecksilber ist. Ebenso wird das von der Isobare 760 mm um- 
grenzte Gebiet von einer Fläche überwölbt, in deren Punkten der Stand 
des Barometers gleich 760 mm ist, usf. In der Atmosphäre erhalten wir 
also Flächen gleichen Druckes, und zwar sind die Flächen höheren Druckes 
überwölbt von den Flächen geringeren Druckes. Die an der Erdober- 
fläche verlaufenden Isobaren sind dann nichts anderes als die Schnitte 
jener Flächen gleichen Druckes durch die Oberfläche der Erde. Nehmen 
wir auf irgend einer der isobarischen Flächen einen Punkt O, so können 
wir durch ihn zunächst eine vertikale Achse Oz ziehen. In der durch 
O gehenden horizontalen Ebene ziehen wir zwei zueinander senkrechte 
Richtungen Ox und Oy, die erste etwa südnördlich, die zweite ost- 
westlich (Fig. 13). Wir betrachten dann eine isobarische Fläche F, 



24 



Einleitung 



§23 



welche die durch gehende so eng umschließt, daß das in den räum- 
lichen Winkel Oxy% fallende Stück als eben betrachtet werden kann. 
Der Druckunterschied der beiden Flächen sei ß. Wir erhalten dann 

für die betrachtete räumliche Ver- 
teilung des Druckes drei Gradienten 
nach den zueinander senkrechten Rich- 
tungen x, Oy, 0%. Sind A, B, C die 
Punkte, in denen die isobarische Fläche 
F die Achsen Ox, Oy, 0% durchschneidet, 
so sind die Gradienten des Luftdruckes 
nach diesen Achsen gegeben durch: 

ß ~ _ ß 




9* = -' 



OA 



9y = 



9 Z = 



Fig. 13. 



OB ' Jz 00 
Von den verschiedenen Richtungen, 
die wir durch den Punkt O ziehen 
können, ist besonders ausgezeichnet die 
der Senkrechten OD auf der Fläche F. 
Der Gradient nach dieser Normalen ist: 

ß 



9 = 



OD 



Zwischen den Gradienten g und g , g , g besteht eine sehr wich- 



tige Beziehung, die wir zum Schlüsse noch ableiten wollen, 
merken zunächst, daß 



Wir be- 



OD 



= cos <£: A D, 



OD 



OD 



= cos -£ B D, -^— = cos <£ C D 

u o 



OA r- ' OB 

ist. Somit ergibt sich durch Multiplikation der obenstehenden Gleichungen 
mit OD: 

g x X OD = ßcos^cÄOD, g y x OD = ßcos^zBOD, 
g z X OD = ß cos $z COD. 
Nun ist aber einem bekannten geometrischen Satze zufolge: 
cos 2 ^A OD + m^^zBOD + cos 2 ^z C D = 1. 



Somit: 
oder 



(9 a * + 9J + 9.*) D* = ß*, 



9 2 + 9y + 9 Z 2 = 9 2 . 



Das Quadrat des Gradienten nach der Normalen ist gleich 
der Summe der Quadrate der drei Gradienten nach drei zu- 
einander senkrechten Richtungen Ox, Oy, 0%. 

Ganz ähnliche Betrachtungen, wie wir sie mit Bezug auf den 
Luftdruck durchgeführt haben, lassen sich anstellen bei der Temperatur. 
Der einfachste Fall wird hier realisiert durch die Außenwände 
eines Zimmers. Wir können annehmen, daß die innere Fläche einer 
solchen Wand überall dieselbe Temperatur, die des Zimmers, habe. 



§23 



Einleitung 



25 



Ebenso wird dann die äußere Fläche eine konstante Temperatur, die 
der äußeren Luft, besitzen. Beide Flächen sind isotherme Flächen, 
aber die Temperatur der inneren Fläche wird wenigstens im Winter 
höher sein, als die der äußeren. Wir können ferner annehmen, daß 
in der Wand selbst die Temperatur von innen nach außen stetig ab- 
nehme, so daß alle Punkte dieselbe Temperatur besitzen, welche in einer 
zu den Grenzflächen parallelen Ebene liegen. Die isothermen Flächen 
wären also in diesem Falle parallele Ebenen, die erste davon gegeben 
durch die innere, die letzte durch die äußere Fläche der Hauswand. 
Als Temperaturgefälle bezeichnet man in diesem Falle die Abnahme 
der Temperatur auf der Längeneinheit gemessen in der Richtung der 
Normalen der isothermen Ebenen. 



160 TiO '20 WO 80 60 hO 10 20 W 60 80 100 120 VtO ICO WO 




16V 1W 120 100 



(,0 W 20 20 W 60 SO 100 120 1W 160 ISO 



Fig. 14. 



Ein komplizierteres Beispiel bietet die Verteilung der mittleren Jahres- 
temperatur an der Oberfläche der Erde. Man verschafft sich ein anschauliches 
Bild von dieser Verteilung, indem man die Orte gleicher mittlerer Jahres- 
temperatur durch Kurven miteinander verbindet, die sogenannten Jahres- 
isothermen. Ein Bild davon gibt Fig. 14. Die Isothermen sind dabei 
so gezeichnet, daß die Temperatur vom Äquator nach dem Pol hin von 
Isotherme zu Isotherme um 5° abnimmt. Man kann nun an dieses 
Bild dieselben Überlegungen knüpfen, die wir bei der Betrachtung der 
Isobaren angestellt haben. Die Temperatur nimmt mit der Höhe über 
der Erdoberfläche ab. Wir nehmen einen Punkt P der Erdoberfläche 
innerhalb eines Gebietes, an dessen Grenzen die mittlere Jahrestemperatur 
überall dieselbe ist. Ein solches Gebiet, welches nur eine einzige in 
sich zurücklaufende Randkurve besitzt, liegt im zentralen Afrika, es ist 



26 Einleitung § 23 

umschlossen von der Jahresisotherme 30° Celsius. Im allgemeinen 
werden diese Gebiete zwei in sich zurücklaufende Ränder besitzen, eine 
Isotherme der nördlichen und eine Isotherme der südlichen Halbkugel mit 
der gleichen mittleren Jahrestemperatur. Welches aber auch die Form 
des Gebietes und welches die Lage von P in ihm sein mag, immer 
werden wir von Punkt P aus vertikal in die Höhe gehend Punkte 
linden, deren Temperatur gleich der Temperatur der Randkurven des 
Gebietes ist. Wir konstruieren so isotherme Flächen; über einfach be- 
randeten Gebieten werden sich diese Flächen glockenartig erheben; 
Zonen, welche durch eine nördliche und die ihr entsprechende südliche 
Isotherme begrenzt sind, werden von den zu ihnen gehörenden iso- 
thermen Flächen gewölbartig überdeckt. Ganz ebenso wie beim Luft- 
drucke können wir aus dieser graphischen Darstellung der Temperatur- 
verteilung die Begriffe des Temperaturgefälles oder der Temperatur- 
gradienten entwickeln. Von Gefälle werden wir vorzugsweise dann 
sprechen, wenn wir die Abnahme der Temperatur längs einer Linie ins 
Auge fassen, die von der Oberfläche der Erde entspringend die auf- 
einanderfolgenden isothermen Flächen senkrecht durchschneidet. Den 
Ausdruck Temperaturgradient benützen wir, wenn es sich um die 
Änderung der Temperatur auf der Längeneinheit einer Linie handelt, 
die wir von einem Punkte der Atmosphäre aus in einer beliebigen 
Richtung ziehen. Zwischen den Gradienten nach drei zueinander senk- 
rechten Richtungen Ox, Oy, 0% und dem Temperaturgefälle in dem 
eben definierten Sinne besteht wieder die für den Luftdruck entwickelte 
Beziehung. 

Man übersieht, daß die im vorhergehenden aufgestellten Begriffe 
des Gefälles oder des Gradienten auf jede Eigenschaft eines Körpers 
angewandt werden können, die sich mit dem Orte in stetiger Weise 
ändert, so daß von den Flächen, in welchen die Eigenschaft je einen 
konstanten, aber von der einen zur anderen abnehmenden oder zunehmen- 
den Wert besitzt, jede von der folgenden umhüllt wird. Die Worte 
„Gefälle" und „Gradient" bedeuten im wesentlichen dasselbe. Wie schon 
erwähnt, benützen wir das Wort Gefälle dann, wenn es sich um die Ab- 
nahme einer Eigenschaft in einer Richtung handelt, die normal zu einer 
Fläche konstanter Eigenschaft steht. Das Wort Gradient verwenden wir, 
wenn es sich um die Änderung der Eigenschaft in einer beliebigen 
Richtung, insbesondere um die Änderungen nach drei zueinander senk- 
rechten Achsen handelt. 

Mit Bezug auf die physikalischen Eigenschaften selbst, deren räum- 
liche Verteilung in der geschilderten Weise dargestellt wird, möge noch 
eine Bemerkung hinzugefügt werden. Druck und Temperatur der Luft 
werden durch die alleinige Angabe einer Zahl vollkommen bestimmt. 
Wir bezeichnen Eigenschaften dieser Art als ekalare; die Zahlen, 
durch welche ihr Maß bestimmt wird, also den Barometerstand, den 
Temperaturgrad als einen Skalar. Es gibt andere physikalische Eigen- 



§ 23 Einleitung 27 

Schäften, die durch die Angabe einer Maßzahl keineswegs völlig be- 
stimmt sind, sondern bei welchen zur völligen Fixierung noch die An- 
gabe einer einseitigen Richtung erforderlich ist. Eine solche Eigenschaft 
ist z. B. die Geschwindigkeit, welche an den verschiedenen Stellen eines 
stationären Luftstromes herrscht. Größen dieser Art nennt man 
vektorielle. Von einer Geschwindigkeit erhalten wir ein anschauliches 
Bild, wenn wir von einem gegebenen Punkte aus eine Gerade in der 
Richtung der Bewegung ziehen und auf dieser ein dem absoluten Be- 
trage der Geschwindigkeit proportionales Stück abtragen. Eine Größe, 
zu deren völligen Bestimmung die Angabe einer Maßzahl und die An- 
gabe einer einseitigen Richtung notwendig ist, nennen wir einen Vektor. 
Zu den Vektoren gehören auch die von uns eingeführten Gradienten. 
Auf einen Vektor, dessen Richtung im Raum von Punkt zu Punkt 
dieselbe bleibt, der also nur seine Größe ändert, können wir dieselben 
Betrachtungen anwenden, wie auf einen Skalar. Z. B. wird der Gradient 
des Luftdruckes nach einer von den Richtungen x, Oy, 0% räumlichen 
Änderungen unterworfen sein, die sich mit Hilfe neuer Gradienten ebenso 
darstellen lassen, wie die räumlichen Veränderungen des Luftdruckes selbst. 



ERSTER TEIL. 

MECHANIK. MOLEKÜLARERSCHEINUNGEN. 

AKUSTIK. 



ERSTES BUCH. 

MECHANIK STARRER KÖRPER. 

Erster Abschnitt. 
Statik starrer Körper. 

Erstes Kapitel, Tom Gleichgewicht der Kräfte. 

§ 24. Das Senkel. Wir beginnen unsere Untersuchungen mit einer 
möglichst einfachen Ruheerscheinung, der Erscheinung des Senkels; eines 
an einem Faden aufgehängten Gewichtes. Den Faden betrachten 
wir als unausdehnsam; alle Orte, an die das Gewicht kommen kann, 
liegen dann auf einer um den Aufhängepunkt beschriebenen Kugel. 
Wenn das Senkel in Ruhe ist, so ist der Faden vertikal; jenes nimmt 
die tiefste Stelle ein, an die es überhaupt gelangen kann. Schneiden 
wir den Faden durch, so fällt das Senkel, ebenso wie ein von der Hand 
erst gehaltenes und dann losgelassenes Gewicht. Im letzteren Falle üben 
wir anfangs mit der Hand einen Zug aus, der das Fallen des Gewichtes 
hindert, im ersteren entsteht in dem Faden eine Spannung, welche dem 
Senkelgewichte das Gleichgewicht hält. Die Ruhe des Senkels wird so- 
mit durch Wirkung und Gegenwirkung bedingt; unter der alleinigen 
Wirkung des Gewichtes würde das Senkel fallen; könnten wir das 
Senkel für einen Augenblick gewichtlos machen, so würde es durch die 



§26 



Vom Gleichgewicht der Kräfte 



29 



Spannung des Fadens nach oben gerissen. Beide Wirkungen heben sich 
auf, wenn sie entgegengesetzt gleich sind. Die Fadenspannung ist da- 
nach gleich dem angehängten Gewichte, sie kann also durch eine be- 
stimmte Zahl von g-Gewichten gemessen werden. 

Gleichheit von Aktion und Reaktion. Wir sehen, daß es sich 
bei der einfachen Erscheinung des Senkels um zwei verschiedene Wir- 
kungen handelt; einmal wirkt das Gewicht auf den Faden, indem es ihn 
spannt, andererseits wirkt der Faden auf das Gewicht, indem er seinen 
Fall hindert. Es ist dies ein erstes Beispiel eines ganz allgemeinen 
physikalischen Prinzipes. So oft ein Körper A einen anderen B drückt 
oder zieht, wird A in umgekehrter Eichtung ebenso stark von B ge- 
drückt oder gezogen. 

§ 25. Die Rolle. Eine kreisförmige Scheibe sei um eine durch 
ihren Mittelpunkt senkrecht hindurchgehende Achse vollkommen leicht 
drehbar, ihre Peripherie genau und glatt abgedreht. Stellen wir eine 
solche Rolle mit ihrer Achse horizontal und legen wir über sie einen 
Faden, so ist Gleichgewicht vorhan- 
den, wenn die beiden frei herab- 
hängenden Enden durch gleiche Ge- 
wichte gespannt sind. Nehmen wir 
das eine Gewicht ab, so fällt das 
andere zu Boden. Wir können aber 
Gleichgewicht wieder herstellen, in- 
dem wir das nicht belastete Ende 
des Fadens mit der Hand nach unten 
ziehen. Ebenso wie in dem vor- 
hergehenden Falle werden dann die 
Spannungen in den zu beiden Seiten 
der Rolle befindlichen Fäden gleich 
sein; der Zug, den unsere Hand aus- 
übt, gleich dem an dem anderen Faden- 
ende hängenden Gewichte. Dabei 
können wir den Faden ebensogut <$en>ie/it, 
in schiefer Richtung ziehen, wie in 

vertikaler; Gleichgewicht wird immer nur dann vorhanden sein, wenn der 
Faden in seiner ganzen Ausdehnung gleiche Spannung besitzt, wenn der 
beliebig gerichtete Zug der Hand gleich ist dem angehängten Gewichte 
(Fig. 15). 

§ 26. Kräfte gemessen durch Gewichte. Wenn in dem vorhergehen- 
den Beispiele nur das Gegengewicht oder nur der Zug der Hand auf ein 
gewichtlos gedachtes Senkel wirkte, so würde Bewegung eintreten. Nun 
gibt es außerordentlich mannigfache Verhältnisse, unter denen ein Körper 
in Bewegung gerät oder zu einer schon vorhandenen Bewegung eine neue 
erhält; in all diesen Fällen sprechen wir von einer Kraft als der Ursache der 
Bewegung. Mit Rücksicht hierauf können wir den in dem vorhergehenden 




Fig. 15. 



30 Mechanik starrer Körper § 27 

Paragraphen gemachten Bemerkungen eine viel allgemeinere Bedeutung 
geben. Wenn wir das eine Ende des über eine Rolle geschlungenen 
Fadens mit einem Gewicht belasten, so können wir auf das andere eine 
Kraft von ganz beliebigem Ursprung, beliebiger Richtung wirken lassen. 

Wenn Gleichgewicht vorhan- 

C Y~\ ^ en ^ so w i r ^ der Faden in 

\ < ^ >? v y~~ ~7" \ seiner ganzen Ausdehnung die- 

selbe Spannung besitzen, also 
die Kraft gleich dem ange- 
hängten Gewicht sein. Wir 
können so immer ein Gewicht 
A finden, das einer gegebenen 

' ' *v Ia T»n4-4- nc I r\i r*\~t -* n4- ttta I /■» I-* An n 11 /> It 




Kraft gleich ist, welches auch 

Fig. 16. | ( ihr Ursprung, welches ihre 

Richtung sein mag; d.h. wir 
können jede Kraft messen durch ein Gewicht; wir können unser g-Gewicht 
als allgemeine Maßeinheit der Kräfte benützen. Um dies noch durch 
ein Beispiel zu erläutern, befestigen wir an dem einen Ende des Fadens 
eine Eisenkugel. Nähern wir sie der Polfläche eines horizontal liegenden 
Magnetstabes, so wird sie von dieser angezogen. Wir führen den Faden 
in der Richtung des Stabes horizontal fort (Fig. 16), legen ihn über eine 
Rolle und belasten ihn am anderen Ende so, daß die Kugel bei der ge- 
ringsten Mehrbelastung von dem Pole abreißt. Die magnetische An- 
ziehung ist dann gemessen durch das Gewicht, welches eben noch ge- 
tragen wird. 

Den Betrachtungen von § 24 können wir im Anschluß an das Vor- 
hergehende einen allgemeinen Ausdruck geben in dem Satze: 

Wenn auf einen Körper, genauer auf einen und denselben 
Punkt des Körpers, zwei Kräfte wirken, so bleibt er in Ruhe, 
wenn die Kräfte gleich und entgegengesetzt sind. 

§ 27. Graphische Darstellung von Kräften. Bei der Fadenspannung 
liegt der Gedanke unmittelbar nahe, ihre Verhältnisse durch eine Zeich- 
nung anschaulich zu machen. Wir haben ihren Angriffspunkt, den Be- 
festigungspunkt des Fadens, ihre Richtung, übereinstimmend mit der des 
Fadens. Man kann aber auch ihre Größe in der Zeichnung zum Aus- 
druck bringen, wenn man die Länge der die Richtung darstellenden 
Linie der Spannung numerisch gleich, d. h. gleich ebensoviel Längen- 
einheiten macht, als die Zahl der g-Gewichte beträgt, durch welche die 
Spannung gemessen wird. Diese graphische Darstellung ist aber in der- 
selben Weise auf jede beliebige Kraft anwendbar, denn jede hat einen 
bestimmten Angriffspunkt, eine bestimmte Richtung, eine durch eine be- 
stimmte Zahl von g-Gewichten gegebene Größe. Wir werden gelegentlich 
Kräfte und die sie darstellenden Strecken durch denselben Buchstaben 
bezeichnen; sofern dieser die Strecke bezeichnet, versehen wir ihn mit 
einem Striche, während er ohne Strich die Anzahl der g-Gewichte an- 



§28 



Vom Gleichgewicht der Kräfte 



31 



gibt, die das Maß der Kraft bilden. Pfeile an den die Kräfte repräsen- 
tierenden Linien geben die Kichtung an, in der sie wirken. 

§ 28. Der Satz vom Parallelogramm der 
Kräfte. Wenn zwei Kräfte P und Q, d. h. Kräfte* 
die beziehungsweise gleich P und Q g-Gewichten 
sind, in einem und demselben Punkte eines Körpers 
angreifen, so lassen sie sich in ihrer Wirkung er- 
fahrungsgemäß durch eine einzige Kraft ersetzen, a 
die man ihre Resultante nennt. Die sie repräsen- 
tierende Strecke wird durch eine einfache geo- 
metrische Konstruktion gegeben. Wir ziehen die 
P und Q repräsentierenden Linien OA und OB 
(Fig. 17) und ergänzen sie zu einem Parallelo- 
gramm; die Diagonale OD ist dann die graphische 
Darstellung der resultierenden Kraft. 

Zur experimentellen Prüfung des Satzes benützen wir drei mitein- 
ander verknüpfte Senkelfäden (Fig. 18), von denen der eine vertikal 
herabhängt, während die beiden anderen nach rechts und links über 
Rollen geführt sind. Die an den Enden angehängten Gewichte seien 
P, Q und R. Gleichgewicht ist vorhanden, wenn die Resultante von P 
und Q gleich und 





entgegengesetzt 
ist mit R. Stellen 
wir also die Kräfte 

graphisch dar 
durch die Linien 
OA, OB und C, 
so muß die Dia- 
gonale OD des aus 
A und B kon- 
strui ertenP ar all e - 
logrammes gleich LJ 

und entgegen- Q 
gesetzt sein mit - 
C. Daß dies in 
der Tat der Fall 
ist, läßt sich in dem 
folgenden speziel- 
len Falle leicht 
nachweisen. Wir 
spannen den verti- 
kal herabhängen- 
den Faden durch 

50 g-Gewichte, die beiden nach oben über die Rollen laufenden mit 40 
und 30 g-Gewichten. Zunächst zeigt sich, daß das Gleichgewicht ein ganz 



yl c 



R 
Fig. 18. 



32 



Mechanik starrer Körper 



§30 



bestimmtes ist; denn so oft wir die Senkel aus ihrer Ruhelage heraus- 
bringen, kehren sie nach einigen Schwankungen immer wieder in die- 
selbe Lage zurück. Nun ergibt sich weiter, daß der Winkel, den die 
beiden schief nach oben gehenden Fäden miteinander bilden, ein 
rechter ist. Das Dreieck OAD ist somit ein rechtwinkliges; die Diagonale 
D des Parallelogramms ist gleich 50 Längeneinheiten, wenn O A gleich 
40 und OB gleich 30. Die Diagonale des aus den Repräsentanten der 
Kräfte P und konstruierten Parallelogramms ist also in der Tat 
numerisch gleich der Kraft R. Daß ihre Richtung der von 7? entgegen- 
gesetzt, also vertikal ist, ergibt sich, wenn wir beachten, daß die nach 
oben gehenden Fäden in einer vertikalen Ebene liegen, und wenn wir 
die Linien OA und OB mit der Neigung gegen die Yerkale zeichnen, 
wie sie tatsächlich bei den Versuchen beobachtet wird. 

Die von den Fäden gebildeten Winkel ändern sich natürlich, sobald 
die Verhältnisse der angehängten G-ewichte andere werden, sobald etwa 
an den mittleren, vertikal herabhängenden Faden ein Gewicht von anderer 
Größe gehängt wird. Daraus ergibt sich, daß unsere einfache Vorrich- 
tung benutzt werden kann, um über die Gleichheit oder Ungleichheit 
von Gewichten zu entscheiden, sie ist das erste Beispiel einer Wage. 
§ 29. Gleichgewicht von Kräften in einem Punkte. Die in dem vor- 
hergehenden Paragraphen benützte Ein- 
richtung bringt uns zugleich die Lösung 
einer anderen Frage, die von selb- 
ständigem Interesse ist. Wir sehen, 
daß drei in einem Punkt angreifende 
Kräfte P, Q, R im Gleichgewicht sind, 
wenn die sie repräsentierenden Strecken 
durch Parallelverschiebung zu einem 
geschlossenenDreieck(O^I), Fig. 18) sich 
zusammenfügen lassen. Die Regel läßt 
sich ausdehnen auf den Fall beliebig 
vieler Kräfte, die einen gemeinsamen 
Angriffspunkt haben; sie sind im Gleich- 
gewicht, wenn sie durch Parallelver- 
legung zu einem geschlossenen Polygone 
sich zusammenfügen lassen. Bleibt der 
polygonale Zug offen, so stellt die 
offene Seite Größe und Richtung der 
zum Gleichgewichte fehlenden Kraft dar ; 
im umgekehrtem Sinne somit auch die 
Resultante der sämtlichen gegebenen 
Kräfte. Dies wird durch Fig. 19 an- 





Fig. 19. 



schaulich gemacht. 



§ 30. Verlegung des Angriffspunktes einer Kraft. Auf einen Körper 
wirken in den Punkten A und B (Fig. 20) zwei Kräfte, die einander 



§32 



Vom Gleichgewicht der Kräfte 



33 



gleich und entgegengesetzt sind. Der Körper ist im Gleichgewicht, und 
dieses wird der Erfahrung zufolge nicht geändert, wenn wir den An- 
griffspunkt der einen oder anderen Kraft auf der Linie AB verlegen, 




Fig. 20. 

etwa nach Ä oder B' . Daraus ergibt sich, daß man den Angriffspunkt 
einer auf einen starren Körper wirkenden Kraft in ihrer Richtung be- 
liebig verlegen kann, ohne in ihrer Wirkung etwas zu ändern. 

§ 31. Gleichgewicht von drei Kräften an einem starren Körper. 
Wenn in einem Punkt eines starren Körpers drei Kräfte P, Q und R 
angreifen, so wird ihr Gleichgewicht durch die in 
§ 28 gegebene Regel bestimmt. Verlegen wir die 
Angriffspunkte in den Richtungen der Kräfte nach 
A, B und C (Fig. 21), so kann dadurch das Gleich- 
gewicht nicht gestört werden. Umgekehrt er- 
gibt sich hieraus der Satz: Ein starrer Körper 
ist unter der Wirkung dreier Kräfte im 
Gleichgewicht/wennihreRichtungendurch 
einen Punkt gehen, und wenn ihre geome- 
trischen Repräsentanten durch Parallel- 
verschiebung zueinem geschlossenenDrei- 
eck sich zusammenfügen lassen. Die Rich- 
tigkeit des Satzes kann man leicht mit der in 
§ 28 benützten Einrichtung }:>räfen, wenn man 
die drei Senkelfäden nicht direkt miteinander 
verknüpft, sondern an dem Umfang einer leichten 
Pappscheibe von beliebiger Gestalt befestigt. 

§ 32. Zerlegung einer Kraft in Komponenten. 
gegebene Kräfte zu einer Resultante vereinigen 
auch eine gegebene Kraft in zwei von beliebig gegebenen Richtungen 
zerlegen, die man dann ihre Komponenten nennt. Wir wollen dies 
durch ein Beispiel erläutern. Es seien A C und B G (Fig. 22) zwei 
in einer Vertikalebene liegende starre aber gewichtlose Stäbe, ihre End- 
punkte A und B seien in Gelenken befestigt, in G seien sie verbunden, 
und es sei dort ein Gewicht angehängt; die in den Stäben ent- 
stehende Spannung und Pressung soll bestimmt werden. Wir machen 
zu diesem Zweck die Linie CD, durch die das Gewicht graphisch dar- 
gestellt wird, zu der Diagonale eines Parallelogramms, dessen Seiten in 
die Richtungen AG und BC fallen; dann ist die Seite CE die geo- 
metrische Darstellung des auf A G wirkenden Zuges, G F repräsentiert 

Riecke, Physik I. Dritte Aufl. 3 




Fig. 21. 

Ebenso wie man zwei 
kann, so kann man 



34 



Mechanik starrer Körper 



§33 



den auf CB ausgeübten Druck. Die Konstruktion des Parallelogramms 
kann man ersetzen durch die Konstruktion eines Dreiecks C D' E', dessen 

eine Seite CD' die in C wirkende 
Last repräsentiert, während C E' 
und D E' den Richtungen der beiden 
Stäbe parallel sind. Die Längen 
von C E' und D' E' repräsentieren 
dann den auf A G und B C wirken- 
den Zug und Druck. 

§33. Gleichgewicht eines Stab- 
systems. Die letzte Wendung, die 
wir der graphischen Bestimmung 
der auf den Träger wirkenden 
Kräfte gegeben haben, ist beson- 
ders wichtig, weil sie eine bequeme 
Anwendung auf sogenannte Stab- 
systeme gestattet, wie wir sie bei 
der Konstruktion von Dachstühlen, 
Brücken, Krahnen benützen. Wir 
beschränken uns auf einen Fall 
von möglichster Einfachheit; in 
Fis 23a bedeutet die Linie AB 
einen dritten Stab, so daß also das Dreieck ABC einen aus drei ver- 
bundenen Stäben bestehenden Rahmen darstellt. 





5 

-o — 



H 




Fig. 23 b. 



Wir benützen diesen 

als Träger, indem wir das 

Dreieck mit vertikaler 

Ebene in B auf einen 

festen Pfeiler aufsetzen; 

in G hängen wir die Last 

R an. Damit der Träger 

nicht umkippt, lassen wir 

in A einen horizontalen 

Zug H von außen her 
Fig. 23 a. . *? n _ , .. 

wirken; der Pieüer übt 

auf den Punkt B einen Druck T aus, der 

durch die Linie T dargestellt sein möge. 

Unsere Aufgabe ist es nun, die Kräfte R 

und T, sowie die Spannungen und Drucke 

zu bestimmen, durch welche die einzelnen 

Stäbe des Rahmens in Anspruch genommen 

werden. Von dem eigenen Gewichte der Stäbe 




sehen wir ebenso wie in dem vorhergehenden Paragraphen ab, um die 
Betrachtung nicht zu sehr zu komplizieren. 

Vorweg läßt sich die Richtung des Druckes T bestimmen; der 
Träger ABC kann bei der festen Verbindung seiner Teile als ein ein- 



§ 33 Vom Gleichgewicht der Kräfte 35 

ziger starrer Körper betrachtet werden; R, H und T sind äußere Kräfte, 
die auf ihn wirken; nach § 31 können sie nur im Gleichgewicht sein, 
wenn ihre Richtungen durch einen Punkt gehen. Suchen wir also den 
Schnittpunkt der durch C gehenden vertikalen, der durch A gehenden 
horizontalen Linie, so muß die den Pfeilerdruck repräsentierende Linie 
T gleichfalls durch gehen. Die Größe der gesuchten Kräfte ergibt 
sich durch eine wiederholte Anwendung der in dem vorhergehenden 
Paragraphen gegebenen Konstruktion. Wir beginnen mit der Bestimmung 
der in dem Eckpunkte G wirkenden Spannungen oder Drucke. Zuerst 
ziehen wir (Fig. 23 b) die Linie ß a oder R, durch welche die Last R 
graphisch dargestellt wird. Durch ß ziehen wir eine Parallele ß Q zu 
A C, durch a die Parallele a Q. zu B G. Ebenso wie in § 32 stellt dann 
ßQ. die Spannung in AG, cc £2 den Druck in B C dar. 

Wir gehen über zu dem Gleichgewicht des Punktes A. Durch £2 ziehen 
wir eine Parallele Qy zu AB, durch ß eine Horizontale, parallel der 
Richtung des in A angebrachten Zuges H. Es ist dann y ß oder H die 
geometrische Darstellung jenes Zuges, Qy die des Druckes, durch den der 
Stab A B in Anspruch genommen wird. Ziehen wir endlich noch die 
Linie a y, so enthält das Dreieck u y Q. die Bedingungen für das Gleich- 
gewicht der auf den Eckpunkt B des Rahmens wirkenden Kräfte; 
i2a stellt ja den in B C, Qy den in AB herrschenden Druck dar; 
die dritte Seite des Dreieckes ay oder T repräsentiert also den äußeren 
von dem Pfeiler herrührenden Druck T, der nötig ist, um das Gleich- 
gewicht herzustellen. Seine Richtung ist doppelt bestimmt, denn sie ist 
ja schon in der Eig. 23 a durch die Linie B gegeben. Sache einer 
kleinen geometrischen Untersuchung ist es, zu zeigen, daß die beiden 
die Richtung bestimmenden Linien B und et y parallel sind. Daß die 
äußeren auf den Rahmen wirkenden Kräfte R, H und T auch für sich 
genommen im Gleichgewicht sind, zeigt der Anblick unserer Figuren; 
nach Fig. 23 a gehen ihre Richtungen durch einen Punkt, nach Fig. 23 b 
bilden sie ein geschlossenes Dreieck. 

Wenn wir die Figuren 23, a und b, betrachten, so bemerken wir eine 
sehr eigentümliche Beziehung zwischen ihnen. Jede besteht aus sechs Linien; 
jeder Linie der einen Figur entspricht eine ihr parallele der anderen, in 
jeder Figur gehen je drei Linien durch einen Punkt und je drei um- 
schließen ein Dreieck; aber drei Linien, die in der einen Figur durch 
einen Punkt gehen, entsprechen in der anderen drei parallele, die ein Drei- 
eck umschließen, und umgekehrt. Man nennt solche Figuren reziproke. 
Die Aufgabe, die in einem Stabsystem, einem Rahmen oder Gitterwerke 
herrschenden Spannungen durch Zeichnung zu bestimmen, bildet den Gegen- 
stand eines besonderen Zweiges der Mechanik der graphischen Statik. Die 
Betrachtung reziproker Figuren spielt dabei eine fundamentale Rolle. 1 



1 Maxwell, On reeiprocal Figures and Diagrams of Forces. The scientific 
Papers. Vol. I. p. 514. 

3* 



36 



Mechanik starrer Körper 



§35 



§ 34. Brückenkonstruktionen. Den horizontalen Zug H, den wir 

nötig haben, um den Träger in Fig. 23 a im Gleichgewichte zu halten, 
können wir dadurch erhalten, daß wir mit A eine kurze horizontale 
Stange SA verbinden, die in ihrem Ende S festgehalten wird. Die Be- 
festigung von S wird überflüssig, wenn auf der anderen Seite der durch 
S gezogenen Vertikallinie S V (Fig. 24) ein zweiter Träger Ä C B' an- 
gebracht wird, der mit dem ersten in bezug auf die Vertikale 5 V sym- 
metrisch ist und an seinem Endpunkt C ebenso belastet wird wie der 
erste. Die horizontale Verbindungsstange AA' wird dann von beiden 
Seiten her gespannt; ihre Spannung wirkt ebenso wie die bisher ein- 
geführte äußere Kraft H. Wir haben so einen Doppelträger konstruiert, 
der auf beiden Seiten gleich belastet ist. Die Spannungen und Drucke in 
den einzelnen Teilen sind dieselben wie bei dem einfachen Träger des § 33. 
Wir stellen nun einen solchen Doppelträger zwischen zwei halbe 
ATB und A' /"" ß', bei denen die oberen Ecken A und A' durch die 
äußeren horizontalen Züge H versichert sind. . Die Lücken CT und CT 
überbrücken wir durch, zwei schwere Balken, die sich in den Punkten 




Fig. 24. Schema der Forthbrücke. 

C und r, C und /" auf die Träger legen. Wir haben dann im wesent- 
lichen das Konstruktionsschema der über die Mündung des Forth in 
Schottland gebauten 1 x / 2 km langen Brücke. Nur sind bei dieser auch, 
die äußeren Träger zu Doppelträgern ergänzt; der ganze Raum ist also 
mit Hilfe dreier Träger von der Form BCAA' G' B' überspannt. Die freie 
Länge zwischen den Pfeilern, BB, B' B' beträgt dabei 520 m, die horizontale 
Länge der Rahmen A CB und A' G'B' mehr als das Anderthalbfache von der 
Höhe eines Kölner Domturmes. Das Gewicht der Verbindungsglieder 
CT und CT verteilt sich gleichmäßig auf die beiden Auf legepunkte ; 
die auf die Enden der einzelnen Träger wirkenden vertikalen Kräfte R 
sind also gleich der Hälfte jenes Gewichtes. Hätten wir nur mit diesen 
Kräften R zu tun, so würden die Spannungen und Drucke durch die 
Konstruktion von § 33 sich bestimmen. Bei der wirklichen Brücke 
spielen außerdem die Eigengewichte der Stäbe eine wesentliche Rolle, ihre 
Berücksichtigung liegt außer dem unserer Darstellung gezogenen Rahmen. 
§ 35. Das Hebelgesetz. Das Hebelgesetz ist eines von den wenigen 
physikalischen Gesetzen, die schon den Alten bekannt waren. Archimedes 
betrachtet eine Stange, die in ihrer Mitte unterstützt ist und in horizon- 
taler Stellung im Gleichgewichte sich befindet. Wenn auf ihren beiden 



36 



Vom Gleichgewicht der Kräfte 



37 




Fig. 25. 



Seiten Gewichte angehängt werden, so bleibt die Stange im Gleichgewicht, 
sobald die Gewichte sich umgekehrt verhalten wie ihre Entfernungen vom 
Unterstützungspunkt. Eine allgemeine Fassung wurde dem Hebelprinzip 
zuerst von Lionaedo da Vinci gegeben. Wir betrachten den Hebel (Fig. 25) 
als einen gewichtlosen Körper, der um eine horizontale Achse D drehbar 
ist, und auf den in den Punkten A und B zwei zur Achse senkrechte Kräfte 
wirken, die durch die Linien P und Q dargestellt sind. Von B aus fällen wir 
auf P und Q die Senkrechten BE und BF, die wir als die Hebelarme 
bezeichnen. Gleichgewicht ist 
vorhanden, wenn die beiden 
Kräfte den Hebel in entgegen- 
gesetztem Sinne zu drehen 
suchen, und wenn die Pro- 
dukte aus den Kräften und 
den zugehörigen Hebelarmen 
einander gleich sind: P x DE 
= Q x B F. Diese Produkte 
sind die zuerst von Lionaedo 
betrachteten statischen 

Momente oder Drehungsmomente der Kräfte. In dieser Form kann 
der Hebelsatz sehr leicht verallgemeinert werden. Es mögen beliebig viele 
gegen die Achse senkrechte Kräfte auf den Körper wirken. Gleichgewicht 
ist vorhanden, wenn die Summe der in dem einen Sinne wirken- 
den statischen Momente gleich ist der Summe der entgegen- 
gesetzten. Besteht der Hebel aus einem geraden Stabe, der um seine Mitte 
drehbar ist, und auf den zwei Kräfte wirken, die zu ihm senkrecht stehen, 
so kommen wir auf den von Aechimedes gefundenen Satz zurück. 

Wenn die Eichtungen der Kräfte P und Q sich schneiden, so kann 
man das Hebelgesetz unmittelbar auf den Satz vom Parallelogramm der 
Kräfte reduzieren. Auch in dem 
von Aechimedes betrachteten Falle 
gelingt dies, wenn man zunächst 
zu den gegebenen parallelen Kräften 
in A und B noch zwei entgegen- 
gesetzt gleiche hinzufügt, deren Rich- 
tung in die des Hebels fällt. 

§ 36. Der Mittelpunkt paralleler 
Kräfte. Nach dem Satze vom Paral- 
lelogramm können wir zwei Kräfte 
zu einer Resultanten t ereinigen, 
wenn ihre Richtungen sich schneiden. 
Die Konstruktion versagt, wenn 

die Richtungen der Kräfte parallel sind. In diesem Falle beruht die 
Konstruktion der Resultante auf einer Anwendung des Hebelgesetzes. 

Wir betrachten einen geradlinigen Hebel A B (Fig. 26) mit dem 




Fig. 26. 



38 Mechanik starrer Körper § 37 

Drehungspunkte D, auf den zwei parallele Kräfte P und Q wirken, 
Zeichnen wir die Hebelarme DE und DF, so ist die Bedingung für 
das Gleichgewicht: 

P:Q = DF:DE= DB:DA. 

Aber diese Gleichung enthält offenbar nicht alles, was zum Gleichgewicht 
des Hebels notwendig ist. Ihre Erfüllung sorgt nur dafür, daß die 
Hebelstange AB nicht um D gedreht wird. Außerdem muß der Punkt D 
unterstützt sein, sonst würde der Hebel zu Boden gerissen werden; wir 
müssen den Punkt D mit einer Kraft nach oben ziehen, die gleich der 
Summe der Parallelkräfte, gleich P + Q, und ihnen entgegengesetzt ge- 
richtet ist. Ist die Hebelstange mit einer horizontalen Achse verbunden, 
die in einem festen Lager sich drehen kann, so ist P + Q der Druck, 
den der Hebel auf das Lager ausübt, der Druck, durch den umgekehrt 
das Lager die Achse des Hebels trägt, Eine vollständige Darstellung der 
Kräfte, die am Hebel im Gleichgewicht stehen, haben wir erst, wenn wir 
in D die Linie R' = P + Q parallel mit P und Q nach oben hin ziehen. 
Wir können nun das Verhältnis auch so auffassen, daß am Hebel die 
auf D wirkende Kraft R=P + Q kompensiert wird durch die in A und B 
wirkenden Kräfte P und Q, so daß weder Verschiebung noch Drehung 
eintritt. Dasselbe wird erreicht, wenn man die Kräfte P und Q weg- 
läßt und in D eine Kraft R = P + Q hinzufügt, die mit R' gleich, aber 
entgegengesetzt gerichtet ist. Diese Kraft R ist dann nichts anderes, 
als die Resultante von P und Q. 

Wir haben im vorhergehenden die Kräfte P und Q auf eine Hebel- 
stange AB wirken lassen. Wir können an ihre Stelle einen beliebigen 
Körper setzen, ohne daß in unseren Überlegungen etwas geändert wird. 
Somit kommen wir zu dem folgenden Resultat: Wenn auf zwei Punkte 
A und B eines Körpers die parallelen Kräfte P und Q wirken, 
so vereinigen sie sich zu einer Resultante R — P + Q von der- 
selben Richtung. Ihr Angriffspunkt D, oder allgemeiner aus- 
gedrückt, der Punkt, in dem sie die Linie AB schneidet, liegt so, daß 
die Abschnitte AD und BD sich umgekehrt verhalten wie die 
Kräfte P und Q. Der Punkt D hat danach die sehr wichtige Eigen- 
schaft, daß er von der Neigung der Parallelkräfte gegen die Verbindungs- 
linie ihrer Angriffspunkte unabhängig ist, nur abhängig von dem Ver- 
hältnis ihrer Größen. Man nennt diesen Angriffspunkt der Resultante 
den Mittelpunkt der Parallelkräfte. Er teilt die Linie, welche die 
Angriffspunkte der Parallelkräfte verbindet, im umgekehrten Verhältnis 
der anliegenden Kräfte. 

§ 37. Das Kräftepaar. Aus den vorhergehenden Betrachtungen 
wird man den Schluß ziehen, daß im allgemeinen auch entgegengesetzt 
parallele Kräfte durch eine Resultante zu ersetzen sind, z. B. die in A 
und D wirkenden Kräfte P und R durch die in B wirkende Q. Wenn 
aber die entgegengesetzt parallelen Kräfte gleich groß sind, wie in Fig. 27, 
so ist dies nicht mehr möglich. Zwei solche Kräfte bilden ein mecha- 



§37 



Vom Gleichgewicht der Kräfte 



39 



irisches Element von durchaus selbständiger, eigenartiger Bedeutung. 
Man bezeichnet zwei entgegengesetzt parallele gleiche Kräfte 
als ein Kräftepaar. Seine Wirkung reduziert sich auf ein reines 
statisches Moment. 

Dem Satze von § 30 entsprechend können wir die Angriffspunkte 
der beiden Kräfte eines Kräftepaares in der Richtung der Kräfte 
beliebig verschieben, ohne daß in der Wirkung etwas geändert 
wird. Man kann auf diese Weise leicht erreichen, daß die Verbin- 
dungslinie ab der Angriffspunkte zu der Eichtung der Kräfte senk- 
recht steht, wie das in Fig. 27 b gezeichnet ist. Der Körper, auf welchen 
das Kräftepaar wirkt, sei drehbar um eine Achse, welche durch den 
Mittelpunkt c von a b senkrecht zu der Ebene des Kräftepaares hindurch- 
geht. Das von dem Kräftepaar ausgeübte Drehungsmoment ist dann 
gleich Pxca + Pxeb = Px ab. Man wird sich leicht davon über- 
zeugen, daß das Drehungsmoment des Kräftepaares um eine beliebige 
andere zu seiner Ebene senkrechte Achse denselben Wert hat. Die Wirkung 




A 




Fig. 27 b. 



Fig. 28. 



bleibt auch dann die gleiche, wenn wir das Kräftepaar und damit die das 
Paar repräsentierende Figur P, acb, P parallel mit sich selbst nach 
irgend einer anderen Stelle des Körpers verlegen. 

Die Einführung des Kräftepaares als eines besonderen mechanischen 
Elementes ist von großem Nutzen bei der Lösung der Aufgabe, die 
Wirkung von Kräften zu bestimmen, welche in beliebiger Zahl, mit be- 
liebigen Angriffspunkten und in beliebigen Richtungen auf einen starren 
Körper einwirken. Eine Untersuchung von wesentlich geometrischem 
Charakter führt zu dem Satze, daß die Wirkung jener Kräfte stets er- 
setzt werden kann durch eine einzelne Kraft R, und durch ein Kräfte- 
paar, Px ab, dessen Ebene zu der Einzelkraft senkrecht steht. Die 
geometrische Konstruktion führt zunächst auf einen bestimmten Punkt 
im Innern des Körpers als Angriffspunkt der Einzelkraft. Ziehen wir 
durch diesen Punkt die Richtung der Einzelkraft, so kann ihr Angriffs- 
punkt auf der so bestimmten Linie noch beliebig verschoben werden. 
Den Mittelpunkt c des Kräftepaares P x ab, dessen Ebene zu der Kraft 
R senkrecht steht, kann man nach der vorhergehenden Bemerkung durch 



40 



Mechanik starrer Körper 



§40 



Parallelverscliiebung in den Angriffspunkt der Einzelkraft bringen. Die 
Wirkung beliebiger Kräfte auf einen starren Körper läßt sich also 
immer reduzieren auf das Bild von Fig. 28. 

§ 38. Der Schwerpunkt. Wir haben in § 36 gelernt, zwei parallele 
Kräfte zu einer Resultanten zu vereinigen. Durch sukzessive Anwendung 
derselben Konstruktion ist es möglich, auch beliebig viele parallele Kräfte 
durch eine Resultante zu ersetzen, die gleich der Summe der Einzel- 
kräfte und ihnen parallel ist. Die Konstruktion führt zu einem be- 
stimmten Punkt, in dem die Resultante angreift, dem Mittelpunkt der 
parallelen Kräfte*, wie bei zweien, so ist auch bei beliebig vielen Parallel- 
kräften die Lage dieses geometrisch bestimmten Punktes nur abhängig 
von dem Verhältnis ihrer Größen, nicht von ihrer Richtung. 

Diese Bemerkungen finden Anwendung auf die Schwere. Wenn wir 
einen Körper in Gedanken in irgend einer Weise in kleine Stücke zer- 
legen, so kommt jedem ein gewisses Gewicht zu, das durch eine vertikale 
Linie von entsprechender Länge dargestellt wird. Die ganze Wirkung 
der Schwere ist gleich der Resultante aus all jenen parallelen Gewichten. 
Ihren Angriffspunkt nennen wir den Schwerpunkt; in ihm können wir 
uns alle einzelnen Parallelkräfte, d. h. das ganze Gewicht des Körpers 
vereinigt denken. Der allgemeinen Eigenschaft des Mittelpunktes paral- 
leler Kräfte zufolge ist die Lage des Schwerpunktes von der besonderen 
Stellung des Körpers unabhängig. 

§ 39. Gleichgewicht eines drehbaren schweren Körpers. Ein Körper 
(Fig. 29) sei drehbar um eine horizontale Achse D; sein Gewicht 

können wir uns vereinigt denken in dem Schwer- 
punkte S; es wird durch eine von S ausgehende 
vertikale Linie G repräsentiert. Gleichgewicht ist 
vorhanden, wenn der Hebelarm von G verschwindet, 
d. h. wenn der Schwerpunkt vertikal über oder 
unter der Drehungsachse liegt, wenn er die höchste 
oder tiefste von den Stellen einnimmt, die er bei 
der vorhandenen Beweglichkeit überhaupt errei- 
chen kann. Im ersten Falle ist das Gleichgewicht 
ein labiles, d. h. es geht bei der geringsten Stö- 
rung verloren, im zweiten ist das Gleichgewicht 
stabil, d. h. es stellt sich nach jeder Störung von 
selbst wieder her. Geht die Drehungsachse gerade 
durch den Schwerpunkt hindurch, so ist der Körper in jeder Stellung 
im Gleichgewicht, dieses ist ein indifferentes. 

§ 40. Die Hebelwage. Eine wichtige Anwendung finden die in den 
vorhergehenden Paragraphen besprochenen Sätze in der Lehre von der 
Hebelwage. Diese besteht im wesentlichen aus einem zweiarmigen Hebel, 
dem Wagbalken, der um eine horizontale Achse drehbar ist und an 
seinen Enden die zur Aufnahme der Gewichte dienenden Wagschalen 
trägt. Wenn wir die letzteren abhängen, so soll der Balken für sich 




Fig. 29. 



40 



Vom Gleichgewicht der Kräfte 



41 



in horizontaler Stellung in stabilem Gleichgewichte sich befinden. Dies 
wird der Fall sein, wenn der Balken symmetrisch ist zu einer durch 
seine Achse und seinen Schwerpunkt gehenden Ebene, und wenn sein 
Schwerpunkt unter der Drehungsachse liegt. Es soll ferner die horizon- 
tale Gleichgewichtsstellung des Wagbalkens nicht geändert werden, wenn 
man beiderseits die Wagschalen anhängt. Dies ist erreicht, wenn die 
Schalen gleiche Gewichte besitzen, und wenn die Punkte, in denen sie 
am Wagebalken hängen, gleich weit von der Achse entfernt sind, wenn 
die Wage gleicharmig ist. Unter diesen Umständen wird das Gleich- 
gewicht auch nicht gestört, wenn wir zu beiden Seiten gleiche Gewichte 
auf die Wagschalen setzen. Wenn wir aber auf der einen Seite ein 
kleines Übergewicht hinzufügen, so neigt sich der Balken nach dieser 
Seite. Je größer die Neigung bei ei lern gegebenen Übergewicht ist, um 
so kleinere Gewichtsdifferenzen können wir mit der Wage beobachten, um 




D 

■Xc- 



s 





Fig. 30 a. 



Fig. 30 b. 



so größer ist ihre Empfindlichkeit. Wir gehen nun über zu der Entwicke- 
lung der Bedingungen, von denen diese Empfindlichkeit der Wage abhängt. 
Schematisch können wir die Wage darstellen durch eine gerade 
Linie (Fig. 30a), deren Endpunkte A und B die Anhängepunkte der 
Schalen bezeichnen. Die Drehungsachse D muß nach dem Vorhergehen- 
den gleich weit von A und B entfernt sein, liegt also auf dem in C 
errichteten Mittellote von A B. In der Buhelage steht der Wagbalken 
A B horizontal, und der Schwerpunkt S liegt vertikal unter der Drehungs- 
achse in der Verlängerung von D G. Wir legen zuerst auf die Wag- 
schalen zwei gleich große Gewichte, der Wagbalken bleibt horizontal; 
sodann legen wir auf die in A hängende Schale noch ein kleines 
Übergewicht p, so daß diese Schale sinkt. Wir wollen nun untersuchen, 
wovon die durch das Übergewicht p hervorgebrachte Neigung des Wag- 
balkens abhängt, und zu diesem Zweck die Bedingung des Gleichgewichts 
aufsuchen. Auf den Wagbalken (Fig. 30 b) wirkt sein Gewicht G, das 
wir in dem Schwerpunkte S konzentriert denken können; ferner in.4und_B 
die gleichen aufgelegten Gewichte zusammen mit den Gewichten der 
Schalen; dies gibt für A und B zwei gleiche Kräfte P, die wir nach 
§ 36 zu einer Resultanten 2P vereinigen können, deren Angriffspunkt 



42 Mechanik starrer Körper § 40 

in G liegt. Nun sehen wir, daß das von dem Übergewicht p ausgeübte 
Drehungsmoment den entgegengesetzt wirkenden Momenten der Kräfte 
2 P und G das Gleichgewicht halten muß. Hiernach ist die dem Über- 
gewichte zugemutete Leistung um so größer, je größer die Belastung der 
Wagschalen ist. In demselben Maße wird die durch das Übergewicht 
erzeugte Neigung kleiner. Es würde sich so eine stetige Verminderung 
der Empfindlichkeit mit der Belastung ergeben. Dieser Nachteil läßt 
sich in einfachster Weise dadurch vermeiden, daß wir den Drehungs- 
punkt D zusammenfallen lassen mit dem Angriffspunkt G der Eesul- 
tante 2 P. Dann fällt die Wirkung dieser letzteren ganz weg, das 
Übergewicht p hat nur noch dem Wagbalkengewicht G das Gleichgewicht 
zu halten, und es wird so nicht bloß die Unabhängigkeit von der Be- 
lastung, sondern auch eine sehr wesentliche Vergrößerung der Empfind- 
lichkeit erreicht. Als die fundamentalste von den Bedingungen, denen 

man bei der Konstruktion einer guten 
^^jr Wage zu genügen hat, werden wir 
y j)^^. -~*-~^" demnach zu betrachten haben, daß 

I '^SßZ^^^F die Drehungsachse der Wage in einer 

4 f— — ' V und derselben Ebene mit den Auf- 

hängepunkten der Schalen, und zwar 
in ihrer Mitte, gelegen sei. 

Setzen wir voraus, daß bei der 
mechanischen Herstellung des Bal- 
kens dieser Bedingung genügt sei, 
so vereinfacht sich das Schema der 
g * ' Wage und der auf sie wirkenden 

Kräfte wesentlich. Der Drehungs- 
punkt D liegt in der Mitte von AB (Fig. 31), die einzigen wirksamen Kräfte 
sind p und G. Bezeichnen wir durch DE den Hebelarm des Übergewichtes, 
durch D F den des Wagbalkengewi chtes, so ist Gleichgewicht vorhan- 

den > wenn pxDE=GxDF. 

Den Ausschlagswinkel, den Winkel, um den sich der Wagbalken gedreht 

hat, bezeichnen wir durch a\ da es sich bei der Wage immer nur um 

kleine Drehungen handelt, so können wir nach § 10 D F = D S X a 

setzen und erhalten _ _ 

DE 

a ~ v X Ö^TDS' 
Benutzen wir als Einheit des Gewichtes das mg-Gewicht und ver- 
stehen wir unter Empfindlichkeit den Ausschlag &., welcher der Zulage 
von 1 mg-Gewicht entspricht, so ergibt sich für die Empfindlichkeit der 
Ausdruck D -g 

^ = GxDS' 
Bei kleinen Ausschlägen weicht entsprechend einer in § 10 ge- 
machten Bemerkung DE nicht merklich ab von der Länge des Wag- 
armes. Wir haben dann den Satz: Die Empfindlichkeit einer 



§ 41 Die einfachen Maschinen u. das Prinzip der virtuellen Verschiebungen 43 

Wage ist gleich der Länge des Wagarmes, dividiert durch die 
Entfernung des Schwerpunktes von der Drehungsachse und 
dividiert durch das Gewicht des Wagbalkens. 

Vorausgesetzt, daß die Drehungsachse in derselben Ebene mit den 
Auf hängepunkten der Schalen und in ihrer Mitte liegt, werden wir den 
Schwerpunkt dem Drehungspunkt möglichst nahe rücken und bei ge- 
gebener Länge den Wagbalken möglichst leicht zu machen suchen. 

Wir haben im vorhergehenden eine Kraft nicht berücksichtigt, die 
außer den Gewichten noch auf die Wage wirkt; es ist dies die zwischen 
der Drehungsachse und ihrem Lager vorhandene Reibung. Da die Wir- 
kungen der Eeibung veränderlicher Natur und nicht durch genaue Ge- 
setze bestimmt sind, so kann man sie bei der Theorie der Wage nicht 
so in Rechnung ziehen, wie die Gewichte; es bleibt nichts anderes übrig, 
als sie auf einen so geringen Betrag zu reduzieren, daß sie neben den 
Gewichten vernachlässigt werden können. Dies geschieht dadurch, daß 
man als Achse der Wage die scharfe, geradlinige Kante eines Stahlprismas, 
als Lager eine eben geschliffene Platte aus Stahl oder Stein benützt. 
Auch die Wagschalen werden über zwei an den Enden des Wagbalkens 
befestigte Stahlprismen mit Hilfe ebener stählener Platten oder zylindrisch 
ausgedrehter Bügel gehängt. Man hat also in Wirklichkeit nicht mit 
Auf hängepunkten der Wagschalen zu tun, sondern mit Schneiden. Diese 
müssen auf das vollkommenste der Drehungsachse der Wage parallel ge- 
macht werden; denn sonst würde eine geringe Verschiebung, welche der 
Aufhängebügel der Wagschale erleidet, eine Veränderung in der Länge 
des Hebelarmes bewirken. 



Zweites Kapitel. Die einfachen Maschinen und das Prinzip der 

yirtuellen Verschiebungen. 

§ 41. Die schiefe Ebene. Im Hebel besitzen wir einen Apparat, 
mit Hilfe dessen wir einer großen Last durch eine kleinere Kraft das 
Gleichgewicht halten können. Wir werden in den folgenden Paragraphen 
eine Reihe von Einrichtungen beschreiben, die, demselben Zwecke 
dienend, gewöhnlich als einfache Maschinen bezeichnet werden. 

Wenn auf eine horizontale Platte eine Last gelegt wird, so wird 
sie im Gleichgewicht gehalten durch den von der Platte ausgeübten 
vertikalen Gegendruck. Sobald die Platte geneigt wird, sucht ein Teil 
des Gewichtes den Körper auf der, durch ihre Oberfläche dargestellten, 
schiefen Ebene herabzuziehen; dieser Teil wächst mit der Neigung der 
schiefen Ebene, bis er bei vertikaler Stellung der Platte gleich dem 
ganzen Gewichte des Körpers wird. Um die Kraft, die den Fall des 
Körpers längs der schiefen Ebene herbeizuführen sucht, zu finden, zer- 
legen wir das Körpergewicht G in eine zu der schiefen Ebene parallele 
Komponente P und eine zu ihr senkrechte N (Fig. 32a). Die erstere 
gibt die gesuchte Kraft, die zweite den Druck des Körpers gegen die 



44 



Mechanik starrer Körper 



41 



schiefe Ebene. Soll der Körper auf der schiefen Ebene in Kühe bleiben, 
so muß der Komponente P durch eine äußere Kraft das Gleichgewicht 
gehalten werden. Bis zu einem gewissen Grade genügt hierzu schon die 
zwischen der schiefen Ebene und dem Körper vorhandene gleitende Reibung. 
Bei der praktischen Anwendung der schiefen Ebene stellt sich das 
Problem häufig so, daß der Körper durch eine horizontal wirkende 
Kraft H am Heruntergleiten verhindert werden soll. Dies wird der Fall 
sein, wenn die Resultante aus H und G zu der schiefen Ebene senk- 





recht steht. Ist in Fig. 32b S der Schwerpunkt des Körpers, SA = G 
die geometrische Darstellung des Gewichtes, SAC ein rechtwinkliges 
Dreieck, dessen Hypotenuse SC zu der schiefen Ebene senkrecht steht, 
dessen zweite Kathete A G horizontal ist, so repräsentiert AG = H die 
gesuchte Horizontalkraft, S G = T den Druck gegen die schiefe Ebene. 
Für die zur Erhaltung des Gleichgewichtes erforderliche Kraft gilt die 



Beziehung 



h = Gx 



AC 
AS' 



sie ist gleich dem Gewichte multipliziert mit dem Gefälle der schiefen 
Ebene. Je kleiner die Tangente des Winkels, den die schiefe Ebene 
mit einer horizontalen bildet, um so kleiner ist H. 

In dieser Form findet der Satz von der schiefen Ebene Anwendung 
bei der Schraube. Wenn eine Schraubenspindel mit vertikaler Achse 
in ihrer Mutter beweglich ist, so wird sie durch ihr Gewicht oder durch 
eine in vertikaler Richtung wirkende Kraft längs der Windungen der 
Mutter verschoben, also gleichzeitig gedreht. Wir können die Ver- 
schiebung hindern durch horizontale Kräfte, die wir auf den Umfang der 
Spindel in tangentialer Richtung wirken lassen. Es verhält sich dann 
die Gesamtheit der horizontalen Kräfte zu der Vertikalkraft, wie die 
Höhe des Schraubenganges zu dem Umfang der Schraube. Bei der 
Schraubenpresse (Fig. 33) rührt die Vertikalkraft von der Rückwirkung 
des gepreßten Körpers her. Die horizontalen Gegenkräfte wirken nicht 
unmittelbar auf den Umfang der Schraube; sie werden mit Hilfe eines 
horizontalen gleicharmigen Hebels erzeugt, der auf die Schraubenspindel 
aufgesetzt und durch ein horizontales Kräftepaar gedreht wird. 



§ 43 Die einfachen Maschinen u. das Prinzip der virtuellen Verschiebungen 45 



§ 42. Das Wellrad. Das Wellrad (Fig. 34) besteht aus zwei Sollen 
von verschiedenem Halbmesser und gemeinschaftlicher Achse ; die größere 
bezeichnen wir als Rad, die kleinere als Welle. An dem Umfang der 





Fig. 33. Schraubenpresse. 



Fig. 34. Wellrad. 







Rollen sind zwei Seile befestigt, und so um sie geschlungen, daß ihre 
Enden nach entgegengesetzten Seiten hin herabhängen. Trägt das um die 
Welle geschlungene Seil eine Last L, 
das von dem Rade herabhängende 
ein Gewicht P, so ist nach dem 
Hebelprinzip Gleichgewicht vorhanden, 
wenn Last und Gewicht sich umge- 
kehrt verhalten wie die Halbmesser 
von Welle und von Rad. 

§ 43. Der Flaschenzug. In seiner 
einfachsten Gestalt besteht der Fla- 
schenzug aus einer geraden Anzahl 
von Rollen, die zur Hälfte fest, zur 
Hälfte beweglich sind. Die festen Rol- 
len seien an der Unterseite eines hori- 
zontalen Trägers so angebracht, daß 
ihre Flächen in derselben vertikalen, 
ihre Achsen in derselben horizontalen 
Ebene liegen (Fig. 35). An dem glei- 
chen Träger befestigen wir ein Seil, 
führen dasselbe abwärts und schlin- 
gen es um die erste lose Rolle, dann 
zurück über die erste der festen Rollen, wieder nach unten um die zweite 
der losen usw. Die Flächen der losen Rollen bringen wir gleichfalls 
in eine vertikale, ihre Achsen in eine horizontale Ebene und vereinigen 



P 



Fig. 35. Flaschenzug. 



46 



Mechanik starrer Körper 



44 



sie nun zu einer sogenannten Flasche, indem wir ihre Achsen in einen 
gemeinsamen Metallrahmen einlassen. An die Fläche hängen wir die 
Last L, während wir an dem über die letzte feste Bolle frei herab- 
hängenden Seil ein Gewicht oder eine Kraft P wirken lassen. Die in 
dem Seil herrschende Spannung ist in all seinen Teilen gleich der letzteren 
Kraft. Haben wir beispielsweise 6 Bollen, so wirkt auf die Last nach 
oben der Zug der 6 zwischen der losen und der festen Flasche hin- und 
hergehenden Seilstücke, im ganzen ein Zug gleich dem Sechsfachen der 
Seilspannung. Gleichgewicht ist vorhanden, wenn die Last ebensogroß, 
also gleich dem Sechsfachen der am freien Ende des Seiles wirkenden 
Kraft ist. Allgemein ist bei einem Flaschenzuge von der beschriebenen 
Art im Falle des Gleichgewichts die Last gleich der Kraft multipliziert 
mit der Gesamtzahl der Bollen. 

§ 44. Räderwerke. Bäderwerke bestehen im allgemeinen aus einer 
Beihe paralleler Achsen, von denen jede zwei am Umfange gezähnte Bäder 
trägt; von diesen hat das eine, das G etriebe, einen kleinen, das andere 
das Bad, einen größeren Halbmesser. In das Getriebe greifen die Zähne 

des vorhergehenden Bades ein; das 
Bad treibt das Getriebe, oder um- 
gekehrt das Getriebe das Bad. Wir 
beschränken uns vorerst auf ein 
System von nur zwei Achsen, mit 
einem Zahnrad und einem Getriebe 
(Fig. 36). Um die Welle des Bades 
schlingen wir ein Seil und hängen 
an dieses die Last L; der Halbmesser 
der Welle sei l, der Halbmesser 
des mit der Welle verbundenen Zahn- 
rades R- der Halbmesser des auf 
der zweiten Achse befindlichen Ge- 
triebes r. Mit der Achse des letzteren 
sei außerdem eine Kurbel von der Länge k verbunden. Die Kraft K, 
mit der wir senkrecht gegen die Kurbel drücken müssen, um der Last L 
das Gleichgewicht zu halten, ergibt sich aus der folgenden Betrachtung. 
Die Welle mit dem Zahnrad repräsentiert einen, das Getriebe mit der 
Kurbel einen zweiten Hebel. Auf die Welle wirkt das statische Moment 
der Last L-l, auf das Getriebe das Moment der an der Kurbel wirkenden 
Kraft K-k. Nun werden aber durch Kraft und Last die sich eben be- 
rührenden Zähne von Bad und Getriebe gegeneinander gepreßt, und es 
wirkt daher auf die beiden Hebel noch die in der Berühungsfläche auf- 
tretende Druckkraft P. Das statische Moment des auf den Zahn des 
Bades wirkenden Druckes ist P-R, das Moment des auf den Zahn des 
Getriebes wirkenden Druckes ist P-r\ die beiden Hebel sind im Gleich- 
gewicht, wenn: 

L-l = P-R und P-r = K-k, 




Fig. 36. 



§ 45 Die einfachen Maschinen u. das Prinzip der virtuellen Verschiebungen 47 



woraus 



K= L 



l-r 



Nun verhalten sich die Anzahlen % und Z der auf dem Umfang des Ge- 
triebes und des Rades befindlichen Zähne offenbar wie ihre Halbmesser; 
wir erhalten daher für das Verhältnis von Kraft zu Last: 

K_ h%^ 

L ~ k-Z' 

Schalten wir nach dem Schema von Fig. 37 zwischen die Welle 
und die Achse der Kurbel noch zwei parallele Achsen ein, deren Eäder 




K 

J 



Fig. 37. Räderwerk. 
Z' und Z" , deren Getriebe z und z" Zähne tragen, so ergibt sich durch 

dieselbe Berechnung K — L- T - ' ', • 

K Zi' Zi • z 

Man sieht, daß durch Einschaltung mehrerer Achsen mit Rädern und 
Getrieben das Verhältnis zwischen Kraft und Last auf jeden beliebigen 
Wert verkleinert werden kann. 

§ 45. Kraft und Weg der Maschinen. Die vorhergehenden Betrach- 
tungen veranlassen uns zu einer Bemerkung von allgemeiner Bedeutung. 
Der gemeinsame Charakter all der Einrichtungen, die wir beschrieben 
haben, ist der, daß sie die Möglichkeit bieten, große Kräfte mit kleinen 
Gegenwirkungen zu überwinden. Es entspricht einem gewissen instink- 
tiven Gefühl, daß ein solcher Vorteil nicht erreicht werden kann, ohne 
eine Kompensation, ohne einen Verzicht auf eine andere, an sich eben- 
falls wünschenswerte Leistung. Das etwas Derartiges in der Tat vor- 
handen, ist ergibt sich am leichtesten aus dem Beispiele des Flaschen- 
zuges. Sein Zweck ist ja nicht der, die an der Flasche hängende Last 
durch den Zug am freien Seilende schwebend zu erhalten, sondern die 
Last zu heben. Wenn wir nun das freie Seilende um eine bestimmte 
Strecke herabziehen, so verteilt sich die entsprechende Verkürzung auf 
die einzelnen zwischen den Rollen hin- und herlaufenden »Stücke des 
Seiles. Ist ihre Zahl, wie in dem früheren Beispiele, gleich 6, so wird 
jedes nur um den sechsten Teil der Strecke verkürzt, um die das freie 



48 



Mechanik starrer Körper 



46 



Seilende herabgezogen wurde. Die Hebung der Last beträgt also auch 
nur den sechsten Teil des von dem freien Seilende durchlaufenen Weges. 
Damit ist aber die gesuchte Kompensation gefunden. Zwar beträgt der 
am freien Ende ausgeübte Zug nur den sechsten Teil der Last, dafür 
aber auch die Hebung der Last nur den sechsten Teil der Strecke, um 
die wir das freie Ende des Seiles herabziehen. Was wir an Kraft 
gewinnen, geht an Weg verloren. 

Drehen wir einen Hebel (Fig. 38), an dem die Kräfte P und Q, senk- 
recht zu AB, mit den Armen DA und DB im Gleichgewicht sind, um 




Q 



r Fig. 38. 

einen kleinen Winkel et (Bogenmaß), so legt der Endpunkt A den Weg 
A D X et, der Endpunkt B den Weg BD x et zurück. Die Wege verhalten 
sich wieder umgekehrt wie die Kräfte. 

Nehmen wir das Beispiel des Räderwerkes von § 44; wenn wir das 
letzte mit der Kurbel verbundene Getriebe um einen Winkel et (Bogenmaß) 
drehen, so dreht sich die Welle, an der die Last hängt, um den Winkel 



ß = 



Z~Z~Z^' 



et 



Nun ist der Weg, den das Ende der Kurbel durchläuft, gleich k-ct; 
die Strecke, um welche die Last gehoben wird, gleich l'ß\ man findet 
daher: 



l-ß l-% 



k-a k-Z-Z'-Z' 



K 
'L' 



Wieder verhalten sich Last und Kraft umgekehrt wie die durchlaufenen 
Wege. 

§ 46. Mechanische Arbeit. Die Erfahrung hat gezeigt, daß der in 
dem vorhergehenden Paragraphen erläuterten Beziehung in der Tat eine 
allgemeine Gültigkeit zukommt. Wir gewinnen für sie einen Ausdruck von 
größerer Tragweite durch Einführung des Begriffes der mechanischen 
Arbeit, eines Begriffes, der erwachsen ist aus dem, was wir im täglichen 
Leben als körperliche Arbeit bezeichnen. Wir leisten Arbeit, wenn wir 
mit dem Aufwände unserer Muskelkraft ein Gewicht heben. Ihre Größe 
beurteilen wir nicht allein nach der ausgeübten Eraft, sondern auch nach 
der Länge des Weges, auf dem die Kraft ausgeübt wird. Wenn wir 1 kg- 
Gewicht 4 m hoch heben, so ist die Arbeit viermal so groß, als wenn 



§ 46 Die einfachen Maschinen u. das Prinzip der virtuellen Verschiebungen 49 

wir es um 1 in heben; als Maß der geleisteten Arbeit betrachten wir also 
das Produkt aus dem Gewicht und aus der Höhe, zu der es gehoben 
wird. Den Begriff der Arbeit, der sich zunächst an die menschlichen 
Leistungen knüpft, übertragen wir nun auf die Kräfte der unbelebten 
Natur. Wenn ein Körper fällt, so sagen wir, sein Gewicht leiste eine 
Arbeit gleich dem Produkt aus dem Gewichte und aus dem Fallraum. All- 
gemein, wenn ein Punkt A sich im Sinne einer auf ihn wirkenden Kraft P 
von A nach B bewegt, so sagen wir, die Kraft leiste eine Arbeit gleich 
dem Produkte P x AB. Verschiebt sich der Punkt umgekehrt in einem 
der Kraft entgegengesetzten Sinne, so sagt man, daß in ihm eine gewisse 
Arbeit konsumiert oder daß an ihm eine negative Arbeit verrichtet 
werde. Wenn man also Pkg-Gewichte h m hoch hebt, so verrichtet die 
Kraft des Armes eine Arbeit gegen die Schwere, und die von der Schwere 
verrichtete xArbeit ist eine negative vom Betrage P-h. 

Wenn wir eine Last auf eine horizontale Fläche setzen, so ist zu 
ihrer Bewegung eine um so kleinere Kraft nötig, je glatter die Fläche, 
je kleiner die Reibung ist. In der Tat haben wir bei der Bewegung 




B 



- ^ >! +B fi 

Fig. 39. Fig. 40. 

mit dem Gewichte der Last gar nichts zu schaffen, sondern nur mit 
ihrer Reibung auf der Unterlage. Würden wir diese vollkommen zu 
beseitigen imstande sein, so würde eine Verschiebung der Last auf hori- 
zontaler Unterlage keine Arbeit erfordern. Wir schließen aus diesem Beispiel, 
daß keine Arbeit geleistet wird, so oft der von einem Punkte durchlaufene 
Weg senkrecht zu der auf ihn wirkenden Kraft steht. Der allgemeine 
Fall wird natürlich der sein, daß die Richtung, in der sich ein Punkt 
bewegt, mit der auf ihn wirkenden Kraft einen Winkel bildet (Fig. 39). 
Man kann dann die Kraft P zerlegen in zwei Komponenten Q und TV, nach 
der Verschiebungsrichtung und senkrecht zu ihr; die Arbeit würde unter 
diesen Umständen durch das Produkt aus Q und aus der Verschiebung 
AB gegeben sein; man kann aber auch die Verschiebung A B projizieren 
auf die Richtung der Kraft P, nach Aß\ die Figur zeigt dann, daß 

~PX Aß =~QX AB. 
Wir haben somit den Satz: 

Wenn ein Punkt A, auf den eine Kraft P wirkt, eine Ver Schie- 
bung AB erleidet, so ist die Arbeit gleich dem Produkt aus der 

Riecke, Physik. I. Dritte Aufl. 4 



50 Mechanik starrer Körper § 47 

Kraft und aus der Projektion Aß der Verschiebung auf die 
Richtung der Kraft: positiv, wenn die Projektion auf P selbst, wie in 
Fig. 39, negativ, wenn sie auf die Verlängerung von P fällt, wie in Fig. 40. 

§ 47. Las Prinzip der virtuellen Verschiebungen. Wenn wir 
beim Flaschenzuge das freie Seilende um eine Strecke *S herabziehen, 
so steigt die an der Flasche hängende Last um s; der auf das freie 
Seilende wirkende Zug P leistet die Arbeit P-S; von der Last wird 
die Arbeit L-s konsumiert; nach § 43 ist P- S = L-s, die bei der 
Verschiebung geleistete Arbeit gleich der konsumierten; diese letztere Arbeit 
haben wir nach dem vorhergehenden als eine negative zu bezeichnen; 
schreiben wir dementsprechend P- S — L- s = 0, so haben wir den Satz: 

Wenn Last und Kraft am Flaschenzuge sich Gleichgewicht halten, so 
ist bei einer Verschiebung die algebraische Summe der Arbeiten gleich Null. 

An dem Beispiele des Hebels, des Räderwerkes kann man sich 
leicht davon überzeugen, daß dieser Satz allgemein für jede im Gleich- 
gewicht befindliche Maschine gilt. Welches auch der Mechanismus sein 
mag, wenn die wirkenden Kräfte im Gleichgewichte stehen, ist die Summe 
der bei einer Verschiebung geleisteten Arbeiten gleich Null. Man be- 
zeichnet alle Verschiebungen eines Mechanismus, die mit dem gegebenen 
Zusammenhange seiner Teile verträglich sind, als virtuelle Verschiebungen. 
Wir erhalten mit Benützung dieses Ausdruckes den Satz: 

Wenn eine Maschine im Gleichgewicht ist, so ist die Summe 
der positiven und der negativen Arbeiten bei einer virtuellen 
Verschiebung gleich Null. 

§ 48. Natürliche Bewegungen. An den vorhergehenden Satz wird 
sich noch die Frage knüpfen, was geschieht, wenn die Summe der 
Arbeiten bei einer virtuellen Verschiebung nicht Null ist. 

Wir werden dabei zwei Fälle zu unterscheiden haben; es sei einmal 
zu jeder Verschiebung eine ihr entgegengesetzte möglich, die 
Maschine könne ebensogut vor- wie rückwärts laufen. Dann ist immer ein 
System von Verschiebungen vorhanden, für das die geleistete Arbeit 
positiv ist, und in diesem Sinne tritt dann wirkliche Bewegung der 
Maschine von selber ein. Ist z. B. beim Flaschenzuge das Produkt L-s 
größer als P-S, so sinkt die Last zu Boden. Es sei andererseits der 
Mechanismus mit irgend einer Hemmung verbunden, die nur eine 
Bewegung in einem bestimmten Sinne gestattet; wird dann bei einer 
virtuellen Verschiebung positive Arbeit geleistet, so gerät die Maschine 
wieder von selber in Bewegung; ist aber die hierbei geleistete Arbeit 
negativ, so bleibt sie in Ruhe. Ein Beispiel hierfür liefert eine im Grunde 
eines Trichters liegende Kugel; wie wir sie auch aus ihrer Gleichgewichts- 
lage entfernen, immer wird sie dabei gehoben, immer ist die Arbeit der 
Schwere negativ. Ihr Gleichgewicht erfüllt in der Tat die Bedingung, 
daß jeder virtuellen Verrückung eine negative Arbeit entspricht. Anderer- 
seits sind die von selber eintretenden, die natürlichen Bewegungen stets 
so gerichtet, daß positive Arbeit geleistet wird. 



§ 49 Die einfachen Maschinen u. das Prinzip der virtuellen Verschiebungen 51 



§ 49. Die Brückenwage. Den in § 47 entwickelten Satz wollen 
wir noch in Anwendung bringen auf die zur Wägung größerer Lasten 
dienende Brückenwage. Dabei sollen einmal die horizontalen Schwan- 
kungen vermieden werden, die bei einer nur an einer Schneide auf- 
gehängten Wagschale lästig sein würden ; die eine der Wagschalen wird zu 
diesem Zweck gleichzeitig mit zwei verschiedenen Hebeln verbunden. Es 
soll aber außerdem gleichgültig sein, an welcher Stelle die Last auf die Schale 
oder Brücke aufgesetzt wird; zu diesem Zweck sorgt man dafür, daß die 
Brücke bei jeder Verschiebung des Systems ihre horizontale Lage behält. 
und 0' (Fig 41) sind die festen Drehungspunkte zweier Hebel, deren 



A 



1«— - 



O 



v 



D 



=c>- 



B 




B' 



S 



A' 



Z^ 



0' 



7\ 



Fig. 41. 



Q 



Enden durch eine Stange B B' verbunden sind. Auf den Hebel Ö B' ist 
in Ä eine horizontale Schneide aufgesetzt, welche die Achse eines dritten 
Hebels Ä D bildet; dieser ist durch ein horizontales Brett, die Brücke, 
dargestellt, das in D durch die Stange D A mit dem Hebel B verbunden 
ist. In & wirkt die Last Q, in dem anderen Endpunkt E des Hebels 
OB das Gewicht P. Wenn wir den Hebel EB um den kleinen Winkel a 
nach links drehen, so sinkt das Ende E um E x ot, es wird also eine 
positive Arbeit geleistet vom Betrage P X E x cc. Gleichzeitig hebe 
sich der Angriffspunkt S der Last Q um eine Strecke s; Gleichgewicht 
ist vorhanden, wenn die damit verbundene negative Arbeit mit der in E 
verrichteten positiven zusammen Null gibt, d. h. wenn 

P X OE X a = Q-s 

ist. Nun hängt s zunächst ab von den Hebungen der Punkte Ä und D 
und von den Abständen D S und Ä S. Wenn aber die Endpunkte D 
und Ä der Brücke sich um gleich viel heben, wenn ihre Fläche bei der 
Verschiebung horizontal bleibt, so ist s unabhängig von der Stelle, auf 
welche die Last gesetzt wird, und gleich der Hebung der ganzen Brücke. 



52 Mechanik starrer Körper § 50 

0' A' 
Die Hebung von D ist gleich A x cc, die von J.' gleich OB x a X -7^5? 5 

beide sind gleich, wenn OA 0' A' 

dann ist aber auch s = OA x cc, und die Bedingung für das Gleich- 
gewicht der Wage: PxOE=QxOA. 

Macht man -^— = 10, so ist 
O A 

Q = 10 x P, 
die Last gleich dem Zehnfachen des Gewichtes („Dezimalwage"). 



Zweiter Abschnitt. 

Dynamik starrer Körper. 

Erstes Kapitel. Geschwindigkeit und Beschleunigung. 

§ 50. Gleichförmige Bewegung. Wenn ein Körper in seiner Bahn 
in gleichen aufeinanderfolgenden Zeiten gleiche Strecken durchläuft, so 
nennen wir seine Bewegung eine gleichförmige. Den Weg, den er in 
der Zeiteinheit zurücklegt, nennen wir seine Geschwindigkeit. 
Ist also t die Zeit, während der wir die Bewegung beobachten, s der in 
ihr zurückgelegte Weg, so ist der in der Zeiteinheit zurückgelegte Weg, 
die Geschwindigkeit: s 

c = r 

Aus dieser Beziehung ergibt sich, daß wir für die neu eingeführte 
Größe, die Geschwindigkeit, keiner neuen Maßeinheit bedürfen; diese ist 
offenbar mitbestimmt, sobald die Maßeinheiten der Länge und der Zeit 
festgelegt sind. Die Geschwindigkeit Eins besitzt ein Körper, der in der 
Zeiteinheit die Einheit der Länge durchläuft. Wir bezeichnen eine Maß- 
einheit, die sich in irgend einer Weise aus anderen schon vorher definierten 
bestimmt, als eine abgeleitete. Die Maße für Flächen- und Rauminhalte 
waren solche; das Maß der Geschwindigkeit bildet ein neues Beispiel. 

§ 51. Dimension der Geschwindigkeit. Wir erhalten die Geschwin- 
digkeit eines Körpers, wenn wir den Weg durch die ihm entsprechende 
Zeit dividieren. Die Messung der Geschwindigkeit läßt sich also auf die 
fundamentalen Messungen einer Länge und einer Zeit zurückführen. Die 
gefundenen Maßzahlen werden so kombiniert, daß die Maßzahl des Weges 
dividiert wird durch die der Zeit. Diese rechnerische Verbindung der 
fundamentalen Größen der Länge, l, und der Zeit, t, bei der Berechnung 
der Geschwindigkeit nennen wir die Dimension der letzteren. Man sieht 
hieraus, daß der Begriff der Dimension bei allen abgeleiteten Maßen 
Anwendung findet; die ihnen entsprechenden Maßzahlen werden sich 
immer durch Multiplikationen und Divisionen aus den Grundmaßen er- 
geben. Die Zahl und Art dieser Operationen wird durch die Dimension 



53 



Geschwindigkeit und Beschleunigung 



53 



gegeben. Allgemein bezeichnen wir die Dimension einer physikalischen 
Größe dadurch, daß wir den für sie gewählten Buchstaben in eine eckige 
Klammer setzen; für die Geschwindigkeit ergibt sich hiernach die Dimen- 
sionsgleichung: r n __ / .^_1 > 

Die Maßzahl einer Geschwindigkeit hängt selbstverständlich von der 
Wahl der Maßeinheiten der Länge und der Zeit ab. So beträgt die mitt- 
lere Bahngeschwindigkeit c der Erde 3,990 Meilen in der Sekunde, im 
metrischen System 29,606 km oder 2 960 600 cm in der Sekunde; man 
verbindet die Angabe der zugrunde gelegten Maßeinheiten mit der der 
Dimension, indem man schreibt: 

c = 3,990 Meilen -sec- 1 . 

c= 29,606 km -sec- 1 . 

c = 2 960 600cm-sec- 1 . 
§ 52. Geschwindigkeit und Weg. Der Definition der Geschwindig- 
keit zufolge ist der Weg _ . 

wenn c die Geschwindigkeit und t die vom Anfang der Bewegung an 
verflossene Zeit bezeichnet. Wir können die hierdurch gegebene Beziehung 
leicht in ein geometrisches e 
Gewand kleiden. Eine hori- 
zontale gerade Linie (Fig. 42) 
machen wir zur Achse der Zei- 
ten; senkrecht zu ihr tragen wir 
die in den aufeinanderfolgen- 
den Zeiten vorhandenen Ge- 
schwindigkeiten auf, und er- 
halten dann in dem vorliegen- 
den Falle eine zu der Achse 
der Zeit parallele Linie, da 
ja die Geschwindigkeit immer 
dieselbe bleiben soll. Die Strecke OP der horizontalen Achse ist numerisch 
gleich der Zeit t, die Senkrechte P Q numerisch gleich der Geschwin- 
digkeit c, somit repräsentiert der Flächeninhalt des Rechteckes O P Q R 
den in der Zeit t durchlaufenen Weg s = ct=OPxPQ- 

§ 53. Gleichförmig beschleunigte Bewegung. Den Fall einer gleich- 
förmigen Bewegung finden wir bei den Körpern, die wir an der Ober- 
fläche der Erde beobachten, selten verwirklicht. Nehmen wir das Bei- 
spiel eines Eisenbahnzuges, so finden wir, daß seine Geschwindigkeit, 
der in einer Sekunde zurückgelegte Weg, während der Fahrt mannig- 
fachen Schwankungen unterworfen ist. Stellen wir sie ebenso graphisch 
dar, wie zuvor bei der gleichförmigen Bewegung, so werden die Ordi- 
naten, durch welche die Geschwindigkeit repräsentiert wird, zu verschie- 
denen Zeiten verschiedene Längen besitzen; nun aber wird die Ge- 
schwindigkeit im allgemeinen nicht momentan von einem Werte zu einem 
anderen überspringen; die zu verschiedenen Zeiten gemessenen Werte 




O 



Fig. 42. 






54 



Mechanik starrer Körper 



§53 



müssen sich dann stetig aneinanderschließen, und wir kommen somit zu 
dem Schluß, daß die Kurve der Geschwindigkeiten in diesem Falle, wie in 
den meisten anderen, eine gekrümmte, auf- und absteigende Linie ist. Der 
einfachste Fall ist der einer gegen die Achse der Zeit geneigten geraden 
Linie. Nehmen wir an, daß sie mit wachsender Zeit ansteige, so erhalten 
wir den Fall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung, dessen 
Untersuchung für die Mechanik eine fundamentale Bedeutung besitzt. 

Im Anfang der Beobachtung, zu der Zeit Null, sei auch die Ge- 
schwindigkeit Null, es gehe also die Linie, welche die Geschwindigkeit 
repräsentiert, von dem Anfangspunkt unserer rechtwinkligen Achsen aus 



(Fig. 43). 



Tragen 



O 



1 


G,^ 










C*^> 












Cy^ 














A A 




3 











wir auf der horizontalen Achse die den Zeiten von 
1, 2, 3 . . . Sekunden numerisch glei- 
chen Strecken O A v O A 2 , O A 3 . . . 
ab, so repräsentieren die zugehörigen 
Ordinaten die entsprechenden Ge- 
schwindigkeiten; wir erkennen so- 
fort, daß die Geschwindigkeit in A 2 
doppelt so groß, in A 3 dreimal so 



groß 



als 



in A, 



Fig. 43. 



ist. Bezeichnen wir 
die am Ende der ersten Sekunde 
erreichte Geschwindigkeit mit a, so 
ist die Ordinate A x 0, numerisch 
gleich a; die Geschwindigkeit wächst dann in jeder folgenden Sekunde um 
denselben Betrag a. Diesen in derZeiteinheit erfolgendenZuwachs 
der Geschwindigkeit nennen wir die Beschleunigung; eine Be- 
wegung, bei der die Beschleunigung konstant bleibt, ist eine gleich- 
förmig beschleunigte. Der Definition zufolge erhalten wir die Beschleu- 
nigung, wenn wir den in einem beliebigen Zeitintervall t 2 — t v erfolgenden 
Zuwachs der Geschwindigkeit v 2 — 



durch jene Zeit dividieren; es ist 



a = 



h h 



Lassen wir den Anfangspunkt des betrachteten Intervalles mit dem An- 
fangspunkte der Zeit zusammenfallen, so ist t x = und v x = 0, und wir 

erhalten » 

a= r 

Die Beschleunigung ist dann gleich der zu irgend einer Zeit t vorhan- 
denen Geschwindigkeit v durch diese Zeit dividiert. 

Ebenso wie bei der Geschwindigkeit ist auch bei der Beschleunigung 
die Maßeinheit bestimmt, sobald die fundamentalen Maße der Länge und 
der Zeit festgesetzt sind. Aus der Geschwindigkeit berechnet sich die 
Beschleunigung durch Division mit einer Zeit; die Geschwindigkeit 
ihrerseits aus einem Wege gleichfalls durch Division mit einer Zeit. 
Somit gelangt man vom Wege aus zu der Beschleunigung durch eine zwei- 
malige Division mit einer Zeit. Wir haben daher die Dimensionsgleichung 



§53 



Geschwindigkeit und Beschleunigung 



55 



Nach dem Vorhergehenden ist bei der von der Ruhe ausgehenden 
gleichförmig beschleunigten Bewegung die Geschwindigkeit gleich der 
Beschleunigung multipliziert mit der Zeit: 

1) v = a ' t . 

Die Berechnung des zurückgelegten Weges ergibt sich in folgender 
Weise. An Stelle der Bewegung, die mit kontinuierlich sich ändernder 
Geschwindigkeit vor sich geht, setzen wir eine andere, bei der die Ge- 
schwindigkeit in kleinen Intervallen sprungweise sich ändert, und auf deren 
einzelne Abschnitte die in § 52 gegebene Formel sich anwenden läßt. 
Wir grenzen zu diesem Zweck auf der Achse der Zeit durch die Punkte 
cc v a 2 , a v <* 4 . . . gleiche Intervalle ab (Fig. 44); an Stelle der wachsenden 
Geschwindigkeiten, mit denen sich der Körper in den durch a v a 2 a v 
ct 4 ec G ... dargestellten Zeiten bewegt, setzen wir dann die konstanten 
o 




O a,, <z P ctj cc-4 <x s <x 6 

Fig. 44. 



A 



Geschwindigkeiten cc l y i , oc 3 y v cc 5 y 6 . . .; die Mittelwerte aus den Anfangs- 
und Endgeschwindigkeiten der Intervalle; wir ersetzen also die allmäh- 
lich ansteigende Linie der Geschwindigkeiten durch die Zickzacklinie 
fi ^2 e 2 ^4, £ 4 ^e • • • Nach § 52 aber ist der Weg, der in der durch O a 2 
dargestellten Zeit mit der konstanten Geschwindigkeit u x y x zurückgelegt 
wird, numerisch gleich dem Inhalt des Rechteckes Oa 2 d 2 &: 1 ebenso die 
in den Zeiten a 2 a± und a^ cc G zurückgelegten Wege numerisch gleich 
den Rechtecken a % « 4 <? 4 e 2 und c* 4 a G d 6 s 4 . Setzen wir diese Betrachtung 
weiter fort, so kommen wir zu folgendem Schlüsse: der Weg, den der 
Körper mit sprungweiser Änderung der Geschwindigkeit zurücklegt bis 
zu der durch OA dargestellten Zeit t, ist numerisch gleich dem Inhalt 
der von A, von der Zickzacklinie s d 2 s 2 <) 4 e 4 . . . und von der Ordi- 
nate A C begrenzten Figur, d.h. gleich dem Inhalt des Dreieckes OAG. 
Der fingierte Vorgang nähert sich der wirklichen Bewegung um so mehr, 
je kleiner die Zeitintervalle werden, die durch O a 2 , a 2 a 4 . . . dargestellt 
sind; in demselben Maße schließt sich auch unsere Zickzacklinie enger 
an die gegebene Linie der Geschwindigkeiten an. Wir werden daher an- 



56 Mechanik starrer Körper § 54 

nehmen, daß auch bei der wirklichen Bewegung der zur Zeit t zurück- 
gelegte Weg dargestellt sei durch den Inhalt des Dreieckes O A C, durch 
\0 A x AC. Nun ist A numerisch gleich der Zeit t, AG gleich der 
zugehörigen Geschwindigkeit v, somit der Weg 

s = \vt, 

oder, wenn wir den Wert von v aus der Gleichung 1 benutzen, 

2) s = ±at\ 

eine Gleichung, durch die unsere frühere Bemerkung über die Dimension 
der Beschleunigung a bestätigt wird. Die Beschleunigung selbst ist da- 
nach numerisch gleich dem Doppelten des in der ersten Sekunde zurück- 
gelegten Weges. 

§ 54. Allgemeine Definition von Geschwindigkeit und Beschleunigung. 
Die im vorhergehenden entwickelte Methode, bei einer nicht gleich- 
förmigen Bewegung den Weg zu berechnen, ist von besonderer Bedeu- 
tung, weil sie in ähnlicher Weise bei einer Bewegung benützt werden 
kann, deren Geschwindigkeit in beliebiger Weise mit der Zeit sich ändert. 
Gleichzeitig knüpft sich aber an die ihr zugrunde liegende Zerlegung 
der Bewegung in einzelne Abschnitte von kurzer Dauer die allgemeinere 
Bestimmung der Geschwindigkeit. Bei einer veränderlichen Bewegung 
liefert die ursprüngliche Definition der Geschwindigkeit verschiedene 
Werte, je nach der Größe des zurückgelegten Weges, s 2 — s v und des ent- 
sprechenden Zeitraumes, t 2 — t x , je nach der Stelle der Bahn, an der die 

Beobachtung vorgenommen wird. Der Bruch ■- — ^ liefert nur das, was 

wir als die mittlere Geschwindigkeit während der Zeit t 2 — -t x be- 
zeichnen können. Lassen wir neben dem wirklichen einen fingierten 

Körper mit der gleichförmigen Geschwindigkeit -j — j- sich bewegen, so 

wird dieser in der Zeit t % — \ denselben Weg zurücklegen, wie der wirk- 
liche. Je kleiner wir nun den Zeitraum t 2 — t Y nehmen, um so geringer 
werden die Unterschiede zwischen den Geschwindigkeiten seiner auf- 
einanderfolgenden Bruchteile sein, um so mehr wird die Bewegung jenes 
fingierten Körpers mit der des wirklichen sich decken; wir können somit 

den Bruch ~ — ~ mit um so größerem Rechte als die wirkliche Ge- 

schwindigkeit des Körpers betrachten, je kleiner der Zeitraum t 2 — t 1 ist. 
Bezeichnen wir einen solchen äußerst kleinen Zeitraum entsprechend 
§ 22 durch dt, den in ihm zurückgelegten Weg durch ds, so erhalten 
wir als Wert der wahren Geschwindigkeit 

d s 

v = - d r 

Damit ist dann auch die Definition der Geschwindigkeit allgemein für 
eine beliebige Bewegung gegeben. 

Als Zeit, für welche die Geschwindigkeit gilt, könnten wir zunächst 



§54 



Geschwindigkeit und Beschleunigung 



57 



die Mitte des Zeitelementes dt betrachten; da aber die Geschwindigkeit 
während der Zeit dt nur eine unendlich kleine Änderung erleidet, so stellt 
ds 



jenes Zeitraumes dar. Sind 



*p V 2> 



ebensogut die Geschwindigkeit im Anfang 

Ct V 

d\, dt 2 , dt 3 . . . aufeinanderfolgende kleine Zeitabschnitte, 
die ihnen entsprechenden, als gleichförmig zu betrachtenden Geschwindig- 
keiten, so ergibt sich nach § 51 für den in der Zeit 

d t x -f- dt 2 + d t 3 + . . . 
zurückgelegten Weg der Ausdruck 

s = v x d t x + v 2 dt 2 + v 3 dt 3 + . . . 

s = ^ v d t 

Wir wollen die wechselnden Werte der Geschwindigkeit in ihrer 
Abhängigkeit von der Zeit wieder durch eine Kurve darstellen (Fig. 45). 
Die auf der horizonta- 
len Achse abgetragene 
Strecke A repräsen- 
tiere die Zeit t — dt x 
+ d t 2 + d t s + ... 

Aus den Bemer- 
kungen von § 22 und 
§ 52 ergibt sich dann, 
daß der Weg, der in 
der Zeit t zurückge- 
legt wird, numerisch 
gleich dem Inhalt der 
von der Geschwindig- 
keitskurve begrenzten 
Fläche OAGD ist. 

Eine ganz analoge Betrachtung führt auch zu der allgemeinen De- 
finition der Beschleunigung. Wir nehmen zunächst an, daß die Ge- 
schwindigkeitskurve gegen die Abszissenachsesteige ; bei einer wellenförmigen 
Kurve beschränken wir uns auf einen ansteigenden Teil derselben. Wir 
wählen dann das Zeitintervall t 2 — t x so klein, daß das entsprechende 
Stück der Geschwindigkeitskurve als geradlinig betrachtet werden kann; 
die Geschwindigkeit steigt dann in der Zeit ^ bis t 2 gleichmäßig an; 
die Bewegung hat solange den Charakter einer gleichmäßig beschleu- 
nigten. Sind v 1 und v 2 die Geschwindigkeiten am Anfang und am Ende 
des betrachteten Zeitraumes, so ist die Beschleunigung 




Fig. 45. 



a = 



v 9 - v. 



h 



Bezeichnen wir den kleinen Zeitraum t 2 — t x wieder durch dt, den ihm 
entsprechenden Zuwachs der Geschwindigkeit durch dv, so ist die Be-, 
schleunigung gegeben durch 



a = 



dv 
~dt 



58 Mechanik starrer Körper _ § 55 

In den gegen die Achse der Zeit fallenden Teilen einer wellenförmigen 
Geschwindigkeitskurve tritt eine allmähliche Ahnahme der Geschwindig- 
keit ein. Findet der Abfall in gerader Linie statt, so nimmt die Ge- 
schwindigkeit in gleichen Zeiten um gleich viel ah; die Abnahme der 
Geschwindigkeit bezogen auf 1 Sekunde, die Verzögerung, ist konstant. 
Die Bewegung ist eine gleichmäßig verzögerte. Aber auch die Bewegung, 
deren Geschwindigkeitskurve in beliebiger Weise gegen die Abszissenachse 
sich senkt, wird innerhalb eines sehr kleinen Zeitraumes t 2 — t x den 
Charakter einer gleichmäßig verzögerten Bewegung annehmen. Ist die 
Geschwindigkeit im Anfang des betrachteten Zeitraumes gleich v iy am 
Schlüsse gleich v 2 , so ergibt sich ebenso wie vorher zur Berechnung 
der Beschleunigung die Formel: 



V 2 

a = ~— 



t 2 r x 
Aber nun ist v 2 kleiner als v v es wird also die Beschleunigung negativ: 



v, 
a = — 



k-k 

Die verzögerte Bewegung ist also eine Bewegung mit nega- 
tiver Beschleunigung. Auf die gleichförmig verzögerte Bewegung 
werden wir in § 66 zurückkommen. 

Wir schließen diese allgemeinen Betrachtungen mit einer Bemerkung 
über die Maßeinheiten der Geschwindigkeit und der Beschleunigung. 
Legen wir als Maßeinheit das Zentimeter und die Sekunde zugrunde, 
so hat ein Körper die Einheit der Geschwindigkeit, wenn der auf die 
Sekunde berechnete Zuwachs des Weges 1 cm beträgt. Man hat die 
so definierte Einheit der Geschwindigkeit als ein „Cel" bezeichnet. Ein 
Körper hat ferner die Beschleunigung Eins, wenn der auf die Sekunde 
berechnete Geschwindigkeitszuwachs 1 Cel beträgt. Die so definierte 
Einheit der Beschleunigung bezeichnet man als ein „Gal". Eechnen 
wir den Weg nach Zentimetern, die Zeit nach Sekunden, so geben die 
zuvor entwickelten Formeln die Beschleunigung in der Einheit des Gal. 

Die Dimensionsgleichungen von Geschwindigkeit und Beschleuni- 
gung im cm-sec-System sind: 

[y] = cm-sec ~ 1 , 
[et] = cm-sec -2 . 

Zweites Kapitel. Fallbewegung und Pendel. 

§ 55. Die Fallbewegung. Das klassische Beispiel einer gleichförmig 
beschleunigten Bewegung ist die Fallbewegung, durch deren Erforschung 
Galilei der Begründer der Dynamik geworden ist. 

Bei jeder Bewegungserscheinung können wir gewisse Beobachtungen 
machen, die eine Messung der Zeit nicht erfordern. Hierzu gehört vor 
allem die Bestimmung der Bahn, in der die Bewegung sich vollzieht. 
Beim freien Fall ist die Bahn des fallenden Körpers eine vertikale ge- 



§ 55 Fallbewegung und Pendel 59 



rade Linie. Eine zweite Frage, die gleichfalls ohne Zeitmessung ent- 
schieden werden kann, ist die, ob die Fallbewegung verschiedener Körper 
eine verschiedene ist, oder ob sie bei allen in derselben Weise erfolgt. 
Die Beantwortung wird erschwert durch die Reibung, welche die Körper 
bei ihrer Bewegung in der Luft erleiden. Bei leichten Körpern von großer 
Oberfläche wird die Fallbewegung dadurch ganz wesentlich abgeändert; 
die Bahn eines fallenden Papierstreifens ist nicht vertikal, sondern geneigt, 
und mit der fortschreitenden Bewegung verbindet er eine wirbelnde Be- 
wegung um seine Längsrichtung. 1 Wenn man aber die Fallbewegung in 
einer evakuierten Röhre vor sich gehen läßt, so wird diese von den 
verschiedenartigsten Körpern in derselben Zeit durchfallen. Zu einem 
endgültigen Beweis dieser fundamentalen Tatsache genügt allerdings 
der Versuch nicht; wir setzen ihre Richtigkeit vorläufig voraus, bis uns 
die Pendelbewegung ein Mittel zu ihrer exakten Prüfung liefern wird. 
Gestalt, Größe, Gewicht würden danach von keinem Einfluß auf die 
Fallbewegung sein, wir kennen die Fallbewegung aller Körper, wenn wir 
die eines einzigen untersucht haben. 

Eine dritte ohne Zeitmessung auszuführende Beobachtung ist fol- 
gende. Wir befestigen eine vertikale und eine geneigte Rinne so, daß 
sie mit ihren unteren Enden in einem und demselben Punkte zusammen- 
stoßen. In demselben Momente lassen wir eine erste Kugel längs der 
vertikalen Rinne frei herabfallen, eine zweite längs der geneigten mit 
möglichst geringer Reibung heruntergleiten. Durch Probieren bestimmen 
wir die Länge der geneigten Rinne so, daß die Kugeln wieder in dem- 
selben Momente unten zusammentreffen. Es ergibt sich, daß das obere 
Ende der geneigten Rinne auf einem Kreise liegt, der um die vertikale 
Rinne als Durchmesser beschrieben wird. Allgemein gilt hiernach der 
Satz: Alle nach dem tiefsten Punkte einer Kugel gehenden Sehnen 
werden in derselben Zeit von einem fallenden Körper durchlaufen. 

Wir knüpfen hieran noch eine wichtige Bemerkung. Längs der 
geneigten Rinne B G (Fig. 46) wird der Körper nur durch die ihr 
parallele Komponente Q des Gewichtes getrieben, längs der vertikalen 
A C durch das ganze Gewicht P; nun findet die Proportion statt 

P:Q = AG:BG. 

Da aber A G und B G in gleichen Zeiten durchlaufen werden, so ergibt 
sich der Satz: Die von einem Körper in gleichen Zeiten von der Ruhe 
aus zurückgelegten Wege sind proportional den treibenden Kräften. 

Nach diesen Vorbereitungen gehen wir nun über zu vollständigen 
Systemen von Messungen mit Zuhilfenahme von Zeitbeobachtungen. Für 
diese bleibt nur übrig die Beobachtung der Fallräume und der Fallzeiten. 
Wir müßten die Höhe, von der der Körper fällt, so regulieren, daß er, 
bei einem bestimmten Sekundenschlage, der Zeit Null, losgelassen, bei 



1 Maxwell, On a particular case of the descent of a heavy body in a resisting 
medium. The Scientific Papers. Vol. I. p. 115. 



60 



Mechanik starrer Körper 



55 



einem bestimmten späteren Schlag auf den Boden auffällt. Die Aus- 
führung der Messung ist aber auf diesem Wege nicht möglich, da schon 
die einer Fallzeit von zwei, drei Sekunden entsprechenden Fallräume 
zu groß sind. Nun . gibt aber der vorhergehende Satz ein Mittel, das 
eine Verkleinerung der Fallräume in beliebigem Verhältnisse gestattet. 
Wird der Körper bei seiner Fallbewegung getrieben nicht durch sein 
ganzes Gewicht, sondern nur durch einen Teil davon, so reduzieren sich 
die Fallräume in dem Verhältnis, in dem das treibende Gewicht zu dem 
ganzen Gewicht steht. Das hierdurch gegebene Prinzip wurde von 
Galilei dadurch verwertet, daß er an Stelle des freien Falles den auf 
der schiefen Ebene untersuchte. Wir benützen zu demselben Zwecke die 





1 



P+p 
Fig. 47. ATWocmsche Fallmasehine. 



ATWooDsehe Fallmaschine (Fig. 47). Bei ihr besteht der in Fallbewegung 
zu versetzende Körper aus zwei gleichen Gewichten P, die durch einen Kokon- 
faden miteinander verbunden sind. Der letztere wird über eine leichte, 
mit möglichst wenig Reibung um ihre Achse drehbare Rolle gelegt, so 
daß die Gewichte zu beiden Seiten frei herabhängen. Die Fallbewegung 
wird dadurch erzeugt, daß dem einen der Gewichte ein Übergewicht p 
zugelegt wird, das einen bestimmten Bruchteil des gesamten zu bewegen- 
den Gewichtes ^ß bildet. Ist der freie Fallraum für eine beliebige Zeit t 
gleich s, der an der ATWOQDSchen Maschine in derselben Zeit durchlaufene 
Raum gleich rr, so ist 

(T — ^ s oder s — 



(J. 



y p 

Die Rolle, um die der Kokonfaden geschlungen ist, wird bei der 
ATwooDschen Maschine von einem vertikalen Maßstabe getragen, längs 



§55 



Fallbewegung und Pendel 



61 



dem das mit dem Übergewicht versehene Gewicht herabsinkt. Die Tei- 
lung ist so ausgeführt, daß der in der ersten Sekunde zurückgelegte 
Weg die Längeneinheit bildet. Man findet dann, daß in den Zeiten von 
1, 2, 3, 4 . . . Sekunden die Wege 1, 4, 9, IG . . . zurückgelegt werden. 

Die Fallräume verhalten sich wie die Quadrate der Fall- 
zeiten. 

Damit ist aber gezeigt, daß die beobachtete Bewegung eine gleich- 
förmig beschleunigte ist. Nennen wir die Beschleunigung an der Atwood- 
schen Maschine a, die Geschwindigkeit co, so gelten dann nach § 53 die 
Beziehungen: 

a — \ a t 2 , 0) = at. 

Die Fallgeschwindigkeiten sind proportional den Fallzeiten. 

Die Berechnung der Fallgeschwindigkeiten aus den Beobachtungen 
wird wesentlich erleichtert durch die folgende Bemerkung. Wenn wir 
bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung von einem Zeitpunkt t 
aus um gleiche Zeiten r vor- und rückwärts gehen, so ist die mittlere 
Geschwindigkeit in dem Zeitraum t — r bis t-\-r dieselbe, wie groß oder 
klein wir r wählen. Die für einen beliebigen solchen Zeitraum berech- 
nete mittlere Geschwindigkeit ist somit zugleich die wirkliche Geschwin- 
digkeit zur Zeit t. Die Richtigkeit des Satzes folgt leicht aus der Be- 
trachtung von Figur 43. Aus den Beobachtungen an der ATwooDschen 
Maschine ergibt sich so die folgende Tabelle: 



t 


1 
1 


2 

4 


3 

9 


4 
16 


5 
25 


6 

36 


7 
49 


8 
64 


9 
81 


t 


1 

i 

1 


' 


i 


S 


F 
j 


* 


r 
1 


< 


( 

< 


1 


1 
i 

5 


1 
l 


1 

i 

1 


3 

3 


1 
1_ 


5 

5 


1 

1_ 


7 



Das sogenannte zweite Fallgesetz, nach dem die Fallgeschwindigkeit 
der Fallzeit proportional ist, wird hierdurch unmittelbar bestätigt. Wäre 
es möglich, an der ATwooDschen Maschine den Fallraum in der ersten 
Sekunde genau zu bestimmen, so würde sich der beim freien Fall in 

der ersten Sekunde durchlaufene Raum durch Multiplikation mit -'- er- 
geben; das Doppelte davon würde nach § 53 die Beschleunigung des 
freien Falles sein. Diese, die Beschleunigung der Schwere, reprä- 
sentiert eine der fundamentalen Konstanten der Physik, und man hat 
sie daher durch einen besonderen Buchstaben, g, bezeichnet. Aus Pendel- 
beobachtungen leitet sich (für 49° Breite) als genauerer Wert ab: 



^ = 981 cm« sec~ 2 . 

Daran schließen sich dann die Formeln für Geschwindigkeit und Weg 
beim freien Fall: 

v = g-t und s = ^g-t 2 . 



62 Mechanik starrer Körper §56 



§ 56. Beschleunigung und Geschwindigkeit an der ATWOODschen 
Maschine. Bezeichnen wir wie früher durch a die an der ATWOODschen 
Maschine auftretende Beschleunigung, durch p das Übergewicht, das 
Gesamtgewicht durch ^ß, so haben wir 

P 

die Beschleunigung ist Null, sobald p Null ist. Wenn also das Über- 
gewicht in einem bestimmten Augenblicke abgenommen wird, so ist von 
da an keine Beschleunigung, keine Zunahme der Geschwindigkeit mehr 
vorhanden. Der Körper muß sich also mit der Geschwindigkeit weiter 
bewegen, die er im Augenblick der Abnahme hatte. Diese Bemerkung 
bietet ein Mittel, um das für die Fallgeschwindigkeiten sich ergebende 

Gesetz v = -^r-g-t einer experimentellen Prüfung zu unterziehen, indem 

man das durch einen Draht mit überstehenden Enden hergestellte Über- 
gewicht (Fig. 47) in einem bestimmten Momente wegnimmt. 

§ 57. Arbeit an der ATWOODschen Maschine. Der Begriff der Ar- 
beit hat sich im ersten Abschnitt sehr nützlich erwiesen, um für ein 
mechanisches System die Bedingung des Gleichgewichtes in möglichst 
einfacher "Weise zu formulieren. Man kann daher fragen, ob jener Begriff 
nicht auch für die Bewegungserscheinungen von Bedeutung ist. Wenn 
wir die Bezeichnungen der vorhergehenden Paragraphen beibehalten, so 
ergibt sich für die Arbeit, welche das Übergewicht p der ATWOODschen 
Maschine leistet, während der Fallraum a durchlaufen wird: 

p a = \p a t 2 . 



Nun ist t — —, somit: 
a 




nach 8 56 aber ist: 


i P 

1 * a 



• to 2 ; 

£. = £• 

die von dem Übergewicht p geleistete Arbeit wird somit: 

pa = jj(o-. 

Die hiermit hergestellte Beziehung ist nun in der Tat höchst bemerkens- 
wert; die Gleichung enthält auf ihrer rechten Seite nichts mehr von dem 
Übergewicht, sondern nur Dinge, die wir als Eigenschaften des Gesamt- 
gewichtes^ betrachten können; abgesehen von dem Faktor i, das Quadrat 
der dem Fallraum <y entsprechenden Geschwindigkeit to und das Ver- 

hältnis — • Dieses letztere bezeichnet man als die Masse des in Be- 

9 
wegung gebrachten Gewichtes; setzen wir 

Sß 

— = m, 

ff 

so wird die für die Arbeit des Übergewichtes geltende Gleichung: 

p a = \m(ü % . 



§ 58 Fallbewegung und Pendel 63 

Um den hierin liegenden Satz möglichst kurz auszusprechen, führen wir 
auch für die rechts stehende Größe eine besondere Benennung ein. Wir 
nennen das Produkt aus der halben Masse und aus dem Quadrate der 
Geschwindigkeit des bewegten Gewichtes seine lebendige Kraft, Wir 
erhalten dann den Satz: 

' Die Arbeit, welche das Übergewicht bei dem Durchlaufen 
eines bestimmten Fallraumes leistet, ist gleich d'er lebendigen 
Kraft, welche das Gesamtgewicht dabei gewinnt. 

Wir können den Satz auch so wenden, daß wir sagen: die lebendige 
Kraft, welche das Gesamtgewicht in irgend einem Augenblicke besitzt, 
wurde durch die von dem Übergewicht bis dahin geleistete Arbeit er- 
zeugt, diese Arbeit wurde verwandelt in die lebendige Kraft des Gesamt- 
gewichtes. Den hiermit angesponnenen bedeutungsvollen Gedankengang 
werden wir später von allgemeineren Gesichtspunkten aus weiter verfolgen. 

Ehe wir aber die Betrachtung der ATWooDschen Maschine verlassen, 
wollen wir noch zwei Bemerkungen an dieselbe knüpfen, die sich später 
als nützlich erweisen werden. 

Die Bestimmung der lebendigen Kraft des bewegten Gewichtes durch 
die Beobachtung der Geschwindigkeit und die Berechnung seiner Masse 
würde ziemliche Mühe verursachen. Nach dem gefundenen Satze kann 
man sich diese Mühe sparen. Die gesuchte lebendige Kraft ist gleich der 
von dem Übergewicht geleisteten Arbeit; diese aber ist sehr leicht zu be- 
stimmen und durch sie wird mittelbar auch die lebendige Kraft gemessen. 

Wir wollen ferner an derselben ATWooDschen Maschine nacheinander 
zwei verschiedene Gesamtgewichte % und ^' durch dasselbe Über- 
gewicht p in Bewegung setzen. Die durch Division der Gewichtszahlen 
^5 und $P' mit der Beschleunigung der Schwere, g, zu erhaltenden 
Massen der Gewichte bezeichnen wir mit m und m '. Wir erhalten dann 
die Gleichungen: 

p (7 = | m co 2 , p a' = \ m co' 2 . 

Nehmen wir bei beiden Bewegungen die Fallräume gleich groß, 
er = er' , so sind auch die von dem Übergewicht p in beiden Fällen ge- 
leisteten Arbeiten die gleichen, und damit auch die von ihnen erzeugten 
lebendigen Kräfte. Dann aber müssen sich die Quadrate der Geschwindig- 
keiten umgekehrt verhalten wie die Massen der Gesamtgewichte: 

2 '2 ' 

ro . co £ = m : m. 

Wir haben somit den Satz: 

Wenn wir an der ATWooDschen Maschine auf verschieden große 
Gesamtgewichte gleiche Arbeiten des Übergewichtes wirken -lassen, so 
verhalten sich die Quadrate der erzeugten Geschwindigkeiten umgekehrt 
wie die Massen der Gewichte. Vergrößern wir die Masse auf das Vier- 
fache, so sinkt die Geschwindigkeit auf die Hälfte. 

§ 58. Die Wurfbewegung. Die Wurfbewegung, die sich in natür- 
licher Weise an die Fallbewegung anschließt, ist zu Messungen wenig 



64 



Mechanik starrer Körper 



§59 



geeignet; wir begnügen uns daher mit der Betrachtung der Bahn des 
geworfenen Körpers. Diese kann man beobachten, wenn man eine Reihe 
von Körpern unter ganz denselben Bedingungen in Wurfbewegung ver- 
setzt, so daß sie durch ihre Aufeinanderfolge ein bleibendes Bild der 
Bahn entwerfen. Am vollkommensten wird dies erreicht bei einem 
Wasserstrahl, der aus einem Gefäße mit konstantem Niveau ausströmt. 
Die Bahn des Strahls, die Bahn des geworfenen Körpers, ist eine Parabel. 

Für diese ergibt sich eine hüb- 
sche Konstruktion, wenn die 
W anfängliche Wurfrichtung A W 
und die Stelle C gegeben ist, in 
welcher der geworfene Körper 
den Boden erreicht (Fig. 48). 
Wir ziehen durch C eine Ver- 
tikale, welche die Wurfrichtung 
in B schneidet. Die Strecken 
A B und B G teilen wir in eine 
gleiche Anzahl gleicher Teile, 
z. B. in je vier. Nach den Teil- 
punkten von B G ziehen wir die 
Linien A T, A 2', A 3', durch die 
Teilpunkte 1, 2, 3 von A B ver- 
tikale Linien, welche die vor- 
hergehenden in I, II, III treffen. 
Die Kurve, welche die Richtung 
A W in A berührt und die 
Punkte Ä, I, II, III, G verbin- 
det, ist die gesuchte Parabel. 
An diese Konstruktion schließt 
sich noch eine Bemerkung, die 
in der Folge von Bedeutung 
sein wird. Würde der Körper 
sich mit der ihm anfänglich 
erteilten Geschwindigkeit weiter bewegen, so würde er in gleichen auf- 
einanderfolgenden Zeiten die gleichen Wege AI, 12, 23, 3B zurücklegen. 
Die vertikalen Abweichungen von der Richtung A W, die Strecken 11, 
2 II, 3 III, B G verhalten sich wie 1:4:9:16, d. h. wie Fallräume, die in 
den Zeiten 1, 2, 3, 4 von der Ruhe aus zurückgelegt werden. Hierdurch 
wird die Auffassung nahe gelegt, daß es sich bei der Wurfbewegung um 
eine Kombination der gleichförmigen Bewegung in der Wurfrichtung mit 
der Fallbewegung handelt. 

§ 59. Die Bewegung des Pendels. Eine zweite Bewegung, die als 
eine Abänderung der Fallbewegung betrachtet werden kann, ist die Be- 
wegung des Pendels. Wir haben früher gesehen, daß ein an einem 
Faden aufgehängtes Senkel sich in Ruhe befindet, wenn der Faden ver- 




Fig. 48. Wurfbahn. 



§59 



Fallbewegung und Pendel 



65 



tikal ist. Wenn wir den Faden als imausdehnsam voraussetzen, so ist 
das Senkel gezwungen, auf einem Kreise zu bleiben, dessen Mittelpunkt 
in dem Aufhängepunkte liegt; die Ruhelage entspricht dem tiefsten 
Punkte dieses Kreises. Ziehen wir das Senkel zur Seite, so wird es 
unter der Wirkung seines Gewichtes auf dem Kreisbogen wie auf einer 
Reihe von schiefen Ebenen von allmählich abnehmender Neigung herab- 
fallen (Fig. 49). In dem tiefsten Punkte kommt es mit einer gewissen 
Geschwindigkeit an und steigt infolgedessen auf der anderen Seite mit 
abnehmender Geschwindigkeit wieder aufwärts. Es kehrt um, wenn es 
die ursprüngliche Höhe wieder erreicht hat, und wiederholt rückwärts 
die frühere Bewegung; es reiht sich so eine 
ununterbrochene Folge von Hin- und Hergängen 
des Senkels aneinander; die hierdurch charak- 
terisierte Bewegung nennen wir eine Pendel- 
bewegung, das Senkel, sofern es diese Bewegung 
ausführt, ein Pendel. 

Eben durch diese ununterbrochene Wie- 
derholung von Hin- und Hergängen bildet die 
Pendelbewegung ein ausgezeichnetes Objekt für 
Zeitbeobachtungen. Das Element, welches hier- 
bei in erster Linie in Betracht kommt, ist die 
Schwingungsdauer, d. h. die Zeit, die das 
Pendel zu einem einmaligen Durchlaufen seiner 
Bahn, zu einem Hingang oder einem Hergang 
gebraucht. Man bezeichnet diese Zeit wohl auch 
als die Dauer einer halben Schwingung; unter 

einer ganzen Schwingung versteht man dann ein zweimaliges Durchlaufen 
der Bahn, die Bewegung, durch welche das Pendel von dem äußersten 
Punkt auf der einen Seite bis zu demselben Punkt, hin und her, zurück- 
geführt wird. 

Wenn wir die Zeit messen, die während einer großen Zahl von 
Hin- und Hergängen vergeht, können wir die Dauer eines einzelnen 
Hin- oder Herganges, die Schwingungsdauer, mit großer Genauigkeit 
bestimmen. 

Ehe wir aber zu Zeitmessungen übergehen, schicken wir einige 
Beobachtungen voraus, durch die unsere Aufgabe wesentlich vereinfacht 
wird. Hängen wir Körper von verschiedener Gestalt, verschiedenem Ge- 
wicht, verschiedenem Stoffe an gleich langen Fäden auf, ziehen wir sie 
gleich weit von ihrer Ruhelage zur Seite und lassen wir sie im selben 
Momente los, so führen sie ganz übereinstimmende Pendelschwingungen 
aus. Die Pendelbewegung ist ebenso wie der freie Fall von Gestalt, 
Größe, Stoff des bewegten Körpers unabhängig; bei der Pendelbewegung 
ist aber dieser Satz einer ungleich schärferen Prüfung fähig als beim Fall. 

Wir nehmen ferner zwei Pendel mit gleich langen Fäden, entfernen 
dieselben ungleich weit von ihren Ruhelagen und lassen sie gleichzeitig 

Eibckb, Physik I. Dritte Aufl. 5 




Fig. 49. Pendel. 



66 Mechanik starrer Körper § 60 

los. Auch in diesem Falle kehren die Pendel anscheinend gleichzeitig 
in den Endpunkten der von ihnen durchlaufenen Bahnen um. Doch 
gilt dies nur, wenn die durchlaufenen Bögen nicht zu groß sind. Ein 
Pendel, das in sehr weitem Bogen hin- und herschwingt, bleibt gegen ein 
in kleinem Bogen schwingendes allmählich etwas zurück. Immerhin 
sind die hierdurch bedingten Unterschiede von sekundärer Bedeutung, 
und bei kleinen Schwingungsbögen brauchen wir den Einfluß der 
Schwingungsweite jedenfalls nicht zu berücksichtigen. 

Nach diesen Erfahrungen kann nun die Schwingungsdauer eines 
Pendels nur noch abhängen von der Länge des Pendelfadens. Um diese 
Abhängigkeit zu ermitteln, suchen wir zuerst ein Pendel herzustellen, 
dessen Schwingungsdauer gleich einer Sekunde ist, ein sogenanntes Se- 
kundenpendel; ebenso machen wir durch Probieren ein Zwei-, ein Drei- 
sekundenpendel. Wir finden dann die Pendellängen 99 • 4 cm, 397 -6 cm, 
894 • 6 cm. Hieraus folgt das Gesetz : 

Die Quadrate der Schwingungsdauem sind proportional 
den Pendellängen. 

Bezeichnen wir durch T die Schwingungsdauer in Sekunden, durch 
l die Pendellänge in Zentimetern, so ist 

W2 __ L_ 

99-4 

Wir haben bemerkt, daß die Pendelbewegimg in naher Beziehung 
zu der Fallbewegung steht. Es ist zu vermuten, daß diese Verwandt- 
schaft der Bewegungen auch in ihren Gesetzen zum Ausdruck kommt; 

in der Tat ist nun 99-4 = — - = -^-. Das Pendel°;esetz kann daher 



n* n- ö 



in der Form geschrieben werden: 



oder T = % " 




n* g y g 

Die Schwingungsdauer hängt demnach nicht allein von der Pendel- 
länge, sondern auch von der Beschleunigung der Schwere ab. 



Drittes Kapitel. Newtons Prinzipien der Dynamik. 

§ 60. Die Entwickelung der Prinzipien der Dynamik. Ehe wir zu 

der Betrachtung komplizierterer Bewegungserscheinungen übergehen, ist 
es notwendig, eine neue Methode der Untersuchung zu entwickeln. Wir 
haben uns bisher lediglich auf die Beobachtung gestützt; wir stellten mit 
ihrer Hilfe Tabellen her, welche zusammengehörige Werte der zu messen- 
den Größen, Fallraum — Fallzeit, Pendellänge — Schwingungsdauer, 
enthielten. Diese Tabellen ersetzten wir durch Formeln, die den Zu- 
sammenhang der gemessenen Größen in allgemeiner Weise wiedergeben 
und die Gesetze der Bewegungen darstellen. Es ist aber nicht zu ver- 



§ 60 Newtons Prinzipien der Dynamik 67 

kennen, daß die so gewonnenen Resultate nur wenig befriedigende sind. 
Zwar sind wir zu einer vollständigen Kenntnis der Gesetze des freien 
Falles gelangt, aber die Beobachtungen, aus denen sie abgeleitet sind, 
können nur mit mäßiger Genauigkeit angestellt werden, die Gesetze 
selbst sind nicht sicher begründet. Die Beobachtung der Schwingungs- 
dauer eines Pendels ist allerdings einer außerordentlichen Genauigkeit 
fähig, aber das Pendelgesetz selbst gibt über die Bewegung doch nur 
einen fragmentarischen Aufschluß. Es läßt ganz unentschieden die Frage 
nach dem Ort, an dem sich das Pendel zu einer gegebenen Zeit befindet, 
nach der Geschwindigkeit, mit der es eine bestimmte Stelle seiner Bahn 
durchläuft. Wenn so die experimentelle Forschung schon bei den ein- 
fachsten Bewegungen zu ungenügenden Resultaten führt, so würde dies 
natürlich in noch viel höherem Maße der Fall sein, wenn wir zu kom- 
plizierteren Bewegungen übergehen wollten. Würden wir auf den Weg 
der rein experimentellen Forschung beschränkt bleiben, so würden wir 
nur zu unsicheren und fragmentarischen Kenntnissen über die Bewegungs- 
erscheinungen gelangen. Diese Schranke, die der Erforschung der Be- 
wegungserscheinungen entgegenzustehen scheint, wurde durchbrochen 
durch die genialen Leistungen von Galilei und Newton. Diese erst 
haben das Fundament für eine wissenschaftliche Dynamik gelegt. Die 
epochemachende Bedeutung des GALiLEi-NEWTONschen Ideenkreises für 
die ganze Naturforschimg macht es notwendig, ihn wenigstens seinem all- 
gemeinen Inhalte nach zu entwickeln. 

Vor Galilei knüpft sich die Vorstellung der Kraft in erster Linie 
an den Zug oder Druck, den wir empfinden, wenn wir ein Gewicht in 
der Hand halten. Wir haben uns überzeugt, daß jede Kraft, welches 
auch ihr Ursprung sein mag, gemessen werden kann durch den Zug oder 
Druck eines Gewichtes, welches ihr das Gleichgewicht hält. Innerhalb 
der statischen Betrachtung unterscheiden sich die Kräfte nur durch An- 
griffspunkt, Richtung und Größe. Wenden wir uns zu den Erscheinungen 
der Bewegung, so zeigt sich, daß ein Körper nie von selbst aus dem 
Zustande der Ruhe in den der Bewegung übergeht oder von selbst die 
Bewegung, die er in einem gegebenen Augenblick besitzt, verändert. 
Alle solche Veränderungen treten nur ein, wenn der betrachtete Körper 
in die Nähe, in eine gewisse Beziehung zu anderen Körpern gebracht 
wird. Eine kleine Eisenkugel kommt in Bewegung, wenn in ihrer Nähe 
ein Elektromagnet erregt wird; ein Papierstückchen steigt auf, wenn wir 
darüber eine mit Wolle geriebene Siegellackstange halten. Wir drücken 
nichts anderes aus, als jene Tatsache, wenn wir die entstehende Be- 
wegung als Folge einer auf den Körper wirkenden, von jenen anderen 
Körpern ausgehenden Kraft bezeichnen. Dieselben Kräfte, die im Falle 
des Gleichgewichtes als Druck, Zug oder Spannung sich äußern, be- 
trachten wir andererseits als die Ursache einer entstehenden oder sich 
ändernden Bewegung. Setzen wir dann voraus, daß auch bei ihrer 
dynamischen Wirkung Kräfte sich nur unterscheiden durch Angriffs- 



68 Mechanik starrer Körper § 61 

punkt, Richtung und Größe, so kann das GrALiLEi-NEWTONsche Problem 
in folgender Weise formuliert werden. 

Gegeben sind die auf einen Körper wirkenden Kräfte nach Angriffs- 
punkt, Richtung und Größe; es soll eine allgemeine Regel aufgestellt 
werden, nach der die hervorgerufene Bewegung durch Rechnung oder 
Zeichnung zum Voraus bestimmt werden kann. 

Wenn es gelingt, solche Regeln zu entdecken, so werden wir die 
aus ihnen abgeleiteten Bewegungsgesetze allerdings nicht ohne weiteres 
als gültig betrachten, sondern sie erst einer Prüfung durch den Versuch 
unterwerfen. Da aber nun die Gesetze fertig vorliegen, so ist es leicht, 
für den Versuch bequeme, die Beobachtung vereinfachende und erleich- 
ternde Verhältnisse auszuwählen, und wenn die experimentelle Forschung 
auch nicht ausreicht, jene Bewegungsgesetze zu entdecken, so wird sie 
doch der einfacheren Forderung genügen, die Richtigkeit der auf anderem 
Wege gefundenen Gesetze durch einzelne unter günstigen Verhältnissen 
angestellte Beobachtungen zu bestätigen. 

Es fragt sich nun, wie wir zu der Aufstellung jener allgemeinen 
Regeln gelangen. Wenn die Kräfte gegeben sind, so kann nach dem 
Vorhergehenden die Bewegung der Körper nur noch abhängen von ihrer 
inneren Natur; mit Bezug auf diese aber ist eine doppelte Möglichkeit 
vorhanden. Entweder besitzen alle Körper so viel gemeinsames, daß die 
Regeln, nach denen sich die Bewegungen berechnen, für alle dieselben 
sind; oder aber jene innere Beschaffenheit ist eine jedem Körper oder 
wenigstens einzelnen Körperklassen eigentümliche; dann würden für jeden 
Körper oder für jede Körperklasse besondere Bewegungsregeln aufzu- 
stellen sein. Es ist klar, daß die letztere Annahme die Begründung 
einer wissenschaftlichen Dynamik außerordentlich erschwert. Wir ver- 
suchen es also mit der einfachsten ersten. Wenn aber für alle Körper 
die zu der Berechnung der Bewegung bei gegebenen Kräften dienenden 
Regeln dieselben sind, so müssen sie schon verborgen sein in den Ge- 
setzen der Fallbewegung. Es handelt sich also darum, die bei der Fall- 
bewegung gemachten Erfahrungen so zu verallgemeinern, daß sie auf 
die Bewegungen aller möglichen Körper unter der Wirkung aller mög- 
lichen Kräfte Anwendung finden können. 

§ 61. Das Prinzip der Trägheit. Eine erste Verallgemeinerung 
knüpft sich an die Beobachtung, daß der an der ATWooDschen Maschine 
fallende Körper sich mit gleichbleibender Geschwindigkeit weiterbewegt, 
wenn das ihn treibende Übergewicht weggenommen wird. Wir haben 
in diesem Falle eine Bewegung, die nicht durch eine äußere Einwirkung 
unterhalten wird, sondern ihren Grund lediglich in dem sich bewegenden 
Körper haben muß. Die Geschwindigkeit, die der Körper in einem be- 
stimmten Augenblicke besitzt, bleibt dieselbe, solange keine Kraft auf 
ihn einwirkt ; sie kann nur durch äußere Ursachen geändert werden. 
In Übereinstimmung hiermit schloß Galilei aus seinen Versuchen, daß 
ein Körper, der längs einer schiefen Ebene fallend eine gewisse Ge- 



§ 62 Newtons Prinzipien der Dynamik 69 



schwill digkeit erreicht hat, mit derselben Geschwindigkeit unaufhörlich 
sich weiterbewegt, wenn er von der schiefen auf eine horizontale Ebene 
übergeht; denn hier verschwindet jeder Impuls des Gewichtes, jede Ur- 
sache einer Änderung. Newton weist auf die fortschreitende und rotie- 
rende Bewegung der Planeten hin, die ihre durch Reibung kaum ge- 
störten Bewegungen unaufhörlich fortsetzen, und faßt das Resultat der 
Betrachtung in seinem ersten Gesetz der Bewegung so zusammen: 

Jeder Körper beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder 
der geradlinigen gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht 
durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand 
zu ändern. 1 

Man bezeichnet die hierin liegende allgemeine Eigenschaft der 
Körper als ihre Trägheit oder ihr Beharrungsvermögen. 

§ 62. Das Prinzip der Masse. Aus dem Vorhergehenden folgt, daß 
die Bewegung eines Körpers in jedem Augenblicke zerlegt werden kann 
in zwei Teile, von denen der eine lediglich als die Fortsetzung der 
früheren Bewegung, als Folge der Trägheit erscheint, während der andere 
neu hinzukommt. Eine solche hinzukommende Bewegung tritt nur auf, 
wenn der bewegte Körper in physikalischer Beziehung zu irgend einem 
anderen Körper steht, wenn auf ihn eine Kraft wirkt. Wir haben zu 
untersuchen, wie die neu hinzukommende Bewegung von der Kraft ab- 
hängen kann. Die Frage wurde entschieden durch den von Galilei in 
die Mechanik eingeführten Begriff der Beschleunigung. Denn von den 
Elementen der Bewegung, Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung, kann 
in der Tat nur die letztere in einfacher und unmittelbarer Abhängig- 
keit von der auf den Körper wirkenden Kraft stehen. Schon die Ge- 
schwindigkeit enthält jederzeit einen Teil, der mit der wirkenden Kraft 
nichts zu tun hat, sondern Folge der Trägheit ist. Bei den Fallver- 
suchen Galileis tritt Beschleunigung ein, sobald ein treibendes Gewicht 
vorhanden ist, und solange dieses gleich bleibt, erweist sich die Be- 
schleunigung als dieselbe, wie auch im übrigen die Verhältnisse der Be- 
wegung sich ändern; sie bedingt bei einem vertikal aufwärts geworfenen 
Körper eine Verzögerung der Bewegung, entsprechend der Beschleunigung 
des frei fallenden. Wenn also die Beobachtung der Fallbewegung lehrt, 
daß Kräfte unmittelbar Beschleunigungen bestimmen und nicht etwa 
Wege oder Geschwindigkeiten, so fragt sich nur, in welcher Abhängigkeit 
die Beschleunigung von der sie erzeugenden Kraft steht. 

Was zunächst die Richtung anbelangt, so wird diese identisch sein 
mit der Richtung der Kraft; das ergibt sich aus der Bewegung des frei 
fallenden und aus der eines geworfenen Körpers. 

Die Größe der Beschleunigung können wir auf Grund der Gali- 
LEischen Fallversuche der wirkenden Kraft proportional setzen; denn 



1 Sir Isaac Newtons mathematische Prinzipien der Naturlehre, herausgegeben 
von Prof. Dr. Ph. Wolfers. Berlin 1872. S. 82. (Newtons I. Ausgabe. London 1686.) 



70 Mechanik starrer Körper § 63 

bei der Bewegimg auf der schiefen Ebene vermindert sieb die Beschleu- 
nigung in demselben Maße, in dem mit abnehmender Neigung die trei- 
bende Komponente des Gewichtes abnimmt; ebenso ist bei der Atwood- 
schen Maschine die Beschleunigung proportional dem treibenden Teile 
des Gewichtes. Wenn aber allgemein die Beschleunigung der wirkenden 
Kraft proportional ist, so muß der Quotient aus Kraft und Beschleunigung 
eine für einen gegebenen Körper unveränderliche Zahl, eine konstante 
Eigenschaft des Körpers sein; diese Eigenschaft bezeichnen wir als seine 
Masse. Wir erhalten somit den Satz: 

Die auf einen Körper wirkenden Kräfte erteilen ihm Be- 
schleunigungen, deren Richtung mit der Richtung der Kräfte 
zusammenfällt, deren Größe der der Kräfte proportional ist; 
das für einen gegebenen Körper unveränderliche Verhältnis 
der wirkenden Kräfte zu den ihnen entsprechenden Beschleu- 
nigungen nennt man die Masse des Körpers. 

Wir haben früher die Beschleunigung, welche ein Übergewicht p 
dem Gesamtgewicht $ß an der ATWooDschen Maschine erteilt, durch a 
bezeichnet; nehmen wir ein anderes Übergewicht;?', so erhält das gleiche 
Gesamtgewicht *>ß eine andere Beschleunigung a. Nach § 56 ist 

a a' g 

Das Verhältnis zwischen dem treibenden Gewichte und der dadurch er- 
zeugten Beschleunigung ist konstant, gleich dem Gesamtgewicht ^ß, dividiert 
durch die Beschleunigung g des freien Falles. Für diesen Quotienten 

— haben wir schon im § 57 den Namen „Masse" eingeführt. 

Sind F, F' F" Kräfte beliebigen Ursprungs, die auf einen Körper 
wirken, a, a , a" die ihnen entsprechenden Beschleunigungen, m die Masse 
des Körpers, so ist: 

a a! a" ' 
also auch 

F = m,' a, F' = tri • a , F" = m • a" . 

Die auf einen Körper wirkende Kraft ist gleich seiner 
Masse, multipliziert mit der Beschleunigung seiner Bewegung. 

§ 63. Beziehung zwischen dem Prinzip der Masse und dem der 
Trägheit. Die im Vorhergehenden aufgestellte Beziehung zwischen Kraft 
und Beschleunigung entspricht dem Inhalte des zweiten Newton- 
schen Gesetzes der Bewegung, eines Gesetzes, dem eine ungleich 
größere Tragweite zukommt, als dem der Trägheit, und dem man dieses 
letztere unterordnen kann. Von Beschleunigung kann nämlich nur die 
Rede sein, wenn die Geschwindigkeit in ihrer Abhängigkeit von der Zeit 
durch eine stetige Reihe zusammenhängender Maßzahlen gegeben ist, also 
graphisch durch eine Kurve dargestellt werden kann, deren Abszissen die 
Zeiten, deren Ordinaten die Geschwindigkeiten sind. Wenn aber von irgend 



§ 65 Newtons Prinzipien der Dynamik 71 

einem Momente an keine Kraft mehr wirkt, so fällt die Veränderung 
der Geschwindigkeit fort und die vorher irgendwie auf- oder absteigende 
Linie der Geschwindigkeit geht in eine horizontale über. Der Körper 
bewegt sich gleichförmig mit der erlangten Geschwindigkeit weiter. 1 

§ 64. Massenvergleichung. Die von Newton zuerst erkannte funda- 
mentale Bedeutung des Massenbegriffes macht es notwendig, der im 
vorhergehenden enthaltenen Definition noch einige Bemerkungen hinzu- 
zufügen, durch die unsere Vorstellungen möglichst präzisiert und der 
unmittelbaren Anschauung nahegebracht werden. Vor allem bedürfen 
wir eines Maßstabes zur Beurteilung der Größenverhältnisse verschie- 
dener Massen m, m , m". Wir wählen zu diesem Zwecke die Kräfte F, 
F, F" so daß die Beschleunigungen, die sie den Massen m, m , m" er- 
teilen, gleich groß sind. Bezeichnen wir die gemeinsame Beschleunigung 
durch a, so ist; p p ^ F „ 

m = — , m = — , m" = 

a a a 

Somit verhalten sich die Massen wie die auf sie wirkenden Kräfte. Die 
Schwere hat nun, wie wir gesehen haben, die Eigenschaft, allen Körpern 
dieselbe Beschleunigung g zu erteilen. Die Massen der Körper ver- 
halten sich wie ihre Gewichte, jede Wägung ist zugleich eine Ver- 
gleichung der Massen. 

§ 65. Der Einfluß der Masse auf die Bewegung. Der Einfluß der 
Masse auf die Bewegung tritt hervor, wenn wir dieselbe Kraft auf einen 
Körper von großer und einen von kleiner Masse wirken lassen. Hängen 
wir zwei Senkel von recht verschiedener Masse, also verschiedenem Ge- 
wicht, an gleich langen Fäden auf, und führen wir gegen beide einen 
Schlag von der gleichen Stärke, so macht das Pendel von kleiner Masse 
eine weite Schwingung, während das von großer kaum aus seiner Gleich- 
gewichtslage herausgebracht wird. Derselbe Impuls erteilt dem Pendel 
von kleiner Masse eine große, dem von großer Masse eine kleine Ge- 
schwindigkeit. Umgekehrt, wenn wir verschiedene Pendel in gleich weite 
Schwingungen versetzen, so haben wir zum Anhalten derselben eine um 
so größere Kraft nötig, je größer ihre Masse ist. 

In § 57 haben wir gesehen, daß bei der ATwooDschen Maschine 
dieselbe Arbeit eines Übergewichtes einer fallenden großen Masse eine 
kleine, einer kleinen Masse eine große Geschwindigkeit erteilt. In dem- 
selben Sinne können wir die Anziehung benützen, die ein Magnetpol auf 
eine kleine Kugel von weichem Eisen ausübt. Diese wird nicht ge- 
ändert, wenn wir die Kugel mit irgend welchen nicht magnetischen 
Stoffen verbinden. Wir umgeben sie einmal mit einer konzentrischen 
Hohlkugel von Kork, dann mit einer solchen von Blei. Legen wir die 
Kugel beidemal auf eine horizontale Schiene vor den Pol des Magnets, 
so wird sie bei kleiner Masse schneller, bei größerer langsamer dem 

1 Vergl. Mäch, Die Mechanik in ihrer Entwich ehmg historisch-kritisch dar- 
gestellt. Leipzig 1883. S. 222. 



72 



Mechanik starrer Körper 



66 



Pole zurollen. Hängen wir die in der angegebenen Weise vorgerichtete 
Kugel über dem Pole eines Elektromagnets auf, so schwingt sie schnell, 
wenn sie mit Kork, langsam, wenn sie mit Blei umgeben ist. Nach dem 
NEWTONSchen Gravitationsgesetz besteht zwischen zwei Weltkörpern eine 
wechselseitige Anzielrang; dieselbe Kraft, mit der die Erde gegen die 
Sonne gezogen wird, zieht in umgekehrter Richtung die Sonne gegen 
die Erde. Die Beschleunigung aber, welche die Erde hierdurch erfährt, 
übertrifft ebensoviele Male die gleichzeitige Beschleunigung der Sonne, 
als die Masse der Sonne die der Erde ; die Beschleunigung der letzteren 
ist 320 000 mal größer als die der ersteren. 

§ 66. Gleichförmig beschleunigte oder verzögerte Bewegung. Was 
endlich den Nutzen des Massenprinzips für die Erforschung der Be- 
wegungserscheinungen anbelangt, so beschränken wir uns vorläufig auf 
die folgende Bemerkung. Ist die Masse eines Körpers bekannt, so ist 

die einer gegebenen auf ihn wirkenden Kraft F entsprechende Beschleu- 

jp 
niffuna; a = — ' Ist die Kraft ihrer Richtung und Größe nach konstant, 
° ° m 

so gilt gleiches von der Beschleunigung, und die Bewegung ist im wesent- 
lichen der Fallbewegung analog. Bezeichnen wir durch v und s die 
Werte von Geschwindigkeit und Weg für den Nullpunkt der Zeit, so 
sind ihre Werte v und s zu einer beliebigen Zeit t 



v = v + a t , 

s = s + v t + }(ll 2 , 

Ist die Beschleunigung der ursprünglichen Bewegung entgegengesetzt, 
so erhalten wir eine verzögerte Bewegung. Dabei ist nach § 54 die 



D 


a 


CLt 


°o 







t 

Fig. 50. Gleichförmige Beschleunigung. 




Fig. 51. Gleichförmige Verzögerung. 



Beschleunigung als eine negative einzuführen und wir erhalten dann 
die Formeln: 

v = v — a t , 

s = s 4" v Q t — \n t 2 . 

Die graphische Darstellung der Geschwindigkeiten für diese beiden 
Fälle ist durch, die Figuren 50 und 51 gegeben. Mit ihrer Hilfe und 



67 



Newtons Prinzipien der Dynamik 



73 



mit Benutzung der in den §§ 52 bis 55 entwickelten Sätze sind die vor- 
stehenden Formeln leicht zu beweisen. 

Wir machen von den Gleichungen noch eine Anwendung auf die 
Bewegung eines Körpers, der zur Zeit Null von dem Punkte A aus mit 
der Geschwindigkeit v vertikal aufwärts geworfen wird. Bezeichnen 
wir durch t die Zeit, die er braucht, um den höchsten Punkt B seiner 



Bahn zu erreichen, so muß für t = t die Geschwindigkeit v Null ge- 
worden sein. Es ist also, da die Beschleunigung a in diesem Falle gleich g, 

= v o -gt oder t Q = ^ , 

und daher allgemein v=g {t — t). Fällt nun der Körper von dem Punkte B 
aus wieder herab, so ist seine Geschwindigkeit, wenn abermals die Zeit t 
verflossen, gleich gt oder v Q . Zugleich ist er wieder in dem Ausgangs- 
punkt A angelangt, wie man mit Hilfe der Gesetze des freien Falles 
leicht beweisen kann. Die Bewegung des fallenden Körpers ist zeit- 
lich genommen ein Spiegelbild von der des steigenden. 

§ 67. Das Prinzip der Kombination. Bei der Bewegung eines ge- 
worfenen Körpers haben wir bemerkt, daß sie als eine Kombination der 
geradlinigen und gleichförmigen Be- 
wegung in der Wurfrichtung mit der 
Fallbewegungbetrachtet werden kann. 
Wenn Ausgangspunkt A, Wurfrich- 
tung A W und Geschwindigkeit w ge- 
geben sind, so ist es in der Tat 
auf Grund jener Vorstellung mög- 
lich, für jeden späteren Zeitpunkt 
den Ort des geworfenen Körpers zu 
bestimmen. Würde er sich nur in- 
folge seiner Trägheit bewegen, so 
legte er in der Sichtung A PF (Fig. 52) 
in der Zeit t den Weg AB = wt 
zurück; würde nur das Gewicht auf 
ihn wirken, so fiele er in vertikaler 
Richtung um die Strecke A C = \gi % 
herab ; der in Wirklichkeit zu der 
Zeit t erreichte Ort ist gegeben 
durch den Endpunkt D der Dia- 
gonale des aus A B und A C kon- 
struierten Parallelogramms. 

Gehen wir über zu dem Fall 
eines Körpers, auf den beliebige Be- 
wegung bestimmende Umstände wirken. Wir können uns denken, daß 
ihm gleichzeitig gegebene Geschwindigkeiten nach verschiedenen Rich- 
tungen erteilt werden, daß er verschiedenen beschleunigenden Kräften 
unterworfen sei, deren Richtung und Größe mit der Bewegung selbst sich 




Fig. 52. 



74 Mechanik starrer Körper § 67 

ändert. Wir kommen in diesem allgemeinsten Falle zu Verhältnissen, 
auf welche die für den Wurf geltenden Sätze anwendbar sind, wenn wir 
die Betrachtung einschränken auf eine so kleine Zeit, daß wir innerhalb 
derselben die Beschleunigungen und Kräfte nach Richtung und Größe 
als konstant betrachten können. Die weitere Reduktion des Problems 
kann nun auf einem doppelten Wege erfolgen. Der erste ergibt sich, 
wenn man die gegebenen Kräfte nach dem Satz vom Parallelogramm 
zu einer einzigen Resultante vereinigt und die dieser entsprechende Be- 
schleunigung bestimmt. Macht man außerdem die naheliegende Annahme, 
daß auch die verschiedenen gegebenen Geschwindigkeiten nach dem Satze 
vom Parallelogramm durch eine einzige resultierende Geschwindigkeit 
ersetzt werden können, so hat man schließlich nur mit einer Beschleu- 
nigung und einer Geschwindigkeit zu tun und kann während der be- 
trachteten kurzen Zeit die Bewegung ganz so bestimmen, wie beim Wurfe. 
Man kann zweitens die beim Wurfe gemachten Beobachtungen weiter 
verallgemeinern. Wenn ein Körper verschiedenen Bewegung bestimmenden 
Ursachen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen, unterworfen ist, so 
kann man annehmen, daß jede dieser Ursachen unabhängig von den 
anderen wirkt. Man verfolge nun die Bewegung während einer so kleinen 

Zeit r, daß die vorhandenen Kräfte 
nach Richtung und Größe als unver- 
änderlich zu betrachten sind. Dann 
\# werden nach denselben Regeln wie 

\ bei der Wurfbewegung die verschie- 

\ denen Wege A B v AB 2 , AB 3 . . . be- 

\ stimmt, die der Körper in der Zeit r 

\ zurücklegen würde, falls je nur eine 
} j der gegebenen Geschwindigkeiten oder 
/ Beschleunigungen vorhanden wäre. 

/ Der Ort, an den der Körper in der 

"^ Zeit t wirklich gelangt, ergibt sich 

Fig. 53. durch die wiederholte Anwendung des 

Parallelogrammsatzes auf jene ein- 
zelnen Wege, durch die Konstruktion der Resultante aus den Strecken AB V 
AB 2 , A B 3 . . . (Fig. 53). Man sucht also die Ecke D 2 des aus A B x und 
A B 2 konstruierten Parallelogramms, dann die Ecke D 3 des aus A D 2 und 
AB 3 konstruierten usf.; der schließlich resultierende Weg wird durch 
dieselbe Konstruktion bestimmt, wie die resultierende Kraft in Fig. 19. 
Formulieren wir das im vorhergehenden entwickelte Prinzip für den 
Fall von nur zwei Bewegung bestimmenden Momenten, so ergibt sich 
seine Erweiterung auf den Fall beliebig vieler von, selbst. Das Prinzip 
der Kombination kann daher ausgedrückt werden durch den. Satz: 

Unterliegt ein Körper gleichzeitig der Wirkung zweier 
Bewegung bestimmender Ursachen und sind die Wege ge- 
funden, die er in einer kleinen Zeit zurücklegt, falls jedesmal 




§ 69 Newtons Prinzipien der Dynamik 75 

nur die eine zur Geltung kommt, so wird der unter der gleich- 
zeitigen Wirkung beider erreichte Ort durch den Endpunkt 
der Diagonale des aus jenen beiden Wegen konstruierten 
Parallelogramms gegeben. 

Die Zeit, in der die untersuchte Bewegung erfolgt, muß so klein 
gewählt werden, daß während derselben Beschleunigungen, die auf 
den Körper wirken, nach Richtung und Größe als konstant zu be- 
trachten sind. 

Man sieht leicht, daß das Prinzip der Kombination in dieser Fassung 
als spezielle Fälle die Sätze vom Parallelogramm der Geschwindigkeiten, 
der Beschleunigungen und der Kräfte umfaßt. 

§ 68. Das Prinzip von der Gleichheit der Aktion und Reaktion. Eine 
der wichtigsten Leistungen Newtons für die Dynamik haben wir in der 
Aufstellung des Prinzips von der Gleichheit der Wirkungen und Gegen- 
wirkung zu erkennen. Er spricht dasselbe in seinem dritten Bewegungs- 
gesetz in folgender Weise aus: 

Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen 
zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter 
Richtung. 

Ein schwerer Körper drückt auf seine Unterlage und erleidet von 
ihr einen entgegengesetzt nach oben gerichteten Druck von der gleichen 
Größe. 

Ein Magnet zieht ein Stückchen weiches Eisen an und wird um- 
gekehrt mit der gleichen Kraft von ihm angezogen. 

Zwei gleichnamig elektrische Körper stoßen sich wechselseitig mit 
der gleichen Kraft ab. 

Alle Kräfte in der Natur existieren nur als Paare von Kräften. Die 
Erfahrung lehrt, daß Körper, die in gewissen physikalischen Beziehungen 
zueinander stehen, in der Richtung der sie verbindenden Linie ent- 
gegengesetzt gerichtete Beschleunigungen erhalten. Ihre Werte stehen 
im umgekehrten Verhältnis der unveränderlichen Körpermassen. So er- 
fahren Sonne und Erde entgegengesetzt gerichtete Beschleunigungen in 
der Richtung der ihre Mittelpunkte verbindenden geraden Linie. Die 
Beschleunigung der Sonne ist, wie wir schon in § 65 erwähnten, 320000 mal 
kleiner als die der Erde ; das Produkt aus der Masse der Sonne und aus ihrer 
Beschleunigung, die auf die Sonne von der Erde ausgeübte Anziehung, 
ist gleich dem Produkt aus der Beschleunigung der Erde und aus ihrer 
Masse, gleich der in umgekehrter Richtung auf die Erde wirkenden Kraft. 

§ 69. Masseneinheit; technisches und absolutes Maßsystem. Die in 
den vorhergehenden Paragraphen entwickelten Prinzipien genügen nun 
in der Tat, um die Bewegung eines Körpers bei beliebig gegebenen 
Kräften und anfänglichen Geschwindigkeiten zu bestimmen; denn sobald 
man für irgend einen Zeitpunkt die Beschleunigungen gefunden hat, 
kann man das resultierende Wegelement bestimmen und so von Inter- 
vall zu Intervall fortschreitend die ganze Bahn konstruieren. Die Be- 



76 Mechanik starrer Körper § 69 

stirmmmg der Beschleunigungen setzt aber die Kenntnis der Masse vor- 
aus ; die graphische Anwendung der allgemeinen Resultate auf konkrete 
Bewegungen wirklicher Körper ist daher nur möglich, wenn wir ein 
bestimmtes Maß für die Masse festgesetzt und eine Methode entwickelt 
haben, um gegebene Massen nach diesem Maße zu messen. Nun besteht 
jede Messung in einer Vergleichung der zu messenden Größe mit einer 
als Maßeinheit angenommenen gleichartigen. Man könnte also die Masse 
eines beliebigen Körpers willkürlich als Masseneinheit wählen; die Ver- 
gleichung anderer Massen mit dieser würde dann nach § 64 durch eine 
Wägung auszuführen sein. Allein eine solche Lösung der Aufgabe würde 
uns in einen Widerspruch mit einer früheren Festsetzung verwickeln. 
Nach § 62 ist nämlich die Masse eines Körpers gleich einer auf ihn 
wirkenden Kraft, dividiert mit der durch sie erzeugten Beschleunigung, 
insbesondere also gleich seinem Gewichte, dividiert durch die Beschleu- 
nigung der Schwere. Ist das Gewicht des Körpers gemessen in Gramm- 
gewichten gleich p, so ist seine Masse 

P 

sie ist also völlig bestimmt durch das Gewicht. Die Masse des Gramm- 
gewichtes ist 1 / 981 , und die Einheit der Masse besitzt ein Körper, der 
981 Grammgewichte wiegt. Jede Willkür in der Wahl der Masseneinheit 
ist hierdurch ausgeschlossen. 

Die zwischen Gewicht und Masse bestehende Beziehung p = m • g 
gibt uns aber Veranlassung zu einer weiteren Erwägung. Wir haben 
gesellen, daß die Masse bestimmt ist, sobald wir p nach einer bestimmten 
Maßeinheit gemessen haben. Kommen wir auf den schon vorher be- 
rührten Gedanken einer willkürlichen Fixierung der Masseneinheit zurück, 
so ergibt sich, daß umgekehrt p bestimmt ist, sobald wir m in jener 
Einheit gemessen haben. Nichts aber zwingt uns zu der früher an- 
genommenen Messung eines Druckes nach Gramm- oder Kilogramm- 
Gewichten, nichts hindert uns, diese früher gemachte Festsetzung fallen 
zu lassen und durch die neue zu ersetzen, welche durch die willkürliche 
Annahme einer Masseneinheit bedingt wird. Nun liegt aber in der Tat 
ein Umstand vor, der die Definition einer Krafteinheit durch das Ge- 
wicht eines Grammstückes als unzweckmäßig erscheinen läßt. Die Be- 
schleunigung der Schwere ist nicht an allen Stellen der Erdoberfläche 
dieselbe, sie nimmt vielmehr vom Äquator nach dem Pole um etwa 
7 2 % zu; sie beträgt am Äquator 978-0, bei 45° Breite 980-6, bei 70° 
Breite 982-6 cm-sec — 2 . Daraus folgt aber eine gleiche Veränderlichkeit 
des Gewichtes; in den verschiedenen angeführten Breiten hat das Ge- 
wicht eines Körpers von der Masse m die Werte: 

j9 = 978-0m, 79 45 = 980-6m, j9 70 = 982 • 6 m. 

Um mit Hilfe des Grammstückes die Gewichtseinheit in unzwei- 
deutiger Weise zu definieren, müssen wir unsere Angabe beziehen auf 
eine bestimmte Breite oder einen bestimmten Punkt der Erdoberfläche. 



69 Newtons Prinzipien der Dynamik 77 



Wir können als Einheit des Gewichtes den Druck wählen, den ein Gramm- 
stück in einer Breite von 45° ausübt. Für jede andere Breite müssen 
wir dann das Gewicht eines Grammstückes besonders berechnen; wir 
finden für den Äquator eine Anzahl von 9780 / 9806 , in der Breite von 70° 
eine solche von 9826 /9sog ^er gewählten Einheiten. Auf diese Weise wird 
das auf der Einheit des Grammgewichtes beruhende System zu einem 
in sich konsequenten; allein die Schwerfälligkeit bleibt bestehen, die 
darin liegt, daß jedes Gewichtsstück nur unter der Breite von 45° die 
seiner Bezeichnung entsprechende Zahl von Gewichtseinheiten repräsen- 
tiert, während für jede andere Breite seine Bedeutung durch eine Rech- 
nung zu ermitteln ist. Tatsächlich fällt es niemand, der zu praktischen 
Zwecken eine Wägung ausführt, ein, diese Rechnung anzustellen; denn 
es kommt ihm in der Regel gar nicht auf den Druck an, den der 
Körper vermöge seines Gewichtes auf die Unterlage ausübt, sondern nur 
auf die Menge des Gewogenen; für diese aber gibt die Masse ebenso- 
gut einen Maßstab, wie der Gewichtsdruck. Damit ist es aber auch vom 
praktischen Standpunkte aus gerechtfertigt, wenn wir die dem Techniker 
geläufige Definition des Gramms als einer Gewichtseinheit verlassen 
und an ihre Stelle die Definition des Gramms als einer Masseneinheit 
setzen. Wir stellen damit dem zuerst entwickelten Maßsystem, in dem 
das Maß des Gewichtes zur Ableitung eines solchen für die Masse be- 
nutzt wurde, ein zweites gegenüber, in dem zuerst die Einheit der Masse 
festgesetzt und daraus die Einheit des Gewichtes abgeleitet wird. Wir 
benützen in diesem sogenannten absoluten Maßsystem als Einheit der 
Masse die eines Grammstückes; ist die Masse irgend eines Körpers in 
Grammen gleich m, so ist sein Gewicht gleich m-g. Unter der Breite 
von 45° ist das Gewicht eines Grammstückes gleich 980-6, und die Ein- 
heit des Gewichtes besitzt ein Körper, dessen Masse gleich Ygso-e S> gleich 
1-0198 mg oder nahezu gleich 1,02 mg ist. 

Mit Bezug hierauf ergibt sich die folgende Gegenüberstellung der 
beiden Maßsysteme: 

Absolutes Technisches 

Maßsystem. 
Masse als Grundmaß. Gewicht als Grundmaß. 

Einheit der Masse gleich der Masse Einheit des Gewichtes gleich dem 
des Grammstückes. Gewicht eines Grammstückes 

unter 45° Breite. 
Einheit des Gewichtes gleich dem Einheit der Masse gleich der Masse 
Gewicht von 1 / 980 . e g unter von 980-6 g-Gewichten. 

45° Breite. 

Ebensogut kann natürlich im absoluten System das Kilogramm- 
stück zur Einheit der Masse, im technischen das Kilogrammgewicht als 
Einheit des Gewichtes genommen werden. Als Einheit der Länge wird man 
dann das Meter benützen, so daß die Beschleunigung der Schwere gleich 



78 Mechanik starrer Körper § 70 

9-806 m-sec -2 wird. Im absoluten System wird dann die Einheit des 

Gewichtes gleich dem Gewichte von kg, im technischen die Einheit 

& 9-806 ö ' 

der Masse gleich der Masse von 9-806 kg-Gewickten. 

Die gleichzeitige Anwendung der beiden Maßsysteme ist unzweck- 
mäßig wegen der doppelten Bedeutung, in der das Grammstück in ihnen 
auftritt. Wir werden uns vorzugsweise des absoluten Systems bedienen. 
Wir werden aber in Teilen der Physik, die in unmittelbarer Beziehung 
zu der Technik stehen, z. B. in der Elastizitäts- und Wärmelehre, auch 
das technische Maßsystem benützen. Damit jede Zweideutigkeit über 
den Sinn, den wir mit dem Worte Gramm zu verbinden haben, aus- 
geschlossen ist, bedienen wir uns der Ausdrücke Grammgewicht oder 
Kilogrammgewicht, so oft es sich um die Einheit des Gewichtes oder 
der Kraft im technischen System handelt, während unter Gramm 
oder Kilogramm schlechtweg die Masseneinheit im absoluten System 
verstanden werden soll. 

Wir haben wiederholt bemerkt, daß jede beliebige Kraft gemessen 
werden kann durch den Zug oder Druck eines Gewichtes. Die im 
vorhergehenden eingeführten Maßeinheiten des Gewichtes sind also gleich- 
zeitig auch Maßeinheiten der Kraft. Nun müssen wir aber bemerken, 
daß unserer Bestimmung der Gewichtseinheit im absoluten, der Massen- 
einheit im technischen System eine gewisse Unsicherheit anhaftet, weil 
der Wert der Schwerebeschleunigung doch nur innerhalb gewisser 
Grenzen bekannt ist. Wir können diese Unsicherheit beseitigen, wenn 
wir die Definition der Einheiten etwas allgemeiner fassen. 

Nach § 62 besteht zwischen Kraft und Beschleunigung ganz all- 
gemein die Beziehung: 

F = m • a. 

Die abgeleitete Krafteinheit des absoluten Maßsystems kann hiernach 
so definiert werden: 

Die Einheit der Kraft ist die, welche der Masseneinheit 
die Einheit der Beschleunigung erteilt. 

Die Dimension der Kraft ist danach [F~\ = lmt~ 2 , wenn wir mit 
m die Fundamentalgröße einer Masse bezeichnen. 

Arbeit (Ä) haben wir früher definiert als das Produkt aus einer 
Kraft in den Weg, den ihr Angriffspunkt in der Kichtung der Kraft 
zurücklegt; die Dimension einer Arbeit im absoluten Maßsystem ist daher 
[Ä]=l 2 mt- 2 . 

Im technischen Maßsystem würde die analoge Definition der 
Masseneinheit sein: Die Masseneinheit besitzt ein Körper, welchem durch 
die Einheit der Kraft (eine Kraft gleicht dem Gewicht eines Gramm- 
oder eines Kilogrammstückes) die Einheit der Beschleunigung erteilt 
wird. 

§ 70. Spezielle Maßeinheiten. Dasjenige absolute Maßsystem, in 
dem das Zentimeter als Einheit der Länge, das Gramm als Einheit der 



§71 " Newtons Prinzipien der Dynamik 79 

Masse, die Sekunde als Einheit der Zeit benützt wird, nennt man das 
cm • g • sec-System. 

In diesem System ist die Einheit der Kraft diejenige, welche der 
Masse von 1 g die Beschleunigung 1 cm-sec" 2 erteilt; man nennt diese 
Krafteinheit eine Dyne. 

Nach den Bemerkungen des vorhergehenden Paragraphen ist eine Dyne 
gleich dem Gewichte von 1-0198 mg, nahezu gleich 1-02 mg-G-ewichten ; 
man erhält dadurch eine unmittelbare Vorstellung von der Größe der 
Dyne, während die allgemeine Definition eine solche Anschauung nicht 
gewährt. 

Die Einheit der Arbeit im cm • g • sec-System ist gleich der einer 
Dyne auf dem Weg von 1 cm; diese Arbeitseinheit nennt man ein Erg. 

Als technische Einheit der Kraft benützen wir das Kilogramm- 
ge wicht; es ist: • 

1 Kilogrammgewicht = 980600 Dynen. 
Ist eine Kraft im absoluten System gleich F Dynen, so ist ihr Maß im 
technischen System 

F t = 98Q 6Q0 Kilogrammgewichten. 

Die technische Einheit der Arbeit ist die beim Heben eines Kilo- 
grammgewichtes um 1 m geleistete, das Kilogrammgewicht- Meter; 
es ist daher 

1 Kilogrammgewicht-Meter = 980 • 6 x 10 5 Erg. 
Ist eine Arbeit im cm • g • sec-System gleich A Erg, so ist ihr Maß in 
technischen Einheiten 

A * = ssöT^rTÖ* kg-Gewicht-Meter. 

In technischen Dingen kommt es nicht bloß darauf an, daß eine 
Arbeit überhaupt verrichtet wird, sondern es spielt auch die Zeit, die 
dazu nötig ist, eine wesentliche Rolle. Man hat daher den Begriff des 
Effektes oder der Leistung eingeführt und versteht darunter die in 
der Zeiteinheit geleistete Arbeit, die ganze Arbeit dividiert durch die 
dazu gebrauchte Zeit. Eine x4.rbeit von 75 Kilogrammgewicht-Metern 
in der Sekunde nennt man eine Pferdestärke (P.S.). Es ist 

1 P.S. = 75 x'980-6 x 10 5 Erg per Sekunde 

= 735-4 x 10 7 Erg per Sekunde 

oder mit Angabe der Dimension im absoluten cm -g- sec-System 

1 P.S. = 735-4 x 10 7 cm 2 -g-sec- 3 . 

§ 71. Dichte und spezifisches Gewicht. Die in der Volumeinheit 
enthaltene Masse eines Körpers bezeichnen wir als seine 
Dichte. Mit diesem Worte verbinden wir von Haus aus eine andere, 
anschaulichere Bedeutung. Wenn irgend ein Baum mit einer gewissen 
Regelmäßigkeit von unter sich gleichartigen Dingen erfüllt ist, so nennen 



80 Mechanik starrer Körper § 71 

wir Dichte die Zahl der in der Volunaeinheit befindlichen. Wenn wir 
uns an die dem Chemiker geläufige Vorstellung halten, daß die Körper 
aus gleichartigen kleinsten Teilchen, den Molekülen, bestehen, so werden 
wir unter Dichte die Zahl der Moleküle in der Volumeinheit verstehen. 
Nun sehen wir aber leicht, daß bei einem und demselben Körper mit 
dieser Zahl auch die Masse wächst. Betrachten wir z. B. ein einziges 
Molekül, so ist seine Masse bestimmt durch das Verhältnis einer auf das- 
selbe wirkenden Kraft zu der erzeugten Beschleunigung. Lassen wir 
dieselbe Kraft auf zwei verbundene Moleküle wirken, so verteilt sie sich 
auf die beiden und erteilt jedem die Hälfte der früheren Beschleunigung; 
mit der Verdoppelung der Molekülzahl ist auch die Masse verdoppelt; 
so ergibt sich, daß die Masse der Volumeinheit in der Tat der Zahl 
der Moleküle in der Volumeinheit proportional ist, solange es sich um 
Moleküle eines und desselben Körpers handelt, und es rechtfertigt sich 
dadurch der Gebrauch des Wortes Dichte für die Masse der Volum- 
einheit. Die gefundene Beziehung zwischen der Zahl der Moleküle und 
der Masse gilt natürlich nicht mehr, wenn es sich um chemisch ver- 
schiedene Körper handelt. Nach dem Gesetz von Avogadbo sind bei 
gleichem Druck und gleicher Temperatur in 1 com gleich viel Moleküle 
von Kohlensäure und von Wasserstoff enthalten, die Dichte der Kohlensäure 
ist aber 22 mal größer als die des Wasserstoffes. In diesem Falle sind 
die Massen der einzelnen Moleküle der beiden Gase verschieden, sie 
verhalten sich wie die Zahlen, welche von den Chemikern als Molekular- 
gewichte der Kohlensäure und des Wasserstoffes bezeichnet werden, wie 
44:2; in demselben Verhältnisse stehen dann bei gleicher Zahl der 
Moleküle im Kubikzentimeter auch die Dichten. Um gleiche Dichten, 
d. h. gleiche Massen der Volumeinheit zu erhalten, müßte man 22 mal 
weniger Kohlensäuremoleküle nehmen als Wasserstoffmoleküle. 

Aus der zu Anfang aufgestellten Definition folgt der Satz: 

Im absoluten System gibt die Dichte die Zahl der Gramme 
im Kubikzentimeter, der Kilogramme im Kubikdezimeter, der 
Milligramme im Kubikmillimeter. 

Das Gewicht der Volumeinheit bezeichnen wir als das spe- 
zifische Gewicht. Im technischen Maßsystem ist das spezifische Ge- 
wicht gleich der Anzahl der Kilogrammgewichte des Kubikdezimeters 
der Grammgewichte des Kubikzentimeters, der Milligrammgewichte des 
Kubikmillimeters. 

Die Dichte im absoluten und das spezifische Gewicht im technischen 
System werden durch dieselben Zahlen gegeben, da ja die Masse eines 
Körpers immer ebensoviel Gramme beträgt, wie sein Gewicht Gramm- 
gewichte. Dagegen ist im absoluten System das Gewicht der Volum- 
einheit gleich der Dichte mal der Beschleunigung der Schwere ; im tech- 
nischen Maßsystem die Masse der Volumeinheit gleich dem spezifischen 
Gewicht, dividiert durch die Beschleunigung der Schwere, entsprechend 
den Sätzen von § 69. 



§73 Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 81 

§ 72. Der Massenmittelpunkt. Die Einführung des Massenbegriffes 
gibt noch Veranlassung zu einem wichtigen Zusätze zu der Lehre vom 
Schwerpunkt. Wir haben diesen bezeichnet als den Punkt, in dem man 
sich das ganze Gewicht eines Körpers vereinigt denken kann. Sind nun 
m, m m" . . . die Massen der einzelnen Teilchen, in die wir den Körper 
zerlegen können, so ist sein Gewicht gleich der Summe der Teilgewichte 
mg + mg + m"g + . . . oder gleich (m + m + m" + . . )g, d. h. gleich 
der ganzen Masse des Körpers multipliziert mit der Beschleunigung der 
Schwere. Statt die Teilgewichte mg, mg, m" g ... zu einer Resultante 
zu vereinigen, können wir erst die ganze Masse der Körpers im Schwer- 
punkt konzentrieren und dann das in ihm angreifende Gewicht durch 
Multiplikation mit g bestimmen. Man nennt daher den Schwerpunkt 
eines Körpers auch seinen Massenmittelpunkt. Bei allen Aufgaben 
der Mechanik, in denen es sich nur um translatorische Bewegungen 
eines Körpers handelt, nicht um Rotationen um eine durch ihn gehende 
Achse, werden wir uns die ganze Masse konzentriert denken im Schwer- 
punkt. Wir können dann die Bewegung behandeln wie die eines mit Masse 
begabten sogenannten materiellen Punktes, wodurch eine wesent- 
liche Vereinfachung erzielt wird. Hiervon haben wir im Grunde schon 
im vorhergehenden Gebrauch gemacht, sofern wir etwaige Rotations- 
bewegungen der Körper stillschweigend außer acht gelassen haben. 

Viertes Kapitel. Anwendungen der Newtonschen Prinzipien. 

§ 73. Schwingende Bewegungen. Für die Pendelbewegung sind 
charakteristisch die in ununterbrochener Folge sich wiederholenden Hin- 
und Hergänge in der kreisförmigen Bahn, deren Mittelpunkt mit der 
Ruhelage des Pendels zusammenfällt. Bewegungen von derselben Art 
begegnen wir in den verschiedensten Teilen der Physik; die Bewegung 
des Pendels ist ein typisches Beispiel für eine große Klasse von Be- 
wegungen, die wir schwingende, oszillierende oder periodische 
nennen. Hängen wir an einer Spiralfeder, wie sie zur Konstruktion der 
Federwagen benützt wird, ein Gewicht auf, so können wir dieses um 
seine Ruhelage in derselben Weise schwingen lassen, wie ein Pendel um 
den tiefsten» Punkt seiner Bahn; die Bewegung der Punkte einer tönen- 
den Saite, einer aus dem magnetischen Meridian abgelenkten und dann 
losgelassenen Kompaßnadel sind von derselben Art. Wir können für 
die Zwecke der Untersuchung ein solche Bewegung künstlich auf 
folgendem Wege herstellen. In der Peripherie eines Kreises (Fig. 54) 
bewege sich ein Punkt A mit vollkommen gleichförmiger Geschwindig- 
keit. Von A fällen wir auf den horizontalen Kreisdurchmesser BD das 
Lot A cc. Wenn der Punkt A durch den oberen Halbkreis von B nach 
D geht, so legt gleichzeitig der Punkt a den Durchmesser BD zurück. 
Während der Punkt A von D über Ä nach B zurückgeht, läuft auch a 
von D wieder nach B zurück. Während also der Punkt A ohne Unter- 

Eieckb, Physik I. Dritte Aufl. 6 



82 



Mechanik starrer Körper 



§'.73 



brechung gleichförmig im Kreise herumläuft, schwingt der Projektions- 
punkt a auf dem Durchmesser BD hin und her. Die Hälfte der durch- 
laufenen Bahn, den Halbmes- 
Ä^ — ~ — -^ ser CB, bezeichnen wir dabei 

AS* \ als die Amplitude der 

Schwingung. Die Schwingungs- 
dauer T von a, die Zeit eines 
einmaligen Hin- oder Her- 
ganges durch BD, ist gleich 
der halben Umlaufszeit von A. 
Zwischen der so erzeugten 
künstlichen Pendelbewegung 
und den vorher angeführten 
Beispielen besteht nun ein 
wesentlicher Unterschied. Bei 
den letzteren kennen wir die 
Kräfte, unter deren Wirkung 
die Bewegung entsteht; bei 
dem künstlichen Pendel ' da- 
gegen ist die Bewegung vollkommen bestimmt durch die Umlaufszeit 2 T 
des Punktes A\ wir wissen aber nicht, welche Kraft unser Mechanismus auf 
eine in a konzentrierte Masse ausüben muß, damit sie die vorgeschriebene 
Bewegung ausführt. Diese Kraft ist nun mit Hilfe der NEWTONschen 
Prinzipien leicht zu bestimmen. 

Wir betrachten die Bewegung während einer so kurzen Zeit r, daß 
der Bogen AÄ, den der Punkt A in dieser Zeit zurücklegt, als eine 
gerade Linie anzusehen ist. Der Punkt u gelangt gleichzeitig nach a 
und seine Geschwindigkeit ist gegeben durch da/r. Ziehen wir durch 
A die Parallele A E zu B D, so sind die Dreiecke Ca. A und Ä EA ein- 
ander ähnlich, somit ist: 

AA' 




Fig. 54. 



aa 



= AE = Au X 



AG 



Nun durchläuft der Punkt A in der Zeit T den halben Umfang 
% X A C des Kreises, somit in der Zeit r den Weg: 



Hiernach wird 



AÄ = n~AC. 



aa ' = % -^ • Aa, 



die Geschwindigkeit des Projektionspunktes an der Stelle a ist somit 
gegeben durch -^'Aa\ sie ist proportional der Länge von Aa. 

Man erkennt weiter aus der Figur, daß der Zuwachs, den die Ge- 
schwindigkeit des Punktes a in der Zeit x erfährt, gleich ist -^ÄE, 



§74 



Anwendungen der Newtonsei hen Prinzipien 



83 



Die Beschleunigung des Projektionspunktes an der Stelle a ist daher 



n 



Ä E 



Es ist aber 



Ä E = Ca -7-= = % -=■ • G cc ; 

AG T ' 

somit findet man für die Beschleunigung des Punktes u den Wert -=^ • Ca. 

Ist in a die Masse m konzentriert, so ist die gesuchte Kraft, welche 
von dem Mechanismus auf a ausgeübt wird, gegeben durch 

m • -== • G cc. 






Sie fällt in die Richtung des Durchmessers BD, ist nach dem Mittel- 
punkte C gerichtet und proportional dem jeweiligen Abstände des 
Punktes a von G. Die Kraft ist nach Richtung und Größe einem perio- 
dischen Wechsel unterworfen. 

Dasselbe Gesetz gilt nun aber für die wirkenden Kräfte in den oben 
angeführten Beispielen; sie sind proportional dem Abstände des schwingen- 
den Körpers von der Ruhelage und nach dieser hin gerichtet. Wir 
schließen hieraus, daß die schwingenden Bewegungen jener Körper den- 
selben Gesetzen folgen, wie unsere künstliche Schwingung. Die zu ihrer 
Erzeugung dienende Konstruktion kann auf jede pendelnde Bewegung 
angewandt werden, sobald die Schwin- 
gungsdauer bekannt ist, und sobald 
die Bahn des schwingenden Körpers 
als geradlinig betrachtet werden kann. 

§ 74. Ergänzung des Pendel- 
gesetzes. Die vorhergehende Bemerkung 
wenden wir nun an auf den Fall des 
Pendels. Es sei D in Figur 55 der Mittel- 
punkt des Kreises, auf dem sich das 
Pendel bewegt, C seine Ruhelage, A der 
Punkt, in dem es sich zu irgend einer 
Zeit befindet, AB eine Senkrechte zu 
D C; die Kraft P, die auf das Pendel 
wirkt, ist sein Gewicht, also, wenn wir 
unter m die Masse des Pendels ver- 
stehen, P=mg. Von dieser Kraft 
kommt nur die zu der Bahn parallele 




-7— zur Geltuns;. 

AD ö 



Komponente S — mg- 

Bezeichnen wir die Pendellänge durch l, so ist 



Fig. 55. 



£ = 



mg 



AB. 



Wenn die Schwingungsweite des Pendels klein ist gegen seine Länge, 
so fällt A B nahe zusammen mit dem Kreisbogen A G und wir können 



84 Mechanik starrer Körper § 75 

setzen: S = —j-'AG. Gleichzeitig können wir die Krümmung der 

Pendelbahn vernachlässigen und sie als eine Gerade betrachten, deren End- 
punkte beiderseits gleich weit von G abstehen; in diese Gerade fällt dann 
natürlich auch die Richtung von S. Unter der gemachten Voraussetzung 
wird also das Pendel nach seiner Ruhelage gezogen mit einer Kraft, die 

gleich ist — ~- multipliziert mit dem jeweiligen Abstände von der Ruhe- 
lage. Die für das künstliche Pendel in § 73 gefundenen Sätze finden 
somit auf das in kleinem Bogen schwingende Pendel Anwendung; es 
kann die treibende Kraft aus der Schwingungsdauer T berechnet werden 

2 

nach der Formel m~=-AC. Wir haben damit für ein und dieselbe 

Kraft zwei verschiedene Ausdrücke gefunden; setzen wir sie gleich, so 
ergibt sich: 

mg . _, TT 2 . ~ 

—^->AC = m-jp-AC 

oder 

n 2 ~~ g 

Wir sind damit zu demselben Gesetze gelangt, das wir früher auf 
dem Wege der Beobachtung gefunden hatten. Wir erkennen aber deut- 
lich die Überlegenheit der GALiLEi-NEWTONSchen Methode über die rein 
empirische Forschung. Einmal liefert die Theorie eine vollständige Be- 
schreibung der Bewegung nach all ihren Einzelheiten, was wir früher 
vermißten; sodann zeigt sie, daß das früher für die Schwingungsdauer 
aufgestellte Gesetz in der Tat nicht allgemein gültig ist, sondern be- 
schränkt auf Schwingungen, bei denen die Abweichung der Kreisbahn 
von einer geradlinigen vernachlässigt werden kann, auf Schwingungen 
von kleiner Amplitude. 

§ 75. Las physische Pendel. Wir haben uns bei den vorhergehen- 
den Betrachtungen die ganze Masse des Pendels in einem Punkte kon- 
zentriert gedacht; bei jedem wirklichen Pendel besitzt aber diese Masse 
eine gewisse Ausdehnung, und ihre Konzentration im Massenmittelpunkt 
ist im allgemeinen nicht statthaft, da die Bewegung eine drehende ist. 
Die bisher betrachtete Bewegung stellt also einen idealen Fall dar, dem 
man sich mehr und mehr durch Verkleinerung der Pendelkugel nähert, 
der aber von der Bewegung eines wirklichen Pendeis als verschieden 
betrachtet werden muß. Ein Pendel, dessen Masse in einem einzigen 
Punkte vereinigt ist, nennt man ein mathematisches, zum Unterschied 
von den physischen Pendeln, auf die sich unsere Experimente be- 
ziehen. Am nächsten kommen den mathematischen Pendeln physische 
Pendel, die aus langem Faden mit kleiner Kugel bestehen. Wir haben 
bisher mit derartigen Fadenpendeln operiert; wir dehnen jetzt 
unsere Untersuchung aus auf solche, die durch beliebige um einen 
festen Unterstützungspunkt oder eine horizontale Achse drehbare Körper 



§76 



Anwendungen, der Newtonschen Prinzipien 



85 



dargestellt sind. Nach einem früheren Satze sind solche Körper im 
Gleichgewicht, wenn ihr Schwerpunkt senkrecht unter dem Drehungs- 
punkt liegt. Ziehen wir den Körper zur Seite und lassen wir ihn 
dann los, so führt er um die Ruhelage herum Pendelschwingungen 
aus, deren Gesetz wir zu ermitteln haben. Denken wir uns den 
Körper zerlegt in Teilchen von solcher Kleinheit, daß wir ihre Massen 
in den Schwerpunkten konzentriert denken können, so zerfällt er 
in ein System von unendlich vielen mathematischen Pendeln, deren 
Länge von Null bis zu einem durch die Ausdehnung des Körpers be- 
dingten Betrage wächst, die aber alle miteinander fest verbunden sind 
Denken wir uns diese Verbindung gelöst, so werden alle Pendel von 
gleicher Länge in derselben Weise hin- und herschwingen, die der 
Drehungsachse näheren schneller, die entfernteren langsamer. Nun sind 
aber die Pendel fest verbunden; sie müssen sich also auf eine gemein- 
same Schwingung akkommodieren, die Pendel von kleiner Länge müssen 
ihre Bewegung verzögern, die von großer beschleunigen. Mit Notwendig- 
keit folgt hieraus, daß eine gewisse Reihe von Pendeln existiert, die gerade 
jene mittlere Schwingungsdauer besitzen, auf 
welche die der Drehungsachse näheren und ferneren 
sich vereinigen. Diese Pendel schwingen also 
genau so, als ob sie frei wären, nicht mit den 
anderen zu dem festen Körper verbunden. Ex- 
perimentell lassen sich die Punkte des physischen 
Pendels, die wie freie mathematische Pendel 
schwingen leicht bestimmen. Man hängt neben 
dem physischen Pendel ein mathematisches auf und 
reguliert seine Länge so, daß es synchron mit dem 
physischen Pendel schwingt. Die Länge dieses 
mathematischen Pendels gibt dann die Entfernung 
der gesuchten Punkte von der Drehungsachse. An 
diese Beobachtung schließt sich die Einführung 
eines Punktes, der für die Theorie des physischen 
Pendels von großer Bedeutung ist, des Schwin- 

gungspunktes. Es repräsentiere der Punkt A (Fig. 56) die horizontale 
Achse, um die sich das Pendel dreht, S sei der Schwerpunkt; wir ziehen 
die Linie A S und tragen auf ihr A B gleich der Länge des gleich- 
schwingenden mathematischen Pendels ab. Der Punkt B heißt dann der 
Schwingungspunkt des physischen Pendels. Dem Vorhergehenden zufolge 
ist die Schwingungsdauer T des Pendels gleich der eines mathematischen 
Pendels von der Länge AB, somit 

T- AB 

«2 9 

§ 76. Das Reversionspendel. Der im vorhergehenden eingeführte 
Schwingungspunkt hat noch eine weitere merkwürdige Eigenschaft. 
Stecken wir durch ihn eine horizontale Achse, und hängen wir nun das 




Fig. 56. 



86 



Mechanik starrer Körper 



§77 



Pendel umgekehrt so auf, daß die Achse D seine Drehungsachse wird, 
so ist seine Schwingungsdauer dieselbe wie zuvor, also wieder gegeben 

für die neue Schwingung ist somit der Punkt A 



-, , T 2 AB 

durch —r — 

n- g 

Schwingungspunkt geworden. Wir drücken das aus in dem von Huyghens 
entdeckten Satze: 

Bei jedem physischen Pendel existieren zwei mit dem Schwerpunkt in 
einer Ebene, aber im allgemeinen unsymmetrisch zu ihm gelegene, ein- 
ander parallele Achsen, welchen dieselbe Schwingungsdauer entspricht. 
Der Abstand dieser Achsen ist gleich der Länge des gleichschwingenden 
mathematischen Pendels. 

Ein Pendel, das man um zwei solche zu beiden Seiten des Schwer- 
punktes liegende Achsen schwingen lassen kann, heißt ein Reversionspendel. 
§ 77. Allgemeine Formulierung des Pendelgesetzes. Unabhängig 
von der Bestimmung des Schwingungspunktes kann das Gesetz für die 

Schwingungsdauer des physischen Pen- 
dels in folgender Weise formuliert werden. 
Wir betrachten zunächst ein mathema- 
tisches Pendel und nehmen an, der 
Pendelkörper sei durch eine starre ge- 
wichtlose Linie mit der Drehungsachse 
verbunden. Sein Gewicht übt dann ein 
statisches Moment mg x AB oder, wennwir 
hier die Länge l des Pendels einführen, 
A B 




mg-'l- 



aus (Fig. 57). Nun ist der 



AD 

letztere Bruch gleich dem Sinus des 
Winkels q>, um den das Pendel aus 
der Ruhelage abgelenkt ist, bei kleiner 

AB 



Elongation ist also 

° AD 



und das 



Fig. 57. 



Drehungsmoment gleich mglcp_. Der 
Faktor mgl, mit dem hier der in 
Bogenmaß ausgedrückte Ablenkungs- 
winkel multipliziert ist, wird als die auf das Pendel wirkende Direk- 
tionskraft bezeichnet. Es ist nun leicht, diese Direktionskraft in die 
Formel für die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels einzu- 
führen, indem man setzt: 

T 2 _ J_ ml* 
jt 2 g mgl' 
Den im Zähler stehenden Ausdruck ml 2 nennt man das Trägheits- 
moment des Pendels mit Bezug auf die Drehungsachse. Mit Hilfe der 
neu eingeführten Begriffe ergibt sich also der folgende Ausdruck für 
das Pendelgesetz: 

T l Trägheitsmoment 
n- Direktionskraft 



§78 



Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 



87 



In dieser Form gilt nun das Gesetz aligemein für jeden schwingen- 
den Körper, gleichgültig welches die Lage der Drehungsachse, welches 
der Ursprung der Direktionskraft ist. Wir nehmen dies hier als ein 
feststehendes Ergebnis der Forschung hin und behalten uns vor, 
später (§ 98) darauf zurückzukommen. Für das physische Pendel ins- 
besondere erhalten wir zunächst die Direktionskraft, 
wenn wir beachten, daß die Wirkung der Schwere die- 
selbe ist, wie wenn die ganze Masse des Pendels im 
Schwerpunkte konzentriert wäre. Bezeichnen wir jene 
Masse durch M, durch s die Entfernung des Schwer- 
punktes von der Drehungsachse, so ist die Direktionskraft 
gleich Mgs. Das Trägheitsmoment des ganzen Körpers 
aber ist gleich der Summe der Trägheitsmomente 
seiner kleinsten Teilchen. Bezeichnen wir die Massen 
dieser durch m, m, m" . . . , ihre Entfernungen von der 
Drehungsachse durch l, l ', l" ... (Fig. 58), so ist das 
Trägheitsmoment gleich 

m l 2 + m l' 2 + m" l" 2 + . . . = 2 m l 2 , 
und das Pendelgesetz: 




„2 



Mgs 



Fig. 58. 
Physisches Pendel. 

Wir schließen hieran noch den schönen Satz über das Trägheits- 
moment eines Körpers, auf dem die Theorie des Peversionspendels beruht. 

Es sei gegeben ein Körper von beliebiger Gestalt; durch seinen 
Schwerpunkt legen wir eine Achse und berechnen für sie das Trägheits- 
moment J; verlegen wir nun die Achse aus dem Schwerpunkt heraus parallel 
mit sich selbst in die Entfernung d von der früheren Lage, so nimmt 
das Trägheitsmoment zu um Md 2 , wo M die Masse des Körpers; sein 
Wert für die neue Achse ist also J + Md 2 . 

§ 78. Die Beschleunigung der Schwere. Wir haben früher bemerkt, 
daß die Fallversuche zu der Berechnung von g wenig brauchbar sind. 
Dagegen läßt sich g bestimmen aus der Länge eines mathematischen Pendels 
von bekannter Schwingungsdauer. Man wählt dazu die Länge des 
Sekundenpendels, d. h. eines Pendels, dessen Schwingungsdauer eine 
Sekunde beträgt. Ein solches wird entweder dargestellt in einer dem mathe- 
matischen Pendel nahe kommenden Form durch eine an einem Faden 
hängende Kugel, oder in der Form eines Reversionspendels, bei dem 
die Entfernung der Achsen die Länge des Sekundenpendels gibt. 

Die Gleichheit der Beschleunigung der Schwere für alle möglichen 
Stoffe hat Newton und später Bessel geprüft, indem er an demselbenPendel- 
faden Kugeln aus Platin, anderen metallischen Massen, Glas usw. aufhing. 

Die Messung der Länge des Sekundenpendels an verschiedenen Orten 
der Erdoberfläche hat gezeigt, daß die Beschleunigung der Schwere mit 



88 



Mechanik starrer Körper 



§79 



der geographischen Breite zunimmt. Der numerische Betrag der Ände- 
rung ergibt sich aus. der folgenden Tabelle: 

Breite 15 30 45 



9 



cm 

sec 2 



978,00 978,35 979,30 980,60 



60 



981,89 



75 



90 



982,84 983,19 



A a C 



Die Abhängigkeit der Beschleunigung der Schwere von der geo- 
graphischen Breite läßt sich nach Helmeet durch die Formel darstellen: 1 

g = 978,00 • (1 + 0,00531 sin 2 y) cm • sec- 2 . 

§ 79. Die Bifilarsuspension. Um einen Körper in horizontalem 
Sinne drehbar zu machen und ihm gleichzeitig eine bestimmte Gleich- 
gewichtslage zu geben, benützen wir bei manchen physikalischen Appa- 
raten und Versuchen die sogenannte 
Bifilarsuspension (Fig. 59). Wir 
hängen den Körper an zwei gleich 
langen, in derselben Höhe befestigten 
Fäden AB und CD so auf, daß der 
Abstand der Befestigungspunkte AC 
gleich ist dem der Aufhängungs- 
punkte BD und daß der Schwer- 
punkt S in der Mittellinie der 
Strecke BD liegt. In der Ruhelage 
hängen die beiden Fäden in der- 
selben Vertikalebene parallel herab ; 
| drehen wir nun den aufgehängten Kör- 
per in horizontalem Sinne, so daß sein 
Schwerpunkt in derselben Vertikal- 
linie bleibt, so führt er Pendel- 
schwingungen um seine Gleichgewichtslage aus, sobald jenes horizontale 
Drehungsmoment aufgehoben wird. Die Schwingungsdauer kann berechnet 
werden, sobald das Trägheitsmoment des Körpers um die vertikale Drehungs- 
achse und die Direktionskraft der bifilaren Suspension bekannt sind. Die 
letztere ergibt sich aus der folgenden Überlegung. Das Gewicht des Stabes 
verteilt sich auf die beiden Aufhängepunkte B und D. In den wirkenden 
Kräften wird also nichts geändert, wenn wir uns die Masse H des Stabes 
in zwei gleiche Teile zerlegt denken, die in den Punkten B und D 
konzentriert sind. Werden diese beiden Punkte sodann durch eine ge- 
wichtlose Stange miteinander verbunden, so entsteht ein neues Bifilar- 
pendel, das dieselbe Direktionskraft besitzen muß, wie das gegebene. 

a 2 
Das Trägheitsmoment des fingierten Pendels ist aber gleich M — , wenn wir 

durch a den Abstand der Suspensionsfäden bezeichnen. Ist ferner H 



B 



D 



S 
Fig. 59. 



1 Über Abweichungen hiervon vergl. : Robert von Sterneck, Eelative Schwere 
bestiminungen ausgeführt im Jahre 1894. Mitteilungen des k. u 
phischen Institutes. XIV. Band. Wien 1895. 



k. militär-geogra- 



§ 80 Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 89 

die unbekannte Direktionskraft, T die Schwingungsdauer des fingierten 
Pendels, so gilt die Gleichung a 2 



TT 2 H 

Das fingierte Bifilarpendel stellt sich aber andererseits dar als eine 

Kombination zweier mathematischer Pendel AB und CD, die stets in 

entgegengesetztem Sinne hin- und herschwingen, so daß der Mittelpunkt 

ihrer Verbindungslinie in einer vertikalen Linie sich auf und ab bewegt. 

Die Schwingungsdauer dieser mathematischen Pendel ist gegeben durch 

T 2 l 

n* ~ g ' 

wenn l die Länge der Suspensionsfäden. 

Setzen wir die beiden Werte der Schwingungsdauer einander gleich, 

so ergibt sich _ _, a 2 

H=Mg- TT , 

ein Ausdruck, der nach dem Vorhergehenden ebenso die Direktionskraft 
des wirklich gegebenen, wie die des fingierten Bitilarp endeis repräsentiert. 
Der Winkel, den das abgelenkte Bifilarpendel mit seiner Ruhelage ein- 
schließt, sei <p,dann ist der in § 77 angegebenen Bedeutung der Direktions- 

a 2 
kraft zufolge das Drehungsmoment der Bifilarsuspension gleich Mg-~j-(f- 

§ 80. Die gedämpfte Pendelschwingung. Wenn man ein frei 
schwingendes Pendel in Bewegung bringt und dann sich selber überläßt, 
so bemerkt man, daß die Schwingungsamplituden allmählich kleiner 
werden, und daß schließlich das Pendel wieder zur Ruhe kommt. Es 
rührt das da.her, daß die Luft der Bewegung des Pendels einen gewissen 
Widerstand entgegensetzt; die hierdurch bedingte fortwährende Ver- 
kleinerung der Schwingungsweite bezeichnet man als die Dämpfung der 
Schwingung. Diese Dämpfung spielt bei den verschiedensten physi- 
kalischen Erscheinungen eine bedeutende Rolle. Wir stoßen auf sie bei 
den Schwingungen der Saiten, bei den Schwingungen von Lichtstrahlen, 
welche in einen Körper von geringer Durchsichtigkeit eindringen; sie 
findet statt bei den schwingenden Bewegungen der Elektrizität, wie sie 
bei elektrischen Entladungen auftreten. Mit Rücksicht auf diese mannig- 
fache Anwendung, welche die Gesetze der gedämpften Schwingung finden, 
scheint es zweckmäßig, sie an dem einfachen Beispiele der Pendel- 
schwingung etwas eingehender zu untersuchen. 

Ebenso Avie die gewöhnliche Pendelschwingung können wir auch die 
gedämpfte Schwingung durch einen künstlichen Mechanismus erzeugen. 
Wir brauchen nur an Stelle des Kreises von § 73 eine sogenannte 
logarithmische Spirale zu benützen, wie sie durch Figur 60 dargestellt 
wird. C ist der Mittelpunkt, um den sich die Spirale windet; um ihn 
lassen wir den Radius CA mit ganz gleichmäßiger Geschwindigkeit im 
Sinne des eingezeichneten Pfeiles sich drehen ; der Punkt A, in dem der 
Radius die Spirale schneidet, bewegt sich dann auf der Spirale mit einer 



90 



Mechanik starrrer Körper 



80 



Geschwindigkeit, welche kleiner wird in dem Maße, in dem der Punkt A 
auf engere Windungen der Spirale übergeht. Von A fällen wir auf den 
horizontalen Durchmesser B 1 D 1 das Lot A a ; während der Punkt A in 
der Spirale herumläuft, geht dann der Projektionspunkt u in dem hori- 
zontalen Durchmesser B 1 D l hin und her; er führt in diesem eine 
Schwingung mit allmählich abnehmender Amplitude, d. h. eine gedämpfte 
Schwingung aus. 

Die Windungen der Spirale durchschneiden den Durchmesser B x D x 
nicht senkrecht; daher bezeichnen die Punkte B x , D lf B 2 , ... nicht 
die Stellen größter Abweichung des Punktes a von seiner Ruhelage C; 




Fig. 60. 

vielmehr sind diese letzteren Stellen gegen die Punkte B J , D v B 2 . . . 
immer etwas nach außen verschoben. Bei einer Spirale, deren Win- 
dungen sich nur langsam zusammenziehen, ist die Abweichung immer- 
hin nicht groß, und wir wollen daher, um die Betrachtung nicht unnötig 
zu erschweren, annehmen, daß die Punkte B v D v B 2 . . . für die extremen 
Lagen des Punktes a genommen werden können. Die aufeinanderfolgenden 
Amplituden der Schwingung sind dann gegeben durch die Strecken GB V 
CD 1 , CB 2> CD 2 , CB 3 . . . Bezeichnen wir den Winkel, den der Radius CA 
mit der horizontalen Achse CB l einschließt, durch cp, ao ist der Radius- 
vektor der Spirale gegeben durch die Gleichung: 

CA = GB } e-yp. 
Hier ist e die in § 10 'angegebene Zahl. Für y, = ist e° = 1, so- 
mit CA = CB X in Übereinstimmung mit unserer Figur 60. Für die Ab- 



8 80 Anwendungen der Newtonsehen Prinzipien 91 

weichung des Punktes a von seiner Ruhelage C ergibt sich aus der 
Figur der Wert: Qa = ^ . fi _, „ C08 ^ 

Nun ist für cp — 0, cp = 2ti, cp = An . . . cos cp = 1, 

für cp = 7i, cp — %n, cp = 5ti . . . cos qp = — 1. 

Somit ergibt sich für die aufeinanderfolgenden Amplituden der 
Schwingung von «: 

CB 1 = CB V 
CD 1 = - CB\ -e-y*, 
GB 2 = GB l -'e- 2 r*, 
CD 2 = - CB r e- 3 y™, 
GB 3 = OBi'6- 1 **, 

Die nach rechts gewandten Amplituden sind hier von den nach links 
gewandten unterschieden durch das Vorzeichen. Aus der Zusammen- 
stellung der Amplitudenwerte ergibt sich nun leicht die charakteristische 
Eigenschaft der von uns betrachteten logarithmischen Dämpfung. 
Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Amplituden 
bleibt dasselbe während der ganzen Dauer der Schwingung. 
In der Tat ist, wenn wir von dem Vorzeichen absehen: 
GB X CD, GR L= CJX L 
CA CB t ' Cü a " CB B ' ' 

also konstant. Man bezeichnet jenes Verhältnis als das Dämpfungs- 
verhältnis, die Zahl % y als das logarithmische Dekrement. Von 
experimenteller Seite ist der ausgesprochene Satz durch die Beobachtung 
der verschiedenartigsten gedämpften Schwingungen bestätigt worden. 

Die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Punktes a in seiner 
geradlinigen Bahn läßt sich nicht in so elementarer Weise bestimmen 
wie in dem Falle von § 73. Wir begnügen uns, das Resultat der Rechnung 
mitzuteilen. Es ergibt sich für die Geschwindigkeit der Wert: 

v — — "{Act + y>Ccc); 



für die Beschleunigung: 



71 



a = — -jü- (1 + T 2 ) • Ca — 2 y • ^ • v. 

Hier bedeutet T die Schwingungsdauer, d.h. die Zeit, welche der Punkt« zu 
einem einmaligen Hin- oder Hergange in seiner Bahn, zu der Bewegung 
von B l —^D 1 , Dj— >~B 2 , B 2 —>D V . . . braucht. Die negativen Vorzeichen 
deuten an, daß Geschwindigkeit und Beschleunigung in dem betrachteten 
Zeitpunkte der Richtung der horizontalen Achse GB X entgegengesetzt sind. 
Der Radius Ca durchstreicht in der Zeit T die obere oder die 
untere Halbebene, von cp = bis cp = n oder von cp = n bis cp> = 2%. 
Hat |der Radius zur Zeit t= die Lage CB } , so ist für t— auch 
cp = 0; zur Zeit t = T wird cp = %. Zu einer beliebigen Zeit t sei der 
Winkel, um den sich der Radius Ca von der Ausgangslage CB X an ge- 



92 Mechanik starrer Körper § 80 

dreht hat, gleich cp ; wir haben vorausgesetzt, daß der Radius sich ganz 
gleichmäßig um den Punkt C dreht, somit ist: 

cp:t = n:T oder tp = -= • t , 

wodurch die Beziehung zwischen Drehungswinkel und Zeit festgelegt ist. 

Setzt man in den für v und a gegebenen Gleichungen y = 0, so 
kommt man zurück zu den Formeln, welche auf Seite 82 und 83 für 
Geschwindigkeit und Beschleunigung der ungedämpften Schwingung ge- 
geben worden sind. 

Ist in dem Punkte a die Masse m konzentriert, so ergibt sich 
schließlich für die Kraft F, welche der von uns benützte Mechanismus 
auf den Punkt a ausübt, der Ausdruck 

2 

F '= ma — — -^{l -\- y*) m ■ C a — 2y -=mv . 
Die Kraft F setzt sich zusammen aus zwei Teilen, 

und 

F 2 = — 2y~mv. 

Beide Kräfte sind der Richtung der horizontalen Achse C B l ent- 
gegengesetzt, was in dem negativen Vorzeichen zum Ausdruck kommt. 
Die erste Kraft ist dem jeweiligen Abstände des Punktes a von seiner 
Ruhelage proportional, wie bei der gewöhnlichen Pendelbewegung; die 
zweite Kraft ist der Bahngeschwindigkeit v des Punktes a proportional 
und wirkt dieser Geschwindigkeit entgegen; sie ist es, welche die all- 
mähliche Abnahme der Schwingungsbewegung, die Dämpfung erzeugt; 
man bezeichnet sie als eine Kraft der Reibung. 

Ganz ebenso wie in § 73 ziehen wir aus diesen Betrachtungen 
nun noch eine weitere Konsequenz. Es sei ein in gerader Linie um 
eine mittlere Gleichgewichtslage C pendelnder Körper gegeben, dessen 
Masse wir uns in dem Punkt a der Figur 60 konzentriert denken; auf 
ihn wirke einmal eine Kraft 

F x = -p 2 ,-Gce, 
welche ihn nach der Ruhelage zurückzuziehen sucht, andererseits eine 
der Bahngeschwindigkeit v proportionale Reibung: 

F 2 = —2q-v. 

Wir schließen aus der vorhergehenden Untersuchung, daß der Körper 
eine gedämpfte Pendelschwingung ausführen wird. Dann aber kann man 
die Kräfte F x und F 2 mit Hilfe der im vorhergehenden gegebenen Formeln 
auch aus den Elementen der Bewegung, aus der Schwingungsdauer T 
und aus dem logarithmischen Dekrement n y berechnen. Setzt man nun 
die verschiedenen für dieselben Kräfte geltenden Werte einander gleich, 
so kommt man zu den folgenden Formeln für die S.chwingungsdauer und 
für das logarithmische Dekrement: 



§81 



Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 



93 






TT/ = 




Fig. 61. 



Sind die Koeffizienten j» 2 und q bekannt, so kann man hieraus die 
Schwingungsdauer und das logarithmische Dekrement berechnen; umge- 
kehrt kann man die Koeffizienten der Kräfte bestimmen, wenn T und n y 
durch Beobachtung gefunden sind. 

Die Schwingungsdauer wird durch die Dämpfung vergrößert; das 
logarithmische Dekrement wächst mit der Reibung und mit der Schwingungs- 
dauer; es nimmt ab bei zu- 
nehmender Masse des Pendels. 

Zum Schlüsse machen 
wir noch auf eine andere 
graphische Darstellung der 
gedämpften Schwingung auf- 
merksam, welche der Figur 61 
zugrunde liegt. Auf der von 
G ausgehenden horizontalen 
Linie sind die Zeiten abge- 
tragen, senkrecht dazu die 
entsprechenden Strecken Ca, 
um welche der schwingende 

Punkt a von seiner Ruhelage entfernt ist. Man erhält dann eine Wellen- 
linie mit allmählich abnehmender Amplitude. Verbindet man die Punkte 
der größten Abweichungen beiderseits von der Ruhelage, so erhält man 
zwei die Wellenlinie einschließende Kurven, die anfangs steiler, allmäh- 
lich schwächer gegen die Achse der Zeiten abfallen. 

§ 81. Die erzwungene Schwingung. Wir betrachten noch eine 
letzte merkwürdige Bewegung des Pendels, die in folgender Weise zu- 
stande kommt. Wir lassen auf das Pendel außer der Schwere noch eine 
Kraft wirken in der als geradlinig betrachteten Bahn, die es bei seiner na- 
türlichen Schwingung durchläuft; diese Kraft wechsle in periodischer 
Weise ihre Richtung und ihre Größe. Tragen wir auf einer hori- 
zontalen Linie die Zeiten ab, senkrecht dazu die den Zeiten entsprechenden 
Werte der Kraft, so ergibt sich als Bild ihrer Abhängigkeit von der Zeit 
eine Wellenlinie. Man kann daher von einem Hin- und Herschwingen der 
Kraft sprechen; als Schwingungsdauer wird dabei die Zeit zu bezeichnen 
sein, die vergeht, während die Kraft von einem 'größten Wert in der einen 
Richtung bis zu dem entgegengesetzten Werte in der anderen, von dem 
Gipfel des Wellenberges bis zu dem tiefsten Punkte des Wellentales schwankt. 

Durch eine solche periodische Kraft wird nun das Pendel gleich- 
falls in Schwingung versetzt. Die Schwingungsdauer hängt aber nicht 
zusammen mit der Länge des Pendelfadens und mit der Beschleunigung 
der Schwere, sie wird vielmehr bestimmt durch die periodische Kraft und 



94 



Mechanik starrer Körper 



§81 



ist dieselbe wie bei dieser. Die Schwingimg, die ein Pendel nur unter der 
Wirkung der Schwere ausübt, nennen wir seine natürliche oder freie 
Schwingung. Im Gegensatz dazu nennen wir die durch eine periodische 
Kraft erzeugte, bei der dem Pendel eine ihm fremde Schwingungsdauer 
von außen aufgenötigt wird, eine erzwungene Schwingung. 

Auf erzwungenen Schwingungen beruhen die Erscheinungen der 
Resonanz, die bei allen Wellenbewegungen, vor allem denen der Akustik, 
aber auch denen der Optik und der Elektrizitätslehre, auftreten. Es 
ist daher nicht ohne Interesse, die Gesetze der erzwungenen Schwingung 
an einem typischen Beispiele zu studieren. 

Es erfordert eine etwas umständliche Vorrichtung, wenn man rein 
mechanisch auf ein Pendel eine periodische Kraft ausüben will. Dagegen 
gelingt dies leicht, wenn man die mechanischen Kräfte ersetzt durch 
magnetische. Wir haben schon in § 73 darauf hingewiesen, daß eine aus 
dem magnetischen Meridian abgelenkte Kompaßnadel Pendelschwingungen 




.A/jyanetidc/ie? 



(3/r/iv^iMtnQ€7?^Jai?ztn^.U'ncf 



Fig. 62. 




um ihre Ruhelage ausführt ; wir führen dies etwas weiter aus an der 
Hand der Figur 62. Die Kompaßnadel ist mit einem Achathütchen auf 
eine feine Stahlspitze D gesetzt, so daß sie sich um diese in einer 
horizontalen Ebene mit großer Leichtigkeit drehen kann. Wir unter- 
scheiden an der Nadel den magnetischen Nordpol n, den Südpol s, welche 
auf der Mittellinie der Nadel einander diametral gegenüberliegen; der 
Drehungspunkt D halbiert die Linie n s, die magnetische Achse der Nadel. 
Lassen wir die Nadel zur Ruhe kommen, so stellt sie sich mit der Ver- 
bindungslinie ihrer Pole in eine bestimmte Linie B C, die Richtung des 
magnetischen Meridians; dieser weicht von dem astronomischen Meridian 
nicht zu viel ab. Der Nordpol wendet sich dabei nach Norden, der Süd- 
pol nach Süden. Lenken wir nun die Nadel aus ihrer Ruhelage B C ab, 
etwa bis zu der Stellung ns, so schwingt sie, wieder losgelassen, um 
die Ruhelage hin und her. Die Pole n und s bewegen sich dabei auf 



S 81 Anwendungen der Newtonsehen Prinzipien 95 

zwei horizontalen Kreisbogen, deren Mittelpunkt in D liegt; der Nordpol 
schwingt von der äußersten Lage links, dem Punkte n, durch seine Ruhe- 
lage G bis zu dem äußersten Punkte n rechts; von da zurück nach n, 
wieder hinüber nach ri usw. Ebenso schwingt der Südpol von s durch B 
nach s, zurück nach s, wieder nach .s' usw. Die beiden Pole be- 
wegen sich wie ein doppeltes Pendel; im gleichen Momente befinden sie 
sich stets in gleichem Abstand von ihren Ruhelagen, aber auf verschie- 
denen Seiten, da ja die vom Drehungspunkte nach den Polen gehenden Radien 
D n und D s stets in die Verbindungslinie n s fallen müssen. In der Tat 
kann man die Schwingungsdauer der Kompaßnadel nach dem in § 77 
gegebenen verallgemeinerten Pendelgesetze berechnen unter der auch dort 
gemachten Voraussetzung, daß die Amplituden der Schwingungen klein sind. 

Um nun auf unsere Kompaßnadel eine periodische Kraft wirken zu 
lassen, verfahren wir in folgender Weise. Wir nehmen eine zweite 
Magnetnadel M und machen sie drehbar um eine horizontale, durch 
ihre Mitte D' senkrechte hindurchgehende Achse A Ä. Wir bringen diese 
Achse in die Drehungsebene der Kompaßnadel und stellen sie ein in die 
Richtung des magnetischen Meridians, d. h. parallel zu der Ruhelage B G 
der Nadel. Endlich schieben wir die Achse A Ä so, daß die Linie D D' , 
welche die Mittelpunkte beider Magnetnadeln verbindet, auf dem magne- 
tischen Meridiane, also auf B G senkrecht steht. 

Bei der Drehung der Nadel M im Sinne der eingezeichneten Pfeile 
durchlaufen ihre Pole die Peripherie eines und desselben Kreises, wobei 
sie sich stets einander diametral gegenüber befinden. Wir richten die 
Nadel zunächst vertikal, so daß ihr Nordpol in N , ihr Südpol in S 
sich befindet. Nun stoßen sich gleichnamige Pole zweier Magnete ab, 
ungleichnamige ziehen sich an. iV übt also eine abstoßende Kraft auf n, 
S eine anziehende aus. N und S liegen aber symmetrisch in bezug 
auf die durch n gehende horizontale Ebene nDD'. Daraus ergibt sich, 
daß die von N und S herrührenden Kräfte sich wechselseitig zerstören; 
dasselbe gilt von den Kräften, welche die Pole N und S auf den Süd- 
pol s der Kompaßnadel ausüben. Es zeigt sich, daß bei vertikaler 
Stellung der Nadel M, wenn ihr Nordpol und ihr Südpol in dem höchsten 
und in dem tiefsten Punkte des von ihnen durchlaufenen Kreises liegen, 
keine rotatorische Wirkung auf die Kompaßnadel ausgeübt wird. Drehen 
wir. aber die Nadel M von der Stellung N S aus, so daß ihr Nord- 
pol N sich in dem vorderen Halbkreise N ES Q befindet, so überwiegt die 
Wirkung des Nordpols, der Pol n wird abgestoßen, s angezogen, die 
Nadel wird im Sinne des ausgezogenen Pfeiles abgelenkt. Drehen wir den 
Magnet M von der Stellung S Q N aus um mehr als 180°, so kommt der Süd- 
pol auf den vorJeren Halbkreis N ES zu liegen. Jetzt überwiegen die von 
dem Südpole ausgeübten Kräfte, n wird angezogen, s abgestoßen, und die 
Kompaßnadel wird in der Richtung des gestrichelten Pfeiles abgelenkt. Drehen 
wir den Magnet M gleichmäßig im Kreise herum, so wechselt das von ihm 
auf die Nadel ausgeübte Drehungsmoment nach jeder halben Umdrehung 



96 Mechanik starrer Körper 81 

seine Richtung. Wir erhalten also in der Tat eine Einwirkung auf unsere 
Kompaßnadel, welche den verlangten periodischen Charakter besitzt. 

Nach dieser etwas mühsamen Vorbereitung gehen wir nun über zu 
der Schilderung der Versuche, die wir mit unseren beiden Magnetnadeln 
anstellen können. 

Wir regulieren erst die Entfernung DD der Nadelmittelpunkte so, 
daß die Kompaßnadel um 10° bis 20° aus ihrer Ruhelage abgelenkt wird, 
wenn wir die Nadel M horizontal stellen. Die Schwingungsdauer der 
Kompaßnadel bezeichnen wir mit T\ sie betrage etwa 1 sec, die Zeit, 
während welcher der Magnet M eine halbe Umdrehung macht, sei U. 
Wir beginnen nun den Magnet M zu drehen, so langsam, daß U zunächst 
erheblich größer ist als T. Die Nadel ns gerät in kleine Schwingungen, 
deren Dauer gleich U ist. Vergrößern wir die Drehungsgeschwindigkeit 
von M, so nimmt die Schwingungsamplitude der Nadel zu. Wenn aber 
die halbe Umdrehungszeit U von M gleich oder wenigstens nahe gleich 
der Schwingungsdauer T der Nadel geworden ist, so zeigt sich das folgende, 
auffallende Verhalten. Die Schwingungsamplitude von ns wird immer 
größer, sie wächst bis zu einem Winkel von 90° und darüber hinaus. 
Sobald aber die Nadel über die zum Meridian senkrechte Linie DD einmal 
hinübergeschwungen ist, kehrt sie überhaupt nicht mehr zurück, sondern 
gerät nun in eine wirbelnde Bewegung um ihren Drehungspunkt D herum, 
die Schwingungsamplitude wächst gewissermaßen ins Unendliche. Es 
ist dies der Fall der Resonanz zwischen Kompaßnadel undMagnet. 

Es ist leicht, sich von diesem besonderen Verhalten Rechenschaft 
zu geben. Nehmen wir an, der Nordpol von M befinde sich in N , in 
dem Momente, in welchem die Nadel ihre eine äußerste Lage sn ein- 
nimmt; während der Nordpol durch den vorderen Halbkreis N ES geht, 
schwingt die Nadel hinüber nach der anderen Grenzlage sn\ während 
dieser ganzen Bewegung wirkt aber das von M herrührende Drehungs- 
moment in der Richtung des ausgezogenen Pfeiles, d. h. im Sinne der 
Drehung und diese verstärkend. Schwingt nun die Nadel von ns wieder 
zurück gegen die Ruhelage hin, so gelangt gleichzeitig der Südpol von M 
auf den vorderen Halbkreis. Das auf die Nadel ausgeübte Drehungs- 
moment hat die Richtung des gestrichelten Pfeiles und wirkt abermals 
verstärkend auf die Bewegung. Ist aber durch die vollkommene Über- 
einstimmung der drehenden Bewegung von M mit der schwingenden von 
sn die Amplitude so weit verstärkt worden, daß die Nadel sn über die Linie 
D'D hinausschwingt, so kehrt sich das Drehungsmoment von M in dem 
Augenblicke um, in dem die Pole n und s auf die andere Seite der Linie D D 
gelangt sind, und erzeugt nun eine Weiterdrehung im selben Sinne wie zuvor; 
so kommt dann die beobachtete wirbelnde Bewegung der Nadel zustande 

Läßt man die Umlaufszeit 2 U des Magnets M noch weiter ab- 
nehmen, so daß U kleiner als T wird, so nimmt die Amplitude der er- 
zwungenen Schwingung rasch ab und wird bei sehr schneller Drehung 
von M unmerklich. 



§ 82 Anwendungen der NevAonschen Prinzipien 97 



Die Reibung einer Kompaßnadel auf ihrer Spitze ist eine sehr ge- 
ringe; daher macht sich bei den bisherigen Beobachtungen der Einfluß 
der Dämpfung nur wenig bemerklich. Wollen wir untersuchen, wie 
sich die Erscheinungen bei stärkerer Dämpfung ändern, so stellen wir 
die Kompaßnadel in ein Becherglas, welches mit einer Flüssigkeit, Benzin 
oder Vaselinöl, gefüllt ist. Wir können nun die Versuche mit allmählich 
wachsender Rotationsgeschwindigkeit des Magnets M wiederholen. Der 
Unterschied gegenüber den Versuchen mit sehr kleiner Dämpfung be- 
steht im wesentlichen darin, daß die Schwingungsamplituden kleiner sind. 
Insbesondere kommt es in dem Falle der Resonanz, in dem die halbe 
Umdrehungszeit TJ des Magnets M gleich der natürlichen Schwingungs- 
dauer T der Kompaßnadel ist, nicht mehr zu einem Herum wirbeln der 
letzteren. Es tritt in diesem Falle nur ein ausgesprochener Maximal- 
wert der Amplitude ein. 

§ 82. Gesetze der erzwungenen Schwingung. Schließlich mögen 
die Erscheinungen der erzwungenen Schwingung auch noch von theo- 
retischer Seite beleuchtet werden. Die Versuche mit der Kompaßnadel 
eignen sich hierzu nicht, da wir dabei mit großen Amplituden operiert 
haben. Bei der theoretischen Behandlung wollen wir uns aber auf den 
Fall kleiner Amplituden beschränken. Es erscheint daher zweck- 
mäßig, wieder an den Fall des Pendels anzuknüpfen, dessen freie 
Schwingungen wir in § 73, § 74 und § 80 für den Fall kleiner Amplituden 
untersucht haben. 

Die Schwingungsdauer, welche das von jeder Reibung befreite Pendel 
besitzen würde, bezeichnen wir mit T . Es wäre das etwa die Schwingungs- 
dauer in einem luftleeren Räume; davon ist aber die Schwingungsdauer 
in Luft bei ihrer geringen Reibung kaum unterschieden. Die Masse 
der Pendelkugel bezeichnen wir durch m, den Mittelpunkt ihrer Bahn 
wie in Figur 55 durch G, ihre abgelenkte Lage-- durch A. Die Kraft, 
welche das Pendel nach seiner Ruhelage zurückzieht, ist nach § 74 

2 

gleich m 7=y C A. Die Bahngeschwindigkeit des Pendels sei v, die der 

Bewegung entgegenwirkende Reibung wie in § 80 gleich 2q-v. Endlich 
sei der Maximalwert der äußeren periodischen Kraft, ihre Amplitude, 
gegeben durch F\ ihre Schwingungsdauer, die Zeit, in der sie von dem 
Maximalwert F in der einen Richtung bis zu dem entgegengesetzten in 
der anderen Richtung übergeht, bezeichnen wir, wie bei dem gedrehten 
Magnet, duvch TJ. Die periodische Kraft selbst kann dann ausgedrückt 

werden 1 durch F cos l-^rt); für die Zeit t = ergibt sich der Maximal- 
wert F, für t = TJ der entgegengesetzte Wert — F, in Übereinstimmung 
mit der Definition der Schwingungdauer. Hiermit sind alle auf die Pendel- 
kugel wirkenden Kräfte aufgezählt. Bezeichnen wir die von ihnen erzeugte 
Beschleunigung durch a, so ergibt sich nach dem Prinzip der Masse: 

ma = Fcos [jf-t) — m ^ • CA — 2qv. 

Eibcke, Physik. I. Dritte Aufl. 1 



98 Mechanik starrer Körper § 82 

Die weitere Behandlung dieser Gleichung, die in elementarer Weise 
nicht durchgeführt werden kann, führt nun zu den folgenden Sätzen. 
1. Die Amplitude der erzwungenen Schwingung ist gleich 

F 



™\ L 5TS.-™ + 



J 2 U*j m 2 U 2 

Man kann den Ausdruck noch etwas anders gestalten, wenn man 
die Konstante % y einführt, die wir in § 80 als logarithmisches 
Dekrement bezeichnet haben. Nach § 80 gelten für die Dauern T'und 
T der gedämpften und der reibungslosen Schwingung die Gleichungen : 



ZI _ J*_(i 4. y 2\ T±_ m , 2 



Ferner ist nach Seite 93: 



q T q n y 

m ' m T 



Bei Benützung dieses Wertes wird die Amplitude der erzwun- 
genen Schwingung gleich: 



FT 2 



'V 



TolY + _±r*To' 



w) (i + f) m 

Die Amplitude ist proportional dem Maximalwerte der 
periodischen Kraft; umgekehrt proportional der Masse des 
Pendels. 

Ein Bild der hierdurch bestimmten Abhängigkeit der Amplitude 
von der Schwingungsdauer U der periodischen Kraft geben die 
Kurven der Figur 63." Dabei ist T = 1 und ebenso FT 2 J7i 2 m = 1 gesetzt, 
d. h. die natürliche Schwingungsdauer des nicht gedämpften Pendels ist 
als Einheit der Zeit, die für sehr große Werte von U geltende Ampli- 
tude FT 2 j% 2 m ist als Einheit der Länge benutzt. 

Die obere Kurve entspricht dem Fall, daß das Pendel von Beibung 
frei, ungedämpft ist. In diesem Falle ist / = und die Amplitude 
wird unendlich groß im Falle der Resonanz, wenn U = T wird. In 
Wirklichkeit kann natürlich ein solches unbeschränktes Anwachsen der 
Amplitude nicht eintreten; die Theorie gilt ja auch nur für den Fall 
kleiner Amplituden und tritt also an dieser Stelle mit ihren eigenen 
Grundlagen in Widerspruch. Die zweite Kurve, welche nur in dem 
Intervall U == •' 8 bis U = 2 gezeichnet ist, entspricht dem Falle eines 
schon ziemlich stark gedämpften Pendels. Es ist angenommen, daß das 
Dämpfungsverhältnis e n v ', das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender 
Amplituden, gleich 1 • 65 sei. Dann wird % y = • 5 und y = • 159; zwei 
aufeinanderfolgende Schwingungsbogen verhalten sich wie 165 : 100. Man 
sieht, daß der Verlauf der Kurven den Beobachtungen entspricht, die 
wir mit der Kompaßnadel angestellt haben. Man bemerkt weiter, daß 



§82 



Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 



99 



die Dämpfung von geringem Einfluß auf die Amplituden ist, solange 
die Schwingungsdauer der Kraft von der des Pendels erheblich abweicht. 
Der Einfluß tritt erst hervor, wenn U sich der Schwingungsdauer T 




Fig. 63. 



nähert, er ist am stärksten, wenn U = T wird. Es bleibt dann auch 
der durch die Theorie bestimmte Wert der Amplitude endlich. Übrigens 
liegt das Maximum der Amplitude bei gedämpfter Schwingung nicht bei 

U= T , sondern bei U= T yl + / 2 /]/l — y 2 ', in der Figur wird das 
Maximum um so mehr nach links verschoben, je größer die Dämpfung ist. 
Bei der zweiten Kurve der Figur 63 beträgt die Verschiebung allerdings 
nur ein Hundertel der Schwingungsdauer T , ist also kaum zu bemerken. 

Die dritte Kurve der Figur bezieht sich auf einen Fall äußerst 
starker Dämpfung. Dabei ist angenommen, y sei so groß, daß / 2 /(l + y 2 ) 
gleich 1 gesetzt werden kann. 

2. Die Phasenverschiebung der erzwungenen Schwingung. Die 
Theorie führt uns noch auf eine andere merkwürdige Eigenschaft der 
erzwungenen Schwingung, deren Erforschung auf rein experimentellem 
Wege nicht ganz leicht sein würde. Die erzwungene Schwingung hat 
zwar dieselbe Schwingungsdauer, wie die periodisch wirkende Kraft, sie 
unterscheidet sich aber doch von der Schwingung der Kraft in eigen- 
tümlicher Weise. Wir wollen annehmen, in einem bestimmten Augen- 
blicke, etwa zur Zeit t = 0, habe die periodische Kraft ihren Maximal- 
wert. Dann erreicht der Ausschlag des Pendels nicht zur selben Zeit 



100 Mechanik starrer Körper § 82 

seinen größten Wert. Vielmehr tritt das Maximum des Ausschlages 
später ein als das Maximum der Kraft, das Maximum des Ausschlages 
ist um eine gewisse Zeit verzögert. Diese Zeit, welche zwischen dem 
Maximum der Kraft und dem Maximum des Ausschlages verstreicht, 
bezeichnen wir durch t. Den durch diese zeitliche Verschiebung be- 
dingten Unterschied zwischen der Schwingung der Kraft und zwischen 
der Schwingung des Pendels bezeichnet man als einen Unterschied 
der Phase. Stellen wir die beiden Schwingungen in der Art der 
Figur 61 graphisch durch zwei Wellenlinien mit gleicher Wellenlänge 
dar, so äußert sich der Phasenunterschied durch eine wechselseitige 
Verschiebung dieser Linien, so daß die Berge und Täler der einen 
denen der anderen voraneilen. 

Zu der Bestimmung des Phasenunterschiedes durch die 
Verzögerungszeit t gibt die Theorie nun die folgenden Mittel; Wir 
haben einen Hilfswinkel s einzuführen, dessen Tangente durch die 

Gleichung gegeben wird: 

2<y l 

tg8== yr+7 f 'j£_?± ' 

T U 

Haben wir hieraus den Winkel 6 berechnet, so ergibt sich die Ver- 
zögerung t der Pendelschwingung mittels der Formel: 

n 

Bei der graphischen Darstellung von Figur 63 haben wir die natür- 
liche Schwingungsdauer T des Pendels als Zeiteinheit benützt. Der 
Übereinstimmung halber empfiehlt es sich, auch jetzt so zu verfahren. 
Wir dividieren zu diesem Zwecke die beiden Seiten der letzten Formel 
durch T und erhalten dann: 

T n T 

Setzen wir hier T = 1, so heißt das, daß wir sowohl die Schwingungs- 
dauer U der Kraft, wie die Verzögerung r des Pendels durch die natür- 
liche Schwingungsdauer T des Pendels als Einheit messen. 

Die Änderung der Verzögerungszeit mit der Schwingungsdauer U 
der Kraft und mit der Dämpfung wird durch Figur 64 anschaulich 
gemacht. Die am höchsten ansteigende Kurve bezieht sich auf eine 
Dämpfung, wie sie in Figur 61 dargestellt ist; das Dämpfungsverhältnis 
beträgt 10 / 9 , das logarithmische Dekrement 0*1, die Konstante y hat 
den Wert • 0318. Die zweite Kurve entspricht dem Dämpfungsver- 
hältnisse 165 /ioo> die dritte wieder dem Falle einer sehr starken Dämpfung. 

Für den Fall der Resonanz, wenn die Schwingungsdauer U der 
Kraft gleich der natürlichen Schwingungsdauer T des Pendels ist, wird 
die Verzögerung gleich der halben Schwingungsdauer, wie wir leicht an 
dem Beispiele der Kompaßnadel bestätigen können. Bei kleiner Dämpfung 
zeigt die Verzögerung im übrigen den folgenden Verlauf. Wird U größer 



83 



Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 



101 



als T , in unserer Figur also größer als 1, so nimmt die Verzögerung 
rasch ab, um so mehr, je kleiner die Dämpfung. Wird U kleiner als 
T , so wächst die Verzögerung bis zu einem Maximum, nimmt dann 




Fig. 64. 

wieder ab, um mit U zu Null .zu werden. Der Maximalwert der Ver- 
zögerung wird mit abnehmender Dämpfung größer. Bei verschwindender 
Dämpfung ist die Verzögerung Null, solange U größer als ■ T , gleich U, 
wenn U kleiner als T a . Bei starker Dämpfung nimmt die Verzögerung 
mit der Schwingungsdauer U zunächst stetig zu, um bei sehr großen 



Werten von U den Grenzwert 



2 r 



zu erreichen. 



»yi + f- 

Wegen der Konstanz der Amplitude ist das äußere Verhalten 
einer erzwungenen Schwingung dasselbe, wie das einer freien und un- 
gedämpften. Sie kann wieder wie die letztere durch die Konstruktion 
von § 73 dargestellt werden. Somit müssen auch die Kräfte, welche 
auf das Pendel wirken, sich auf eine einzige Kraft reduzieren lassen, 
welche dem Abstände des Pendels von seiner Ruhelage proportional ist. 
In der Tat liegt nun gerade in der Verzögerung die Möglichkeit, aus 
der periodisch wirkenden äußeren Kraft eine Komponente abzuspalten, 
welche der auf das Pendel wirkenden Reibung immer gleich und ent- 
gegengesetzt ist. Dadurch wird das Pendel von dem Einfluß der 
Reibung befreit. Die übrigbleibende Komponente ist, ebenso wie die 
wirksame Komponente des Gewichtes, dem Abstände von der Ruhelage 
proportional, und erzeugt zusammen mit dieser die Schwingung des Pendels. 

§ 83. Das Doppelpendel. Die Gesetze der gedämpften Schwingung, 
wie wir sie im vorhergehenden kennen gelernt haben, finden ihre An- 
wendung bei einer eigentümlichen Erscheinung, auf die wir bei einer 
späteren Gelegenheit zurückkommen werden. Wir hängen ein schweres 
Gewicht P, von etwa 2 kg, an einem Drahte als Pendel auf; den Draht 



102 Mechanik starrer Körper § 83 

führen wir über eine Rolle, so daß er über diese aufgezogen oder herab- 
gelassen werden kann. Die Länge des Pendelfadens soll dadurch etwa 
innerhalb der Grenzen von 1 m bis 20 cm veränderlich sein. Den untersten 
Punkt des Pendelgewichtes P machen wir zum Aufhängepunkt eines 
zweiten Pendels, dessen Aufhängefaden eine Länge von 30 cm besitze. 
Seine Pendelkugel k bestehe aus Holz und habe einen Durchmesser von 
etwa 1 cm. Unter diesen Umständen wird man von vornherein erwarten, 
daß die Bewegung des Pendels P durch die schwache Spannung, welche 
der Aufhängefaden von k besitzt, nicht wesentlich beeinflußt werde. 
In der Tat zeigt der Versuch, daß das Pendel P in derselben Weise 
schwingt, ob die Kugel k angehängt ist oder nicht. Für das Pendel 
k hat also die ganze Einrichtung die Folge, daß sein Aufhängungspunkt 
selbst eine Pendelschwingung ausführt, deren Schwingungsdauer dieselbe 
ist, wie die des Pendels P. Man gibt nun dem Aufhängefaden von P 
zu Anfang eine Länge von 20 cm; die Schwingungsdauer von P ist 
dann kleiner als die von k, dessen Faden eine Länge von 30 cm haben 
sollte. Wenn wir nun P in eine Schwingung von kleiner Amplitude ver- 
setzen, so gerät die Kugel k in eine Schwingung, deren Amplitude eben- 
falls klein ist; ihre Dauer stimmt mit der von P überein. Verlängert 
man den Aufhängefaden von P, so wächst die Amplitude der Schwingung, 
zu welcher k angeregt wird. Wenn man aber gerade die Länge des Auf- 
hängefadens trifft, bei welcher die Schwingungsdauern der beiden Pendel 
einander gleich werden, so ergibt sich der eigentümliche Anblick, daß k 
in die weitesten Schwingungen versetzt wird, während P kaum merklich 
hin- und herschwankt. Bei weiterer Verlängerung des Fadens von P und 
bei einer entsprechenden Vergrößerung seiner Schwingungsdauer nimmt 
die Amplitude von k rasch bis zu einem relativ kleinen Betrage ab. 

Die Erklärung der Erscheinung liegt in der Tat in den Sätzen der 
vorhergehenden Paragraphen. Man wird sich dies am leichtesten klar 
machen, wenn man überlegt, daß eine periodische Verschiebung des Auf- 
hängepunktes auf ein Pendel ganz ebenso wirken muß, wie eine perio- 
dische Änderung der Schwererichtimg oder der Kraft, welche das Pendel 
in seiner Bahn bewegt. 

Wenn die Schwingungsdauern der Pendel P und k nicht ganz, aber 
doch nahezu übereinstimmen, so beobachtet man eine weitere merkwürdige 
Erscheinung. Das Pendel k schwingt in immer weiterem Bogen hin und 
her, die Amplitude bleibt aber nicht konstant, sondern, wenn sie ihr 
Maximum erreicht hat, nimmt sie wieder ab, bis das Pendel ein kleine 
Zeit völlig ruhig zu stehen scheint; dann nimmt die Amplitude wieder 
zu, erreicht dasselbe Maximum wie zuvor, nimmt wieder ab, und dieser 
Vorgang wiederholt sich mit vollkommener Regelmäßigkeit immer in der- 
selben Weise. Man bezeichnet diese Bewegung als eine Schwebung; 
sie erklärt sich aus dem Zusammenbestehen der natürlichen und der 
erzwungenen Schwingung. Ausführlicher werden wir auf schwebende 
Bewegungen in der Akustik zurückkommen. 



§ 84 Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 103 

§ 84. Aperiodische Dämpfung. Die in § 80 entwickelten Gesetze 
der freien gedämpften Schwingung erleiden eine Veränderung, wenn die 
der Bewegung entgegengerichtete Reibung ein gewisses Maß übersteigt. 
Das Charakteristische der gedämpften Schwingung, wie wir sie bisher 
betrachtet haben, besteht in folgendem. Das Pendel schwinge von dem 
äußersten Punkte A auf der einen Seite der Ruhelage durch diese 
hindurch nach dem äußersten Punkte B auf der anderen Seite; dann 
ist bei der gedämpften Schwingung der Bogen CB kleiner als der Bogen 
A C; das Verhältnis AG: CB bleibt dasselbe für alle Paare aufeinander- 
folgender Schwingungsbögen; dieses Dämpfungsverhältnis wird um so 
größer, d. h. die Schwingungsbögen nehmen um so schneller ab, je 
größer die Reibung ist. Nun kann aber die Reibung einen solchen Be- 
trag erreichen, daß eine schwingende, periodische Bewegung überhaupt 
nicht mehr zustande kommt. Man erteile in diesem Falle dem Pendel 
in der Ruhelage einen Stoß, der es zur Seite treibt. Es macht einen 
der Stärke des Stoßes entsprechenden Ausschlag, kehrt aber dann mit 
immer weiter abnehmender Geschwindigkeit zur Ruhelage zurück, ohne 
diese zu überschreiten und Schwingungen um sie auszuführen. Zieht 
man das Pendel aus der Ruhelage zur Seite und läßt es dann los, ohne 
ihm einen Stoß zu geben, so kehrt es gleichfalls zur Ruhelage zurück, 
ohne über sie hinauszuschwingen. Man bezeichnet eine solche Bewegung 
als eine aperiodische, ein Pendel, das sie ausführt, als ein aperio- 
disch gedämpftes. 

Die Gesetze dieser aperiodischen Dämpfung, die insbesondere bei 
der Konstruktion elektrischer Meßapparate Verwendung findet, mögen 
im Anschlüsse an § 80 noch etwas weiter verfolgt werden. Von be- 
sonderem Interesse ist dabei die Frage, wie sich jener kritische Wert 
der Reibung bestimmt, bei dem die periodische Dämpfung in die aperio- 
dische übergeht. 

Der Ausschlag des Pendels, sein jeweiliger Abstand von der Ruhe- 
lage sei x\ dann kann man mit einer kleinen Veränderung der in § 80 
benützten Bezeichnungen schreiben: 

x = Ae~y ( p cos (f> . 

Hier ist q> ein Hilfswinkel, der mit der Zeit t durch die Formel (p =.-^-t 

zusammenhängt. T bezeichnet ebenso wie in § 80 die Dauer der ge- 
dämpften Schwingung. Nach Seite 93 ist: 



n q 

— V = — 

T ' m 



> 



somit: 

x = A e m cos n 



1 



» 



q ist der Faktor, der mit der doppelten Bahngeschwindigkeit multipliziert 
die dämpfende Kraft liefert. In dem Ausdrucke für x wollen wir nun 



104 Mechanik starrer Körper § 84 

an Stelle der Schwingungsdauer T der gedämpften Bewegung die Dauer 
T derjenigen Schwingung benutzen, welche das von dem Einfluß der 
Reibung befreite Pendel ausführen würde. Die auf Seite 93" entwickelte 
Formel gibt mit y = und T = T : 

T 2 _ m 



Es ist aber andererseits nach derselben Formel: 

somit : 

T 2 = T 2 (1+/ 2 ), 

oder wenn wir für y den aus der Formel ny = -±—- folgenden Wert setzen : 

T 2 = T 2 ll + 



Daraus folgt: 



g 2 r 2 

n 2 m 2 



T= T 



und: 



1 - 



7i 2 m 2 



i« '■'* cos ™i/i -K^Kj. 



T V 7i* m? 



An diese Formeln knüpfen sich nun die folgenden wichtigen Bemerkungen, 
So lange das Produkt q T kleiner als % m ist, bleibt auch die gedämpfte 
Bewegung eine periodische, ihre Schwingungsdauer ist aber größer als 
die der ungedämpften Schwingung. Wird qT = 7im, so wird die 
Schwingungsdauer der gedämpften Bewegung unendlich groß, d. h. das 
dem Einflüsse der Reibung unterworfene Pendel schwingt überhaupt 
nicht mehr; wird es aus seiner Ruhelage abgelenkt, so kehrt es allmählich 
in diese zurück, ohne sie zu überschreiten. Wird q T größer als nm, 
so wird die Schwingungsdauer T imaginär, d. h. das Pendel führt auch 
in diesem Falle keine Schwingungen mehr aus, sondern kehrt nach einer 
Ablenkung aperiodisch in die Ruhelage zurück. Der kritische Punkt, 
bei dem die periodische Bewegung in eine aperiodische sich verwandelt, 
ist bestimmt durch q T = nm. Bei gegebener Pendelmasse m kann 
also die periodische Dämpfung auf zweierlei Weise in die aperiodische 
verwandelt werden; einmal dadurch, daß man bei konstant erhaltenem T 
die mit q proportionale Reibung vergrößert, bis q T den kritischen Wert 
erreicht. Andererseits dadurch, daß man bei konstanter Reibung die 
Schwingungsdauer T vergrößert, bis qT Q = nm geworden ist. Nun ist aber 
die Kraft, welche das Pendel nach seiner Ruhelage zurückzieht, gegeben 

2 

durch F 1 = yp^m. Vergrößerung von T wird also durch Verkleinerung 
von F 1 zu erreichen sein. 



§85 



Anwendungen der Newtonsehen Prinzipien 



105 




Fig. 65. 



§ 85. Kreisbewegung, Zentralkratt und Winkelgeschwindigkeit. 

Wir sind in § 73 von der Bewegung eines gleichförmig im Kreise um- 
laufenden Punktes übergegangen auf die Pendelbewegung ; wir machen nun 
jene Bewegung selbst zum Gegenstande der Untersuchung. Ein Punkt A 
(Fig. 65), in dem wir uns die Masse einer kleinen Kugel konzentriert denken, 
bewege sich mit gleichförmiger Ge- 
schwindigkeit in der Peripherie eines 
Kreises, dessen Mittelpunkt in G liege. 
Vermöge seiner Trägheit würde er 
in jedem Augenblick in der Richtung 
der Tangente von der Kreisbahn ab- 
weichen. Er muß also durch eine 
senkrecht zur Bahn, in der Richtung 
des Radiusvektors wirkende Kraft 
immer wieder auf die Kreisperipherie 
zurückgeführt werden. Wir bezeich- 
nen diese als eine auf den Körper 
wirkende Zentralkraft. Ist bei- 
spielsweise der Punkt A durch einen 

Faden mit C verknüpft und in Umschwung um C versetzt worden, 
so ist es die Spannung des Fadens, die ihn in der Kreisbahn erhält; 
die Zentralkraft ist gleich dieser Spannung. Umgekehrt spannt also der 
in Umschwung befindliche Körper den Faden, er übt auf ihn eine nach 
außen gerichtete Kraft aus, die wir als Zentrifugalkraft bezeichnen. 
Mit dieser wächst die Spannung des Fadens und kann schließlich einen 
solchen Betrag erreichen, daß der Faden zerreißt. In diesem Augen- 
blick verschwindet die Zentralkraft, die den Körper in seiner Kreisbahn 
erhielt, und dieser fliegt in der Richtung der Kreistangente mit gleich- 
bleibender Geschwindigkeit fort. 

Die Abhängigkeit der Zentralkraft von den Elementen der Be- 
wegung ergibt sich in folgender Weise. Ist v die Bahngeschwindigkeit 
des Punktes A, so wird er in der kleinen Zeit r infolge seiner Trägheit 
den Weg AB = vt in der Richtung der Tangente zurücklegen. Tat- 
sächlich gelangt er in dieser Zeit in den Punkt D der Kreisperipherie, 
legt also in der Richtung senkrecht dazu den Weg BD zurück; dieser 
ist die Folge der Zentralkraft. Bezeichnen wir die ihr entsprechende 
Beschleunigung durch a, so ist nach § 66 J BD = |ar 2 . Es ist aber 
AB 2 = BExBD oder, da BD sehr klein gegen D E, mit hinreichender 
Genauigkeit AB 2 = D E x BD. Setzen wir den Halbmesser des Kreises 

A jB 2 
gleich r, so ist B D 



2r 



setzen wir hier für B D und A B die zuvor 



angegebenen Werte, so ergibt sich a = — und die Zentralkraft 



ma 



m v" 



106 



Mechanik starrer Körper 



§85 



Wenn eine Masse in Kreisbewegung versetzt wird, so ist 
die auf sie wirkende Zentralkraft oder die von ihr ausgeübte 
Zentrifugalkraft proportional der Masse, proportional dem 
Quadrate der Bahngeschwindigkeit und umgekehrt proportio- 
nal dem Halbmesser der Bahn. 

Hat der von dem Radiusvektor CA des Punktes A in der Zeit- 
einheit durchstrichene Winkel im Bogenmaß den Wert co, so nennt man 
m die Winkelgeschwindigkeit von A. Zwischen dieser und der Bahn- 
geschwindigkeit besteht die Beziehung v = oo r. Mit Einführung der 
Winkelgeschwindigkeit ergibt sich also für die Zentralkraft der bequemere 
Ausdruck mreo 2 . 

Mit Rücksicht auf eine später auszuführende Rechnung ist es viel- 
leicht nützlich, die Abhängigkeit der Geschwindigkeiten v und co von 
der Zeit U anzugeben, welche der Punkt A zu einem Umlauf in seinem 



Kreise braucht; es ist: 








v = 


2nr 

U ' 



CO = 



2n 



Zur Prüfung der gefundenen Gesetze benützt man einen besonderen 
Apparat, die Zentrifugalmaschine (Fig. 66). Dieselbe besteht im wesent- 




Fig. 66. 

liehen aus einer vertikalen, möglichst stabilen Achse, die mit Hilfe eines 
Schnurlaufes in rasche Umdrehung versetzt werden kann. Von den 
mannigfachen Versuchen, die man mit der Maschine anstellen kann, 
heben wir nur wenige hervor. 1. Auf einem glatten Drahte (Fig. 67), 
der senkrecht zur Achse der Maschine in einem Rahmen befestigt ist, 
sind zwei durch einen Faden verbundene Kugeln m und m' leicht ver- 
schiebbar. Die Kugeln halten sich bei der Drehung im Gleichgewicht, 
wenn ihre Abstände von der Drehungsachse sich umgekehrt verhalten 
wie ihre Massen, r : r = m : m. Da ihre Winkelgeschwindigkeit co die- 
selbe ist, so sind dann in der Tat die auf sie ausgeübten Zentralkräfte 
mrco 2 und m r co 2 gleich groß; die Zentralbeschleunigungen reo 2 und 
r co 2 sind den Entfernungen von der Drehungsachse direkt proportional, 
sie verhalten sich umgekehrt wie die Massen der beiden Körper, in 
Übereinstimmung mit den Bemerkungen von § 68. 2. Die Achse der 



§86 



Anwendungen der Newionschen Prinzipien 



107 



Maschine wird durch einen in sie eingeschraubten Stab nach oben ver- 
längert. Das obere Ende trägt eine kleine horizontale Achse, um die 
eine an einem Arm B G befestigte Kugel in vertikaler Ebene sich drehen 
kann (Fig. 68). Wird die Maschine in Rotation versetzt, so stellt sich 
der Draht B C in die Richtung der Resul- 
tante aus Zentrifugalkraft und Schwerkraft; 
die Kugel steigt um so höher, je größer die 
Umdrehungsgeschwindigkeit der Maschine 
ist. Von dieser Bewegung macht man Ge- 
brauch bei der Dampfmaschine, um den Zutritt 
des Dampfes zu dem Zylinder zu regulieren 



m 



S 



m 



ZZZZ) 



CT 




Fig. 67. 



rnrcu' 



\ 


) 1 




\ 1 




i 

\ ! 
\ 




\ ! 








\ 








\ ' 


' 


\ 1 



m 



w 



Fig. 68. 



und den Gang zu einem gleichmäßigen zu machen. 3. Wir setzen auf die 
Achse der Maschine ein zylindrisches Gefäß konzentrisch mit ihr und füllen 
dasselbe bis zu einer angemessenen Höhe mit einer Flüssigkeit, etwa Queck- 
silber. Wird die Maschine gedreht, so stellt sich die freie Oberfläche der 
Flüssigkeit senkrecht gegen die Resultante aus Zentrifugalkraft und Schwer- 
kraft. Es ergibt sich, daß die Gestalt der Oberfläche die eines Um- 
drehungsparaboloides sein muß, was durch den Versuch bestätigt wird. 

Wir erinnern noch an einige Erscheinungen des praktischen Lebens, 
bei denen die Zentrifugalkraft eine wesentliche Rolle spielt. Wenn die 
Eisenbahn eine Kurve macht, so wird die Fläche des Bahnkörpers beim 
Bau nach innen geneigt, so daß die Resultante aus der Zentrifugalkraft 
und aus der Schwere des Zuges auf derselben senkrecht steht. Die 
Schienen erleiden dann nur einen Normaldruck, keinen Schub nach außen 
hin. Aus demselben Grunde legt sich der Schlittschuhläufer und der 
Radfahrer nach innen, wenn er einen Bogen beschreibt. Er lenkt, wenn 
er zu fallen droht, in einem Bogen nach der betreffenden Seite ein, um 
den Körper von neuem ins Gleichgewicht zu setzen. 

§ 86. Die Kepler sehen Gesetze. Das großartigste und mannig- 
fachste Objekt für die Anwendung unserer Prinzipien bietet das 
Planetensystem dar. Zugleich gestattet die Schärfe, deren die astro- 
nomischen Beobachtungen fähig sind, eine sehr genaue Prüfung der 
Theorie durch Vergleichung ihrer Ergebnisse mit denen der Beobachtung. 
Das Fundament für die dynamische Erforschung des Planetensystems 
ist gegeben durch die bekannten Gesetze, die Kepleb aus den Beob- 
achtungen Tychos abgeleitet hat. 



108 , Mechanik starrer Körper § 87 

1. Die Planeten bewegen sich in Ellipsen , in deren einem Brenn- 
punkte die Sonne sich befindet. 

2. Der von der Sonne nach einem Planeten gezogene Leitstrahl 
durchstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächenräume. 

3. Die Quadrate der Umlaufszeiten zweier Planeten verhalten sich 
wie die Kuben der großen Achsen der Bahnellipsen. 

§ 87. Newtons allgemeine Gravitation. Die beiden ersten Kep- 
LEESchen Gesetze erklären sich in einfacher Weise durch die Annahme 
einer gegen die Sonne gerichteten Zentralbeschleunigung, oder durch 
eine von der Sonne auf die Planeten in der Richtung der Leitstrahlen 
ausgeübte Anziehung, die dem Quadrate der Entfernung umgekehrt pro- 
portional ist. Das dritte Gesetz zeigt, daß diese Kraft außerdem der 
Masse des angezogenen Planeten direkt proportional sein muß. Nimmt 
man noch das Prinzip der Gleichheit von Aktion und Reaktion zu Hilfe, 
so ergibt sich das NEWTONsche Anziehungsgesetz. 

Zwischen der Sonne und einem Planeten besteht eine, 
wechselseitige Anziehung, die dem Produkte der Massen beider 
Körper direkt, dem Quadrate ihrer Entfernung umgekehrt 
proportional ist. 

Die hiermit gegebene . Anschauung wurde von Newton sofort er- 
weitert; dieselbe Anziehung betrachtete er als die Ursache, welche die 
Trabanten der Planeten in ihren Bahnen erhält; er sah in ihr eine all- 
gemeine zwischen irgend zwei Körpern des Planetensystems wirkende 
Kraft und bahnte so den Weg zu der Theorie der Bahnstörungen, 
welche die Planeten infolge ihrer wechselseitigen Anziehung erleiden. 
Endlich aber, und hierin liegt eine seiner bewunderungswürdigsten 
Leistungen, erkannte er, daß jene zwischen den Himmelskörpern vor- 
handene Anziehung ihrem Wesen nach keine andere ist, als die an der 
Oberfläche der Erde beobachtete Anziehung der Schwere. In der Tat, 
wenn wir sehen, daß die Schwere in den Schächten der Bergwerke und 
auf den Spitzen der höchsten Berge vorhanden ist, so fordert die Kon- 
tinuität, daß sie auch über irdische Entfernungen hinaus, z. B. bis zum 
Monde wirke, daß also der Mond gegen die Erde schwer sei, und daß 
diese Schwere ihn in seiner Bahn um die Erde erhalte. Wenn aber 
die Schwere mit der NEWTONSchen Anziehung identisch ist, so nimmt 
sie ab nach dem umgekehrten Quadrate der Entfernung vom Erd- 
mittelpunkt. Beträgt die Beschleunigung an der Oberfläche der Erde 
98 1 cm- sec — 2 , so ist sie in der Entfernung des Mondes, d. h. in einem Abstand 

981 

von 60 «3 Erdhalbmessern gleich--—- = 0-27 cm-sec -2 . Dies ist aber 

b 60-3x60-3 

tatsächlich die Zentralbeschleunigung des Mondes, wie sie sich aus 
Bahnhalbmesser und Umlaufszeit nach § 85 berechnen läßt, wenn man von 
der geringen Elliptizität der Bahn absieht und die Bewegung als eine 
kreisförmige betrachtet. Die Annahme, daß die Schwere mit jener Zentral- 
kraft, welche die Planeten in ihren Bahnen erhält, identisch sei, führt 



§ 87 Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 109 

somit für die Mondbewegung zu einem mit der Beobachtung voll- 
kommen übereinstimmenden Resultate. Der Begriff der Schwere er- 
weitert sich hierdurch zu dem der allgemeinen Gravitation. Aber 
es wird damit auch die Vorstellung, daß die zwischen den Welt- 
körpern vorhandenen Anziehungen ihren physischen Ursprung in ihren 
Mittelpunkten haben, aufgehoben; die Schwere muß ausgehen von 
jedem beliebigen Teil ihrer Massen; es müssen je zwei Massenteilchen, 
welches auch ihre Herkunft, welches ihre sonstige Beschaffenheit sei, 
dem NEWTONschen Gesetz entsprechend sich anziehen. Bezeichnen wir 
also durch m und m irgend zwei Massen, durch r ihre Entfernung, so 
findet zwischen ihnen eine wechselseitige Anziehung K statt, die ge- 
geben ist durch 

„ mm' 

K= x — — * 

r z 

Der in dieser Formel auftretende Faktor x hat eine einfache physi- 
kalische Bedeutung; es wird nämlich die Anziehung gleich x, wenn wir 
m und m gleich der Masseneinheit, r gleich der Einheit der Entfernung 
setzen. Es ist also x diejenige konstante Kraft, mit der sich zwei Massen- 
einheiten in der Einheit der Entfernung anziehen. Man bezeichnet 
x als die Gravitationskonstante; aus der Anziehung, die zwei 
beliebige Massen in beliebiger Entfernung aufeinander ausüben, be- 
rechnet sie sich nach der Formel 

Kr* 

x = } - 

mm 

Im absoluten Maßsystem ist daher die Dimension von x 

[*]' = l 3 m-H- 2 . 

Mit Rücksicht auf die Identität, die zwischen der Anziehung der 
Weltkörper und der Schwere an der Erde besteht, nennt man alle 
Körper, die nach dem NEWTONschen Gesetz aufeinander wirken, pon- 
derable. 

Aus jener Identität folgt weiter, daß die KEPLERschen Gesetze auch 
für die Wurfbewegung an der Oberfläche der Erde gelten müssen. 
Wenn wir einen Stein von einem in einiger Höhe über dem Boden liegen- 
den Punkte aus in horizontaler Richtung werfen, so beschreibt er, ab- 
gesehen von den durch den Luftwiderstand bedingten Abweichungen, eine 
Ellipse, deren einer Brennpunkt in dem Mittelpunkt der Erde sich befindet. 
Die Dimensionen der Wurfbahn sind aber im allgemeinen so klein, daß die 
von der Erdmitte aus nach ihren Punkten gezogenen Radien als parallel 
erscheinen, die Ellipse kann daher ersetzt werden durch eine Parabel. 

Es ist nicht ohne Interesse, die Veränderung zu verfolgen, welche 
die Wurfbahn erleidet, wenn die anfängliche Wurfgeschwindigkeit immer 
mehr gesteigert wird. Wir setzen dabei wieder voraus, daß die Wurf- 
richtung zu Anfang eine horizontale sei. Bei kleineren Geschwindigkeiten 
ist die Bahn eine Ellipse, deren ferner liegender Brennpunkt in den 



110 Mechanik starrer Körper § 88 

Mittelpunkt der Erde fällt. Wird die Windgeschwindigkeit gesteigert, 
so kann die Ellipse in einen Kreis tibergehen, dessen Mittelpunkt in den 
Mittelpunkt der Erde fällt. Die Zentrifugalbeschleunigung muß dann 
gleich sein der Beschleunigung der Schwere; bezeichnen wir also mit 
v die anfängliche Wurfgeschwindigkeit, mit r den Halbmesser des Kreises 
mit g wie früher die Beschleunigung der Schwere, so ergibt sich zur 
Bestimmung von v die Gleichung: 

#0 

r " 

Setzen wir r gleich dem Erdhalbmesser, g gleich 981 cm, so wird 
v == 790 000 cm/sec, gleich einer Geschwindigkeit von nahezu 8 km in 
der Sekunde. 

Wächst die Anfangsgeschwindigkeit des Steines über diesen Betrag 
hinaus, so wird die Bahn wieder elliptisch, aber der Mittelpunkt der 
Erde stellt jetzt den näher liegenden Brennpunkt der Ellipse dar. Wird 
die Anfangsgeschwindigkeit gleich 11-18 km/sec, so fällt der zweite 
Brennpunkt der Ellipse in unendliche Entfernung, d. h. die Ellipse ver- 
wandelt sich in eine Parabel. Übersteigt die Anfangsgeschwindigkeit 
den zuletzt gegebenen Wert, so tritt an Stelle der Parabel eine hyper- 
bolische Bahn, welche um den Mittelpunkt der Erde als um ihren einen 
Brennpunkt sich herumbiegt, Und im Unendlichen sich verliert. 

§ 88. Sätze über die Anziehung von Kugeln. Wenn wir die 
Wechselwirkungen der Planeten oder die von der Erde an ihrer Ober- 
fläche ausgeübte Anziehung berechnen, so denken wir uns ihre Massen 
in den Mittelpunkten konzentriert. Dieses Verfahren findet seine Recht- 
fertigung durch einen von Newton aufgestellten Satz: 

Eine homogen mit Masse erfüllte Kugelschale wirkt auf einen äußeren 
Punkt gerade so, wie wenn ihre Masse im Kugelmittelpunkt vereinigt wäre- 

Gleiches gilt dann auch für eine aus konzentrischen homogenen 
Schichten aufgebaute Vollkugel. 

Auf einen in ihrem Inneren liegenden Punkt wirkt eine homogene 
Kugelschale gar nicht; hiernach läßt sich die Änderung der Schwere im 
Inneren einer Kugel bestimmen, die entweder durchaus homogen ist 
oder aus konzentrischen homogenen Schalen von bekannter Dichte besteht. 

§ 89. Bestimmung der Gravitationskonstante und der Dichte der 
Planeten. Die Gravitationskonstante kann nach einem zuerst von 
Cavendish angegebenen Prinzip mit Hilfe einer sogenannten Drehwage 
bestimmt werden. Ein leichter Stab, der Wagbalken (Fig. 69), der an 
seinen beiden Enden zwei kleine Bleikugeln trägt, wird so aufgehängt, 
daß er sich in einer horizontalen Ebene drehen kann. Zu diesem Zweck 
kann man zunächst, wie dies von Reich 1 geschehen ist, die in § 79 
besprochene bifilare Aufhängung benutzen. Größere Empfindlichkeit der 
Wage erreicht man, wenn der Balken in seiner Mitte an einem feinen 



1 Pogg. Anm. Bd. 85. 1852. p. 189. 



§89 



Anwendungen der Newtonsehen Prinzipien 



111 



Drahte aufgehängt wird, dessen Elastizität allein die Richtkraft abgibt. 
Ist die Ruhelage des Balkens bestimmt, so wird jeder der von ihm ge- 
tragenen Kugeln eine große Bleikugel gegenübergestellt, so daß die zwischen 
den Kugelpaaren wirkenden Anziehungen den Stab in demselben Sinne 
zu drehen suchen. In der neuen Ruhelage hält die von der Drillung 
des Drahtes herrührende elastische Kraft dem Drehungsmomente der 
Anziehung das Gleichgewicht. Ist die erstere bekannt, so ist auch 
das letztere gegeben, und aus ihm kann die Größe der Anziehung 

selbst berechnet werden. Dann 
Kr 2 



aber ergibt sich nach der Formel 

x ==.-' '—. der Wert der Gravitationskonstanten. Im cm, g, sec System wird 

•«±=■6.658 X lO^cm^g-^sec- 2 . 

Die Kraft, mit der zwei Kilogrammstücke in der Entfernung von 10 cm 
einander anziehen, ist hiernach im absoluten Maßsystem: ■ 

10 3 X 10 8 



Z= 6-66 X 10- 8 x 

10 

= 6-66 X lCMDynen 



cm • g • sec - 






oder gleich dem Gewichte von 0-00068 Milligrammstücken. 

Mit Bezug auf die Konstruktion der Drehwage fügen wir noch eine 
Bemerkung hinzu. Der Balken muß 
so lang gemacht werden, daß die 
Wirkung einer festen Kugel auf die 
ihr nicht benachbarte bewegliche 
Kugel der anderen Wagbalkenhälfte 
außer Betracht kommt ; denn sie wirkt 
der Anziehung auf die benachbarte 
Kugel entgegen. Es läßt sich dies 
aber auch bei einem Balken von 
kleiner Länge erreichen, wenn man 
die beiden von ihm getragenen Kugeln 
in verschiedene Höhe bringt. Es 
kann dies etwa so gemacht werden, 
daß man die kleinen Bleikugeln nicht 
direkt an dem Balken befestigt, son- 
dern von seinen Enden an verschieden 
langen Fäden vertikal herunter hängen 
läßt. Damit ist die Möglichkeit ge- 
geben, das ganze System, in kleinem 
Maßstabe und mit sehr geringem 1S ' 

Gewichte herzustellen. Zu der Aufhängung der Drehwage wird dann 
ein feiner aus geschmolzenem Quarze gezogener Faden benutzt. 1 

An die Bestimmung der Gravitationskonstanten schließt sich noch 

1 Boys, On the Newtonian Constant of Gravitation. Phil. Trans, of the Roy. 
Soc. of London, Vol. 186. 1895. p. 1. Cael Braun. Die Gravitationskorstante. 
Denkschr. der math. naturw. Klasse der Wiener Akademie. 64 1896. 




112 Mechanik starrer Körper § 90 

eine Aufgabe von besonderem Interesse, die Bestimmung der Masse und 
der Dichtigkeit der Himmelskörper. Nach dem Gravitationsgesetz ist die 
Beschleunigung a, die eine Kugel von der Masse M in der Entfernung r 
von ihrem Mittelpunkt erzeugt, gegeben durch 

M 

a =x-t^- •. 

Sind durch Beobachtung zwei zusammengehörige Werte von a und r 
gegeben, so ist 

M = 

X 

Wenn wir durch V das Volumen der Kugel bezeichnen, so ist 

js. _ M ar 2 Sa 

V Vx 4:nrx 

bei beliebiger Massenverteilung ihre mittlere Dichte. An der Ober- 
fläche der Erde ist a — g, r gleich ihrem Halbmesser; die mittlere 
Dichte der Erde wird darnach gleich 5-527, während die Dichte der 
Erdrinde etwa gleich 2-5 anzunehmen ist. 

§ 90. Die reine Gravitation der Erde. Auf einen Körper an der 
Oberfläche der Erde -wirken gleichzeitig zwei Kräfte, die durch das 
NEWTONsche Gesetz bestimmte Anziehung und die von der Drehung der 
Erde um ihre Achse herrührende Zentrifugalkraft; durch die Richtung 
ihrer Resultante wird die Buhelage, durch ihre Größe die Schwingungs- 
dauer eines Bendels bestimmt. Die Beschleunigung der Schwere g, wie 
sie aus Bendelbeobachtungen gefunden wird, ist die Besultante aus der 
Beschleunigung der Gravitation und aus der der Zentrifugalkraft. Da 
die Dimensionen der Erde und ihre Umdrehungsgeschwindigkeit bekannt 
sind, so kann die Zentrifugalbeschleunigung für jeden Bunkt ihrer Ober- 
fläche berechnet werden; nehmen wir an, daß die reine Gravitation, 
deren Beschleunigung wir mit a bezeichnen wollen, überall nach dem 
Mittelpunkt der Erde gerichtet sei, so können wir sie nach dem Satz 
vom Parallelogramm bestimmen. Am Äquator ist a gleich der Summe von 
g und von der Zentrifugalbeschleunigung, am Pole sind a und g identisch. 
Für den Äquator berechnen wir die Centrifugalbeschleunigung aus folgenden 
Angaben. Der Umfang des Äquators ist gleich 2 % X 6 378 200 m, 
die Umdrehungszeit der Erde nach § 17 gleich 24 x 60 X 60 — 236 
= 86 164 sec, somit die Zentrifugalbeschleunigung gleich 

{ 2„x 6378200) 2 1 = .0339m.sec-2. 

1 86 164 J 6378200 

Die Beschleunigung der reinen Gravitation ist somit am Äquator: 
a = 978 • 00 + 3 ■ 39 = 981 • 39 cm -.sec- 2 , 
am Bol: a = 983-19. 
Auch die reine Gravitation ist demnach am Pole größer als am 
Äquator. Es folgt hieraus, daß die Erde keine Kugel, sondern ein an den 



91 Anwendungen der Newtonsehen Prinzipien 113 



Polen abgeplatteter Körper ist. In der Tat ergibt sich aus den an der 
Oberfläche der Erde ausgeführten Gradmessungen, daß die Erde im 
wesentlichen als ein abgeplattetes Rotationsellipsoid zu betrachten ist. Der 
Überschuß der äquatorialen Achse über die Polarachse, die sogenannte 
Abplattung, beträgt -^ T der ersteren. 

§ 91. Die Abplattung der Erde und die Massenverteilung in ihrem 
Inneren. Wenn man bedenkt, daß der größere Teil der Erdoberfläche 
mit Wasser bedeckt ist, daß die ganze Erde in früheren Epochen wahr- 
scheinlich flüssig war, so liegt es nahe, ihre Abplattung als eine Wirkung 
der Zentrifugalkraft zu betrachten. Wir nehmen zunächst an, die Erde 
bestehe aus einem festen kugelförmigen Kern, der von einer Flüssigkeit 
von geringerer oder höchstens gleicher Dichte bedeckt sei. Auf ein 
beliebiges Teilchen der Flüssigkeit wirkt die nach dem Mittelpunkte ge- 
richtete Anziehung des Kernes, die Anziehung der übrigen Flüssigkeits- 
teilchen und die Zentrifugalkraft; die Oberfläche der Flüssigkeit stellt 
sich ebenso wie in dem Beispiel des § 85 senkrecht gegen die Resultante 
aus diesen drei Kräften; die Zentrifugalkraft hat daher in der Tat die 
Folge, daß die Flüssigkeitsschichte, die sonst den Kern mit konstanter 
Dicke konzentrisch umhüllen würde, an den Polen sich abplattet. Für 
die Größe der Abplattung ergibt sich der Wert: 

l l 

™' 1-0-6-1' 

Hier bezeichnet q die Dichte der Flüssigkeit, S m die mittlere Dichte 
der Erde, so daß nach § 89 d m = 5-5. Setzen wir g gleich der Dichte 
des Wassers, gleich 1, so wird die Abplattung gleich jyö'i denken 
wir uns den Kern bedeckt mit einer flüssigen Schicht, deren Dichte 
gleich der mittleren Dichte der Erdrinde ist, so erhalten wir ungefähr 

f- = |-, und die Abplattung gleich T ^y; setzen wir endlich q = d m , so 

erhalten wir für die Abplattung eines homogenen Erdkörpers den 
Betrag g-i-g. In keinem Falle ergibt die Theorie die tatsächlich vor- 
handene Abplattung von etwa g-J- ¥ , keine von den gemachten Voraus- 
setzungen entspricht also den wirklichen Verhältnissen des Erdkörpers. 
Unsere Voraussetzungen dürften nun in zwei Punkten der Wirklich- 
keit nicht entsprechen. Es ist von vornherein unwahrscheinlich, daß 
der Kern der Erde, den wir als wesentlich dichter von der umgebenden 
Hülle absondern, kugelförmig sei; entsprechend der äußeren Oberfläche 
wird auch der Kern eher durch ein abgeplattetes Rotationsellipsoid zu 
begrenzen sein. Ferner weist die Verteilung der Schwere darauf hin, 
daß die Oberfläche der Erde nicht mit hinreichender Genauigkeit durch 
ein abgeplattetes Rotationsellipsoid dargestellt wird. Die von dem 
letzteren etwas abweichende Begrenzungsfläche des Erdkörpers, welche 
den Beobachtungen besser entspricht, bezeichnet man als das Geoid. Auf 
Grund dieser verallgemeinerten Annahmen gelangt man nun in der Tat 

Riecke, Physik. I. Dritte Aufl. 8 



114 Mechanik starrer Körper §92 

zu einer befriedigenden Übereinstimmung zwischen Beobachtung und Rech- 
nung. Im einzelnen ergeben sich die folgenden bemerkenswerten Daten. 
Man kann annehmen, daß auch das Geoid eine Umdrehungsfläche sei, 
deren beide Hälften zu der Ebene des Äquators symmetrisch sind. Der 
äquatoriale Halbmesser a des Geoids ist dann gleich 6 378 200 m, der 

polare Halbmesser b gleich 6 356 700 m, die Abplattung - = — , 

Ton der Form des Geoids erhalten wir am leichtesten eine Vorstellung, 
wenn wir zuerst das Rotationsellipsoid konstruieren, dessen Achsen gleich 
den eben gegebenen Werten von a und b sind. Das Geoid liegt dann, 
abgesehen von Pol und Äquator, innerhalb dieses Ellipsoids; in einer 
Breite von 45° ist das Geoid in der Richtung des Erdradius um 2*7 m 
niedriger als das Ellipsoid; dieser Unterschied ist beinahe verschwindend 
klein gegenüber der Größe des Erdhalbmessers selber. 

Der Kern der Erde hat eine äquatoriale Achse von 4 977 400 m r 
eine polare Achse von 4 962 000 m, seine Abplattung beträgt 3--I-3-. 

Während nach § 89 die mittlere Dichte der Erde gleich 5-527 ist, 
ergibt sich für die Dichte des Kerns die Zahl 8-206. Dieser hohe 
Betrag macht es .wahrscheinlich, daß der Kern der Erde aus Metall 
besteht, vielleicht aus Eisen, dessen Dichte dem gefundenen Werte am 
nächsten liegt. Die mittlere, Dichte der Erdrinde wird 3-098, etwas 
mehr als die mittlere Dichte der Gesteine. 

Die genauere Theorie, welche von der Geoidform der Erde ausgeht, 
führt auch zu einer etwas anderen Abhängigkeit der Schwere von der 
geographischenBreite; an Stelle der Formel von§78 tritt die folgende : 

9 = 9 + (£90 ~ 9 Q ) sin2 <P ~ 2 (<7o + £90 - 2 £45) sin2 9P cos2 <P- 

Hier bezeichnet g die Beschleunigung der Schwere am Äquator, 
g 90 die am Pole, # 45 die in einer Breite von 45°, und es ist: 

g = 978-046, 
#90 ~ 9 = 5-185, 
• #9o+#o-2^ 5 = 0.014i. 

§ 92. Gleichgewicht und Bewegung an der Oberfläche der rotieren- 
den Erde. In § 90 haben wir es als etwas beinahe Selbstverständliches 
hingestellt, daß die Schwere an der Oberfläche der Erde eine Resultante 
aus zwei Kräften sei, aus der reinen Gravitation und aus der Zentri- 
fugalkraft. In Wirklichkeit aber enthält dieser Satz große begriffliche 
Schwierigkeiterj, und es scheint daher zweckmäßig, etwas ausführlicher 
auf diese Dinge zurückzukommen. 

Wäre ein Körper, der an der Rotation der Erde teilnimmt, mit 
ihrer Achse durch ein festes Band verbunden, so würde die auf den 



1 E. Wiechert, Über die Massenverteilung im Inneren der Erde. Göttinger 
Nachrichten Math. phys. Kl/ 1897. p. 221. F. R. Helmert, Der normale Teil der 
Schwerkraft im Meeresniveau. Sitzungsber. der Berliner Akademie 1901. XIV. 



§92 Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 115 



Körper wirkende Zentralkraft durch die »Spannung des Bandes gegeben 
sein. Die Spannung würde aber auch umgekehrt auf die Achse de 
Erde wirken und würde sie zu neigen suchen; entsprechend dem 
Prinzip der Gleichheit von Aktion und Reaktion würden Zentralkraft 
und Zentrifugalkraft einander gegenüberstehen. Wenn aber ein Stein 
an der Oberfläche der Erde ruht, so ist er mit dieser nicht durch ein 
festes Band, sondern nur durch die in die Ferne wirkende NEWTONsche 
Gravitation verbunden. Es fragt sich, wie dann die Zentralkraft zu- 
stande kommt, die den Stein in seiner kreisförmigen Bahn erhält. Der 
Einfachheit halber nehmen wir an, der Stein befinde sich im Äquator 
der Erde; er durchläuft dann in einem Tage den Umfang des Äquators, 
und es muß daher in der Richtung des Erdhalbmessers eine Zentralkraft 
auf ihn wirken, die durch das in § 85 gefundene Gesetz bestimmt wird. 
Nun wirken auf den Stein in Wirklichkeit zwei Kräfte; einmal die An- 
ziehung der Erde, die reine Gravitation; andererseits übt die Unterlage 
des Steines auf ihn einen nach oben gerichteten Druck aus, der gleich 
seinem Gewichte ist. Die reine, gegen den Erdmittelpunkt gerichtete 
Gravitation ist aber größer als der Gewichtsdruck; die Differenz zwischen 
der reinen Gravitation und zwischen dem Gewichte ist gleich der zur 
Erhaltung der Kreisbewegung nötigen Zentralkraft. 

Ganz ähnlich liegt der Fall bei einem in Ruhe befindlichen 
Pendel, das wir uns gleichfalls im Äquator aufgestellt denken. 
Nach dem Erdmittelpunkte hin wirkt die reine Gravitation, nach oben 
die Spannung des Pendelfadens, die wir gleich dem Gewichte der 
Pendelkugel setzen. Die Differenz zwischen der Gravitation und der 
Fadenspannung muß gleich der Zentralkraft sein, die nötig ist, um 
die nur scheinbar ruhende Pendelkugel in der kreisförmigen Bahn zu 
erhalten, die sie infolge der Drehung der Erde in Wirklichkeit be- 
schreibt. Die Betrachtung läßt sich leicht ausdehnen auf ein schwin- 
gendes Pendel. Dabei beschränken wir uns ebenso wie früher auf den 
Fall kleiner Amplitude, in dem man die Kreisbahn des Pendels durch 
eine horizontale gerade Linie ersetzen kann. Wir zerlegen dann die 
Fadenspannung in eine horizontale und in eine vertikale Komponente. 
Die erste erzeugt die Pendelschwingung; die zweite muß zusammen mit 
der auf das Pendel wirkenden reinen Gravitation wiederum die Zentral- 
kraft geben, welche das Pendel in seiner kreisförmigen Bahn um die 
Erdachse erhält. 

Der Halbmesser des Äquators sei R, die Winkelgeschwindigkeit 
der Erdrotation co, die Masse der Pendelkugel m; dann ist nach § 85 
die Zentralkraft gleich mRco 2 . Bezeichnen wir die reine Gravitation, 
wie sie durch die Newtons che Anziehung erzeugt wird, mit A, die Faden- 
spannung und das ihr gleiche Gewicht der Pendelkugel mit G, so ist: 

mRco 2 = A— G, 

G = A — mRco 2 . 



116 



Mechanik starrer Körper 



§92 



In der zweiten Formel tritt mRco 2 als eine Kraft auf, welche von 
der reinen Gravitation abzuziehen ist; diese Kraft muß vom Erdmittel- 
punkt weg gerichtet sein, und wir bezeichnen sie deshalb als eine 
Zentrifugalkraft. In Worten wird dann der Inhalt der Formel so 
auszudrücken sein: Das Gewicht der Pendelkugel ist gleich der reinen 
Gravitation vermindert um die Zentrifugalkraft. Dasselbe gilt natürlich 
für jeden Körper, den wir uns am Äquator an der Oberfläche der Erde 
' liegend denken. 

Eine andere Auffassung ergibt sich aus der ersten Formel. Nach 
dieser ist die Zentralkraft mRco 2 gleich der Resultante aus der reinen 
Gravitation und aus einer nach oben wirkenden Kraft, die entweder 
gleich dem Gewichtsdrucke des Steines auf seine Unterlage, oder gleich 
der durch das Pendelgewicht gemessenen Fadenspannung ist. In diesem 
Falle hat die Zentralkraft keine unabhängige Existenz, sie erscheint viel- 
mehr als eine aus zwei gegebenen Kräften konstruierte Resultante. 

Wie steht es nun mit dem freien Fall eines Körpers an der 
Oberfläche der Erde? Hier hört jede materielle Verbindung zwischen 
dem Körper und der Erde auf, sobald er die ihn haltende Hand verläßt. 
Hier sind es nur zwei Ursachen, welche seine Bewegung im wesentlichen 
bestimmen: die reine Gravitation und die Geschwindigkeit, die der 
Körper im Momente des Loslassens infolge der Erdrotation besitzt. 
Von einer Zentral- oder Zentrifugalkraft als einer wirklich vorhandenen 

Bewegungsursache ist hier von vorn- 
herein keine Rede. Um" die Verhältnisse 
etwas eingehender zu untersuchen, be- 
geben wir uns wieder in einen Punkt 
des Äquators, von dem ein Stück durch 
den Kreisbogen der Figur 70 darge- 
stellt sei; aA sei die durch den Mittel- 
punkt M der Erde gehende Vertikale, 
A etwa die Spitze eines Turmes, von 
der aus wir einen Stein frei fallen 
lassen. Wir ziehen durch A einen Kreis- 
bogen AA X mit M als Mittelpunkt; legen 
wir an diesen Kreisbogen die Tangente 
AB, so hat der Stein infolge der Ro- 
tation der Erde in A eine Geschwindig- 
keit v in der Richtung der Tangente. 
Die Winkelgeschwindigkeit der Erd- 
rotation sei co, der Halbmesser des Äquators R, die Höhe des Turmes 
aA = h, dann ist: 

v = co (R + h). 

Außerdem wirkt nun in der Richtung Aa auf den Stein die Anziehung 
der Erde, deren Beschleunigung, die Beschleunigung der reinen Gravi- 




Fig. 70. 



§ 92 Anwendungen der Newtonsehen Prinzipien 117 

tation, wir wieder mit a bezeichnen. Infolge des Zusammenwirkens der 
beiden Bewegungsursachen muß nun der Stein in einer elliptischen Bahn 
um den Mittelpunkt der Erde sich bewegen, gerade so, wie die Planeten 
um die Sonne. Diese Bahn ist in der Figur in rein schematischer Weise 
gezeichnet, sie trifft den Äquator in dem Punkte E. Ein Stück der 
elliptischen Bahn können wir nach den Vorschriften von § 67 konstruieren. 
Wir betrachten die Bewegung während einer Zeit r, die so klein ist, 
daß wir annehmen können, die Gravitation wirke während derselben in 
der unveränderten Richtung A a ; die Strecke A C, welche in dieser Rich- 
tung infolge der Beschleunigung a zurückgelegt wird, ist dann }ar 2 ; 
gleichzeitig legt der Stein infolge seiner Geschwindigkeit v in der Eich- 
tung der Tangente des Bogens AA\ die Strecke AB gleich vx zurück. 
Unter der gemeinsamen Wirkung der beiden Bewegungsursachen kommt 
der Stein in der Zeit r in die Ecke D des aus A B und A C konstruierten 
Rechteckes. Was wir aber beobachten, ist nicht die wirkliche Bewegung 
des Steines von A bis D. Wir drehen uns selber mit der Erde, und 
während der Stein den Ellipsenbogen AD durchläuft, kommt unser Turm 
von aA nach a x A y Wir beobachten nun, um wieviel der Stein von 
der Spitze des Turmes ab gefallen ist. Dieser Fallraum A x D ist aber 
offenbar kleiner als die Strecke A C, welche der Stein infolge der nach 
M gerichteten Anziehung zurücklegt. Die aus dem beobachteten Fall- 
raume berechnete Beschleunigung in der Richtung des rotierenden 
Radius A 1 a 1 , die Beschleunigung der Schwere, ist somit kleiner, als die 
in der festen Richtung A a wirkende Beschleunigung der reinen Gravi- 
tation. Eine kleine geometrische Betrachtung gibt die Beziehung: 

g = a — Bü) 2 . 
Die Beschleunigung der Schwere ist gleich der Beschleunigung der reinen 
Gravitation vermindert um die Beschleunigung der Zentrifugalkraft. Hier 
aber sieht man deutlich, daß die Zentrifugalkraft keine wirkliche Existenz 
besitzt. Sie ist eine fingierte Kraft ; durch ihre Einführung tragen wir 
den Veränderungen Rechnung, die dadurch bedingt sind, daß wir die 
Bewegung des fallenden Steines nicht von einem ruhenden Standpunkt 
außerhalb der Erde, sondern von dem mitbewegten Standpunkt an ihrer 
Oberfläche beobachten. 

Es kann nun nicht geleugnet werden, daß unsere Betrachtung in- 
folge des zweideutigen Charakters der Zentrifugalkraft, die bald als eine 
reale Wirkung, bald als eine bloße Rechnungsgröße auftritt, einen Rest 
von Unbehagen zurückläßt. Dieses Unbehagen empfand Heinrich Hertz 
so stark, daß es für ihn zur Veranlassung wurde, die Mechanik von dem 
Begriffe der Kraft ganz zu befreien und auf eine neue Weise zu be- 
gründen. Er nahm an, daß die Körper ihre Bewegungen wechselseitig 
dadurch bestimmen, daß sie durch irgendwelche materielle Zwischen- 
glieder miteinander verbunden sind, ähnlich wie die Elemente einer 
Maschine durch Kurbeln, Räder oder Ketten. In der Tat hat Hertz 
auf Grund dieser Annahme ein in sich vollkommenes Lehrgebäude der 



118 Mechanik starrer Körper § 92 

Mechanik errichtet. Aber eine unbehagliche Empfindung bleibt uns auch 
hier, solange wir nicht wissen, was wir uns unter jenen hypothetischen 
Verbindungen und Zwischengliedern zu denken haben, und wie sie be- 
schaffen sein müssen, um die beobachteten Erscheinungen zu erklären. 

Das praktische Resultat der bisherigen Überlegungen können wir so 
ausdrücken: Wollen wir die Bewegungen von Körpern an der Oberfläche 
der Erde nicht im ruhenden Räume, ohne Rücksicht auf ihre Rotation 
sondern so bestimmen, wie sie sich von dem mit der Erde rotierenden 
Standpunkte des Beobachters aus darstellen, so müssen wir zu den wirk- 
lich auf den Körper wirkenden Kräften noch eine fingierte Kraft 
hinzufügen, die von der Erdachse weg gerichtete Zentrifugalkraft. Nun 
ergibt sich aber, daß dies nicht der einzige Unterschied zwischen der 
wahren Bewegung des Körpers im Räume und seiner scheinbaren Be- 
wegung an der Oberfläche der Erde ist. 

Wir wollen dies zunächst an dem Beispiele der Fallbewegung 
zeigen; der Einfachheit halber betrachten wir wieder die Verhältnisse 
am Äquator, so daß wir an die Figur 70 anknüpfen können. Bestände 
die durch die Rotation bedingte Änderung allein darin, daß an Stelle der 
Beschleunigung a der reinen Gravitation die Beschleunigung der Schwere 
g tritt, so müßte der fallende Stein immer auf der mit der Erde rotie- 
renden Vertikallinie A x a x bleiben. In Wirklichkeit ist dies nicht 
der Fall. Man kann dies zunächst theoretisch in folgender Weise 
zeigen. Die elliptische Bahn, welche der von A fallende Stein im Räume 
beschreibt, läßt sich konstruieren mit Hilfe der bekannten Anfangs- 
geschwindigkeit v in der Richtung AB und der Beschleunigung a der 
reinen Gravitation in der Richtung Aa. Man kann somit auch den 
Punkt E bestimmen, in dem die Bahn die Oberfläche der Erde schneidet, 
den Punkt, in dem der Stein zu Boden fällt. Ferner kann man die 
Zeit t berechnen, welche der Stein braucht, um den Ellipsenbogen AE 
zu durchlaufen. Man findet mit genügender Annäherung: 




B + h^ / 2h 2 h , /2h 



B y g 3 B y g 

R bezeichne wie früher den Halbmesser der Erde, h den ganzen 
Fallraum Aa, g die Beschleunigung der Schwere. Die Geschwindigkeit 
des Punktes a ist gleich der Winkelgeschwindigkeit w der Erde multi- 
pliziert mit dem Erdhalbmesser, d. h. gleich Reo. Andererseits ist die 
Bahngeschwindigkeit von A gegeben durch v = (R + h) co. Die Ge- 
schwindigkeit, mit der sich der Punkt a im Äquator bewegt, ist somit 

B 

v ^ — 7- • Multiplizieren wir diese Geschwindigkeit mit der Zeit t, so ergibt 

sich der Weg aa, den der Punkt a zurücklegt, während der Stein den 
Bogen AE durchläuft. Wir erhalten mit derselben Annäherung wie vorher: 



2h 2 v * 



# 



§ 93 Anwendungen der Newtonsohen Prinzipien 1 1 9 

Auf der anderen Seite wird die Distanz aE, in welcher der Stein den 
Boden erreicht: 

aE = vi/ 

V 9 

Wir wollen uns nun unter Aa, A 1 a 1 , Aa die Achse eines Turmes denken, 

von deren Endpunkt der Stein fallen gelassen wird. Der Stein eilt dann 

bei seinem Falle jener Achse im Sinne der Erdrotation voran; 

er trifft den Boden nicht in ihrem Fußpunkt a, sondern in einem Punkte E, 

der gegen a nach Osten hin um die Strecke aE — aa oder 

verschoben ist. Am Äquator ist: 

R= 6378000m, v = 465-12m, 

g= 9.780 m. 

Setzen wir mit Rücksicht auf einen sofort zu erwähnenden Versuch 
die Höhe des Turmes, h= 158-5 m, so wird: 

aE = 43-6 mm. 

Beobachtungen über die Abweichung des frei fallenden 
Körpers von der Vertikalen hat Reich in einem Bergwerksschachte 
in Freiberg, also unter einer Breite von 50° 57' angestellt; er fand eine 
östliche Abweichung des fallenden Steines von 28 -4 mm. Das ist be- 
trächtlich weniger als wir für den Äquator berechnet haben. Aber in 
einer Breite von 50° 57' beträgt die von der Erdrotation herrührende 
Anfangsgeschwindigkeit des Steines auch nicht 465- 12 m, sondern nur 
293-02 m, der berechnete Wert der Abweichung wird daher 27-5 mm, 
eine Zahl, die mit der von Reich beobachteten hinreichend übereinstimmt, 
um die Richtigkeit unserer Überlegungen zu beweisen. 

Ein Physiker, der von der Rotation der Erde nichts wüßte, würde 
durch die Beobachtungen von Reich zu der Vorstellung gedrängt, daß 
auf die Körper an der Oberfläche der Erde eine von West nach Ost 
gerichtete Kraft wirke. Eine fingierte Kraft von dieser Art müssen wir 
einführen, wenn wir die Bewegungen der Körper nicht im ruhenden Räume, 
sondern in dem mit der Erde rotierenden Räume des Beobachtungsortes 
richtig bestimmen wollen. Wir sehen also, daß die Rotationsbewegung 
noch zu der Einführung einer zweiten fingierten Kraft neben der 
Zentrifugalkraft führt. Diese zweite Kraft tritt aber nur auf, wenn der 
betrachtete Körper sich gegen die Oberfläche der Erde bewegt, nicht, 
wenn er an der Oberfläche ruht. 

§ 93. Das FoucAULTsche Pendel. Die zweite von den Wirkungen, 
die wir in dem vorhergehenden Paragraphen besprochen haben, macht 
sich in besonders auffallender Weise bei einem Fadenpendel geltend, das 
um den Aufhängepunkt des Fadens nach allen Richtungen hin schwingen 
kann. Die Verhältnisse, die wir. zu untersuchen haben, sind im allgemeinen 



120 



Meohanik starrer Körper 



§94 



^&toc£Uodhi£/>^d UcndcO 



ziemlich verwickelt; wir erleichtern unsere Aufgabe, indem wir uns das 
Pendel über dem Nordpol der Erde aufgestellt denken, wo die Erscheinung 
besonders einfach sich gestaltet. Wenn der Aufhängungspunkt des Pendels 
in der Erdachse liegt, so erfährt er bei der Drehung der Erde keiner- 
lei Verschiebung. Die Pendelkugel bewegt sich von Anfang an in einer 
durch den Pendelfaden und die Erdachse gelegten Ebene; senkrecht dazu 
wirkt weder eine Beschleunigung noch eine Geschwindigkeit; das Pendel 
wird also im ruhenden Räume immer in derselben durch die Erdachse 
hindurchgehenden Ebene schwingen, in welcher der Anfang der Be- 
wegung sich vollzog. Unter dem Pendel aber dreht sich die Erde in nahe 
24 Stunden einmal um ihre Achse. Da der Beobachter an dieser Drehung 
teilnimmt, so ist für seine Empfindung die Erde in Ruhe; ihm 

scheint also die Ebene der Pendel- 
schwingung in 24 Stunden einmal im 
Kreise umzulaufen in einem der Drehung 
der Erde entgegengesetzten Sinne. Die 
scheinbare Bahn, welche die Pendelkugel 
über die Oberfläche der Erde hin be- 
schreibt, hat den durch Figur 71 darge- 
stellten Typus. Nur beträgt die Zahl 
der Schleifen, welche auf eine Um- 
drehung kommen, bei einem Sekunden- 
pendel z. B. nahezu 43 000. 

Für andere Stellen der Erdober- 
fläche wird die theoretische Betrachtung 
durch den Umstand erschwert, daß der 
Aufhängungspunkt des Pendels an der 
Rotation der Erde teilnimmt. Wir 
begnügen uns daher mit der Angabe des sehr einfachen Resultates der 
Rechnung: 

An einem beliebigen Orte dreht sich die Schwingungsebene 
eines Fadenpendels mit einer Geschwindigkeit, welche gleich 
ist der Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation, multipliziert 
mit dem Sinus der geographischen Breite. 
Am Äquator fällt die Drehung fort. 

Foucault hat die Drehung der Schwingungsebene eines Fadenpendels 
zuerst beobachtet und durch die Übereinstimmung der Beobachtungen 
mit dem angeführten Satze einen Beweis für die Achsendrehung der Erde 
geliefert, der nur Beobachtungen an der Oberfläche der Erde selbst 
voraussetzt. 

§ 94. Das sphärische Pendel. Bei dem FoucAüiiTschen Versuche 
benutzten wir ein Fadenpendel, welches nach allen ' Richtungen hin frei 
schwingen kann, ein sogenanntes sphärisches Pendel. Die Theorie des 
Pendels, wie wir sie in früheren Paragraphen entwickelt haben, setzt 
voraus, daß das Pendel in einer durch seinen Aufhängungspunkt hin- 




Fig. 71. 



§95 



Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 



121 




durchgehenden vertikalen Ebene schwingt. Bei den physischen Pendeln 
wird diese Bedingung in der Regel schon dadurch erfüllt, daß das Pendel 
nicht um einen Punkt, sondern um eine horizontale Achse drehbar ist. 
Bei dem Fadenpendel suchen wir der Bedingung dadurch zu genügen, 
daß wir die Pendelkugel zur Seite ziehen und loslassen, ohne ihr irgend 
eine seitliche Geschwindigkeit zu erteilen. Gerade durch die Beobach- 
tungen mit dem FoucAULTschen Pendel, bei denen wir von der allseitigen 
Beweglichkeit des Fadenpendels Gebrauch machen, wird aber die Frage 
nahegelegt, wie sich ein Pendel be- 
wegt, wenn ihm beim Loslassen 
eine, wenn auch kleine, seitliche 
Geschwindigkeit erteilt wird. Die 
Bahn des Pendels besitzt dann den 
Typus der in Figur 72 gezeichneten 
Kurve. Man erhält sie, wenn man 
die Pendelkugel eine Ellipse durch- 
laufen läßt, und diese Ellipse zu- 
gleich um ihren Mittelpunkt im 
Kreise herumdreht. Ist die Ellipse 
sehr schmal, so ergibt sich auch 
hier der Eindruck einer Drehung 
der Schwingungsebene um die Ver- 
tikale. Wenn also das Foucault- 
sche Pendel beim Loslassen einen 
seitlichen Stoß erleidet, so wird auch 
hierdurch eine Drehung der Pendel- 
ebene erzeugt; die durch die Erdrotation bedingte Drehung kann dadurch 
mehr oder weniger gestört, bei größerer Seitenabweichung des Pendels 
völlig verdeckt werden. 

§ 95. Rotation eines starren Körpers um seinen Schwerpunkt. In 
der Lehre vom Pendel haben wir Schwingungen betrachtet, die ein 
starrer Körper um eine unveränderliche Drehungsachse ausführt. Beim 
physischen Pendel ist diese Unveränderlichkeit von vornherein dadurch 
gesichert, daß die Drehungsachse durch eine mit ihm fest verbundene, 
zu seiner Längsrichtung senkrechte Schneide dargestellt wird, mit der 
das Pendel auf einer festen horizontalen Platte aufliegt. Beim mathe- 
matischen Pendel ist allerdings eine solche bestimmte Drehungsachse 
nicht vorhanden; wir sorgen aber durch die Art, wie die Bewegung ein- 
geleitet wird, dafür, daß das Pendel in einer Ebene hin- und herschwingt, 
d. h. so, wie wenn es um eine unveränderliche Achse sich drehte. Im all- 
gemeinen sind die Bewegungen eines Körpers, der um einen festen Punkt 
nach allen Richtungen hin sich frei drehen kann, von komplizierter 
Natur. Das bekannteste Beispiel einer solchen Bewegung bildet der 
Kreisel, der mit seiner Spitze in eine glatte Pfanne eingesetzt ist, so 
daß er sich um die Spitze dreht, während diese zugleich gezwungen ist, 



Fig. 72. 



122 Mechanik starrer Körper § 95 

an derselben Stelle zu bleiben. Aber auch die Achsendrehung der Erde, 
die Rotation eines Geschosses in der Luft besitzen denselben Charakter. 
Der Unterschied liegt nur darin, daß in den letzteren Fällen zu der 
drehenden Bewegung um den Schwerpunkt noch eine fortschreitende 
Bewegung hinzukommt. 

Wir beschränken uns bei dem Problem der Rotation eines starren 
Körpers um einen festen Punkt auf wenige Andeutungen, da eine aus- 
führliche Behandlung nicht möglich ist ohne einen etwas umständlichen 
mathematischen Apparat. Vor allem setzen wir voraus, daß der betrach- 
tete Körper mit Bezug auf eine bestimmte Achse nach allen Seiten hin 
symmetrisch gebaut sei, daß er die Gestalt eines Umdrehungskörpers be- 
sitze; jene Symmetrieachse bezeichnen wir als Figurenachse des Körpers; 
aus Symmetriegründen muß dann der Schwerpunkt in der Figurenachse 
liegen; wir nehmen zunächst an, daß der Drehungspunkt mit dem 
Schwer punkt zusammenfalle, der Körper sich so bewege, als ob überhaupt 
keine äußeren Kräfte auf ihn wirkten. 

Wir betrachten nun zuerst den Fall, daß die Drehungsachse zu- 
sammenfällt mit der Figurenachse des Körpers. Die Resultante aller 
auf den Körper wirkenden Zentrifugalkräfte ist in diesem Falle gleich 
Null, da die rotierenden Massen um die Achse vollkommen symmetrisch 
verteilt sind. Die Drehung geht also gerade so vor sich, wie wenn keine 
Zentrifugalkräfte wirkten. Es ist dies der Fall eines vollkommen zentrierten 
Schwungrades, dessen Lager durch Zentrifugalkräfte in keiner Weise in 
Anspruch genommen werden. Ganz anders gestaltet sich die Sache,, 
wenn das Schwungrad schief auf seine Achse aufgesetzt ist, die Drehungs- 
achse nicht zugleich Figurenachse ist. ' Es stelle der in Figur 73 ge- 
zeichnete Kreis das Schwungrad vor, CD sei die Drehungsachse, GF die 
Figurenachse. Wenn wir nun zwei Punkte a und d des Rades betrachten, 
die symmetrisch zu der Ebene D GF liegen, so heben sich die von ihnen 
entwickelten Zentrifugalkräfte allerdings noch auf, aber nicht so die 
Zentrifugalkräfte zweier Punkte b und V , die in der Ebene D GF gleich 
weit von der Achse liegen; diese erzeugen ein Kräftepaar K, K', das 
die Figurenachse der Drehungsachse zu nähern, eine Drehung des Rades 
um eine zu D GF senkrechte Achse ad zu erzeugen sucht. Soll also die 
Rotationsachse des Schwungrades ihre Lage im Räume behalten, so muß 
auf sie von außen her ein Kräftepaar p, p wirken, welches, dem der 
. Zentrifugalkraft in jedem Augenblick entgegengesetzt, durch den von den 
Lagern auf die Achse ausgeübten Druck geliefert wird. Die Achse ad, 
um welche p und p zu drehen suchen, steht in jedem Augenblick senk- 
recht zu der Ebene D G F, sie rotiert also mit dem Rade, und gleiches 
gilt natürlich auch von der Richtung der Drucke p und p selbst. Es 
beruht auf diesem Umstand das Schleudern eines ' schief auf der Achse 
sitzenden Rades, die rasche Abnützung der Lpger und der Achse. 

Wir haben bisher angenommen, daß die Achse des Schwungrades 
durch feste Lager gehalten sei. Wir fügen noch einige Bemerkungen 



§95 



Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 



123 



hinzu, die sich auf den Fall eines um seinen Schwerpunkt frei nach 
allen Seiten drehbaren Rotationskörpers beziehen. Wenn die Drehungs- 
achse mit der Figurenachse zusammenlallt, so ist nach dem Vor* 




Fig. 73. Schwungrad. 

hergehenden die Resultante der Zentrifugalkräfte gleich Null , der 
Körper fährt fort, um die Figurenachse zu rotieren; mit Bezug hierauf 
bezeichnet man diese als eine freie Achse. Wenn aber der Körper zu 
Anfang um eine andere gegen die Figurenachse geneigte Linie in Um- 
drehung versetzt wurde, so gesellt sich zu der ihm erteilten Winkel- 
geschwindigkeit sofort eine zweite, durch Zentrifugalkräfte erzeugte, hinzu; 
die Achse, um welche im ersten Moment die Drehung erfolgte, bleibt 
nicht Drehungsachse, vielmehr wandert diese im Inneren des Körpers auf 
dem Mantel eines Kreiskegels, dessen Figurenachse mit der des Körpers 
zusammenfällt. Aber nicht bloß im Inneren des Körpers verschiebt sich 
die Drehungsachse, sondern auch im Räume ändert sie von Augenblick zu 
Augenblick ihre Lage, indem, sie auch hier den Mantel eines Kegels 
durchläuft. Halten wir uns an den Fall eines Körpers, der wie ein 
Schwungrad im wesentlichen die Gestalt eines Ringes oder einer flachen 
Scheibe hat — wir wollen ihn als Kreisel bezeichnen — , so können 
wir uns von der Bewegung in folgender Weise eine deutliche und an- 
schauliche Vorstellung machen (Fig. 74). Wir beschreiben um den 
Drehungspunkt G eine Kugel. Wir haben dann einmal den mit dem 
Kreisel fest verbundenen Kegel, der von den aufeinanderfolgenden Lagen 
der Drehungsachse gebildet wird. Seine Figurenachse, zugleich die des 
Kreisels selbst, durchbohrt in dem betrachteten Augenblick die Oberfläche 
der Kugel in dem Punkt F\ der Mantel durchschneidet die Kugel in einem 



124 



Mechanik starrer Körper 



96 




Fig. 74. Kreiselbewegung. 



Kreise, dessen sphärischer Mittelpunkt F ist. Wir haben zweitens einen 
im Raum festen Kegel, dessen Achse auf der Kugelfläche den unveränder- 
lichen Punkt J bestimmt. 
Der Mantel dieses Kegels 
erzeugt auf der Oberfläche 
der Kugel einen zweiten 
Kreis, dessen Mittelpunkt 
/ ist. Die beiden Kreise 
berühren sich bei der 
momentanen Lage des 
Kreisels in einem Punkte 
B, die Kante B C ist die 
Achse, um die augenblick- 
lich die Drehung des Krei- 
sels erfolgt; die weitere Bewegung ergibt sich, wenn man den mit dem 
Kreisel verbundenen Kegel um den im Räume festen, d. h. den Kreis 
F um den Kreis / ohne Gleiten rollen läßt. Die Bewegung stimmt dem 
Ansehen nach überein mit dem Kreiseln einer flachen Scheibe, eines 
Geldstückes, eines Ringes auf einer ebenen Tischplatte. 

§ 96. Präzessionsbewegung. Bewegungen, welche der zuletzt ge- 
schilderten ähnlich sind, ergeben sich, wenn man einen Körper zwar 

um seine Figurenachse in Rotation ver- 
setzt, dann aber irgendwelche äußere 
Kräfte auf ihn einwirken läßt. Bei einem 
Kreisel, dessen Drehungspunkt nicht mit 
seinem Schwerpunkte zusammenfällt, ergibt 
sich eine solche Kraft schon aus der 
Schwere. Wie im vorhergehenden nehmen 
wir an, daß der Kreisel die Form einer 
flachen Scheibe besitzt, die um ihre 
Figurenachse in schnelle Rotation ver- 
setzt werden kann. Auf der einen Seite 
sei die Achse verlängert und um ihren 
Endpunkt D frei drehbar (Fig. 75). 1 

Wir legen durch D eine horizontale 
Ebene und betrachten zuerst den Fall, 
daß die Figurenachse D F zu Anfang unter- 
halb dieser Ebene gehalten werde. Wenn 
der Kreisel keine Rotation um seine Achse 
besitzt, so wird er, losgelassen, einfache ebene Pendelschwingungen aus- 
führen. W T enn er aber, um seine Figurenachse in Rotation versetzt, in 
der Stellung DF erst ruhig gehalten und dann losgelassen wird, so 

1 Hess, Über das Gyroskop. Math. Anm. 19. 1881. p. 121. Math. Anm. 29, 
1887. p. 500. Klein und Sommerfeld. Über die Theorie des Kreisels. I. — IV. Heft. 
1898—1904. 




Fig. 75. 



§96 



Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 



125 



gesellt sich zu der durch die Schwere erzeugten Winkelgeschwindigkeit 
noch die um die Figurenachse. Kombiniert man die Bewegungen, die 
ihnen einzeln entsprechen, so ergibt sich, daß die Figurenachse des 
Kreisels aus der vertikalen Ebene im Sinne der Rotation abweicht. 
Das Ende der Figurenachse beschreibt eine Kurve, die in Figur 76 von 
oben gesehen gezeichnet ist. Der Sinn, in dem der Kreisel um seine Achse 
rotiert, ist durch den Pfeil auf dem kleinen um F beschriebenen Kreise 
gegeben. Die Kurve verläuft in dem Räume zwischen zwei konzentrischen 




Fig. 78. Fig. 79. 

Kreisen, deren Mittelpunkte in der Vertikalen durch den Drehungspunkt 
liegen; auf dem äußeren Kreis bildet sie eine Reihe von Spitzen, den 
inneren berührt sie. Die Figuren 77 und 78 zeigen, wie die von dem 
Endpunkte der Figurenachse beschriebene Kurve sich ändert, wenn die 
Rotationsgeschwindigkeit des Kreisels wächst. Figur 79 gibt die Änderung 
der Kurve, wenn die Figurenachse des rotierenden Kreisels aus der An- 
fangsstellung DF nicht einfach losgelassen wird, sondern gleichzeitig 
einen seitlichen Antrieb im Sinne ihrer weiteren Bewegung erfährt. 
Figur 80 zeigt die Bahn von F. wenn jener anfängliche Stoß der Be- 
wegung von F entgegengesetzt ist. 



126 



Mechanik starrer Körper 



§9.6 



Besonders eigentümlich stellt sich die Bewegung des Kreisels dar, 
wenn die Figurenachse von Anfang an nicht unter, sondern über der 





D 

Fig. 80. Fig. 81. 

durch B gelegten Horizontalebene sich befand (Fig. 81). Wenn die 
Rotationsgeschwindigkeit genügend groß ist, so sinkt die Figurenachse 

nicht unter jene Ebene 
hinab, und ihr End- 
punkt .F beschreibt auf 
einer über der Hori- 
zontalebene liegenden 
Halbkugel Kurven, die 
für zunehmende Rota- 
tionsgeschwindigkeit in 
den Figuren 82 und 83 
gezeichnet sind. Man 
hat dann bei großer 
Rotationsgeschwindig- 
keit den überraschen- 
den Anblick, daß die 
Achse DF der Wir- 
kung der Schwere zum 
Trotz anscheinend in 
derselben Höhe sich 
hält, daß sie aber 
zugleich schwankend 
oder zitternd einen 
Kegel beschreibt, dessen Achse mit der Vertikalen : durch den Drehungs- 
punkt zusammenfällt. 

Man hat damit zugleich die Bewegung eines gewöhnlichen auf einer 
Spitze drehbaren Kreisels, dessen Schwerpunkt über dem Drehungspunkte 




Fig. 82. 



§96 



Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 



127 



^ 



gelegen ist, bei dem also die Schwere den Winkel zwischen der Figuren- 
. achse und der Vertikalen zu vergrößern sucht (Fig. 84). 

Man kann aber auch den zuerst betrachteten Fall, in dem der 
; Schwerpunkt des rotierenden Körpers unterhalb der durch den Drehungs- 
punkt gelegten Horizontalebene sich befindet, mit einem auf einer Spitze 





Fig. 83. 



Fig. 84. Kreisel. 



rotierenden Kreisel realisieren ; zu diesem Zwecke gibt man seinem Durch- 
schnitt die in Figur 85 gezeichnete Form, bei der die Spitze D höher 
zu liegen kommt als der Schwerpunkt. Setzt man den Kreisel mit seiner 
Spitze in eine polierte konkave Pfanne, so befindet er sich im Grleich- 





Fig. 85. Kreisel. 

gewiclit, wenn die Achse D F vertikal steht. Wird er um D F in Rotation 
gebracht und dann schief auf die Pfanne gesetzt, so beschreibt der Endpunkt 
F die in den Figuren 76 — 80 gezeichneten Kurven. Wir kehren noch 
einmal zurück zu dem Falle der Figur 79, in welchem die Achse BF 
aus ihrer Anfangsstellung nicht einfach losgelassen wird, sondern gleich- 
zeitig einen seitlichen Stoß in der Richtung der eintretenden Bewegung 
erhält. Die Figuren 86 — 88 zeigen die Änderung der Bahn bei all- 



128 



Mechanik starrer Körper 



96 



mählich steigender Seitengeschwindigkeit. Man erkennt aus denselben, 
daß eine gewisse Stärke jenes Stoßes existieren muß, bei welcher der 
äußere und der innere Berührungskreis zusammenfallen, bei dem also 
der Punkt F einen Kreis, die Figurenachse DF einen Kegel um die 





Fig. 87. Fig. 88. 

Vertikallinie durch D beschreibt. Es ergibt sich ferner aus der Figur, 
daß der Endpunkt F der Figurenachse in seinem Kreise, die Achse D F 
in ihrem Kegel in einem Sinne umläuft, welcher der Achsendrehung 
des Kreisels entgegengesetzt ist. Diese Bewegung bezeichnet man als die 
Präzession der Figurenachse. 



gfgjgyag afet SA/t/i&'Ä, 




Fig. 89. 



Fig. 90, 
Präzession der Erdachse. 



Jener ausgezeichnete Fall der Bewegung ist von einem ganz beson- 
deren Interesse deshalb, weil er sich realisiert findet bei der Achsendrehung 
der Erde. Wäre die Erde eine vollkommene Kugel, so wäre kein Grund 
vorhanden, weshalb die Richtung ihrer Drehungsachse im Räume sich ändern 
sollte; sie würde ganz unabhängig von der gleichzeitigen fortschreitenden 
Bewegung stets dieselbe Richtung behalten. Nun ist aber die Erde ein 
abgeplattetes Rotationsellipsoid, also gewissermaßen eine Kugel mit einem 



§ 96 Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 129 

auf den Äquator gesetzten Wulst. Dieser wird angezogen von Sonne und 
Mond, und zwar stärker auf der diesen Weltkörpern zugewandten als 
auf der abgewändten Seite. Es resultiert daraus ein Drehungsmoment, 
das die Erdachse aufzurichten, gegen die Ebene der Ekliptik senkrecht 
zu stellen sucht (Fig. 89). Die Erde verhält sich also, wenn wir von 
ihrer fortschreitenden " Bewegung absehen, in der Tat gerade so, wie 
der Kreisel der Figur 85. In Übereinstimmung damit ergibt sich aus 
den Beobachtungen, daß ihre Figurenachse D F in einem der täglichen 
Drehung entgegengesetzten Sinne einen Kegel durchläuft, dessen Achse 
normal zu der Ekliptik steht. Diese Bewegung bezeichnet man als 
die Präzession der Erdachse. Eine genauere Vorstellung davon 
gibt die folgende Konstruktion. (Fig. 90.) Wir wissen, daß die Achse 
der Erde gegen die Normale der Ekliptik um einen Winkel von 23 1 / 2 ° 
geneigt ist. Durch deu Mittelpunkt D der Erde, den wir uns der 
Einfachheit halber im Räume fest denken, ziehen wir ein Parallele DN 
zu jener Normalen und beschreiben um sie mit jenem Winkel von 23 1 / 2 ° 
einen Kegel, der gleichfalls im Räume fest steht. Wir beschreiben 
ferner um die Figurenachse der Erde DF einen mit ihr fest ver- 
bundenen Kegel, dessen gegenüberliegende Kanten einen Winkel von 
0*0173" miteinander bilden 1 ; er durchschneidet die Oberfläche der Erde 
in einem den Pol umgebenden Kreise von 26-6 cm Halbmesser. Diesen 
Kegel legen wir so, daß er den im Räume festen Kegel von innen be- 
rührt und daß die gemeinsame Kante der beiden Kegel der augen- 
blicklichen Drehungsachse der Erde parallel ist. Die Änderung der Achse 
ergibt sich, wenn wir den mit der Erde verbundenen Kegel auf dem 
im Räume festen abrollen lassen, so daß der Mantel des ersteren an 
jedem Tage gerade einmal auf dem Mantel des letzteren sich abwickelt; 
die Figurenachse D F durchläuft dann in der Zeit von 25 800 Jahren 
einen um die Normale D N der Ekliptik beschriebenen Kegel. Die 
Richtung, in welcher jener schmale Kegel rollt, ergibt sich aus der 
zwischen der täglichen Achsendrehung der Erde und der Präzessions- 
bewegung ihrer Figurenachse bestehenden Beziehung. Für einen auf dem 
Nordpol stehenden Beobachter erfolgt die tägliche Rotation in einem der 
Bewegung des Uhrzeigers entgegengesetzten Sinne. Die Präzessions- 
bewegung aber ist wie in den Figuren 76 — 80 und 86 — 88 der Rotation 
entgegengesetzt; die Verschiebung der Figurenachse erfolgt also im Sinne 
des Uhrzeigers und der mit der Figurenachse verbundene Kegel muß in der 
hierdurch bestimmten Richtung rollen. Eine genauere Untersuchung zeigt 
übrigens, daß der im Räume feste Kegel kein vollkommener Kreiskegel ist; 
die Folge davon ist, daß die Figurenachse DF der Erde bald der Normalen 
der Ekliptik sich ein wenig nähert, bald von ihr ebenso sich entfernt, sie 
schwankt in einer Periode von 18 1 /- Jahren um einen Winkel von 9" zur 
Rechten und Linken ihrer Mittellage ; diese Bewegung nennt man Nutation 



1 Poinsot, Precession. des Equiaoxes. Paris 1857. p. 13. 
Rieckb, Physik I. Dritte Aufl. 



130 



Mechanik starrer Körper 



§97 



der Erdachse. In der Präzessionsbewegung der Erdachse liegt der Grund 
für die auf Seite 17 erwähnte Verschiebung des Frühlingspunktes 
in der Ekliptik, Man wird sich hiervon leicht überzeugen, wenn man be- 
achtet, daß im Frühlingspunkte der in der Ekliptik liegende Durchmesser 
des Erdäquators nach der Sonne gerichtet sein muß, und daß dieser 
Durchmesser im selben Sinne sich dreht wie die" Erdachse. 

An die Betrachtungen dieses Paragraphen knüpfen wir endlich 
noch eine Bemerkung, die sich auf die Rotation um eine freie Achse 
bezieht. Wenn ein Kreisel um seine Figurenachse rotiert und dabei in 
seinem Schwerpunkt unterstützt ist, so fährt er fort, um jene Achse zu 
rotieren, und nur eine äußere Kraft vermag die Richtung der Achse 
zu ändern. Wir können umgekehrt sagen, daß der Kreisel die Richtung 
seiner Rotationsachse mit einer gewissen Kraft festzuhalten sucht, und 
davon können wir uns in der Tat in einer sehr sinnfälligen Art mit 
Hilfe eines Kreisels überzeugen, der, von einem Ringe gehalten, um 
seine Figurenachse in rascher Rotation begriffen ist. Wenn wir ver- 
suchen, den Ring und mit ihm die Rotationsachse zu drehen, so 
empfinden wir eine lebhafte seitliche Reaktion, indem der Kreisel senk- 
recht gegen die erzwungene Bewegung auszuweichen sucht. 

§ 97. Kombination von Winkelgeschwindigkeiten. Auf eine genauere 
Begründung der in den vorhergehenden Paragraphen enthaltenen Resultate 
müssen wir verzichten; nur ein paar Sätze mögen hervorgehoben werden, 
die für die Untersuchung von fundamentaler Wichtigkeit sind. Bei der 
Drehung eines Körpers um einen festen Punkt handelt es sich um die 
Kombination von Drehungen, die gleichzeitig um verschiedene Achsen 
stattfinden; z. B. Rotation um eine beliebige Achse mit einer durch 
Zentrifugalkraft erzeugten um eine dazu senkrechte Achse; Rotation um 
die Figurenachse und Rotation um eine dazu Senkrechte infolge der 
Schwere oder einer äußeren Einwirkung. Es leuchtet 
ein, daß eine Zusammensetzung der verschiedenen Be- 
wegungen nach dem Prinzip der Kombination unter allen 
Umständen möglich ist. Die Anwendung des Prinzips 
führt aber zu dem überaus einfachen Resultate, daß 
Winkelgeschwindigkeiten oder kleine Drehungen sich 
direkt nach dem Satze vom Parallelogramm zu einer 
resultierenden Winkelgeschwindigkeit oder Drehung zu- 
sammensetzen. Dabei müssen die Winkelgeschwindig- 
keiten in bestimmter Weise durch Linien graphisch 
dargestellt sein, und zwar geschieht dies folgendermaßen : 
Die beiden verschiedenen Achsen, um welche der Körper 
gleichzeitig und in gleichem Sinne sich dreht, seien D A 
und DB (Fig. 91), die entsprechenden Winkelgeschwindig- 
keiten u und ß. Wir machen dann die Strecken DA 
und D B numerisch gleich a und ß und bezeichnen sie nun als Repräsen- 




Fig. 91. 



tauten dieser Winkelgeschwindigkeiten. 



Konstruieren wir die Diagonale 



§99 



Anwendungen der Newtonsehen Prinzipien 



131 



DC des aus DA und DB gebildeten Parallelogramms, so besteht die 
wirkliche Bewegung des Körpers in dem betrachteten Zeitpunkt in einer 
Drehung um die Achse D G mit einer Winkelge- 
schwindigkeit y, deren Betrag numerisch gleich der 
Diagonale D C ist. In Bogenmaß sind die Drehungen 
um die drei Achsen während einer kleinen Zeit x 
gegeben durch ux, ßx und y x. Machen wir in Figur 92 
auf den drei Achsen die Strecken D A ', D B', D C 
numerisch gleich den Drehungen, so findet die resul- 
tierende Drehung yx ihre geometrische Repräsentation 
durch die Diagonale des aus D Ä und D B' konstruierten 
Parallelogramms. 

§ 98. Graphische Darstellung von Kräftepaaren. 
Wir nehmen, ebenso wie in § 37, an, daß die Kräfte P 
eines Paares zu der Verbindungslinie ab ihrer Angriffspunkte senk- 
recht stehen. Die Drehungsachse gehe durch den Mittelpunkt c der 
Verbindungslinie hindurch, und stehe senkrecht auf der Ebene des 
Kräftepa.ares. Das von dem letzteren ausgeübte Drehungsmoment D 
ist gleich P x ab. Um dieses Moment graphisch so darzustellen, daß 
man aus der Figur nicht bloß seine Größe, sondern auch den Sinn der 
Drehung ohne weiteres erkennen kann, hat man zunächst in willkürlicher 
Weise die eine Seite der Drehungsachse ausgezeichnet und als ihre 




d 

A 



D 



positive Richtung bezeichnet. Man 
denkt sich zu diesem Zweck in die von 
a ausgehende Kraft P (Fig. 93) eine 
menschliche Figur gelegt, so daß die 
Richtung P mit der Richtung vom Fuß 
zum Kopfe übereinstimmt. Wendet 
man das Gre sieht der Figur der in b 
angreifenden Kraft zu, so gibt sie durch 
ihre ausgestreckte linke Hand die 
positive Richtung der Drehungsachse an. 
Auf dieser trägt man dann von c bis d 
eine Strecke D ab, welche numerisch 
gleich dem Moment P X ab des Kräfte- Fig. 93. 

paares ist. Diese Strecke ist das geo- 
metrische Bild des Kräftepaares. 

Sind mehrere Kräftepaare gegeben, deren Mittelpunkte mit dem 
Punkte c zusammenfallen, so kann man ihre von c ausgehenden Re- 
präsentanten nach dem Prinzip der Kombination zu einer Resultanten 
vereinigen. Diese ist dann das geometrische Bild eines einzigen Kräfte- 
paares, das an die Stelle der gegeben gesetzt werden kann. 

§ 99. Winkelbeschleunigung und Kräftepaar. Wenn die Drehung 
eines Körpers um eine Achse keine gleichförmige ist, so entwickelt sich 
aus dem Begriff der Winkelgeschwindigkeit der der Winkelbeschleunigung 




132 



Mechanik starrer Körper 



§99 



ganz ebenso wie der Begriff der linearen Beschleunigung aus dem der line- 
aren Geschwindigkeit (§ 53 und § 54). Wenn die Winkelgeschwindigkeit 
in der Zeit r gleichmäßig von oo l auf co 2 wächst, so ist die Winkel- 
beschleunigung gleich — L - 

Wirkt auf einen Körper eine Kraft, so erteilt sie ihm eine Beschleu- 
nigung in ihrer eigenen Bichtung. Wirkt auf einen Körper ein Kräfte- 
paar, so sucht dieses den Körper um eine Achse zu drehen, die zu der 
Ebene des Kräftepaares senkrecht steht, beispielsweise um die Achse cd 
der Figur 93. Das Kräftepaar erteilt dem Körper eine Winkelbeschleu- 
nigung um diese Achse. Im allgemeinen ist der Zusammenhang zwischen 
Winkelbeschleunigung und Drehimgsmoment des Kräftepaares ein sehr 
verwickelter; wir haben schon erwähnt, daß bei der Rotation eines 
Körpers zu den äußeren Kräften noch Drehungsmomente kommen, 
welche durch Zentrifugalkräfte erzeugt werden. Im allgemeinen ist 
daher jede Drehung um eine Achse verbunden mit einer Drehung um 
eine dazu senkrechte; beide Drehungen können nicht für sich, sondern 
nur in ihrer Verbindung untersucht werden. 

Die Beziehung zwischen dem Drehungsmomente des Kräftepaares 
und zwischen der Winkelbeschleunigung ist nur in zwei Fällen eine 
einfache; erstens, Avenn die Drehungsachse des Kräftepaares zugleich eine 

Figurenachse des Körpers ist, und infolge dieser 
Symmetrie die Zentrifugalkräfte sich gegenseitig 
zerstören. Zweitens, wenn die Drehungsachse so- 
wohl im Inneren des Körpers, wie im Baume eine 
unveränderliche Lage besitzt. In diesen Fällen ist 
das Verhältnis zwischen dem Drehungsmomente 
und der Winkelbeschleunigung gleich dem von der 
Masse und den Dimensionen des Körpers abhängen- 
den Ausdruck, den wir in § 77 als Trägheitsmoment 
mit Bezug auf die Drehungsachse bezeichnet haben. 
Hat man diesen Ausdruck berechnet, so findet man 
die Winkelbeschleunigung des Körpers, indem man das 
Drehungsmoment durch dasTrägheitsmoment dividiert. 
Dann aber kann man die weitere Drehung des Körpers 
ebenso bestimmen, wie die geradlinige Bewegung 
eines Körpers unter der Wirkung einer beschleu- 
nigenden Kraft. 

Insbesondere ergibt sich aus dem angeführten Satze das Gesetz für 
die Schwingungsdauer des physischen Pendels. Wenn die Amplituden der 
Schwingung klein sind, wenn also die Verbindungslinie D S von Drehungs- 
punkt und Schwerpunkt (Fig. 94) mit der Vertikalen nur einen kleinen Winkel 
cp einschließt, so ist das Drehungsmoment der Schwere gleich Mg s cp, Mg s 
also ebenso wie in § 77 die Direktionskraft. Ist 9J£ das Trägheitsmoment des 
Pendels um die Drehungsachse, a die Winkelbeschleunigung, so ist: 




§100 Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 133 

äft • cc — — Mg s • cp. 

Ist andererseits m die Masse der Kugel eines Fadenpendels, a ihre 

Beschleunigung, x ihr augenblicklicher Abstand von der Ruhelage, so ist 

nach 6 74: n 2 

m • a = — m -™- • ic . 

In beiden Fällen geben wir der rechten Seite der Gleichung ein 
negatives Vorzeichen, weil die Kraft dem Ausschlag entgegenwirkt. 
Die Analogie der beiden Gleichungen führt zu dem Schlüsse, daß die 
Schwingungsdauer des physischen Pendels durch die Formel bestimmt wird: 



71" 



Mg s 



In der Tat steht das in vollkommener Übereinstimmung mit dem 
in § 77 angegebenen Gesetze. 

§ 100. Der Stoß. Die Erscheinungen des Stoßes, die wir im folgen- 
den behandeln, sind von allgemeiner Bedeutung, weil sie Veranlassung 
geben zur Einführung der wichtigen Begriffe der impulsiven Bewegung, 
der Bewegungsgröße und des schon § 57 benützten der lebendigen Kraft. 
Über die physikalischen Vorgänge beim Zusammenstoße zweier Körper ge- 
winnen wir einige Aufklärung durch die folgenden Versuche. Lassen wir 
eine Kugel von weichem Ton auf eine fest aufgestellte, ebene und harte 
Platte fallen, so bleibt sie nach dem Auffallen ruhig liegen, und wir be- 
obachten, daß sie an der Berührungsstelle eine Abplattung erlitten hat. 
Diese wurde erzeugt durch den Druck der Platte auf die Kugel, einen 
Druck, der zuerst die Bewegung der die Platte berührenden Teilchen, 
dann vermöge des Zusammenhanges der Teilchen die Bewegung der 
ganzen Kugel aufhob. Machen wir denselben Versuch mit einer Elfen- 
beinkugel, so springt diese im Momente des Auffallens wieder in die 
Höhe und fällt abermals herab, um, von neuem zurückgeworfen, die 
frühere Bewegung zu wiederholen. Eine bleibende Abplattung der Kugel 
ist nicht zu beobachten. Wenn wir aber die Platte mit Ruß überziehen, 
so entsteht an jeder Auffallstelle auf der Kugel ein schwarzer Kreis. 
Während der Dauer der Berührung ist eine Abplattung vorhanden, sie 
verschwindet aber vollständig, sobald der Druck zwischen Kugel und 



'b> 



Platte aufhört. Hiernach wird der Vorgang des Stoßes bei der Elfen- 
beinkugel zunächst derselbe sein, wie bei der Tonkugel. Die von der 
Platte ausgehenden Druckkräfte zerstören die Bewegung der sie be- 
rührenden Teilchen und damit die Bewegung der ganzen Kugel. Während 
aber bei dem Tone die abgeplattete Kugel eine neue Gleichgewichtsfigur 
darstellt, hat das Elfenbein das Bestreben, die ursprüngliche Gestalt 
wiederherzustellen. Daraus folgt, daß der wechselseitige Druck zwischen 
Kugel und Platte so lange besteht wie die Abplattung. Wenn die ur- 
sprüngliche Bewegung verschwunden ist, und gleichzeitig die Abplattung 
ihren größten Betrag erreicht hat, so wird dieser Druck die Kugel von 
der Platte zurückstoßen, bis sie bei zunehmender Entfernung wieder volle 



134 Mechanik starrer Körper § 101 

Kugelgestalt erreicht hat. Mit der in diesem Augenblick vorhandenen 
Geschwindigkeit springt sie von der Platte zurück. 

Körper, die unter der Wirkung äußerer Kräfte eine neue dauernde 
Gleichgewichtsfigur annehmen, nennen wir plastische, Körper, die hier- 
bei zwar deformiert werden, aber nach dem Verschwinden jener Kräfte 
ihre ursprüngliche Gestalt wiederherstellen, heißen elastische. Man 
übersieht leicht, daß die Erscheinungen des Stoßes für die beiden Klassen 
von Körpern wesentlich verschieden sein müssen. Ausführlicher werden 
wir im folgenden von dem Stoße elastischer Körper handeln. 

§ 101. Bewegungsgröße und Impuls. Vor allem müssen wir uns 
die charakteristischen Eigenschaften der beim Stoße wirkenden Kräfte 
klar machen. Dabei kommt in Betracht, daß die Stoßzeit, die Zeit, 
während der die beiden stoßenden Körper mit den aus der Abplattung 
entspringenden Druckkräften aufeinander wirken, eine sehr kurze ist; 
sie beträgt bei zwei Stahlkugeln von der Masse von 50 g, die mit einer 
relativen Geschwindigkeit von 50 cm/sec zusammenstoßen, kaum mehr als 
töIiot sec - 1 Während der Stoßzeit wächst der Druck bis zu einer ge- 
wissen Größe, um dann wieder zu verschwinden. Setzen wir an Stelle 
des veränderlichen Druckes seinen mittleren Wert, so charakterisiert sich 
die Stoßkraft als eine Kraft von bestimmter Größe, deren Wirkung sich 
über einen so kurzen Zeitraum erstreckt, daß innerhalb desselben die 
räumliche Lage der stoßenden Körper eine sichtbare Änderung nicht 
erleidet. Wirkungen von dieser Art nennen wir Impulse, Bewegungen, 
die durch sie erzeugt werden, impulsive Bewegungen. Mit Bezug 
auf sie ergeben sich aus dem Prinzip der Masse die folgenden Sätze: 

1. Ein Impuls, der auf eine gegebene Masse wirkt, erteilt ihr eine 
bestimmte Geschwindigkeit. 

2. Das Produkt aus der Masse und aus der ihr erteilten Geschwindig- 
keit ist gleich dem Produkt aus der den Impuls erzeugenden Kraft und 
aus der Dauer des Impulses. 

Verstehen wir unter Bewegungsgröße eines Körpers das Produkt 
aus seiner Masse und seiner Geschwindigkeit, unter der Größe 
eines Impulses das Produkt aus Kraft und Dauer ihrer Wir- 
kung, so können wir den vorhergehenden Satz so aussprechen: 

Die Bewegungsgröße, die einem Körper durch einen Im- 
puls erteilt wird, ist gleich dem Impuls. 

Lassen wir auf einen gegebenen Körper einen Impuls wirken, etwa 
durch einen kurzen Stoß unserer Hand, so erlangt er eine bestimmte 
Geschwindigkeit; verdoppeln wir, ohne die Kraft zu ändern, die Dauer 
des Impulses, so wird die Geschwindigkeit verdoppelt; dasselbe geschieht, 
wenn wir bei gleichbleibender Dauer des Impulses die Kraft verdoppeln. 
Lassen wir andererseits denselben Impuls auf verschiedene Körper wirken, 

1 M. Hamburger, Untersuchungen über die Zeitdauer des Stoßes von Zylindern 
und Kugeln. Wied. Ann. Bd. 28. 1886. S. 664. — Hertz, Über die Berührung 
fester elastischer Körper. Ges. Werke Bd. I. S. 173. 



103 



Anwendungen der Newtonscheu Prinzipien 



135 



so verhalten sich die ihnen erteilten Geschwindigkeiten umgekehrt wie 
ihre Massen; eine Bemerkung, die wir in § 65 zur Erläuterung des 
Massenprinzips benutzt haben. 

§ 102. Erhaltung der Bewegungsgröße. Wenden wir die vorher- 
gehenden Sätze an auf den Stoß zweier elastischer Kugeln, die sich auf 
einer und derselben geraden Linie bewegen (Fig. 95). Die erste besitze 
die Masse m x und die Geschwindigkeit v x , sie werde verfolgt von der 




Do 







Fig. 95. Stoß zweier Kugeln. 

zweiten mit der Masse m 2 und der Geschwindigkeit v 2 . Ist v 2 ~> v x , so 
wird die zweite Kugel der ersten sich mehr und mehr nähern und 
schließlich sie einholen. Durch den Zusammenstoß werden beide Kugeln 
abgeplattet, sie üben in der Berührungsstelle einen wechselseitigen Druck 
aufeinander aus, der die Bewegung der vorderen Kugel zu beschleunigen, 
die der hinteren zu verzögern sucht. Das Produkt aus Druckkraft und 
Stoßzeit stellt den auf beide Kugeln in entgegengesetztem Sinne wirkenden 
Impuls dar. Bezeichnen wir die Geschwindigkeiten der Kugeln nach ihrer 
Trennung durch c x und c 2 , so hat die vordere Kugel durch den Stoß 
die Bewegungsgröße m l (e x — v x ) gewonnen, die hintere die Bewegungs- 
größe m 2 (v 2 — c 2 ) verloren. Beide Änderungen müssen gleich dem sie 
erzeugenden Impulse sein. Da aber auf die beiden Kugeln derselbe Impuls 
in entgegengesetzter Richtung wirkt, so müssen die Änderungen gleich, also 



oder 



sein. 



m x [c x - v x ) = m 2 {v 2 - c 2 ) , 
m x v x + m 2 v 2 — m x c x + m % c 2 



Die Summe der Bewegungsgrößen beider Kugeln wird durch 
den Stoß nicht verändert. 

Dieser Satz gilt auch für den Stoß zweier plastischer Kugeln; bei 
ihnen verschwindet die maximale Abplattung, die in dem Momente vor- 
handen ist, in dem ihre Geschwindigkeiten gleich geworden sind, nicht 
wieder; es fällt also von diesem Augenblick an jede Reaktion zwischen 
den beiden Kugeln fort, sie bewegen sich mit der erlangten Geschwindig- 
keit zusammen weiter; bezeichnen wir diese durch c, so ist 

(m x + m 2 ) c = m x v x + m 2 v 2 . 

§ 103. Erhaltung der lebendigen Kraft. In dem Falle elastischer 
Kugeln wird der vorhergehende Satz ergänzt durch einen von sehr all- 
gemeiner Tragweite: den Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft. 



136 Mechanik starrer Körper § 104 

Unter lebendiger Kraft eines bewegten Körpers verstehen wir das 
halbe Produkt aus seiner Masse und aus dem Quadrate seiner Ge- 
schwindigkeit. Die gesamte lebendige Kraft eines aus mehreren Körpern 
bestehenden Systems setzen wir gleich der Summe der lebendigen Kräfte, 
die den einzelnen Körpern entsprechen. Mit Bezug auf diese Fest- 
setzungen führt das Prinzip der Masse (§ 62) zu dem Satze: 

Die gesamte lebendige Kraft der beiden Kugeln erleidet 
durch den Zusammenstoß keine Veränderung. 

Es gilt also die zweite Gleichung: 



\m 1 v^ + \m 2 v 2 % = \m x c x 2 + \m % c t 



2 

2 > 



die in Verbindung mit der im vorhergehenden Paragraphen gegebenen 
zur Bestimmung von c x und c 2 genügt. 

Die gefundenen Gesetze mögen auf ein paar einfache Beispiele an- 
gewandt werden. 

Ist zunächst m, = m 2 = m, und v x = o, so ergibt sich c 2 = o und 
c ± = v 2 ; die Bewegung der stoßenden Kugel wird aufgehoben, ihre Ge- 
schwindigkeit überträgt sich auf die zuvor ruhende. 

Wir betrachten andererseits zwei Kugeln von gleicher Masse m, die 
sich mit der gleichen Geschwindigkeit auf derselben geraden Linie gegen- 
einander bewegen. Der entgegengesetzten Bewegungsrichtung ent- 
sprechend werden wir die. Geschwindigkeit der einen Kugel als eine 
positive, die der anderen als eine negative Größe einführen; wir setzen 
v 1 — v und v 2 = — v; da überdies m x = m 2 = m, so ist die Summe der 
Bewegungsgrößen vor dem Stoße: 

m i v \ ~f" m t v 2 ~ m v ~ ' m ,v ~ • 
Folglich muß auch die gesamte Bewegungsgröße nach dem Stoße gleich 
Null, die resultierenden Geschwindigkeiten c x und c 2 müssen entgegen- 
gesetzt gleich sein, etwa c 2 —c und c x = — c. Nun ist aber die leben- 
dige Kraft vor dem Stoße: 

\m x v x 2 + \m 2 v 2 = mv 2 ; 

nach dem Stoße mit Benützung der obigen Werte der Geschwindigkeiten: 

\ m 1 Cj 2 + \ m 2 c 2 = m c 2 . 

Der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft gibt: 

c 2 = V 2 ] 

die Kugeln haben also nach dem Zusammenstoße dieselbe absolute Ge- 
schwindigkeit wie vorher; wir müssen aber offenbar setzen: 

Cj = — v und e 2 = + v . 

Die Kugeln bewegen sich nach dem Stoße entgegengesetzt wie vorher, 
sie prallen mit derselben Geschwindigkeit voneinander ab, mit der sie 
aufeinander getroffen waren. 

§ 104. Wellenbewegung einer gespannten Kette. Wir betrachten 
schließlich noch eine Bewegung, die von besonderem Interesse ist, weil 



§ 104 Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 137 

sie das erste Beispiel einer großen Klasse von eigentümlichen Bewegungs- 
erscheinimgen bildet, die Wellenbewegung einer gespannten Kette. Auf 
der Lehre von der Wellenbewegung beruht die ganze Akustik und Optik. 
Schon in der Akustik ist die Wahrnehmung der Bewegung schwierig, in 
manchen Fällen direkt überhaupt nicht möglich. In der Optik können 
wir eine direkte Kenntnis von der Existenz der Wellenbewegung nicht 
gewinnen ; wir schließen auf sie nur auf Grund von experimentellen Tat- 
sachen, die wir in anderer Weise nicht zu erklären vermögen. Es ist 
daher von Wichtigkeit, solche Wellenbewegungen genauer zu untersuchen, 
bei denen eine direkte Übersicht über die Verhältnisse zu gewinnen ist, 
um so zu der Kenntnis der allen gemeinsamen Eigenschaften zu gelangen. 
In diesem Sinne bietet sich als ein geeignetes Objekt für die Unter- 
suchung die Bewegung dar, die an einer gespannten Kette entsteht, wenn 
an irgend einer Stelle ein kurzer Schlag senkrecht gegen sie geführt 
wird. Es wird dadurch auf gewisse Glieder der Kette ein Impuls aus- 
geübt, infolgedessen sie eine zu der Längsrichtung der Kette senkrechte 
Geschwindigkeit erlangen, sie entfernen sich von der Ruhelage und das 
Gleichgewicht ist gestört. Die hierdurch veranlaßte Bewegung, die wir 
in derselben Weise an einem gespannten Seile, einem Kautschukschlauche, 
einem Faden oder einer Saite erzeugen können, bildet den Gegenstand 
unserer Untersuchung. Obwohl die Kette im ganzen einen biegsamen 
Körper darstellt, so reichen doch die. für die Mechanik der starren 
Körper geltenden Sätze zu der Untersuchung der Bewegung aus; denn 
die einzelnen Glieder der Kette sind starre Körper und die Wirkung 
ihrer Verbindung kann durch Kräfte ersetzt werden, die an jedem Gliede 
in den Berührungspunkten mit dem vorhergehenden und dem folgenden 
angreifen. Eine Saite aber, oder ein Seil können wir zerlegen in einzelne 
Abschnitte von solcher Länge, daß wir sie bei der Bewegung als un- 
veränderlich oder starr betrachten können. Wieder werden wir dann 
anzunehmen haben, daß auf die Endpunkte eines solchen Stückes Kräfte 
wirken, die von den benachbarten Teilen der Saite herrühren. Wir 
halten uns im folgenden vorzugsweise an das Beispiel einer Kette , weil 
wir dieser leicht die nötige Länge geben können, und weil die Bewegung 
der Kettenglieder leicht zu verfolgen ist. 

Wir hängen die Kette an ihrem einen Ende fest auf und verbinden 
das andere mit einer Rolle, die um eine horizontale Achse leicht dreh- 
bar ist (Fig. 96). Um die Rolle schlingen wir eine Schnur, die an 
dem frei herabhängenden Ende eine Wagschale trägt; durch Belastung 
dieser können wir die Spannung der Kette beliebig regulieren. Von der 
leichten Krümmung nach unten, die schon in der Ruhelage vorhanden 
ist, sehen wir ab und zeichnen die Kette zunächst als eine horizontale 
gerade Linie AB. Nehmen wir ein Stück EF der Kette, so wird dieses 
an seinen Endpunkten dem von den benachbarten Teilen ausgeübten 
Zug unterworfen sein; da aber die Kette in ihrer ganzen Ausdehnung 
gleich gespannt ist, so halten sich die beiden entgegengesetzten Züge 



138 



Mechanik starrer Körper 



§104 



das Gleichgewicht. Wenn aber eine Ausbiegung entsteht, von der das 
Stück EF einen Teil bildet, so fallen die von beiden Seiten her wirken- 
den Züge nicht mehr in eine gerade Linie, sondern schließen mitein- 
ander einen Winkel ein, der um so größer ist, je schwächer die Krüm- 




B 



£ F 



Fig. 96. 

mung der Kette (Fig. 97). In der Tat kann man die Gestalt der 
Kette in der unmittelbaren Umgebung des Stückes EF als eine kreis- 
förmige betrachten. 
Der Mittelpunkt des 
Kreises, der soge- 
nannte Krüm- 
mungsmittelpunkt 
des Stückes EF, 
sei M; die in E 
und F angreifenden 
Spannungen haben 
die Richtung der 
in diesen Punkten 
an den Kreis ge- 
zogenen Tangenten 
und schließen mit- 
einander einen 
Winkel ein, der den Winkel EMF zu 180° ergänzt. Ihre Resultante 

stellt senkrecht zu EF und ist gleich T- ,, „ . wenn wir mit T die 

o ME - 

Spannung der Kette bezeichnen. Mit dieser, dem Krümmungshalb- 
messer ME umgekehrt proportionalen Kraft wird das Stück EF gegen 
seine Ruhelage hin gezogen. Verstehen -wir unter m die Masse, welche 
ein Stück der Kette von der Länge Eins besitzt, so ist die Masse des 
Stückes EF gleich m X E F, und somit seine Beschleunigung gegen die 




Ruhelage 



T l 

ü ~ m X ME 



Die Untersuchung dieser Gleichung ist eine Aufgabe der Mathe- 



§ 104 Anwendungen der Newtonsehen Prinzipien 139 

matik, die wir nicht weiter verfolgen; es zeigt sich, daß sie in der 
Tat zu der Lösung des Problems genügt und zu einer vollständigen 
Aufklärung über alle Einzelheiten der Bewegung führt, zu deren Be- 
schreibung wir nun übergehen. 

Wenn man gegen die Mitte der Kette einen Schlag von oben her 
führt, so entstellt an der getroffenen Stelle eine Ausbiegung nach unten 
hin. Diese teilt sich dann in zwei Teile, von denen der eine nach dem 
rechten, der andere nach dem linken Ende der Kette hineilt. Wir beob- 
achten also hier eine Bewegung, die nicht Fortbewegung eines Körpers 
ist, sondern nur Fortpflanzung der an der Kette erzeugten Formänderung 
von einer Stelle zur anderen; wir nennen eine solche Bewegung eine 
scheinbare im Gegensatze zu der wirklichen Bewegung eines Körpers. 
Es leuchtet ein, daß die scheinbare Bewegung, das Fortschreiten der Aus- 
biegung, auf einer reellen Bewegung der einzelnen Kettenglieder beruht, 
und es entsteht daher die Aufgabe, den Zusammenhang jener schein- 
baren und dieser reellen Bewegung zu ermitteln. Die Übersicht über 
den Vorgang wird erschwert durch das gleichzeitige Auftreten zweier Aus- 
biegungen. Wir vermeiden dies, wenn wir die anfängliche Verschiebung 
unmittelbar vor der Bolle erzeugen. Was wir dann beobachten, ist folgen- 
des. Die Ausbiegimg eilt von der Kolle nach dem festen Ende der Kette 
hin, von dort kehrt sie zurück, aber mit umgekehrter Richtung, d. h. 
als eine nach oben hin gehende Ausbiegung, sie wird, wie man sagt, 
an dem festen Ende reflektiert (Fig. 98). An der Rolle angekommen, 

C ,-— -N D 



Fig. 98. 

erleidet sie eine abermalige Reflexion, sie ist also wieder in dem ur- 
sprünglichen Sinne nach unten gerichtet und schreitet nach dem festen 
Ende fort, um dort von neuem reflektiert zu werden. So geht die Aus- 
biegung zwischen den Endpunkten der Kette hin und her, bei jeder 
Reflexion ihre Richtung wechselnd, bis endlich infolge von Reibungs- 
widerständen die Bewegung erlischt. Das Hinlaufen der Ausbiegimg an 
der Kette hat eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Fortschreiten einer 
Wasserwelle in einem Kanäle. Man bezeichnet daher auch die Bewegung 
der Kette als eine Wellenbewegung, die an ihr hinlaufende Ausbiegimg 
als eine Welle. 

Die Bewegung eines beliebigen Kettengliedes G beginnt, wenn die 
von A kommende, nach unten gerichtete Ausbiegung an G anlangt.' 
Das Glied entfernt sich nach unten aus der Ruhelage, erreicht seinen 
tiefsten Punkt, wenn die tiefste Stelle der Ausbiegung unter G weggeht, 
steigt bei weiterem Fortschreiten der Ausbiegung wieder in die Höhe 
und erreicht die Ruhelage, wenn die Ausbiegung über die Stelle G hin- 
weg ist. Nach einiger Zeit kommt die reflektierte Ausbiegung nach C; 



140 Mechanik starrer Körper § 104 

dasselbe wird in die Hijhe gehoben und sinkt, während die Ausbiegung 
vorübereilt, wieder nach der Ruhelage herab. Die Ausbiegung geht 
weiter, wird in A reflektiert und kommt in der ursprünglichen Richtung 
wieder zurück. In dem Moment, in dem sie bei G anlangt, beginnt die 
Bewegung des Kettengliedes von neuem. Teilen wir die Zeit in eine 
Reihe gleicher Epochen, deren Anfangs- und Endpunkte markiert sind 
durch die Momente, in denen die nach unten gerichtete von A kommende 
Ausbiegung bei C anlangt, so wiederholt sich innerhalb dieser sich an- 
einander schließenden Epochen die Bewegung von G stets in derselben 
Weise. Beim Beginn der Epoche macht C einen Ausschlag nach unten, 
bleibt einige Zeit in Ruhe, macht dann einen gleichen Ausschlag nach 
oben, pausiert bis zum Schluß der Epoche und führt dann in der neu 
beginnenden wieder dieselbe Bewegung aus. Wir bezeichnen eine solche 
Bewegung als. eine schwingende oder periodische. Unter ihrer 
Periode versteht mau die Zeitdauer jener Epochen, innerhalb derer 
dieselbe Bewegung sich wiederholt. Das klassische Beispiel einer perio- 
dischen Bewegung ist die Pendelbewegung; ihre Periode ist gleich dem 
Doppelten der Schwingungsdauer, gleich der Zeit eines Hin- und Her- 
ganges. Auch bei der Wellenbewegung an unserer Kette läuft das 
Kettenglied in seiner Bahn während einer Periode hin und zurück, es 
führt in seiner Bahn eine Doppelschwingung aus, oder eine ganze 
Schwingung, wenn man den einfachen Hin- oder Hergang als eine 
halbe Schwingung bezeichnet, wie das in der Wellenlehre gebräuch- 
lich ist. Wir bezeichnen daher in der Wellenlehre die Zeit der Periode 
auch als die Zeit einer Doppel- oder ganzen Schwingung, die Anzahl 
der ganzen Schwingungen in einer Sekunde als die Schwingungszahl. 

Die Ermittelung des Zusammenhanges zwischen der scheinbaren 
oder virtuellen und der reellen Bewegung bietet nach den vorhergehenden 
Betrachtungen keine Schwierigkeit mehr. . Die Periode der Bewegung ist 
ja identisch mit der Zeit, die zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durch- 
gängen der von A kommenden nach unten gerichteten Ausbiegung 
durch den Punkt G liegt, d. h, gleich der Zeit, in der die Ausbiegung 
zweimal die Kette durchläuft. 

Die Zeit einer ganzen Schwingung ist gleich der Zeit, 
während der die Welle zweimal die Länge der Kette durchläuft. 

Die Geschwindigkeit, mit der die Ausbiegung längs der Kette fort- 
schreitet, sei v, die Länge der Kette l, dann ist die Zeit der Doppel- 

O 7 

Schwingung = — Bezeichnen wir die Schwingungszahl, die Anzahl 

l v 

der Doppelschwingungen in einer Sekunde durchs, so ist n = 



& 21 

Das Kettenglied C, auf das sich unsere Betrachtung bezog, ist ganz willkür- 
lich gewählt; ebenso wie C führt jedes andere eine periodische Bewegung 
aus, deren Schwingungszahl gleich v/21 ist; man bezeichnet daher diese 
Zahl als die Schwingungszahl der Kette selbst und erhält so den Satz: 



§105 Anwendungen der Nervtonsehen Prinzipien 141 

Bei der "Wellenbewegung an einer gespannten Kette ist 
die Schwingungszahl gleich derFortpflanzungsgeschwindigkeit 
der Welle dividiert durch die doppelte Länge der Kette. 

Der Zusammenhang der scheinbaren und der reellen Bewegung ist 
hierdurch gegeben. Der Verlauf der reellen Bewegung ist für alle 
Kettenglieder, abgesehen von den Enden, im wesentlichen derselbe, da 
die nämliche Welle über alle Glieder hinweggeht; der Zeitpunkt aber, in 
dem die Bewegung beginnt, ist für die verschiedenen Glieder verschieden, 
ein um so späterer, je weiter sie von dem Anfang der Kette entfernt 
sind. Während ein bestimmtes Glied der Kette seine Ruhelage schon 
wieder erreicht hat, wird ein weiter vorliegendes von unten her gegen 
dieselbe zurückschwingen; ein noch weiter vorliegendes seinen Ausschlag 
nach unten eben beginnen; darüber hinaus liegen dann die Teile der 
Kette, die sich noch in ihrer Ruhelage befinden. 

Bei einem einzelnen Gliede der Kette bezeichnet man die ver- 
schiedenen Stellen seiner Bahn als Phasen der Bewegung. Die 
einzelnen Phasen folgen sich bei allen Gliedern der Kette in ähnlicher 
Weise, aber zu einer und derselben Zeit befinden sich die verschiedenen 
Glieder in verschiedenen Phasen ihrer Bewegung. 

Für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit v der Welle gibt die Theorie 
den Wert: 

" = i/ z > 

\ m 

wenn wir unter m wie früher die Masse der Längeneinheit verstehen. 
Die Spannung T ist gleich der Masse M des spannenden Gewichtes 
multipliziert mit der Beschleunigung der Schwere; wir können daher 
auch schreiben 



• = /. 



M 



m 



Um die Richtigkeit der Formel zu prüfen, nahmen die Gebrüder 
Weber eine Schnur von 1657 cm Länge, bei der ein Stück von 1 cm 
Länge 0-0313 g wog. Das spannende Gewicht hatte eine Masse von 
603-48 g. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle ist hiernach 



v = y 981 x ^^ = 4349 cm-sec" 1 . 

Der Beobachtung zufolge durchlief die Welle die doppelte Länge 
der Schnur in 0-767 sec, woraus sich die Fortpflanzungsgeschwindigkeit 
v = 4321 cm-sec -1 ergibt, in guter Übereinstimmung mit der Theorie. 1 

§ 105. Die Reflexion der Welle. Die Reflexion der Welle an dem 
festen Ende der Kette vollzieht sich so rasch, daß sie in ihren einzelnen 
Phasen experimentell nur sehr schwer zu verfolgen ist. Hier tritt die 
theoretische Forschung ergänzend ein, indem sie zu einer einfachen 

1 Ernst Heinrich und Wilhelm Weber, Wellenlehre auf Experimente gegründet. 
Wilhelm Webers Werke. Bd. V. S. 342. 



142 



Mechanik starrar Körper 



§106 



D' 



— » 



+ 



Fig. 99. 




C 



D 




konstruktiven Darstellung des Vorganges führt. Es sei CFD (Fig. 99) 
eine Ausbiegung, die eben gegen das Ende A der Kette sich bewegt. 
Wir zeichnen nun eine Ausbiegung C'F'D', die zu CFD symmetrisch 
ist mit Bezug auf den Punkt A; diese lassen wir längs der durch die 
Kette gegebenen geraden Linie in entgegengesetztem Sinne mit derselben. 
Geschwindigkeit fortrücken, wie die Welle selbst. Im selben Moment 
werden dann die symmetrischen Endpunkte C und C' der Ausbiegungen 
in dem Punkte A eintreffen; in einem folgende Momente wird die wirk- 
liche Welle zu einem 
Teile über das Ende A 
hinausgerückt sein, und 
also jegliche reelle Be- 
deutung verloren haben, 
während gleichzeitig die 
Ausbiegimg C F' D' mit einem entsprechenden Teile auf die Kette selbst 
übergegangen ist. Nun setzen wir die Abweichungen von der Ruhelage, 
die den Auslegungen CFD und C F' D' einzeln genommen entsprechen, 

zusammen nach dem 
Prinzip der Kombina- 
tion ; d. h. wir summieren 
gleichgerichtete Aus- 
schläge, nehmen die 
Differenzen entgegen- 
gesetzter. Die so er- 
haltenen Punkte geben 
dann die augenblickliche 
Gestalt der in Reflexion 
begriffenen Welle. Man 
sieht, daß die Konstruk- 
tion der Bedingung ge- 
nügt, daß das Ende A 
der Kette fest ist, bei der 
Bewegung also in Ruhe 
bleiben muß; bei der 
vorausgesetzten Sym- 
metrie der Ausbiegungen CFD und C F'D' kommen nämlich immer gleiche 
aber entgegengesetzte Ausschläge an die Stelle von A, dem Zentrum der 
Symmetrie, zu liegen. Die Figuren 100 stellen einige der Phasen des 
Reflexionsvorganges dar, entsprechend der angegebenen Konstruktion. 

§ 106. Stehende Wellen. Auch für die ganze Bewegung einer 
Kette oder Saite, an der durch einen Schlag an irgend einer Stelle 
eine Ausbiegimg erzeugt worden war, gibt unsere Konstruktion ein 
einfaches Bild. Es seien wieder A und B (Fig. 101) die festen End- 
punkte, CFD die ursprünglich erzeugte Ausbiegung; die zu der geraden 
Linie, mit der die Ruhelage der Saite zusammenfällt, senkrechten Ab- 




§ 106 Anwendungen der Newtonschen Prinzipien 143 

weiclmngen bezeichnen wir in Anlehnimg an die Definitionen von § 22 
als die Ordinaten der Welle; der Deutlichkeit halber zeichnen wir sie 
in den folgenden Figuren in einem im Verhältnis zu den horizontalen 
Dimensionen übertrieben großen Maßstab. Nach § 104 teilt sich nun 
zunächst die Ausbiegung GED in zwei, die nach entgegengesetzten 
Seiten hin an der Saite sich bewegen; um diese Teilausbiegungen zu 
erhalten, halbieren wir sämtliche Ordinaten von GED und erhalten so 
die Kurve GFD, welche nun zwei sich deckende unter sich gleiche 
Ausbiegungen repräsentiert. Dies ist in Figur 101 dadurch angedeutet, 
daß die Kurve doppelt, das eine Mal ausgezogen, das andere Mal ge- 
strichelt gezeichnet ist. Die ausgezogene Kurve ist im folgenden durch 
GFD, die gestrichelte durch C F' D' bezeichnet. Die ausgezogene Kurve 
möge sich von links nach rechts, die gestrichelte entgegengesetzt mit 
der Wellengeschwindigkeit bewegen; der weitere Vorgang ergibt sich 
dann mit Hilfe der folgenden Konstruktion. Wir zeichnen eine ge- 
strichelte Ausbiegimg G x ' F x ' D x ', symmetrisch zu GFD mit Bezug auf 

E 

F' 





^/ A C JD B \/ 

^ f; 



c s D s ^y A C DB C/ I>; 



Fig. 101. 

den Endpunkt B der Saite; eine ausgezogene C t F 1 D x symmetrisch zu 
G' F' D' mit Bezug auf den Punkt A ; zu G x F x D 1 wiederum die mit 
Bezug auf B symmetrische G 2 ' F 2 D 2 ' ; zu C/ F x ' D x ' die mit Bezug auf A 
symmetrische G 2 F 2 D 2 ; usf. Auf diese Weise erhalten wir zwei Wellen- 
züge, deren einer gebildet wird von den ausgezogenen Ausbiegungen 
GFD, C 1 F l D 1 , G 2 F 2 D 2 , . . ., der andere von den gestrichelten C F' D' , 
C/i^/Z)/, G 2 F 2 D 2 . . . Diese Wellenzüge nun bewegen wir auf der 
geraden Linie AB in der Eichtung der Pfeile mit der in § 104 be- 
stimmten Geschwindigkeit v, den ausgezogenen von links nach rechts, 
den gestrichelten von rechts nach links, während Gestalt und Anordnung 
unverändert bleiben. Die Bewegung der Saite ergibt sich dann nach 
demselben Prinzip, das wir bei der Konstruktion der Reflexion benützt 
haben. Von reeller Bedeutung sind immer nur diejenigen Ausbiegungen 
oder Teile von solchen, die jeweilig auf der Saite AB selbst sich be- 
finden. Aus diesen aber ergibt sich ihre augenblickliche Gestalt wieder 
nach dem Prinzip der Kombination. Zu irgendeiner Zeit befinde sich 
über der Stelle x der Saite die Ordinate y einer ausgezogenen, y einer 
gestrichelten Ausbiegung. Der wirkliche Ausschlag von x ist gleich der 
Summe von y und y ', wenn diese nach derselben Seite gerichtet sind. 
Geht die eine der Ordinaten nach oben, die andere nach unten, so ist 
der wirkliche Ausschlag gleich ihrer Differenz und gerichtet nach der 
Seite der größeren, 



144 Mechanik starrer Körper § 106 

Die Durchkreuzung zweier entgegengesetzter Wellenzüge, wie sie 
als das wesentlichste Element unserer Konstruktion hervortritt, bezeichnet 
man als Interferenz. Das Prinzip der Kombination, sofern es dazu 
dient, das Resultat solcher Interferenzen zu ermitteln, wird in der Regel 
als Prinzip der Superposition bezeichnet. 

Besonders einfach gestaltet sich der ganze Vorgang, wenn die an 
der Saite erzeugte Ausbiegung sich von Anfang an über ihre ganze 
Länge erstreckte; dies ist z. B. der Fall, wenn man die Saite in der 
Mitte zur Seite zieht und dann losläßt. Die Konstruktion liefert dann 
zwei zusammenhängende aus Bergen und Tälern bestehende Wellenzüge, 
die sich in entgegengesetztem Sinne mit gleicher Geschwindigkeit be- 
wegen (Figur 102). Die Endpunkte der Saite A und B bleiben bei der 
Bewegung natürlich in Ruhe; zwischen ihnen nimmt aber die Saite 



Fig. 102. 




E' 

Fig. 103. Stehende Wellen. 

abwechselnd die in Figur 103 gezeichneten Formen an; sie schwingt von 
der ursprünglichen Lage AEB hinüber nach der symmetrischen AE'B 
in der Zeit, in der die Welle um die Länge der Saite fortschreitet; sie 
kehrt in die ursprüngliche Lage AEB zurück in der Zeit, in der die 
Welle die doppelte Länge der Saite durcheilt, Die Zeit einer solchen 
ganzen Schwingung der Saite ist daher in Übereinstimmung mit § 104 

gleich - — , die Schwingungszahl der Saite gleich — y ; wo v wie früher die 

Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle, l die Länge der Saite be- 
zeichnet. 

Eine Wellenbewegung von der geschilderten Art, wie sie aus der 
Durchkreuzung zweier gleicher aber entgegengesetzter Wellenzüge ab- 
geleitet werden kann, nennt man eine stehende. Die Punkte A und B, 
die dabei in Ruhe bleiben, heißen Knotenpunkte, die zwischen ihnen 
in der Mitte liegenden, die im allgemeinen Stellen lebhaftester Bewegung 
sind, Schwingungsbäuche. Wir werden auf diese stehenden Schwin- 
gungen wieder zurückkommen bei der Wellenbewegung des Wassers und 
bei den Tönen schwingender Saiten. 



§107 Energetik 145 



Fünftes Kapitel. Energetik. 

§ 107. Arbeitsvorrat oder potentielle Energie. Die folgenden 
Paragraphen sind der Entwickelung eines Satzes gewidmet, der mehr 
und mehr eine zentrale Bedeutung für das ganze Gebiet der Physik 
gewonnen hat; es ist der Satz von der Erhaltung der Energie, den wir 
zuerst nach der rein mechanischen Seite begründen wollen, um ihn dann 
auf gewisse mit den mechanischen zusammenhängende Wärmeerscheinungen 
auszudehnen. Wir knüpfen an den in § 46 besprochenen Begriff der 
Arbeit an. Wenn wir ein Gewicht P auf eine Höhe h emporheben, so 
leisten wir eine Arbeit, die gegeben ist durch das Produkt Ph. Dabei 
ist es gleichgültig, auf welchem Wege wir die Hebung bewirken, ob wir 
das Gewicht direkt in vertikaler Richtung in die Höhe ziehen oder 
auf irgend einer schiefen Bahn: denn wenn wir diese durch eine Treppe 
ersetzen, so erfordert die Verschiebung längs der horizontalen Ab- 
sätze nach § 46 keine Arbeit. Das gehobene Gewicht können wir be- 
nutzen, um Arbeit zu gewinnen; so unterhält das Uhrgewicht die Be- 
wegung des Pendels entgegen den Widerständen der Eeibung. Das aus 
einem Bache abgeleitete, einem oberschlächtigen Mühlrad zugeführte 
Wasser ist in demselben Sinne ein gehobenes Gewicht; nur waren es 
nicht die Kräfte des Menschen, sondern die Sonnenwärme, die meteoro- 
logischen Prozesse in der Atmosphäre, die es hoben. Indem das Wasser 
die Zellen auf der vorderen Seite des Rades füllt, bringt es diese durch 
sein Übergewicht zum Sinken, und dreht so das Mühlrad. Die Arbeit, 
welche die Schwere dabei leistet, erhalten wir, wenn wir das Gewicht 
des von den Zellen aufgefangenen Wassers mit dem Durchmesser des 
Rades, der Höhe, um die das Wasser sinkt, multiplizieren; ebenso ist 
die Arbeit des sinkenden Uhrgewichtes gegeben durch das Produkt P-h 
aus Gewicht und Fallhöhe. Jedes gehobene Gewicht enthält also für 
uns eine Möglichkeit Arbeit zu gewinnen, wir schreiben ihm einen ge- 
wissen Arbeitsvorrat, eine potentielle Energie zu Das Maß dafür 
ist eben die Arbeit, die wir gewinnen können, wenn wir das Gewicht 
ganz ablaufen, so tief fallen lassen, als es unter den gegebenen Ver- 
hältnissen möglich ist. Bezeichnen wir diese größte Fallhöhe durch H, 
so ist der ganze Arbeitsvorrat gleich P-H, also auch gleich der Arbeit, 
die zuvor geleistet werden mußte, um das Gewicht P auf die Höhe H 
zu heben. Fällt das Gewicht um die Höhe h, so ist der noch vor- 
handene Arbeitsvorrat gleich P-(H — h); er hat sich vermindert um P-h, 
d. h. um die Arbeit, die von der Schwere bei dem Herabsinken um die 
Höhe h geleistet wurde. 

Wir wenden den Begriff des Arbeitsvorrates noch an auf die Theorie 
der in § 41 bis § 44 betrachteten sogenannten einfachen Maschinen. 
Bei dem Hebel, dem Wellrad, dem Flaschenzug, dem Räderwerk haben 
wir einen Arbeitsvorrat in der an dem einen Teile des Mechanismus 
hängenden Last und in dem Gewichte, durch das die Last im Gleich- 

Riecke, Physik I. Dritte Aufl. 10 



146 Mechanik starrer Körper § 108 

gewichte gehalten wird. Wird bei einer virtuellen Verschiebung der 
Maschine die Last gehoben, so wird hier ein gewisser Arbeitsvorrat 
erzeugt, gleichzeitig aber sinkt das Gewicht, es geht Arbeitsvorrat ver- 
loren, und wird Arbeit von der Schwere geleistet. Nach dem in § 47 
aufgestellten Prinzip der virtuellen Verschiebungen ist der Gewinn an 
Arbeitsvorrat auf der einen Seite gleich dem Verlust auf der anderen. 
Es wird also der gesamte Arbeitsvorrat nicht geändert. Die Arbeit, die 
bei der Verschiebung geleistet wird, dient eben dazu, einen mit ihr 
gleichen Arbeits vorrat zu erzeugen. 

§ 108. Arbeitsvorrat und lebendige Kraft oder kinetische Energie. 
Eine neue wichtige Beziehung ergibt sich für den Arbeitsvorrat aus 
der Betrachtung der Fallbewegung. Wir könnten uns dabei auf die 
Entwickelungen von § 57 beziehen, aber im Interesse des Zusammen- 
hanges scheint es doch besser, die Verhältnisse beim freien Falle von 
neuem zu behandeln. Wenn ein Körper frei fällt, ohne daß er irgendwie 
mit anderen Körpern zu einem mechanischen System verbunden ist, so 
wird der beim Falle verschwindende Arbeitsvorrat nicht dazu verwandt, 
irgend einen neuen Arbeitsvorrat zu erzeugen; dafür erlangt aber der 
Körper Geschwindigkeit und es liegt nahe, nach einer Beziehung zwischen 
der von der Schwere geleisteten Arbeit und der Geschwindigkeit des 
Falles zu suchen. In der Tat ergibt sich aus der Verbindung der Fall- 
gesetze die Gleichung: 

v 2 = 2 g s , 

wenn v die Fallgeschwindigkeit, s den Fallraum bezeichnet. Multipli- 
zieren wir die Gleichung mit der halben Masse, so hahen wir 

}mo 2 = mg s . 

Auf der linken Seite haben wir nun den Ausdruck, der in § 57 und 
§ 103 als die lebendige Kraft des bewegten Körpers bezeichnet wurde, 
auf der rechten die von der Schwere auf dem Fallraum s geleistete 
Arbeit. Wir haben also den Satz: 

Die lebendige Kraft eines freifallenden Körpers ist in 
jedem Augenblicke gleich der von der Schwere geleisteten 
Arbeit. 

Die ganze disponible Fallhöhe des Körpers bezeichnen wir wieder 
durch H\ wenn wir dann auf beiden Seiten der vorhergehenden Gleichung 
den ganzen ursprünglich vorhandenen Arbeitsvorrat mgH addieren, so 
können wir sie auf die Form bringen 

|-m« 2 + mg(H — s) = mgH. 

Nun ist mg(H — s) der Arbeitsvorrat, der in dem Körper noch übrig 
bleibt, nachdem er um die Strecke s gefallen ist. Wir können also sagen, 
daß in jedem Augenblick des Falles die Summe aus der lebendigen Kraft 
und aus dem noch vorhandenen Arbeitsvorrat dieselbe, nämlich gleich 
dem ursprünglich in dem Körper enthaltenen Arbeitsvorrate sei. Diese Be- 



§ 109 Energetik 147 

merkung gibt dann Veranlassung zu der Auffassung, daß Arbeitsvorrat 
und lebendige Kraft nur zwei verschiedene Formen einer und derselben 
Eigenschaft des Körpers seien, die während des Falles unverändert bleibt; 
diese Eigenschaft nennt man seine Energie und man sagt im Anschluß an 
die vorhergehenden Betrachtungen, daß die Energie in zwei verschiedenen 
Formen existieren könne, nämlich als Arbeitsvorrat oder potentielle 
Energie und als lebendige Kraft oder kinetische Energie. 

Solange wir den Körper schwebend in der Höhe H halten, besitzt 
er Energie nur in ihrer potentiellen Form; lassen wir ihn fallen, so 
verschwindet potentielle Energie, an ihre Stelle tritt kinetische Energie, 
so daß die ganze Energie unverändert denselben Wert behält; sie ändert 
nur ihre Form, nicht ihre Größe. 

Beim freien Fall von der Ruhe aus verwandelt sich potentielle 
Energie in kinetische. Umgekehrt verwandelt sich bei einem in die 
Höhe geworfenen Stein kinetische Energie in potentielle. Hier wird 
Arbeit gegen die Schwere verrichtet, und um ihren Betrag sinkt die 
kinetische Energie. Eine Verwandlung von derselben Art können wir 
bei dem mathematischen Pendel beobachten. In den höchsten Punkten 
seiner Bahn hat seine ganze Energie die potentielle Form; sie ist gleich 
mgH, wenn wir mit m die Masse des Pendels, mit H die Höhe der 
Umkehrpunkte über dem tiefsten Punkte der Bahn bezeichnen. Schwingt 
das Pendel gegen diesen letzteren hin, so verwandelt sich die potentielle 
Energie in kinetische. Im tiefsten Punkte selbst ist die Energie nur 
noch in der kinetischen Form vorhanden, und es ist \mv 2 = mgH, 
wenn v die Bahngeschwindigkeit; sobald das Pendel jenen Punkt über- 
schreitet, verwandelt sich die kinetische Energie ihrerseits wieder in 
potentielle, und wenn der zweite Umkehrpunkt erreicht, und die 
kinetische Energie verschwunden ist, hat die potentielle wieder den Be- 
trag mgH. 

§ 109. Energie der allgemeinen Gravitation. Der in einem ge- 
hobenen Körper enthaltene Arbeitsvorrat beruht auf der Anziehung, 
die nach dem NEWTONschen Gesetze zwischen der Erde und dem Körper 
vorhanden ist. Er stellt daher eine potentielle Energie dar, die dem 
von Körper und Erde zusammen gebildeten System eigentümlich ist. 
Diese Energie wird um so kleiner, je näher der Körper der Oberfläche 
der Erde kommt, sie verschwindet, sobald er bis zu dieser herabsinkt. 
Den größten Wert des Arbeitsvorrates erhalten wir, wenn der Körper 
sich in so großer Entfernung von der Erde befindet, daß ihre Anziehung 
unmerklich klein ist. Er ist gleich der Arbeit, die von der Anziehung, 
geleistet wird, wenn man den Körper von jener Entfernung bis auf die 
Oberfläche der Erde herabführt. Geschehe dies in der Richtung des 
Radius Vektors AB (Fig 104). Wir können dann die Arbeit, die auf 
einer kleinen Strecke EF der Bahn geleistet wird, in folgender Weise 
berechnen. Die Entfernungen der Punkte E und F vom Mittelpunkt der 
Erde seien r x und r 2 , somit EF ' = r x — r 2 . Ist die Anziehung auf der 

10* 



148 Mechanik starrer Körper § 109 

Strecke EF gleich K, so ist die von ihr geleistete Arbeit gleich {r x — r 2 )K 
Sind M und m die Massen von Erde und Körper, so ist nach § 87 die 

Anziehung in E gleich x — ^- , in F gleich x — — , im Mittel können wir 

r i r 2 " 

also für die Strecke EF setzen: K= x ; damit aber wird die Arbeit: 

r x r % 

m M , K „,/ .1 1 

X - 



l 1 



Teilen wir die Strecke AB in eine Eeihe von aufeinander folgen- 
den kleinen Abschnitten, so können wir für jeden davon die Arbeit nach 
dieser Formel berechnen; summieren wir die Einzelarbeiten, so ergibt 




A 



F E 
Fig. 104. 

sich die bei der Bewegung von A nach B geleistete Arbeit, d. h. der in 
A vorhandene Arbeitsvorrat U. Ist r die Entfernung von A zum Mittel- 
punkt der Erde, b der Erdhalbmesser, so ergibt sich 

T T m M m M 

U = 7t— 1 X 

o r 

Der Arbeits vorrat erreicht seinen größten Wert x—r-, wenn r so groß 

wird, daß der Wert des zweiten Bruches verschwindet. 

Dieselbe Betrachtung, die wir hier für die Erde und einen von ihr 
angezogenen Körper angestellt haben, gilt nun offenbar für beliebige 
Massen, die sich nach dem NEWTONschen Gesetz anziehen. Bei sehr 
großer Entfernung werden sie, als ein zusammengehöriges Paar betrachtet, 
einen gewissen konstanten Betrag von potentieller Energie besitzen, den 
wir durch (£ bezeichnen wollen. Wenn sie sich einander nähern, so 
nimmt die Energie ab und hat in der Entfernung r noch den Wert 

r 

wenn m und m die Massen der Körper sind. So kommt also dem von 
Erde und Sonne gebildeten System eine gewisse potentielle Energie zu, 
die mit abnehmender Entfernung der Erde von der Sonne kleiner wird. 
Gleichzeitig hat aber, wenn wir die Sonne als ruhend betrachten, die 
Erde eine gewisse lebendige Kraft; diese wächst, wenn sie der Sonne 
sich nähert, sie nimmt ab, wenn sie sich entfernt. Nun ergibt sich, daß 
die Veränderungen der potentiellen und der kinetischen Energie bei dem 
von Erde und Sonne gebildeten System sich stets wechselseitig kompen- 
sieren; es gilt also auch hier der Satz, daß die gesamte Energie eine 
unveränderliche Größe besitzt und nur ihre Form in periodischer Weise 



§110 



Energetik 



149 



wechselt. Wenn bei Annäherung an die Sonne potentielle Energie ver- 
loren geht, so entsteht ein damit gleicher Betrag von kinetischer Energie 
und umgekekrt. Es gilt diese Bemerkung aber nur, wenn wir Erde und 
Sonne als ein für sich abgeschlossenes System betrachten, wenn wir also 
von den Störungen der Erdbahn durch die übrigen Planeten absehen. 
Aber auch für das Planetensystem im ganzen gilt der Satz von der Er- 
haltung der Energie; nehmen wir die Körper des Planetensystems, 
Sonne und Planeten, paarweise zusammen, so entspricht jedem Paare 
eine gewisse potentielle Energie, die der Formel 



£7=© 



x 



m m 




entsprechend von der Entfernung abhängt. Die potentielle Energie des 
ganzen Planetensystems ist gleich der Summe der Energieen der ein- 
zelnen Paare. Andererseits kommt jedem Körper des 
Systems eine gewisse kinetische Energie zu, und die ge- 
samte kinetische Energie des Systems ist gleich der 
Summe der Energieen seiner einzelnen Glieder. Nun zeigt 
sich, daß die Summe der potentiellen und kinetischen 
Energieen immer die gleiche bleibt, wie auch die Kon- 
figuration und die Geschwindigkeit der einzelnen Teile 
wechselt. Es wohnt also auch dem Sonnensystem eine 
Energie von unveränderlichem Betrage inne, aber bei einem 
Teil derselben ist die Form beweglich, er tritt bald als po- 
tentielle, bald als kinetische Energie auf, jedoch wird immer 
die verschwindende potentielle Energie vollkommen kom- 
pensiert durch die entstehende kinetische und umgekehrt. 
§ 110. Spannkraft. Betrachten wir eine Federwage 
(Fig. 105), wie sie für die Zwecke des praktischen Lebens 
vielfach Verwendung findet. Hängen wir an den Haken 
ein Gewicht P, so sinkt die ihn tragende Hülse, und 
die Feder wird von dem auf ihr lastenden Gewichte zu- 
sammengedrückt. Sie enthält dann einen gewissen 
Arbeits vorrat, den man dadurch bestimmen kann, daß 
man die Wage ganz allmählich entlastet, ohne daß sie 
dabei in merkliche Schwankungen gerät, d. h. ohne daß 
kinetische Energie entsteht. Wenn schließlich die Be- 
lastung wieder auf Null reduziert ist, so steht auch der 
Zeiger wieder auf seinem Nullpunkt und es ist eine 
Arbeit geleistet gleich dem Produkt aus der Strecke h, 
um die sich der Haken gehoben hat, und aus dem 




Mittelwerte — der zu Anfang und Ende des Vorganges 



Fig. 105. 
Federwage. 



vorhandenen Belastungen. Diese Arbeit 



gibt 



den 



Betrag 



der poten- 



tiellen Energie, die in der zusammengedrückten Feder enthalten war. 
Bei einem bekannten Spielzeug benützen wir die in einer zusammen- 



150 Mechanik starrer Körper § 111 

gedrückten Feder enthaltene Energie, um einen Pfeil zu schnellen; dabei 
verwandelt sich die potentielle Energie der gespannten Spiralfeder in 
die kinetische Energie des Pfeiles. Zu demselben Zwecke dient beim 
Bogen die elastische Spannung der durch das Anziehen der Schnur er- 
zeugten Biegung. Bei dem Chronometer oder der Taschenuhr wird in 
der aufgezogenen Feder eine gewisse potentielle Energie angesammelt, 
die beim Ablaufen verbraucht wird, um der schwingenden Unruhe die 
durch Pteibung vernichtete lebendige Kraft immer von neuem zu ersetzen. 

Bei Armbrust und Bogen ist es uns geläufig, von einer Spannkraft 
zu sprechen, die dem Pfeile seine Geschwindigkeit erteilt. Durch diese 
Beziehung wird es erklärt, daß man an Stelle von Arbeitsvorrat oder 
potentieller Energie als gleichwertig auch den Namen Spannkraft benützt 
hat. Potentielle Energie in der Form von Spannkraft erhalten wir auch, 
wenn wir eine Kette oder Saite zur Seite ziehen und so eine über ihre 
ganze Länge sich erstreckende Ausbiegung erzeugen. Die stehende 
Schwingung, die nach dem Loslassen der Kette entsteht, bildet ähnlich 
der Pendelbewegung ein Beispiel für die wechselseitige Verwandlung von 
potentieller und kinetischer Energie. 

§ 111. Das Prinzip der Erhaltung und Vermehrung der Energie für 
ein mechanisches System. Maß der Energie. Die in den vorhergehen- 
den Paragraphen an einzelnen Beispielen erläuterten Eigenschaften der 
Energie kann man in dem Satze zusammenfassen: 

Bei jedem in sich abgeschlossenen und sich selbst über- 
lassenen System ist die Energie konstant; sie ist aber im all- 
gemeinen in zwei verschiedenen Formen vorhanden, als poten- 
tielle Energie, die sich mit der räumlichen Konfiguration, als 
kinetische, die sich mit der Geschwindigkeit der bewegten 
Massen ändert. Jede Änderung der potentiellen Energie ist 
verbunden mit einer gleichen, aber entgegengesetzten der 
kinetischen und umgekehrt. 

Betrachten wir den Fall, daß das System nicht sich selbst über- 
lassen, sondern irgend welchen äußeren Einwirkungen unterworfen 
wird. Wenn die äußeren Kräfte eine positive Arbeit leisten, so wächst 
die Energie um den Betrag dieser Arbeit. Wenn umgekehrt die von 
dem System selbst auf die umgebenden Körper ausgeübten Kräfte bei 
einer Veränderung seines Zustandes positive Arbeit leisten, so nimmt die 
Energie um den Betrag der geleisteten Arbeit ab. Betrachten wir bei- 
spielsweise die Erde und ein von ihr angezogenes Gewicht; heben wir 
das letztere, so leistet eine äußere Kraft Arbeit an dem System und ver- 
mehrt seine Energie. Benützen wir das sinkende Gewicht, um eine 
Arbeit zu leisten, etwa um ein zweites mit ihm verbundenes zu heben, so 
nimmt die Energie jenes Systems um den Betrag der geleisteten Arbeit ab. 

Aus all den vorhergehenden Betrachtungen folgt, daß der Maßstab 
der Energie kein anderer ist, als der der Arbeit. Handelt es sich 
um potentielle Energie, so messen wir sie ja eben dadurch, daß wir zu- 



§ 112 Energetik 151 

sehen, wieviel Arbeit aus ihr zu gewinnen ist. Wir haben die Einheit der 
potentiellen Energie, wenn die Einheit der Arbeit von ihr erzeugt wird. 
Kinetische Energie aber können wir verwandeln in potentielle und so 
indirekt durch eine Arbeit messen. Im absoluten System ist also die 
Einheit der Energie gegeben durch das Erg, im technischen durch das 
Kilogrammgewicht-Meter (§ 70). 

Verwandlung von kinetischer Energie in potentielle beobachten wir 
bei einem aufwärts geworfenen Körper, bei einem Pendel. Man hat sie 
benützt, um die Geschwindigkeit von Geschossen zu bestimmen, indem 
man diese gegen ein sogenanntes ballistisches Pendel schlagen ließ 
und die durch den Stoß erzeugte Elongation beobachtete. Diese bestimmt 
die Hebung des Pendels über seine Ruheläge und nach der Formel des 
§ 108 die potentielle Energie im Momente des größten Ausschlags. Die 
letztere ist aber zugleich das Maß für die anfängliche lebendige Kraft 
des Pendels und des, bei unelastischem Stoße, mit ihm zusammen sich 
bewegenden Geschosses. Hieraus kann dann nach den Stoßgesetzen die 
ursprüngliche Geschwindigkeit des Geschosses selbst berechnet werden. 

§ 112. Vernichtung von kinetischer Energie durch Stoß und Reibung. 
Wärmeenergie. Wenn zwei plastische Massen m x und m 2 zusammen- 
stoßen, so findet ein Verlust von kinetischer Energie statt, der gegeben 
ist durch W = jw, v 2 -j- \m % v 2 — \ (m 1 + m 2 ) o 2 . Hierbei sind v l und v % 
die Geschwindigkeiten vor dem Stoß, e die gemeinsame Geschwindigkeit 
nach demselben. Mit Benützung der in § 102 gegebenen Formel findet man 

W = — l — 2 — [v. — v,f 

2 m l + m 2 v a l ' 

oder 

W=\ (f»j e — vn l v x ) {v 2 - v x ) . 

Es scheint also, daß das Prinzip von der Erhaltung der Energie in 
diesem Falle keine Gültigkeit besitzt. 

Ein ähnlicher Fall ist der von Geschwindigkeits Verlusten durch 
Dämpfung oder Reibung. Ein schwingendes Pendel kommt allmählich 
zur Ruhe, seine Energie scheint sich zu verlieren. Die Geschwindigkeit 
des Eisenbahnzuges wird durch Bremsen aufgehoben, und damit ver- 
schwindet seine kinetische Energie. 

Nun ergibt sich, daß durch Stoß und Reibung Wärme entsteht, 
und man kann so zu der Vermutung kommen, daß eben diese ein 
Äquivalent für die verlorene kinetische Energie sei. Es würde also die 
Wärme als eine dritte Energieform neben die kinetische und die 
potentielle Energie treten. Eine bestimmte Menge von potentieller Energie 
könnte sich ebensogut in eine bestimmte Menge von Wärme, wie in 
kinetische Energie verwandeln, und umgekehrt müßte Wärmeenergie in 
potentielle Energie übergehen, Arbeit leisten können. In der Tat be- 
nutzen wir eine solche Verwandlung von Wärme in mechanische Arbeit 
oder potentielle Energie bei der Dampfmaschine und dem Gasmotor. 
Bei einem in sich abgeschlossenen System würde wieder der Satz von der 



152 Mechanik starrer Körper § 113 

Erhaltung der Energie gelten. Die Energie kann aber jetzt in den drei 
Formen der potentiellen, der kinetischen, der Wärmeenergie vorhanden 
sein; jede davon kann in die anderen sich verwandeln, aber immer 
bleibt ihre Summe konstant. Von außen her kann einem System auf 
doppelte Weise Energie zugeführt werden, einmal durch mechanische 
Arbeit, dann durch Wärme. Umgekehrt kann die Energie eines Systems 
auf doppelte Weise vermindert werden, durch eine gegen äußere Kräfte 
geleistete Arbeit und durch Abgabe von Wärme. 

§ 113. Das mechanische Äquivalent der Wärme. Die im vorher- 
gehenden entwickelten Anschauungen gewinnen eine bestimmte Bedeutung 
und ein sicheres Fundament erst dann, wenn es gelingt, zu zeigen, daß 
Wärme in der Tat nach einem ganz bestimmten Tauschwerte als Ersatz 
für Arbeit, potentielle oder kinetische Energie eintritt. Die Untersuchung 
dieser Frage gehört nun freilich nicht in die Mechanik starrer Körper, 
sondern in die Wärmelehre. Da es aber wünschenswert ist, die im vor- 
hergehenden angebahnte Untersuchung zu einem gewissen Abschluß zu 
führen, und da wir von der Wärmelehre kaum mehr voraussetzen, als Kennt- 
nisse, die wir aus dem täglichen Leben mitbringen, so möge der entsprechende 
Abschnitt der Wärmelehre hier zum Teil vorweggenommen werden. 

Wir haben bei den folgenden Untersuchungen Temperaturmessungen 
nötig, die mit einem nach Celsiusgraden geteilten Quecksilberthermometer 
vorgenommen werden mögen. Zur Messung von Wärmemengen benutzt 
man in der Wärmelehre die Kalorie; die sogenannte Grammkalorie 
ist die Wärmemenge, die notwendig ist, um 1 g Wasser bei einer 
Zimmertemperatur von 15° um 1° Celsius zu erwärmen. Unter einer 
großen Kalorie versteht man die Wärmemenge, die nötig ist, um 1 kg 
Wasser von 15° auf 16° zu erwärmen. Mit Beziehung hierauf kann die 
Frage, um die es sich handelt, so gestellt werden: Ist die Wärmemenge, 
die durch eine bestimmte Arbeitsleistung erzeugt wird, unter allen Um- 
ständen dieselbe, und kann aus ihr jene selbe Arbeit wiedergewonnen 
werden? Ist diese Frage zu bejahen, so bezeichnet man die bestimmte 
Arbeit, die nötig ist, um eine Wärmeeinheit zu erzeugen, und die um- 
gekehrt aus einer Wärmeeinheit gewonnen werden kann, als das mecha- 
nische Äquivalent der Wärme. Die aufgeworfene Frage ist ent- 
schieden, wenn bei verschiedener Anordnung der Versuche für dieses 
mechanische Äquivalent der Wärme immer derselbe Wert gefunden wird. 
Robeet Mayee, der zuerst das Prinzip von der Erhaltung der Energie 
ausgesprochen hat, bemerkte zugleich, daß gar keine neuen Versuche 
^notwendig waren, um einen numerischen Wert für das mechanische Äqui- 
valent der Wärme zu finden; er berechnete denselben auf Grund von ge- 
wissen Eigenschaften der Gase. Da aber diese erst in der Wärmelehre 
zu besprechen sind, so können wir den von Mayee, mit noch ungenügenden 
experimentellen Daten, eingeschlagenen Weg hier nicht verfolgen. 

Unabhängig von den Untersuchungen Mayees hat Joule durch eine 
umfassende Reihe von experimentellen Untersuchungen das mechanische 



§113 



Energetik 



153 




D- 




Äquivalent der Wärme bestimmt. Er setzte in ein mit einer abge- 
wogenen Menge Wasser gefülltes Gefäß (Fig 106), das sogenannte Kalori- 
meter, ein um eine vertikale Achse drehbares Rad mit zwei übereinander 
liegenden Schaufelkränzen, die durch entsprechend ausgeschnittene Quer- 
wände hindurch 
mit großer Rei- 
bung sich be- 
wegten. Die 
Drehung erfolgte 
durch einen dop- 
pelten Schnur- 
lauf und Ge- 
wichte nach dem 
in Figur 106 ge- 
gebenen Schema. 
Infolge der Rei- 
bung fielen die 
Gewichte mit 
gleichförmiger, 
sehr kleiner Ge- 
schwindigkeit; 

die von der Schwere geleistete Arbeit findet also ihr Äquivalent nicht 
in der lebendigen Kraft der fallenden Gewichte, sondern in der Wärme, 
die infolge der Reibung in dem Kalorimeter erzeugt wird. Ist h die 
Fallhöhe, p das fallende Gewicht, so ist die geleistete Arbeit gleich p'h; 
ist andererseits die Masse des Wassers in dem Kalorimeter gleich m, 
die Temperaturerhöhung gleich t° Celsius, so ist die in ihm erzeugte 
Wärme gleich mt; das mechanische Äquivalent der Wärme, die zu der 
Erzeugung einer Wärmeeinheit erforderliche Arbeit, ist somit: 



Fig. 106. 



% 



p h 

m t 



Die Versuchsanordnung ' wurde von Joule in der mannigfachsten 

Weise variiert; nach demselben Prinzip, aber mit viel größeren Mitteln, 

wurde die Bestimmung von Rowland wiederholt. Benutzen wir zur 

Messung der Arbeit die technische Einheit des Kilogrammgewicht-Meter, 

zur Messung der Wärme die große Kalorie, so wird das mechanische 

Äquivalent der Wärme _ . n „ _ 

21 = 427 • 5, 

d. h. die durch den Fall eines Kilogrammgewichtes um 427 • 5 m erzeugte 
Wärme genügt, um 1 kg Wasser von 15 auf 16° Celsius zu erwärmen. 
Daraus ergibt sich, daß ein Grammgewicht bei einem Fall um 42 750 cm 
eine Grammkalorie erzeugt. Bei Zugrundelegung der Maßeinheiten des 
Zentimeter, des Grammgewichtes und der Grammkalorie wird somit der 
Wert des mechanischen Äquivalentes 

21 = 42 750. 



154 Mechanik starrer Körper § 114 

Gehen wir nun über von dem technischen Maßsystem zu dem ab- 
soluten. Die Einheit der Arbeit, das Erg, ist die Arbeit einer Dyne auf 
der Strecke von 1 cm. Das Gewicht eines Grammstückes ist gleich 
981 Dynen, somit die Arbeit von 42 750 g-Gewicht-cm gleich 981 x 42 750 
Erg. Im absoluten cm • g • sec - System wird somit das mechanische 
Äquivalent der Wärme 

21 = 42 000 000 , " 

d. h. eine Arbeit von 42 000 000 Erg ist notwendig, um 1 g-Kalorie zu 
erzeugen. 

§ 114. Das Prinzip der Vermehrung der Energie für ein thermisch- 
mechanisches System. Die Bestimmung des mechanischen Äquivalentes 
der Wärme ermöglicht es, dem am Schlüsse von § 112 geäußerten Ge- 
danken eine ganz exakte Formulierung zu geben. Die Energie eines 
gegebenen Systems von Körpern wird vermehrt, wenn ihm von außen 
Wärme zugeführt wird. Messen wir die Energie nach den Einheiten 
des kg-Gewicht-m oder des Erg, so haben wir die Anzahl der zugeführten 
kg- oder g-Kalorien mit dem entsprechenden Werte des mechanischen 
Wärmeäquivalents zu multiplizieren, um den Energiezuwachs zu erhalten. 
Die zweite Quelle von Energieänderungen wird durch die Arbeiten gebildet, 
die entweder von dem System äußeren Widerständen entgegen geleistet, 
oder umgekehrt von außen her auf das System ausgeübt werden. Leistet 
das System selbst eine Arbeit, so muß seine Energie um ihren Betrag 
abnehmen. Wenn wir beide Arten von Energieänderung gleichzeitig 
berücksichtigen, so erhalten wir den Satz: 

Bei einem System, das thermischen und mechanischen 
Veränderungen unterworfen wird, ist die Vermehrung der 
Energie gleich dem mechanischen Äquivalent der zugeführten 
Wärme vermindert um die von dem System geleistete Arbeit. 

Ist die Energie in dem anfänglichen Zustand des Systems U 1 , am 
Schlüsse des Prozesses gleich U 2 , wird während der Veränderung die 
Wärmemenge W zugeführt und die Arbeit L geleistet, so ist 

U 2 - L\=%W-L. 

§ 115. Allgemeine Bedeutung des Energieprinzips. Wir haben 
uns in den vorhergehenden Paragraphen mit der wechselseitigen Ver- 
wandlung von mechanischer Energie und von Wärme beschäftigt. Nun 
liegt es nahe, sich daran zu erinnern, daß mechanische Energie auch 
noch andere Umwandlungen erleiden kann; bei der Elektrisiermaschine 
erzeugen wir durch mechanische Arbeit elektrische Ladungen; in unseren 
Elektrizitätswerken benutzen wir mechanische Energie, um elektrische 
Ströme zu gewinnen; umgekehrt dienen diese Ströme bei der elektrischen 
Eisenbahn zur Erzeugung von Bewegung, von lebendiger Kraft. Bei der 
elektrischen Beleuchtung bringt der elektrische Strom die Wärme hervor, 
die den Kohlenfaden der Glühlampen zum Glühen erhitzt. Wärme 
wird also erzeugt durch mechanische Arbeit, durch den elektrischen 



§116 Energetik 155 

Strom; vor allem aber benutzen wir als eine schier unerschöpfliche Quelle 
von Wärme den chemischen Prozeß der Verbrennungen. 

Diese Beobachtungen führen nun zu der Vorstellung, daß außer der 
mechanischen Energie, die sich ihrerseits in die potentielle und in die 
kinetische Form spaltet, und außer der Wärmeenergie noch eine elektrische 
und eine chemische Energie existiere; nehmen wir Rücksicht auf die 
magnetischen Zustände des Eisens, so werden wir diesen noch eine mag- 
netische Energie hinzufügen können. Der Satz von der Erhaltung der 
Energie würde dann besagen, daß all diese Energiearten nur verschiedene 
Formen einer und derselben Eigenschaft sind, die einem in sich ab- 
geschlossenen, äußeren Einwirkungen entzogenen Systeme in unveränder- 
licher Größe innewohnt, und die wir seine Gesamtenergie nennen. Jede 
Energieform kann sich in jede andere verwandeln, und zwar geschieht 
dies auf Grund von bestimmten Äquivalenz werten, die natürlich ab- 
hängen von den spezifischen Einheiten, die wir bei der Maßbestimmung 
verschiedener Energiearten benutzen. Es möge ein Betrag A einer ersten 
Energieart verschwinden, und dafür ein Betrag B einer zweiten entstehen; 
wir erhalten B, wenn wir A durch den Aquivalenzwert der ersten 
Energieart dividieren. Umgekehrt kann dann der Betrag B der zweiten 
Form wieder in den Betrag A der ersten zurückverwandelt werden. 

Aus der Verwandelbarkeit der Energieen folgt aber, daß wir den 
Betrag der Energie immer nach demselben Maße messen können, 
welches auch ihre Form sei. Als eine gemeinsame Maßeinheit für alle 
Energiearten empfiehlt sich die Einheit der mechanischen Arbeit, das 
Erg, beziehungsweise das Kilogramm-Gewicht-Meter. Daß die potentielle 
Energie in dieser sich ausdrücken läßt, ergibt sich aus den Betrach- 
tungen des § 107. Daß dasselbe für kinetische Energie gilt, folgt aus der 
Umwandlung in potentielle, die wir in § 108 und 111 besprochen haben. 
Den Wert der elektrischen und magnetischen Energie werden wir in 
dem dritten Teile dieses Lehrbuches an geeigneter Stelle bestimmen. 
Von der Beziehung zwischen chemischer und elektrischer Energie wird 
ebenda die Rede sein. Die Verwandlung von chemischer Energie in 
Wärmeenergie werden wir im vierten Teile, in der Wärmelehre, be- 
rühren. 

§ 116. Das Perpetuum mobile. Die Erfinder des vergangenen Jahr- 
hunderts wandten allen möglichen Scharfsinn auf, um eine Maschine zu 
konstruieren, die Arbeit leistet und sich selbst fortdauernd im Gang hält. 
Ein Mühlrad, das nicht bloß die Mühle treibt, sondern auch das Wasser, 
von dem es gedreht wird, wieder auf die frühere Höhe zurückpumpt, 
so daß es in einem vollkommenen Kreislaufe sich bewegt und dabei 
Arbeit leistet. Zwei gleiche Uhrwerke, von denen immer das eine ab- 
laufend das andere aufzieht, und die dabei noch irgend eine Maschine 
treiben. Aus dem Prinzip von der Erhaltung der Energie folgt, daß 
ein Perpetuum mobile ein Ding der Unmöglichkeit ist. Denn wenn 
durch Verschwinden der Energie A eine ihr äquivalente B von irgend 



156 



Mechanik starrer Körper 



§117 



einer Form erzeugt ist, so kann sich B rückwärts eben nur wieder in A 
verwandeln, unmöglich aber nebenbei noch Arbeit leisten, d. h. eine 
vorher nicht vorhandene Energie aus nichts erzeugen. In Wirklichkeit 
würde natürlich nicht einmal jene Rückverwandlung gelingen; denn bei 
allen unseren Maschinen gibt Reibung, Fortleitung und Ausstrahlung von 
Wärme zu einer Zerstreuung der Energie Veranlassung, die nicht wieder 
rückgängig zu machen ist. 

§ 117. Die Bewegung der Energie. Der Satz von der Erhaltung der 
Energie sagt aus, daß die Energie konstant bleibt, wie sich auch ihre 
räumliche Verteilung und ihre Form verändern mag. Der Satz gibt keinen 
Aufschluß darüber, ob überhaupt unter gegebenen Verhältnissen eine Be- 
wegung oder Verwandlung der Energie eintritt, und nach welchen Gesetzen 
sie sich richtet. Er bedarf nach dieser Seite hin einer Ergänzung, und 
man kann vermuten, daß er nur ein Teil eines allgemeineren Prinzips ist, 
das zugleich die Gesetze der Bewegung und der Verwandlung der Energie 
enthält. In der Tat werden wir in der Wärmelehre in dem Satze von 
der Entropie ein solches Prinzip kennen lernen, vorläufig müssen wir 
uns beschränken auf einen speziellen Fall von Umwandlung potentieller 
Energie, aus dem wenigstens gewisse Gesichtspunkte sich ergeben, die bei 
der Entwickelung einer allgemeinen Energielehre von Bedeutung sind. Wir 
nehmen zwei mit Wasser gefüllte Reservoire (Fig. 107); das Niveau des einen 

befindet sich in der 
Höhe H, das des an- 
deren in der Höhe h 
über dem Boden. 
Von dem oberen Ni- 
veau zu dem unteren 
geht eine Röhre, 
deren obere Öffnung 
aber durch einen 
Schieberverschlossen 
ist; heben wir den 
Schieber, so wird eine 
gewisseWassermenge 
von dem oberen zu 
dem unteren Niveau 
fließen. Ist m ihre 
Masse, so verliert 
das obere Reservoir 




'MI 




h 



Fig. 107. 



die potentielle Energie U = mg H, das untere gewinnt die potentielle 
Energie u = mgh. Außerdem aber gewinnt das herabfließende Wasser 
lebendige Kraft, die durch den Zusammenstoß mit dem Wasser des 
unteren Reservoirs und durch die der Bewegung widerstehende Reibung 
in Wärme verwandelt wird. Es ist somit bei dem geschilderten Vor- 
gang eine gewisse Menge u von potentieller Energie von dem oberen 



§ 117 Energetik 157 

Niveau zu dem unteren übergegangen; gleichzeitig aber ist die Energie- 
menge U — u in Wärme verwandelt. Man kann hiernach sagen, daß 
die Richtung, in der sich die Energie bewegt, durch den Höhenunter- 
schied der Wasserniveaus bestimmt wird; die Energie bewegt sich von 
dem höheren Niveau zu dem tieferen. Nun bildet die Höhe des Niveaus 
den einen der Faktoren, aus denen der Ausdruck der potentiellen Energie 
sich zusammensetzt. Bezeichnen wir jene Höhe als den Niveauwert der 
Energie, so würde zunächst in dem betrachteten Beispiele der Satz 
gelten: Die Energie bewegt sich von dem höheren Niveauwert zu dem 
tieferen. Charakteristisch für unseren Vorgang ist ferner, daß die Be- 
wegung der potentiellen Energie verbunden ist mit einer teilweisen Um- 
wandlung in Wärme. Zwischen der von dem oberen Eeservoir ab- 
gegebenen und der von dem unteren aufgenommenen Energie findet die 

Beziehung statt: 

U u^ 
E h 

Diese Energieen verhalten sich wie die entsprechenden Niveauwerte. 
Zwischen der von dem oberen Reservoir abgegebenen und der in Wärme 
verwandelten Energie besteht die Gleichung: 

J7 __ ü_ ü-u 
h H ~~ h 
oder 

U- u H_-h 
U ~ ~sT ' 

Die in Wärme verwandelte Energie verhält sich zu der ganzen dem 
höheren Niveau entzogenen Energie, wie die Differenz der Niveauwerte 
zu dem Niveauwerte des oberen Reservoirs. 

Es fragt sich, ob die in diesen Sätzen ausgesprochenen Eigen- 
schaften der Energiebewegung über das betrachtete Beispiel hinaus eine 
allgemeine Bedeutung besitzen. Nehmen wir, um einen Anhalt zur 
Beantwortung der Frage zu gewinnen, die Wärmeenergie. Wärme geht 
von selbst von einem warmen Körper zu einem kalten, man könnte also 
die Temperatur als den Niveauwert der Wärme betrachten und würde 
dann den ersten der gefundenen Sätze auch auf die Wärmeenergie aus- 
dehnen können. 

Wenn man aber aus dem zweiten Satze schließen wollte, daß jede 
Bewegung von Wärmeenergie mit einer teilweisen Verwandlung in eine 
andere Energieform verbunden sein müsse, so würde dem die Erfahrung 
widersprechen. Wärme kann von einem heißen zu einem kalten Körper 
übergehen, ohne daß dabei eine andere Energieform auftritt. Dagegen 
findet der zweite der im vorhergehenden aufgestellten Sätze in der 
Wärmelehre seine Analogie bei den sogenannten Kreisprozessen; ein 
solcher Prozeß ist es, durch den wir bei der Dampfmaschine Arbeit 
gewinnen. Das Charakteristische dabei ist, daß eine gewisse Wärme- 
energie Q einem Körper von hoher Temperatur, dem Kessel der Dampf- 



158 Mechanik starrer Körper § 118 



maschine, entzogen, daß ein Teil davon, Q — q, in Arbeit verwandelt, 
der Rest q an einen Körper von niedriger Temperatur, den Kondensator, 
abgegeben wird. Zwischen diesen Wärmemengen und den von — 273° 
Celsius an gezählten absoluten Temperaturen T und t der beiden Körper 
bestehen dann die Beziehungen 

1 = i. und *^l-.^i, 

T t Q T 

deren Analogie mit den zuvor gefundenen unmittelbar in die Augen fällt. 
Diese Gleichungen aber sind es, die zu dem schon erwähnten Satze von 
der Entropie führen, der dann das allgemeine Bewegungsgesetz der 
Energie enthält; seine Entwicklung aber ist eine spezifische Aufgabe 
der Wärmelehre. 1 

§ 118. Beziehung der Energie zu dem Prinzip der virtuellen Ver- 
schiebungen. Wir haben in § 48 gesehen, daß die von selbst eintreten- 
den, natürlichen Verschiebungen eines mechanischen Systems immer in 
dem Sinne eintreten, in dem positive Arbeit geleistet wird. Im Sinne der 
Energetik wird dieser Satz so auszusprechen sein: Die natürlichen 
Bewegungen gehen immer so vor sich, daß die potentielle 
Energie der beweglichen Systeme kleiner wird. • Gibt es keine 
virtuelle Verschiebung, bei der diese Energie abnimmt, hat also die 
potentielle Energie einen Minimalwert erreicht, so ist das System im 
Gleichgewicht. 



1 Vergl. E, Mach, Die Geschichte und die Wurzel des Satzes der Erhaltung 
der Arbeit. Prag 1872. — Zur Geschichte und Kritik des CARNOTschen Wärme- 
gesetzes. Sitzungsber. d. k. Akad. d. Wiss. in Wien, Math.-Nat. Kl. Bd. 101, IIa, 
Dez. 1892. 



ZWEITES BUCH. 
MECHANIK DER FLÜSSIGKEITEN UND GASE. 

Erster Abschnitt. 
Statik der Flüssigkeiten und Gase. 

Einleitung. 

§ 119. Inkompressible und kompressible Flüssigkeiten. Flüssigkeiten 
und Grase besitzen die gemeinsame Eigenschaft, einer nicht zu raschen 
Änderung der Form keinen merklichen Widerstand entgegenzusetzen. So- 
fern man also in dieser leichten gegenseitigen Verschiebbarkeit der 
Teilchen die wesentliche Eigenschaft einer Flüssigkeit sieht, würden auch 
die Gase als flüssige Körper zu bezeichnen sein. Wenn man aber das 
Volumen von Flüssigkeiten und Gasen zu verkleinern sucht, so verhalten 
sie sich sehr verschieden. Schließt man in einem Zylinder durch einen 
verschiebbaren Kolben eine gewisse Menge einer Flüssigkeit ab, so be- 
wirkt der größte auf den Kolben ausgeübte Druck eine so kleine Ände- 
rung des Volumens, .daß sie sich lange Zeit der Beobachtung entzogen 
hat. Man hielt die Flüssigkeiten für unzusammendrückbar und be- 
zeichnete sie dementsprechend als inkompressible Flüssigkeiten. 
Bei Gasen genügt schon ein kleiner Druck zu einer sehr merklichen 
Volumänderung; man nennt daher die Gase, um die Übereinstimmung 
und den Unterschied ihres Verhaltens dem der Flüssigkeiten gegenüber 
zu bezeichnen, kompressible Flüssigkeiten. 

Inkompressible Flüssigkeiten, oder Flüssigkeiten schlechtweg, besitzen 
ein nahezu unveränderliches Volumen; sie bieten in jedem Gefäß, dessen 
Raum sie nicht ganz erfüllen, die Erscheinung der freien Oberfläche dar. 
Gase dagegen füllen jeden ihnen dargebotenen Raum, wie groß er auch 
sei, vollständig an; sie vermögen sich ins Unbegrenzte auszudehnen, und 
es fehlt ihren Teilchen der Zusammenhalt, der bei den Flüssigkeiten das 
Volumen konstant erhält, wie auch ihre Form, d. h. die Form des sie 
enthaltenden Gefäßes wechselt. Diesem Verhalten entsprechend, bezeichnet 
man die Gase auch als ausdehnsame Flüssigkeiten. 



160 Mechanik der Flüssigkeiten und Oase § 120 



Erstes Kapitel. Statik der inkompressiblen Flüssigkeiten. 

§ 120. Prinzip der Niveauflächen. Die freie Oberfläche einer Flüssig- 
keit — wir werden hierunter eine inkompressible verstehen — ist immer 
senkrecht gegen die auf sie wirkenden Kräfte. Würde dies nicht der 
Fall sein, so würden die auf . Teilchen der Oberfläche wirkenden Kräfte 
tangentiale Komponenten besitzen (Fig. 108); diese aber würden sofort 
eine Verschiebung der Teilchen längs der Oberfläche, eine Bewegung der 

Flüssigkeit bewirken, die erst zur Ruhe käme, wenn 

jene tangentialen Komponenten verschwunden sind, die 
Oberfläche sich senkrecht zu den Kräften gestellt hat. 
Die freie Oberfläche der Flüssigkeit bezeichnet man 
auch als ihre Niveau fläche, und man überträgt diesen 
Namen auf alle Flächen, die ein gegebenes System von 
Kräften senkrecht zu deren Richtung durchschneiden, 
Fig. 108. w i e etwa die um ein Gravitationszentrum als Mittel- 

punkt beschriebenen Kugelflächen. 
An der Oberfläche der Erde ist die freie Oberfläche einer Flüssig- 
keit eine horizontale Ebene. Ein Quecksilberniveau dient daher als hori- 
zontaler Spiegel; bei den Libellen benützt man die horizontale Ober- 
fläche der in der Libellenröhre oder Dose eingeschlossenen Flüssigkeit 
um die horizontale Stellung einer ebenen Platte zu prüfen. 

§ 121. Druck einer Flüssigkeit gegen die Gefäßwand. Wir richten 
unsere Aufmerksamkeit jetzt auf die unfreie von der Gefäßwand begrenzte 
Oberfläche der Flüssigkeit. Machen wir einen Teil davon beweglich, 
indem wir eine zylindrische Röhre in die Wand einsetzen und durch 
einen verschiebbaren Kolben verschließen, so wird die Flüssigkeit durch 
ihre Schwere den Kolben herauszudrücken suchen. Wir müssen ihn 
auf der anderen Seite mit einer zu seiner Fläche senkrechten Kraft nach 
innen drücken, um den Ausfluß der Flüssigkeit zu verhindern. Der Satz 
des vorhergehenden Paragraphen läßt sich somit auch auf die unfreie 
Oberfläche übertragen, insofern die Wirkung der begrenzenden Wand 
ersetzt werden kann durch einen, senkrecht zu ihr, auf die Flüssig- 
keit ausgeübten Druck. 

Der experimentelle Nachweis dieser Druckkräfte kann, entsprechend 
der reziproken Stellung von Flüssigkeit und Gefäßwand, in doppelter 
Weise geführt werden. Einmal kann man die Flüssigkeit beweglich 
machen gegen die Oberfläche eines sie begrenzenden festen Körpers; 
oder man kann den begrenzenden Körper beweglich machen gegen die 
Flüssigkeit. Im ersten Falle (Fig. 109) setzen wir einen mit Flüssigkeit 
gefüllten Zylinder auf die Schale einer Wage und bringen diese ins 
Gleichgewicht; tauchen wir dann einen an einem Stative befestigten 
Zylinder mit vertikaler Achse teilweise in die Flüssigkeit, so sinkt die 
Wagschale, auf der sie steht. Wir können durch Auflegen von Gewichten 



§122 



Statik der inkompressibeln Flüssigkeiten 



161 




Fig. 109. 



auf die andere Schale die Wage wieder ins Gleichgewicht bringen und 
so den auf die Flüssigkeit ausgeübten Druck messen. Derselbe rührt 
offenbar von der unteren 
Grenzfläche des Zylinders 
her, da die von dem Man- 
tel ausgehenden horizon- 
talenDrucke sich wechsel- 
seitig kompensieren. Als 
Resultat von Messungen, 
die - unter verschiedenen 
Verhältnissen angestellt 
werden, ergibt sich der 
Satz: Der auf die Flüssig- 
keit ausgeübte Druck ist 
gleich dem Gewichte der 
von dem Zylinder ver- 
drängten Flüssigkeit. 

Mit Rücksicht auf dieses Ergebnis kann man nun den zweiten Ver- 
such, bei dem ein beweglicher Körper dem Drucke der ihn umgebenden 
Flüssigkeit unterworfen wird, in folgender Weise anordnen (Fig. 110) 
Man hängt den Körper — er sei wieder durch einen Zylinder mit ver- 
tikaler Achse repräsentiert — an den einen Arm einer Wage, über ihn 
an denselben Arm einen Hohlzylinder, der durch den unteren massiven 
Zylinder genau ausgefüllt wird. Taucht nun der untere Zylinder zuerst 
nur teilweise in die Flüssigkeit 
ein, so erleidet seine untere 
Fläche einen Druck oder Auf- 
trieb, der dadurch kompensiert 
werden kann, daß man in den 
Hohlzylinder Flüssigkeit ein- 
gießt. Die Höhe, bis zu welcher 
dieser gefüllt werden muß, 
ist dann immer gleich der 
Tiefe, bis zu der der Vollzy- 
linder eintaucht. Heben wir 
das Niveau der Flüssigkeit, so 
daß der Zylinder tiefer ein- 
taucht, so nimmt der Auftrieb 

zu ; von dem Augenblick an, in dem der Zylinder ganz eintaucht, bleibt 
er konstant gleich dem Gewichte der den oberen Zylinder bis zum Eande 
füllenden Flüssigkeit. In der Tat wirken dann, wie aus späteren Be- 
trachtungen noch deutlicher hervorgehen wird, auf beide Endflächen 
des untergetauchten Zylinders Druckkräfte von entgegengesetzter Sich- 
tung, und der Auftrieb wird durch ihre Differenz bestimmt. 

§ 122. Das Archimedische Prinzip. Den Beobachtungen des vor- 

Riecke, Physik I. Dritte Aufl. H 




Fig. 110. 



162 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



§122 



hergehenden Paragraphen zufolge wird der Auftrieb unter allen Umständen 
durch das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit gemessen. Da in diesem 
Satze gar keine Beziehung mehr auf die zylindrische Form des ein- 
getauchten Körpers enthalten ist, so liegt es nahe, ihm eine allgemeine 
Gültigkeit für Körper von beliebiger Gestalt zuzuschreiben. In der 
Tat kann man diese Vermutung leicht prüfen, wenn man den Zylinder 
mit horizontaler Achse an der Wage aufhängt. Man gelangt so zu dem 
bekannten Prinzip des Aechimedes: 

Ein Körper, der in eine Flüssigkeit ganz oder teilweise 
eintaucht, erleidet einen Auftrieb oder Gewichtsverlust, -der 
gleich ist dem Gewichte der verdrängten Flüssigkeit. 

Aechimedes selbst wurde auf sein Prinzip geführt durch eine Über- 
legung, die in modernem Gewände auf die Betrachtung der Arbeit führt, 
die bei einer Verschiebung des eingetauchten Körpers geleistet wird. 
Bezeichnen wir sein Gewicht durch P, so ist die bei einer Senkung des 
Schwerpunktes um die Höhe h geleistete Arbeit gleich P*h (Fig. 111). 
Nun füllt sich dabei der vorher von dem Körper eingenommene Raum 

mit Wasser; die ganze mit der Senkung des Kör- 
pers verbundene Bewegung des Wassers verhält 
sich so, wie wenn der Schwerpunkt der verdrängten 
Flüssigkeit um die Strecke h gehoben worden wäre; 
hierdurch wird aber eine Arbeit von dem Betrage 
W'h konsumiert, wenn TFdas Gewicht der verdräng- 
ten Flüssigkeit bezeichnet. Wird also ein Körper in 
einer Flüssigkeit nach unten hin verschoben, so ist die 
von der Schwere geleistete Arbeit gleich (P— W)'h, 
dieselbe, wie bei der Verschiebung des Gewichtes 
P — W im leeren Raum. Der Körper erleidet in der Flüssigkeit einen 
Gewichtsverlust gleich dem Gewichte der verdrängten Flüssigkeit. 

Wir wollen die allgemeine Gültigkeit des Archimedischen Prinzips 
endlich noch auf einem Wege begründen, der von Interesse ist, weil 

der ihm zugrunde liegende Gedanke nicht selten zu 
der Entscheidung von Gleichgewichtsfragen bei Flüssig- 
keiten benützt werden kann. Wir grenzen durch eine 
geschlosssene Fläche (Fig. 112) einen Teil A der Flüssig- 
keit ab; wäre die übrige Flüssigkeit nicht vorhanden, 
so würde A infolge seines Gewichtes fallen; wenn A im 
Innern der Flüssigkeit im Gleichgewicht ist, so muß 
ein Auftrieb vorhanden sein, der dem Gewichte von A 
gleich ist, und der durch Druckkräfte erzeugt wird, 
welche die umgebende Flüssigkeit auf die Oberfläche 
Diese Druckkräfte aber müssen dieselben sein, welches 




Fig. 111. 




Fig. 112. 



von A ausübt. 

auch die Natur jener Oberfläche ist; man kann sich dieselbe als eine 
starre Fläche denken, man kann ihr Inneres mit irgend einer von der 
Flüssigkeit verschiedenen Substanz füllen. Dann aber hat man in der 



§ 123 Statik der inkompressibeln Flüssigkeiten 163 

Tat den Satz, daß die Flüssigkeit auf einen den Raum A erfüllenden 
Körper einen Auftrieb ausübt gleich dem Gewichte eines gleichen 
Volumens Flüssigkeit. 

Wir werden später sehen, daß auch die Gase schwere Flüssigkeiten 
sind; die vorhergehende Betrachtung findet dann auch bei ihnen An- 
wendung, und das Archimedische Prinzip gilt daher ebenso für die aus- 
dehnsamen Flüssigkeiten. 

§ 123. Das spezifische Gewicht des Wassers bei 4° Celsius. Nach 
der in § 71 gegebenen Definition ist das spezifische Gewicht des Wassers 
bei 4° Celsius gleich 1, d. h. das Gewicht von 1 cdm Wasser bei 4° C. 
ist gleich dem Gewichte von 1 kg. Es fragt sich nun, ob die zu der 
Herstellung des kg-Gewichtes erforderlichen Messungen mit solcher Ge- 
nauigkeit anzustellen sind, daß jene Beziehung wirklich erfüllt ist. Die 
fundamentale Bedeutung, welche diese Frage für die ganze Metrologie 
besitzt, wird es rechtfertigen, wenn wir einige Augenblicke bei ihr ver- 
weilen. 

Im Prinzip ist der bei der Herstellung des kg-Gewichtes eingeschlagene 
Weg der folgende. Der erste Schritt besteht in der sorgfältigen Her- 
stellung eines Metallzylinders, dessen Volumen durch Messung der Länge 
und des Durchmessers zu bestimmen ist; dasselbe betrage v cdm. Zweitens 
handelt es sich um die Herstellung eines Volumens Wasser von 4 ° Celsius, 
das dem ßauminhalte des Zylinders genau gleich ist. Das Gewicht dieses 
Volumens sei nach einer beliebigen Gewichtseinheit gemessen gleich w. 

14) 

Dann ist das Gewicht von 1 cdm Wasser von 4° Celsius gleich — , d.h. 



v 



w 



das kg-Gewicht ist repräsentiert durch eine Anzahl jener Willkür- 

liehen Gewichtseinheiten. Der zweite Teil der Aufgabe wird dadurch 
gelöst, daß wir den Zylinder in ein mit Wasser von 4 ° Celsius gefülltes 
Gefäß einhängen. Nach dem Archimedischen Prinzip ist dann der Ge- 
wichtsverlust, den der Zylinder in dem Wasser erleidet, gleich dem 
Gewicht des verdrängten Wassers, also gleich dem Gewichte w von v cdm 
Wasser bei 4° Celsius. Wenn man nun ein Gewichtsstück herstellt, das 

gleich - - willkürlichen Gewichtseinheiten sein soll, so wird man bei der 

Unvollkommenheit aller Messungen nicht erwarten dürfen, daß dieses 
Stück genau gleich dem Gewicht von 1 cdm Wasser bei 4° Celsius sei, 
sondern nur, daß seine Abweichung von diesem Gewicht einen gewissen 
von der Genauigkeit der Beobachtungen abhängenden Grad nicht über- 
steige. In der Tat zeigen neuere Untersuchungen, daß das Gewicht 
von 1 cdm Wasser von 4° Celsius nicht gleich 1 kg-Gewicht, sondern 
gleich 0-999 955 kg-Gewichten , daß also das spezifische Gewicht und 
ebenso die Dichte des Wassers bei 4° Celsius nicht gleich 1, sondern 
gleich 0-999955 ist. 1 

1 Rapports presentes au congres international de Physique reuni ä Paris en 1900. 
T. I. p. 99. 

11* 



164 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase § 124 

§ 124. Anwendung des Archimedischen Prinzips zur vergleichenden 
Bestimmung spezifischer Gewichte. Um direkt das spezifische Gewicht 
oder die Dichte eines Körpers zu finden, würde man, dem in § 123 
geschilderten Verfahren entsprechend, sein Gewicht durch Wägung nach 
g-Gewichten, sein Volumen durch Messung der linearen Dimensionen 
nach Kubikzentimetern bestimmen und das erhaltene absolute Gewicht 
durch das Volumen dividieren. Die praktische Ausführung dieser 
Methode ist in den meisten Fällen ausgeschlossen durch die Schwierig- 
keit der Volumbestimmung; man greift daher zu indirekten Methoden, 
die auf einem von den folgenden Sätzen beruhen. 

I. Bei gleichem Volumen verhalten sich die spezifischen 
Gewichte oder die Dichten zweier Körper wie ihre absoluten 
Gewichte. 

IL Bei gleichem absoluten Gewicht verhalten sich die 
spezifischen Gewichte oder die Dichten zweier Körper um- 
gekehrt wie ihre Volumina. 

Auf dem ersten Satz beruhen die Bestimmungen spezifischer Ge- 
wichte mit der hydrostatischen Wage. Bei einem festen Körper bestimmt 
man durch Wägung in Luft, aber mit Berücksichtigung des von ihr 
herrührenden Auftriebes, das absolute Gewicht m, durch Wägung in 
Wasser den Gewichtsverlust w, nach dem Archimedischen Prinzip das 
Gewicht des verdrängten Wassers. Ist dann § das spezifische Gewicht 
des Körpers, Q das des Wassers, so hat man: 

6 m 

Q w ' 

Die spezifischen Gewichte von Flüssigkeiten werden bestimmt, indem 
man den Auftrieb, den ein Glaskörper in ihnen erleidet, vergleicht mit 
dem von Wasser ausgeübten. Man kann aber gleiche Volumina von 
einer Flüssigkeit und von Wasser auch dadurch herstellen, daß man 
ein Gefäß mit ausgezogenem Halse, ein sogenanntes konstantes Gefäß, 
zu gleicher Höhe mit beiden füllt. Aus der Wägung des leeren, des 
mit Wasser und des mit der Flüssigkeit gefüllten Gefäßes ergibt sich 
das spezifische Gewicht. 

Eine sehr bequeme Methode zur Bestimmung spezifischer Gewichte 
von Flüssigkeiten beruht auf dem zweiten Satze. Wir benützen dabei 
ein „Aräometer", eine an beiden Enden zugeschmolzene Glasröhre, von 
der wir vorerst annehmen, daß sie überall gleiche Weite besitze; an 
ihrem unteren Ende wird sie mit Quecksilber oder Schrot so beschwert, 
daß sie, in eine Flüssigkeit eingetaucht, in vertikaler Stellung stabil 
schwimmt (Fig. 113 a). Setzen wir sie in zwei verschiedene Flüssigkeiten, 
so wird sie in beiden so lange sinken, bis der Auftrieb dem Gewichte 
der Röhre gleich ist. Dem Archimedischen Prinzip zufolge sind dann 
die Gewichte der verdrängten Flüssigkeitsvolumina einander gleich, und 
die spezifischen Gewichte verhalten sich umgekehrt wie die verdrängten 



§125 



Statik der inkompressibeln Flüssigkeiten 



165 



Volumina. Bei einer gleich weiten Röhre verhalten sich aber diese 
Volumina wie die eingetauchten Längen. Nun möge die eine Flüssig- 
keit Wasser von der Temperatur 15° Celsius und dem spezifischen Ge- 
wicht Q 15 sein; die eingetauchte Länge der Röhre sei a; in einer Flüssig- 
keit vom spezifischen Gewicht £ sei die eingetauchte Länge /, dann ist 

d a 



Qu 



l 



Die Einheit, nach der wir die Längen l und a messen, ist gleichgültig. 
Gay-Lttssac hat die Länge a, bis zu der die Röhre in Wasser eintaucht, 
gleich 100 gesetzt. Diese Länge, von dem unteren Ende der Röhre 
bis zu dem sogenannten Wasserpunkt, ist dann in 100 Teile zu teilen 
und die Teilung nach oben fortzusetzen. 
Sinkt das so eingerichtete „Skalen- 
aräometer" in irgend einer Flüssigkeit 
bis zu dem Teilstrich n, so ist 

8 100 



Qu 



n 



a 


-125 




25 





-75 


7 \ 
- — -- 







) — 


\- 


-25 

4 







Fig. 113. Skalenaräometer. 



Für den praktischen Gebrauch ist 
die Bemerkung wichtig, daß man die Gay- 
LussACsche Teilung auch durch Bestim- 
mung zweier Punkte herstellen kann, 
indem man die Röhre in Wasser und 
eine andere Flüssigkeit von bekanntem 
spezifischen Gewicht taucht, etwa Alko- 
hol vom spezifischen Gewicht • 8. Der 
Punkt, bis zu dem die Röhre in dem 
Alkohol sinkt, entspricht dann dem Punkte 

125 der GAT-LussACschen Skala; die ihr entsprechende Längeneinheit 
ergibt sich durch Teilung des Intervalls in 25 gleiche Teile. Auf diese 
Weise kann die Teilung auch bei Aräometern erhalten werden, die nur 
in ihrem oberen Teile gleichmäßige W'eite besitzen, während der untere 
Teil aus einer Röhre von größerem Querschnitt besteht (Fig. 113 ö). Solche 
Aräometer sind aber für den praktischen Gebrauch unentbehrlich, da 
nur bei ihnen eine kleine Gesamtlänge mit hinreichender Empfindlich- 
keit sich verbinden läßt. Als Densimeter bezeichnet man Aräometer, 
bei denen die GAY-LussACSche Skala durch eine nach spezifischen Ge- 
wichten fortschreitende ersetzt ist. Endlich kann man die Skala auch 
so einrichten, daß sie bei bestimmten Lösungen, z. B. wässerigem Alko- 
hol, wässeriger Schwefelsäure u. dergl., unmittelbar den Prozentgehalt 
angibt. 

§ 125. Gewichtsaräometer. Ein in Wasser stabil schwimmender 
Körper ändert seine Stellung mit dem Gewicht und kann daher als 
Wage dienen. Man versieht ihn zu diesem Zweck mit einer Wagschale 
Fig. 114), die durch einen dünnen Stiel mit dem Körper verbunden ist. 



166 



Mechanik der Flüssigkeiten und Oase 



§126 



An dem Stiel befindet sich eine Marke. Um mit diesem „Gewickts- 
aräometer" eine Wägung auszuführen, legt man auf die Wagschale 
so viel Gewichte, daß die Marke eben in dem Niveau des Wassers ein- 
steht. Man nimmt hierauf die Gewichte ab, legt 
den zu wägenden Körper auf die Schale und so 
viel Gewichte zu, daß das Aräometer wieder bis zu 
der Marke einsinkt. Das Gewicht des Körpers ist 
dann gleich der Differenz der aufgelegten Gewichte. 
Auch zu der Bestimmung spezifischer Gewichte fester 
Körper läßt sich das Aräometer leicht einrichten, 
wenn man eine zweite Wagschale unten an dem- 
selben anbringt, mit Hilfe eieren man das Gewicht 
der Körper im Wasser bestimmen kann. Endlich 
kann man auch spezifische Gewichte von Flüssig- 
keiten aus dem Auftrieb gleicher verdrängter Volu- 
mina berechnen, wenn das Gewicht des Aräometers 
selbst bekannt ist. 
Prinzip der gleichmäßigen Ausbreitung des Druckes. Eine 



-Ö 



Fig. 114. 
Gewichtsaräometer. 



§ 126. 

Flüssigkeit, von deren Schwere wir vorerst absehen, sei in ein Gefäß 

eingeschlossen, das eine zylin- 
drische, durch einen beweg- 
lichen Kolben abgeschlossene 
Ansatzröhre besitzt (Fig. 115). 
Üben wir auf jenen Kolben 
einen Druck aus, so verbreitet 
er sich der Erfahrung zufolge 
gleichmäßig durch die Flüssig- 
keit hindurch nach allen Seiten 
der Gefäßwand. Setzen wir an 
irgend einer anderen Stelle eine 
zweite Eöhre ein von demselben 
Querscbnitt wie die erste, so 
müssen wir den in ihr beweg- 
lichen Kolben ebenso stark 
nach innen drücken wie den ersten, um ein Zurückweichen zu verhindern. 
Bei doppeltem Querschnitt der zweiten Ansatzröhre ist die doppelte, bei 
dreifachem die dreifache Kraft nötig. Die Druckkraft ist der gedrückten 
Fläche proportional. 

Eine wichtige Anwendung findet dieses Prinzip in der hydrau- 
lischen Presse (Fig. 116). Zwei vertikal stehende Zylinder von ver- 
schiedenen Querschnitten Q und q sind miteinander verbunden durch 
eine horizontale Röhre. Beide sind mit W r asser gefüllt und ver- 
schlossen durch verschiebbare Kolben. Der Kolben des weiteren 
Zylinders trägt eine horizontale Platte, mit welcher der zu pressende 
Gegenstand gegen ein festes Widerlager gedrückt werden kann. W'ird 




Fig. 115. 



§127 



Statik der inkompressibeln Flüssigkeiten 



167 



der Kolben in dem engen Zylinder mit der Kraft p nach unten gedrückt, 

so wird auf den Kolben vom Querschnitt Q eine Kraft p — übertragen, 

und mit dieser der zwischen Platte und Widerlager liegende Körper 
zusammengepreßt. Um die 
Pressung kontinuierlich stei- 
gern zu können, befindet 
sich in dem die beiden Zy- 
linder verbindenden Rohre 
ein Ventil, welches das Zu- 
rücktreten des Wassers aus 
dem großen Zylinder hin- 
dert. Andererseits bildet der 
kleine Zylinder den Stiefel 
einer Pumpe, deren Saug- 
rohr in ein unter der Presse 
befindliches Wasserreservoir 
hinabgeht; bei jedem Hube 
des Kolbens füllt sich der 
Zylinder von neuem mit 
Wasser, das beim Nieder- 
gehen in den großen Zylin- 
der hinübergedrückt wird. 

§ 127. Druck im Innern einer schweren Flüssigkeit. Wir gehen 
über zu der Betrachtung der Druckkräfte, die im Innern einer Flüssig- 
keit durch das Gewicht der einzelnen Flüssigkeitsteilchen selbst erzeugt 
werden. Wir werden dabei die Druckkräfte beziehen auf die Flächen- 
einheit, 1 qcm, und werden die so reduzierten Druckkräfte als Druck 
schlechtweg bezeichnen. Wir erhalten demnach einen Druck p, wenn 
wir eine Kraft durch eine Fläche dividieren; im absoluten Maßsystem 
ist nach § 51 und 69 die Dimension eines Druckes gegeben durch 

i- -, Kraft 

L>] = 




Fig. 116. Hydraulische Presse. 



Fläche 



= l~ 1 m t' 



Wenn wir ein Quadratzentimeter etwa aus dünnem Bleche aus- 
schneiden und in das Innere einer Flüssigkeit bringen, so wird es durch 
einen senkrecht von beiden Seiten her wirkenden Druck zusammengepreßt. 
Legen wir das Blech horizontal, so wird der Druck durch das Gewicht 
der über ihm stehenden Flüssigkeitssäule gegeben sein. Solange also 
das Blech in derselben Horizontalebene liegt, bleibt der Druck derselbe. 
Wir können aber zeigen, daß der Druck sich auch dann nicht ändert, 
wenn wir dem Bleche bei unveränderter Lage seines Mittelpunktes eine 
geneigte Stellung geben. Zu diesem Zwecke betrachten wir (Fig. 117) 
ein Quadratzentimeter AB mit horizontaler Fläche und ein zweites 
Quadratzentimeter, dessen Mittelpunkt in der Horizontalebene A B liegt, 
dessen Fläche CD aber geneigt ist. Verbinden wir den Rand von A B mit 



168 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



§127 




Fig. 117. 



J> 



dem von CD durch Linien, so daß in der Flüssigkeit ein Kanal entsteht, 
der AB mit CD verbindet, so müßte in diesem eine Verschiebung der 

Flüssigkeit stattfinden, wenn 
auf CD ein anderer Druck 
ausgeübt würde als auf A B. 
Es erleidet somit das Qua- 
dratzentimeter CD densel- 
ben Druck wie A B; in einer 
horizontalen Ebene ist 
der Druck unabhängig 
von seiner Richtung. 
Wir sind daher berechtigt, 
von einem solchen Druck 
zu sprechen ohne Rücksicht 
auf eine bestimmte Richtung, in der er wirkt. In einer beliebi-gen 
horizontalen Ebene wird der Druck dargestellt durch das Ge- 
wicht einer Flüssigkeitssäule, deren Querschnitt gleich 1 qcm, 
deren Höhe gleich der Tiefe der betrachteten Ebene unter der 
freien Oberfläche der Flüssigkeit ist. 

Dem im vorhergehenden gegebenen Beweise liegt die Vorstellung 
zugrunde, daß das Gewicht der in dem Kanäle AB CD der Figur 117 

eingeschlossenen Flüssigkeit eine Be- 
wegung von AB nach CD, d. h. in 
einem, im ganzen genommen, hori- 
zontalen Sinne, nicht zu erzeugen ver- 
möge. Die Annahme ist richtig und 
läßt sich auch durch Heranziehung 
des Arbeitsbegriffes genauer begrün- 
den, zunächst aber entspringt sie 
doch mehr einem instinktiven Ge- 
fühle, als einer klaren wissenschaft- 
lichen Erkenntnis. Es mögen daher 
die vorstehenden Betrachtungen durch 
den folgenden strengeren, wenn auch 
etwas weitläufigeren Beweis ergänzt 
werden. 

Zunächst wollen wir hervorheben, 
daß der Druck, den zwei in einer 
ebenen Fläche aneinander grenzende Teile der Flüssigkeit wechselseitig 
aufeinander ausüben, jedenfalls gegen jene Fläche senkrecht steht, denn 
sonst würde, wie in dem Falle von § 120, eine wechselseitige Verschie- 
bung der Flüssigkeitsteilchen eintreten. ■ * 

Wir grenzen nun in der ruhenden, schweren Flüssigkeit ein recht- 
winkliges Prisma ab, dessen Querschnitt in Figur 118 gezeichnet ist. 
Seine eine Kathetenfläche liegt horizontal, die Hypotenusenfläche in 




Fig. 118. 



§ 127 Statik der inkompressibeln Flüssigkeiten 169 

geneigter Stellung unter ihr. Die zu dem Querschnitt senkrechten 
Längskanten des Prismas haben eine Länge yon 1 cm, die Seiten des 
Querschnittes, ebenfalls in Zentimetern, die Längen B G = a, A C — b, 
AB = c. Wenn die Flüssigkeit im Gleichgewicht ist, so wird dieses 
nicht gestört, wenn wir uns das Prisma in der umgebenden Flüssigkeit 
fest geworden, gefroren denken. Sein Gleichgewicht wird dann bestimmt 
durch die für einen starren Körper geltenden Sätze. Auf die Seiten 
des Prismas wirken senkrechte Druckkräfte; außerdem aber tritt zu- 
nächst als ein unbequemes Element wieder das Gewicht des Prismas 
auf; hier aber können wir uns davon befreien, indem wir den Quer- 
schnitt AB C so klein nehmen, daß das Gewicht des Prismas neben den 
Druckkräften nicht in Betracht kommt. Wir können dann auch die 
Angriffspunkte der Druckkräfte in die Mitten der Prismenseiten legen; 
die Richtungen der Kräfte gehen nun durch einen und denselben Punkt, 
und die erste Gleichgewichtsbedingung von § 31 ist damit erfüllt. Da- 
mit auch der zweiten genügt wird, ist nötig, daß die Kräfte P, Q, R 
durch Parallelverschiebung zu einem Dreieck ABT sich zusammenfügen 
lassen, welches dann offenbar dem Dreieck ABC ähnlich ist; daraus 
aber folgt: 

P:~Q:R = BC:AC:AB, 
oder 

ü = Q_ „1, 

a b c 

Es stellen aber a, b, c zugleich die Inhalte der Prismenflächen in Quadrat- 
zentimetern dar, da ja die Längskanten gleich 1 cm sind. Die in der 
vorhergehenden Beziehung auftretenden Brüche sind somit nichts anderes, 
als die auf das Quadratzentimeter der Seiten kommenden Drucke, die 
Drucke schlechtweg, und diese sind somit einander gleich. 

In einer schweren Flüssigkeit wird nun der auf die obere horizon- 
tale Seite des Prismas wirkende Gewichtsdruck durch eine über ihr 
stehende Flüssigkeitssäule von 1 qcm Querschnitt 
erzeugt. Das Gewicht dieser Säule gibt also über- 
haupt den Druck an der betrachteten Stelle der 
Flüssigkeit, unabhängig von seiner Richtung. 

Der Satz gilt allgemein für jede beliebige Form 
des Gefäßes. Man wird dies verstehen, wenn man 
zunächst bemerkt, daß derselbe Druck, der im 
Innern zwischen den aneinandergrenzenden Teilen 
der Flüssigkeit besteht, auch zwischen Wand und 
Flüssigkeit wirkt. Wenn aber die Flüssigkeit im ™ n9 

Gleichgewicht ist, so kann dieses, einer Bemerkung 
von § 122 zufolge, nicht verändert werden, wenn wir durch sie hindurch 
eine beliebig gestaltete Fläche EFG (Fig. 1 1 9) legen und diese als eine 
unbewegliche starre Wand betrachten. Jeder Teil dieser Wand übt 
dann auf den angrenzenden Teil der Flüssigkeit denselben Druck aus, 




170 



Mechanik der Flüssigkeiten und Oase 



§ 128 



der früher durch die benachbarten Flüssigkeitsteilchen ausgeübt wurde. 
Die Druckverteilung in der Flüssigkeit ist also durch die Einführung 
der Wand EFG nicht geändert worden. Daraus aber folgt, daß der 
Druck im Innern einer Flüssigkeit nicht abhängt von der Gestalt des 
Gefäßes, sondern nur von der Tiefe der betrachteten Stelle unter ihrem 
Niveau. 

Den ganzen Druck im Innern einer ruhenden Flüssigkeit; wie er 
teils durch ihre Schwere, teils durch äußere Kräfte nach dem Aus- 
breitungsprinzip erzeugt wird, nennt man den hydrostatischen Druck. 
§ 128. Kommunizierende Gefäße. Kehren wir den im vorhergehen- 
den Paragraphen gefundenen Satz um, so ergibt sich, daß eine schwere 

Flüssigkeit in Ruhe nur dann sein kann, wenn 
in allen Punkten einer horizontalen Ebene der 
Druck derselbe ist. Wenden wir dies an auf eine 
Flüssigkeit, die zwei beliebige, miteinander kom- 
munizierende Gefäße erfüllt (Fig, 120), so ergibt 
sich, daß die freien Oberflächen in beiden Gefäßen 
in einer und derselben horizontalen Ebene liegen 
müssen. Legen wir nämlich durch den verbinden- 
den Kanal eine horizontale Ebene, so wird der 
Druck in dieser ebensogut bestimmt durch ihren 
Vertikalabstand von der freien OberHäche des 
einen wie von der des anderen Gefäßes; der Druck 
kann also in den Punkten der Ebene nur dann über- 
all der gleiche sein, wenn jene Abstände gleich sind. 
§ 129. Korrespondierende Flüssigkeitshöhen. Zwei kommunizierende 
Gefäße, die beiden Schenkel einer heberförmig gebogenen Röhre (Fig. 121), 
seien mit zwei verschiedenen Flüssigkeiten gefüllt, • die 
sich nicht mischen, etwa mit Wasser und Quecksilber. 
Das spezifisch schwerere Quecksilber füllt den unteren 
Teil der Röhre aus. Die freie Oberfläche der Wasser- 
säule erhebt sich beträchtlich höher, als die des Queck- 
silbers. Legen wir durch die Berührungsfläche von 
Wasser und Quecksilber in dem einen Schenkel eine 
horizontale Ebene, so schneidet diese den zweiten 
Schenkel in einem entsprechenden Querschnitt. Auf 
der Berührungsfläche lastet der Druck der darüber 
stehenden Wassersäule, auf dem Querschnitt des zweiten 
Schenkels der Druck der über ihm stehenden Queck- 
silbersäule. Ist das Quecksilber in Ruhe, so müssen 
VHV die Drucke gleich sein, da sie auf Teile einer und der- 

Fig. 121. selben Horizontalebene wirken. Die Produkte aus den 

spezifischen Gewichten, S des Quecksilbers, Q des Wassers, und aus den 
Höhen h und H der über der Berührungsfläche stehenden Flüssigkeits- 
säulen müssen somit gleich sein. 




Fig. 120. 



h\ 



~i 



\" 



§ 130 Statik der kompressibeln oder gasförmigen Flüssigkeiten 171 

Diejenigen Höhen zweier Flüssigkeitssäulen, bei denen sie den 
gleichen Druck auf ihre Grundflächen ausüben, bezeichnen wir als 
korrespondierende Höhen. Wir haben dann den Satz: 

Korrespondierende Höhen zweier Flüssigkeiten verhalten 
sich umgekehrt wie die spezifischen Gewichte. 

Es ist damit ein neues Prinzip zu der Bestimmung von spezifischen 
Gewichten oder Dichten gegeben ; einige wichtige Anwendungen desselben 
werden wir gelegentlich kennen lernen. 



Zweites Kapitel. 
Statik der kompressiblen oder gasförmigen Flüssigkeiten. 

§ 130. Druck der Luft. Die Untersuchung der Erscheinungen der 
Gase ist schwieriger als die bisherigen Untersuchungen, weil die Vor- 
stellungen, welche uns die tägliche Erfahrung über die Eigenschaften der 
Luft oder der Gase zuführt, viel weniger bestimmt und sicher sind, als 
die von den festen und flüssigen Körpern. Wir nehmen an, daß die 
Teilchen der Gase mit äußerster Leichtigkeit gegeneinander verschiebbar 
sind; wir wissen aber nicht, ob diese Verschiebbarkeit irgend einem 
Gesetze unterworfen ist. Selbst über die Fraee ob die Luft schwer 
ist oder nicht, kann die populäre Betrachtung nicht entscheiden; der 
Nachweis, daß die Luft Gewicht besitzt, erfordert besondere Versuche, 
die ein gewisses Maß wissenschaftlicher Erkenntnis und feinere Beob- 
achtungsmittel voraussetzen. 

Wir haben schon erwähnt, daß die Gase jeden Raum, der ihnen 
dargeboten wird, vollständig ausfüllen, daß ihr Volumen beliebig geändert 
werden kann. Die Frage, ob diese Volumänderung an irgend ein Gesetz 
gebunden sei, hat nur einen Sinn, wenn außer 
dem Volumen noch eine andere Eigenschaft 
des Gases zu finden ist, die mit jenem sich 
ändert. Erst wenn zwei zugleich sich ändernde 
Größen gegeben sind, kann man nach einer 
Beziehung fragen, durch welche die Ände- 
rungen der einen mit denen der anderen 
verbunden werden. Eine solche zweite 
Größe ist nun der Druck, den die Luft auf \ ■ ■-- ^~ 

die Oberfläche der sie begrenzenden Körper lg * " * 

ausübt. Von dem Vorhandensein eines solchen Druckes überzeugen 
wir uns durch den folgenden Versuch. Wir nehmen eine Glasglocke 
(Fig. 122) und setzen sie mit der nach unten gekehrten Öffnung in 
einen mit Wasser gefüllten Glaszylinder. Wenn wir die Glocke nieder- 
drücken, so dringt das Wasser etwas ein, das Niveau im Innern steht 
aber beträchtlich tiefer als außen. Betrachten wir die durch jenes 
Niveau AB bestimmte horizontale Ebene, so hat man außen jedenfalls 





















- — -zrt 


— 


ft 








- 





172 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase § 131 

einen Druck, der durch das Gewicht der über A B stehenden 
Wassersäule erzeugt wird. Der Druck muß im Innern der Glocke kom- 
pensiert werden durch einen gleichen Gegendruck, der nur von der über 
dem Wasser befindlichen Luft herrühren kann. Es würde leicht sein, 
den Versuch zu einer quantitativen Prüfung des Zusammenhanges zu 
verwerten, der zwischen Volumen und Druck stattfindet; zu zeigen, daß 
der Druck in der Tat lediglich von dem Volumen abhängt und der 
Luft an sich zukommt, ohne Rücksicht auf die Natur der sie begrenzen- 
den Körper. Wir gehen aber darauf nicht ein, da wir zuvor einen Ver- 
such zu besprechen haben, mit Hilfe dessen jener Zusammenhang ein- 
facher zu begründen ist. 

§ 131. Der ToRRiCELLische Versuch. Wenn die Luft an sich die 
Eigenschaft hat, Druck auszuüben, so wird man vermuten, daß ihr ein 
solcher nicht bloß zukommt, wenn sie rings eingeschlossen ist, sondern 
auch in der freien Atmosphäre. Die Entscheidung dieser Frage wurde 
durch einen fundamentalen Versuch gegeben der im Jahre 1643 durch 
Tokricelli veranlaßt wurde. Eine an dem einen Ende zugeschmolzene 
Glasröhre wird mit Quecksilber gefüllt und dann in umge- 
kehrter Stellung in ein mit Quecksilber gefülltes Gefäß ge- 
setzt (Fig. 122), Es sinkt dann das Quecksilber in der Röhre 
so weit zurück, daß seine Kuppe in einer Höhe von etwa 
76 cm über der Oberfläche des Quecksilbers in dem Gefäße 
sich befindet. Tokricelli erklärte die Erscheinung dadurch, 
daß er der Luft einen Druck zuschrieb, der dem Druck 
einer Quecksilbersäule von der angegebenen Höhe das 
Gleichgewicht zu halten vermag. 

Der Versuch von Torricelli ist im Grunde nichts, 
als eine geschickte und in einfacher Weise auszuführende 
Darstellung der Erfahrungen, die man schon früher bei der 
Konstruktion der Wasserpumpen gemacht hatte; man schrieb 
Fig. 123. aDer die saugende Wirkung, die der in die Höhe gezogene 
Torricellis Kolben der Pumpe scheinbar auf das Wasser ausübt, einem 
horror vacui, oder, in mehr physikalischer Ausdrucksweise, 
einer anziehenden Kraft zu, die der leere Raum auf das Wasser aus- 
übe, einer Kraft, die dann imstande sein mußte, noch das Gewicht 
einer Wassersäule von etwas über 10 m Höhe zu tragen. Torricelli 
erkannte zuerst, daß alle 'dem horror vacui zugeschriebenen Erschei- 
nungen sich in vollständiger, konsequenter und einfacher Weise aus dem 
Drucke der Luft erklären, daß man für sie keine neue Hypothese zu er- 
sinnen braucht. 

§ 132. Das Gesetz von Boyle-Mariotte. Wir kommen nun zu der 
Entwickelung des Gesetzes, durch welches Volumen und Druck der Gase 
miteinander verbunden sind. Dasselbe wurde im Jahre 1662 von Boyle, 
im Jahre 1679 von Mariotte entdeckt und heißt daher das Boyle- 
MARiOTTEsche Gesetz. Mariotte benutzte zu seinen Versuchen eine 




§ 133 Statik der kompressibeln oder gasförmigen Flüssigkeiten 



173 




heberförmig gebogene Röhre mit einem kurzen zugeschmolzenen und 
einem langen offenen Schenkel (Fig. 124). Der erstere ist kalibriert, 
so daß das Volumen der in ihm enthaltenen Luft unmittelbar abgelesen 
werden kann. Man gießt zunächst so viel Quecksilber in die Röhre, 
daß die Verbindung der beiden Schenkel eben 
unterbrochen wird. In dem zugeschmolzenen 
Schenkel ist dann ein bestimmtes Luftvolumen 
abgeschlossen, das denselben Druck besitzt, wie 
die freie atmosphärische Luft, einen Druck, 
der durch die Höhe der Quecksilbersäule bei 
dem ToEEiCELLischen Versuche bestimmt wird. 
Gießt man nun in dem langen Schenkel der 
Röhre Quecksilber zu, so wird die Luft in 
dem zugeschmolzenen Schenkel komprimiert, 
gleichzeitig ihr Druck vergrößert. Der neue 
Druck ergibt sich, wenn man zu der Höhe 
der Quecksilbersäule in der ToRRiCELLischen 
Röhre noch den Vertikalabstand der Queck- 
silberkuppen in der MAEiOTTEschen Röhre 
addiert. Auf diese Weise gelangt man zu 
dem Gesetze von Boyle-Mariotte: 

Der Druck einer bestimmten Gas- 
menge ist ihrem Volumen umgekehrt 
proportional, das Produkt aus Druck 
und Volumen ist konstant. 

Will man das Gesetz auch bei einer Verminderung des anfänglichen 
Druckes prüfen, so benützt man eine oben geschlossene Glasröhre a 
(Fig. 125), die mit einer oben offenen b durch einen biegsamen Kautschuk- 
schlauch verbunden ist. Stehen die Kuppen des Quecksilbers in beiden 
Röhren in gleicher Höhe, so ist der Druck der in a abgeschlossenen 
Luft gleich dem der freien atmosphärischen. Senkt man dann die offene 
Röhre b, so vergrößert sich das Volumen der Luft in a und in dem- 
selben Verhältnisse sinkt ihr Druck. 

§ 133. Abweichungen vom Boyle-Mariotte sehen Gesetz. Bei 
höheren Drucken treten Abweichungen von dem Gesetze von Boyle- 
Mariotte ein, von denen wir uns am besten durch eine graphische 
Darstellung Rechenschaft geben können. Auf einer horizontalen Achse 
(Fig. 126) tragen wir die nach Metern Quecksilber gemessenen Drucke, 
senkrecht dazu die entsprechenden Werte des Produktes pv ab. Nach 
dem MARioTTEschen Gesetze müßten diese Produkte gleich groß sein, 
die Endpunkte der sie darstellenden Ordinaten müßten auf einer hori- 
zontalen geraden Linie liegen. Statt dessen sieht man, daß die Kurve 
des Wasserstoffes von dem Anfangsdruck von 30 m an steigt; die Kurve 
des Stickstoffes ist zuerst horizontal und beginnt erst bei einem Drucke 
von 60 m zu steigen. Die Kurven für Kohlensäure fallen, erreichen 



Fig. 124. 

Mariottes 

Röhre. 



125. 



174 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



§ 134 



ein Minimum und gehen dann erst in die Höhe. Aus den für Kohlen- 
säure gezeichneten Kurven, die sich auf die Temperaturen von 35-1° 
und 100° Celsius beziehen, wird der Einfluß der Temperatur auf den 
Verlauf des Produktes jjv ersichtlich. Derselbe ist auch bei Stickstoff 
und Wasserstoff bemerklich, bei denen die gezeichneten Linien auf eine 





1 1 1 


Hl 


1 
















i , 








1 ' , | : ' ' ! | ' 












1 






















i i ! 


i 










in 






i ; 








| 
























1 I 


i 




1 ! 


i 1 1 








i 1 1 




i ! 


































T 


1 : ■ • : j . 








IUI III 






































i ! ' 






I ' 1 


I Ml hl 


1 I 


! i ' 




1 1 1 1 im 




1 






























1 1 






i I 


1.1 i Kl 1 1 i 




1 j 














































i | 






i i 






1 ! 1 1 ' 1 1 1 




: 1 


( ' , -J 






— H" — T 








\( r 


_£ 


































l i 






i LLi-U-j- 1 - 






t - 4~4""T~ 


1 1 


_, 1 






















































; j-4— f-"f f ■ 












JOOO 










































i 










: i 












i 






u. 


— 


~r 


% 






=4=" 


:' "" . 








"M^ 




1 i 




+ 


-j- 




-j- 


1"! 
















i 


A 


















>i 


K. 


\ 




| i 


i { 


! ■ 








*H — 


i 








1 1 


- = r : - 


4- 


— 




4- 


^■■1 |— | — 




- 








































i 






















i ! 1 












lJ^-T"! 










1 






































































— -" i ! i ! 












i 


J t 


>o 


























































— 4— ^** 






"11 










4- 






J_ 




















































4 








MIM 






2000 


!' i i 






\ 














































- 














-r +Jr ^+ 




L>- 




• 




|\ 




































| 






T 




































































1 1 i 












jf* 


n i i 








1 








1 ! 










































i 


1 


















_i L 
















t 






















1 


























L- 


































1 1 ! 


























































Zr 
































1 






















































i 




























































"j 




1 


















1 


























































































































































































'OOO 






































j j 








































































































































































































































































































































































































































































































































l 




























































































! 






























































































































































































1 1 


























































i 






1 








1 








i I 
































1 






! 1 








1 1 ! 












i 




i i i i i i i i 



7??° 



100° 



3.5,/° 



O WO 200 300 

Fig. 126. Abhängigkeit des Produktes p v vom Druck. 

Temperatur von 17-7° Celsius sich beziehen. Bei höherer Temperatur 
steigt die Kurve des Stickstoffes, wie die des Wasserstoffes, von dem 
Druck von 30 m an in die Höhe, bei tieferer Temperatur sinkt sie 
zuerst ähnlich der der Kohlensäure. Bei der Beurteilung der Kurven 
muß man sich übrigens gegenwärtig halten, daß der kleinste angewandte 
Druck das 40 fache des Druckes der atmosphärischen Luft, der größte 
das 400 fache davon beträgt. 1 

§ 134. Das Barometer. Die Kenntnis des Druckes, den die freie 
atmosphärische Luft ausübt, ist nicht bloß für die Meteorologie, sondern 
auch für eine große Zahl physikalischer Untersuchungen von großer 
Bedeutung. Es ist daher notwendig, das zur Messung des Luftdruckes 
dienende Barometer kurz zu betrachten. 

Der Luftdruck wird gemessen durch die Höhe der Quecksilbersäule in 
der ToEEiCELLischen Bohre; die Herstellung des Barometers besteht daher 
in nichts anderem, als in der Ausführung des ToEEiCELLischen Ver- 
suches. Natürlich wird dabei die größte Sorgfalt darauf zu verwenden 
sein, daß keine Luft in den ToEEiCELLischen Eaum gelangt. Zu diesem 



1 E. H. Amagat, Sur la compressibilite des gaz sous de fortes pressions. Ann. 
de chimie et de phys. (5) 22, p. 353. 1881. 



§134 Statik der ko?npressibeln oder gasförmigen Flüssigkeiten 



175 



Zwecke wird das Quecksilber, wenn es in die ToKRiCELLische Röhre ge- 
füllt ist, durch Auskochen von Luft befreit. Der Vertikalabstand der 
Quecksilberkuppen in der Röhre und in dem Gefäß, der 
Barometerstand, kann mit Hilfe eines Kathetometers ge- 
messen werden. In der Regel zieht man es vor, das Baro- 
meter transportabel zu machen, und vereinigt zu diesem Zweck 
den Maßstab mit dem Gefäß und der ToKßiCELLischen Röhre 
zu einem Ganzen. Durch geeignete Einrichtungen muß dafür 
gesorgt werden, daß der Maßstab vertikal steht, und daß beim 
Ablesen die Visierlinien nach den Kuppen des Quecksilbers 
horizontal sind. Die doppelte Ablesung der beiden Kuppen 
kann vermieden werden, wenn man den Nullpunkt des Maß- 
stabes bei jeder Beobachtung auf den Spiegel des Quecksilbers 
in dem Gefäß einstellt. Dies kann geschehen, wenn der untere 
Teil des Gefäßes aus einem Lederbeutel hergestellt wird, der 
durch eine Schraube gehoben oder gesenkt werden kann (Fig. 127). 
Der Nullpunkt des Maßstabes wird dabei repräsentiert durch 
eine in das Gefäß hinabreichende Spitze, die bei jeder Beob- 
achtung mit ihrem Spiegelbild in der Quecksilberoberfläche zur 
Berührung gebracht wird. 

Eine zweite Form des Barometers ist gegeben durch das 
Heberbarometer (Fig. 128); eine heberförmig gebogene Röhre 
mit einem zugeschmolzenen, etwa 1 m langen Schenkel und barometer. 
einem kürzeren, oben offenen, wird mit luftfreiem Quecksilber gefüllt und 
umgekehrt, so daß sie die in der Figur gezeichnete Stellung annimmt. 
Das Quecksilber sinkt in dem zugeschmolzenen Schenkel so 
weit zurück, daß der Druck der über der Kuppe in dem offenen 
Schenkel schwebenden Quecksilbersäule gleich dem Luftdruck 
ist. Die Heberform eignet sich vorzugsweise für transportable 
Barometer; der Nullpunkt des mit der Röhre zu verbindenden 
Maßstabes wird zweckmäßig in ihre Mitte gelegt, so daß man 
den Barometerstand durch Addition der unteren und oberen 
Ablesung erhält. 




a 



Fig. 127. 
Gefäß- 



Bei den vorhergehenden Betrachtungen ist eine Klasse von 
Kräften nicht berücksichtigt, die auf den Stand des Quecksilbers 
in der Barometerröhre unter Umständen einen großen Einfluß 
üben. Es sind dies die Kapillarkräfte, mit deren Betrachtung 
wir an einer späteren Stelle uns beschäftigen werden. Bei 
einem Gefäßbarometer ist infolge der Kapillarwirkungen die 
Oberfläche des Quecksilbers in der Röhre nicht eben, sondern 
konvex; in dem Gefäße ist zwar der mittlere Teil der Oberfläche 
horizontal, am Rande aber senkt sich das Quecksilber gegen die 



Fig. 128. 
Heber- 



Oberfläche des Glases herab. Die Bildung des Meniskus in der barometer. 
ToEEiCELLischen Röhre ist aber nicht die für uns wesentliche Wirkung 
der Kapillarkräfte; vielmehr kommt für uns in Betracht, daß aus ihnen 



176 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase § 135 

eine nach unten gerichtete Kraft resultiert, welche die sogenannte Kapillar- 
depression des Quecksilbers in der Röhre hervorruft. Der Vertikalabstand 
der Quecksilberkuppen gibt also nicht ohne weiteres den Luftdruck an; 
vielmehr müssen wir zu ihm noch den Betrag der Kapillardepression 
addieren. Diese hängt ab von der Weite der Röhre einerseits, dem Winkel, 
unter dem die Oberfläche des Quecksilbers die Glaswand trifft, anderer- 
seits. Hat dieser „Randwinkel" den mittleren Wert von 50°, so er- 
gibt sich für die Depression des Quecksilbers die folgende Zusammen- 
stellung: 

Weite der Röhre 4 mm 8 mm 12 mm 
Depression . . 1-4 mm 0»5 mm 0-2 mm. 
Bei einer Röhre von 30 mm Durchmesser ist die Depression unmerklich. 
Zur Elimination der durch die Kapillardepression bedingten Abweichung 
des beobachteten Barometerstandes von dem Luftdrucke bietet sich so- 
mit ein doppelter Weg. Entweder bestimmt man die Größe der Kor- 
rektion aus Röhrenweite und Randwinkel, oder man gibt der Röhre, 
wenigstens an der von der Quecksilberkuppe eingenommenen Stelle, eine 
solche Weite, daß die Kapillardepression verschwindet. 

Beim Heberbarometer wird man zu der Annahme geneigt sein, daß 
die Korrektion wegen der Kapillarwirkungen fortfalle, da die Kapillar- 
drucke bei der gleichen Röhrenweite sich zu kompensieren scheinen. 
Nun zeigt aber die Beobachtung, daß die zwischen Quecksilber und Glas 
vorhandenen Kapillarwirkungen in hohem Maße abhängig sind von der 
Beschaffenheit des Quecksilbers und der Glasoberfläche; beträchtliche 
Änderungen des Randwinkels stellen sich ein, ohne daß auf anderem 
Wege eine Veränderung von Quecksilber und Glas nachzuweisen wäre. 
Aus diesem Grunde ist die obige Annahme sehr wenig sicher. 

Der Vollständigkeit halber müssen wir noch der Aneroidbaro- 
meter gedenken. Ihren wesentlichen Bestandteil bilden luftleere, biegsame 
Hohlkörper aus Metall von verschiedener Form, die bei Änderungen des 
äußeren Luftdruckes ihre Gestalt verändern. Die hierdurch bedingten 
Bewegungen werden durch Hebelvorrichtungen in genügender Weise 
vergrößert und durch einen Zeiger sichtbar gemacht. Die Drehungen 
des Zeigers werden durch Vergleichung auf die Angaben des Queck- 
silberbarometers reduziert. 

§ 135. Die Luft eine schwere Flüssigkeit. In den vorhergehenden 
Paragraphen haben wir gesehen, daß die Luft ebenso wie eine in einem 
Gefäße befindliche inkompressible Flüssigkeit einen Druck ausübt. Bei der 
letzteren rührt aber der Druck her von ihrem Gewicht; es ist daher wahr- 
scheinlich, daß auch der Druck der Luft durch ihr Gewicht bedingt wird. 
Wenn dies der Fall ist, so muß der Luftdruck aus demselben Grunde 
mit der Höhe des Beobachtungsortes abnehmen, wie der Flüssigkeits- 
druck in einem Gefäße mit der Höhe über dem Boden. Diese Konsequenz 
wurde durch einen im Jahre 1648 unternommenen Versuch bestätigt, 
welcher durch Pascal, vielleicht infolge einer Anregung Descartes', ver- 



137 Statik der kompressibeln oder gasförmigen Flüssigkeiten 177 



anlaßt worden war. Ein Barometer wurde auf den Gipfel des Puy de 
Dome gebracht und zeigte in der Tat hier einen geringeren Luftdruck 
als im Tale. 

Das Gewicht eines Kubikzentimeters Luft werden wir ebenso als ihr 
spezifisches Gewicht, seine Masse ebenso als ihre Dichte bezeichnen, wie 
bei einem festen oder flüssigen Körper. Aber das spezifische Gewicht der 
Luft ist wesentlich abhängig vom Druck. Es steigt in dem Maße, in 
dem die Luftteilchen durch Zunahme des Druckes auf ein kleineres 
Volumen zusammengedrängt werden. 

Das spezifische Gewicht der Luft ist ihrem Drucke pro- 
portional. 

§ 136. Das spezifische Gewicht der Luft. Eine Methode zur Be- 
stimmung des spezifischen Gewichtes der Luft ergibt sich aus dem Ver- 
suche von Pascal. Bei demselben ist nämlich die Verminderung des 
Luftdruckes einmal gleich dem Gewichte der Luftsäule, die sich von der 
Talsohle bis zu dem Gipfel des Puy de Dome erhebt, und andererseits 
ist sie gegeben durch die Gewichtsabnahme der Quecksilbersäule, die dem 
Luftdruck das Gleichgewicht hält. Die Höhe, um welche die Queck- 
silbersäule des Barometers sank, und die Höhe jener Luftsäule haben 
die Eigenschaft korrespondierender Flüssigkeitshöhen, und umgekehrt 
wie sie verhalten sich also nach § 129 die spezifischen Gewichte von 
Luft und von Quecksilber. Nun ist aber zu bedenken, daß innerhalb der 
ganzen bis zu der Spitze des Puy de Dome sich erhebenden Luftsäule 
Druck und Dichtigkeit der Luft stetig abnimmt, so daß die aus der an- 
gegebenen Proportion berechnete Zahl nur einen innerhalb jener Luft- 
säule vorhandenen Mittelwert des spezifischen Gewichtes darstellt. Wollen 
wir die Methode zu der Bestimmung des wahren spezifischen Gewichtes 
benützen, so müssen wir die Beobachtung beschränken auf eine Luft- 
säule von so geringer Höhe, daß innerhalb derselben die Unterschiede 
des spezifischen Gewichtes verschwinden. Dabei wollen wir als Basis 
der zu untersuchenden Säule die Oberfläche des Meeres benützen, an 
der im Mittel ein Luftdruck von 76 cm Quecksilber herrscht. Gehen 
wir nun um 1050 cm in die Höhe, so sinkt der Barometerstand um 
0*1 cm. Das spezifische Gewicht der Luft bei einem Barometerstande 
von 76 cm ist somit, wenn wir das von Quecksilber gleich 13*6 nehmen: 

*o = 13.6x^ = 0-00129. 

Haben wir einen Barometerstand von b cm Quecksilber, so ist nach 
dem BoYLE-MAEiOTTEschen Gesetz das spezifische Gewicht 

2 = 0-00129 X~- 

Die Zahlen gelten genau für eine Temperatur von 0° Celsius. 

§ 137. Der Atmosphärendruck. Wir haben den Druck der Luft 
bisher nur durch' die Höhe der Quecksilbersäule gemessen, die ihm 
das Gleichgewicht hält; auf Grund der im vorhergehenden enthaltenen 

Riecke, Physik I. Dritte Aufl. 12 



— 2\ 



178 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase § 138 

Angaben können wir den Druck, zunächst für die Oberfläche des Meeres, 
auch wirklich berechnen. Wie bei den inkompressiblen Flüssigkeiten be- 
ziehen wir ihn auf die Flächeneinheit, das Quadratzentimeter. Er ist 
dann gegeben durch das Gewicht einer Quecksilbersäule von 1 qcm Quer- 
schnitt und 76 cm Höhe; somit im technischen Maßsystem gleich 

76x13-6 = 1033 g-Gewichten 

pro Quaclratcentimeter ; im absoluten System gleich 

981 X 76 x 13,6 = 1014000 Dynen pro Quadratzentimeter (cm -1 g sec 

Man bezeichnet diesen Druck, den Druck von 1,033 kg-Gewichten 
auf das Quadratzentimeter, als den Druck einer Atmosphäre und 
benützt ihn häufig als eine besondere Maßeinheit bei der Messung 
größerer Drucke. 

§ 138. Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe. Die Möglichkeit, 
den Luftdruck für jede beliebige Höhe über dem Meere zu finden, ergibt 
sich aus der folgenden Überlegung. Gehen wir aus von der Oberfläche 
des Meeres, so sinkt nach dem Vorhergehenden der Barometerstand bei 

einer Erhebung um 10-5 m von 760 mm 
auf 759 mm (Fig. 129). Gleichzeitig 
wird sich dann auch das spezifische 
Gewicht im Verhältnis 759 : 760 vermin- 
dern. Dieses kleinere spezifische Ge- 

wicht betrachten wir nun als konstant 

in einer zweiten Luftschicht von aber- 

/ 5 g mrl mals 10,5 m Dicke und können dann 

die nach Durchlaufung dieser Schicht 

10,5m . . ° 

, ?60mm eintretende Verminderung des Druckes 



Fig. 129. berechnen. Wir finden so den Druck 

in einer Höhe von 2 X 10-5 m. Durch 
fortgesetzte Wiederholung dieses Verfahrens würde es möglich sein, den 
Druck der Luft von 10-5 m zu 10-5 m zu bestimmen. Die mathematische 
Behandlung des Problems führt zu einem sehr einfachen Gesetze. Wird 
die Meereshöhe in Kilometern durch h, der Druck, nach technischem 
Maße in kg-Gewichten gemessen, durch p bezeichnet, so ist 

h 
7 99 

p = 1-033 Xe ' ' 

Hier ist e = 2-718 die Basis der natürlichen Logarithmen. 

Die Formel kann auch umgekehrt benützt werden, um aus dem 
gemessenen Druck p die Höhe h zu berechnen; sie enthält das Prinzip 
der sogenannten barometrischen Höhenmessung. 

§ 139. Die virtuelle Lruckhöhe. Nach dem BoYLE-MAKiOTTEschen 
Gesetz ist das Verhältnis von Druck und spezifischem Gewicht der Luft 
konstant. Bezeichnen wir also durch p und l zwei zusammengehörige 



§ 139 Statik der kompressibeln oder gasförmigen Flüssigkeiten 179 

Werte von Druck und spezifischem Gewicht, so muß der Quotient -~- 

gleich sein dem entsprechenden Quotienten aus den Werten 1033 und 
0-00129, die für die Oberfläche des Meeres gelten, wenn das technische 
System und Zentimeter und g-Gewicht als Einheiten zugrunde gelegt 
werden. Wir erhalten so: 

T = o^9 = 801000 ' 

oder bei Benützung genauerer Werte der spezifischen Gewichte von Luft 
und von Quecksilber: 

-£■ = 799000. 

Für den Druck der Luft in g-Gewichten auf das Quadratzentimeter 
ergibt sich hieraus: 

p = 799000 L 

Betrachten wir nun 799000 als die in Zentimetern gemessene Höhe 
einer Luftsäule, so würde der Druck, den sie durch ihr Gewicht auf die 
Fläche von 1 qcm ausübt, gleich 799000 X g-Gewichten sein, also eben 
gleich jenem Produkte, durch das der Luftdruck p angegeben wird. Die 
Zahl 799000 bedeutet also die in Zentimetern gemessene Höhe einer 
Luftsäule, die durch ihr Gewicht den beobachteten Luftdruck p zu er- 
zeugen imstande ist, und die dabei in ihrer ganzen Ausdehnung das- 
selbe spezifische Gewicht besitzt, wie die gegebene Luftmenge vom 
Druck p. Man bezeichnet diese Höhe als die virtuelle Druckhöhe der 
Luft. Das BoYLE-MAKiOTTEsche Gesetz kann darnach auch in dem 
Satze ausgesprochen werden: Die virtuelle Druckhöhe der Luft 
ist konstant. 

Mit besonderer Beziehung auf die Atmosphäre bezeichnet man die 
virtuelle Druckhöhe auch als die scheinbare Höhe der Atmosphäre. 
Aus dem Vorhergehenden ergibt sich dann, daß diese Höhe (von dem 
Einfluß der Temperatur abgesehen) für jede beliebige Stelle der Atmo- 
sphäre 7-99 km beträgt, d. h. daß eine Grenze der Atmosphäre nicht 
existiert, daß sie sich vielmehr durch den ganzen Weltraum erstreckt. 
Es scheint dieses Resultat in Widerspruch zu stehen mit der Tatsache, 
daß ein Einfluß der Erdatmosphäre auf die Bewegung des Mondes oder 
der Planeten nicht vorhanden ist, daß ihr Einfluß auf den Weg der 
Lichtstrahlen in einer Höhe von ca. 50 km verschwindet, daß das Auf- 
glühen von Meteoren höchstens bis zu einer Höhe von 160 km beob- 
achtet wird. Dies wird man am ehesten verständlich finden, wenn man 
die Luft als einen Körper von molekularer Konstitution betrachtet, d. h 
als einen Körper, der aus einzelnen, voneinander durch große Zwischen- 
räume getrennten Teilchen besteht. Dann folgt aus dem Boyle- 
MARiOTTEschen Gesetz, daß diese Zwischenräume in demselben Maße 
wachsen, in dem der Druck abnimmt. Man kann sich nun leicht vor- 
stellen, daß in gewisser Entfernung von der Oberfläche der Erde die 

12* 



180 



Mechanik der Flüssigkeiten und Oase 



§ 140 



Luftteilchen in einem solchen Maße zerstreut sind, daß sie einen Ein- 
fluß auf die Bewegung des Lichtes oder der Weltkörper nicht mehr aus- 



-n^ 



h 



A 



-B 



C 



V 



D 



Fig. 130. Heber. 



zuüben vermögen. 

§ 140. Der Heber. Wir gehen im fol- 
genden über zu der Beschreibung einiger Appa- 
rate, bei denen wir vom Luftdruck Anwendung 
machen. Der erste ist der Heber, eine U-förmig 
gebogene Glasröhre, die mit einer Flüssigkeit 
gefüllt und in umgekehrter Stellung mit ihren 
Enden in zwei mit derselben Flüssigkeit ge- 
füllte Gefäße gesetzt wird (Fig. 130); AB sei 
das Niveau in dem einen, CD in dem anderen. 
Den Druck d?r Flüssigkeit an dem oberen Ende 
E des einen vertikalen Schenkels erhalten wir, 
wenn wir von dem Luftdruck den Druck der in 
der Röhre sich erhebenden Flüssigkeitssäule h 
abziehen; ebenso den Druck in F, wenn wir 
den Luftdruck vermindern um den Druck einer 
Flüssigkeitssäule von der Höhe h'. Ist h' größer 
als h, steht also das Niveau CD tiefer als AB, 
so ist der Druck in E größer als in F, die 
Flüssigkeit wird also aus dem Gefäß zur Linken durch den Heber in 
das zur Rechten abfließen, bis die Höhe des Niveaus in beiden dieselbe ist. 

Diese Betrachtung gilt im wesentlichen auch 
dann, wenn der eine Schenkel des Hebers, statt in 
ein mit Flüssigkeit gefülltes Gefäß zu tauchen, in 
die freie Luft mündet. Der Luftdruck wirkt dann 
an der unteren Öffnung der Röhre ; vermöge des Zu- 
sammenhaltens ihrer Teilchen fließt die Flüssigkeit in 
einem Strahle aus, wenn die Öffnung tiefer steht, als 
das Niveau des Gefäßes. 

§ 141. Die Wasserpumpen. Die eine Form der 
Wasserpumpe, die Saugpumpe (Fig. 131), ist nach dem 
folgenden Prinzip konstruiert. Der eine Hauptteil be- 
steht aus einem vertikalen Zylinder, dem Pumpen- 
stiefel, in dem ein an einer Stange befestigter Kolben 
auf und ab bewegt werden kann. Von diesem geht 
die Saugröhre hinab in ein Wasserreservoir. Zwi- 
schen Stiefel und Saugröhre befindet sich ein Ventil, 
das sich gegen den Stiefel hin öffnet; zieht man den 
Kolben von dem Boden des Stiefels in die Höhe, so 
wird die Luft unter ihm verdünnt, und der auf der 
Fig. 131. Saugpumpe. Oberfläche des Wasserreservoirs lastende Luftdruck 
treibt das Wasser in die Saugröhre und den Stiefel hinein. Drückt man 
den Kolben nach unten, so schließt sich das Ventil und verhindert das 




:— ,<-J 



§142 Statik der kompressibeln oder gasförmigen Flüssigkeiten 



181 



IL 




Zurücksinken des Wassers. Gleichzeitig öffnet sich ein in den Kolben 
eingelassenes Ventil, und das Wasser gelangt in den Raum oberhalb des 
Kolbens. Gehen wir mit dem Kolben bis zu dem Boden des Stiefels herab 
und ziehen wir ihn dann abermals in die Höhe, so wird 
das Kolbenventil durch den Druck des über ihm 
stehenden Wassers geschlossen; indem das Boden- 
ventil sich wieder öffnet, dringt von neuem Wasser 
aus dem Reservoir in den Stiefel ein; gleichzeitig wird 
die über dem Kolben befindliche Wassersäule gehoben 
und entleert sich durch eine in der Wand des Pumpen- 
zylinders angebrachte Röhre, die Brunnenröhre. 

Bei der Druckpumpe (Fig. 132) ist der Kolben 
nicht durchbrochen; die bei einem Pumpenzuge 
gehobene Wassermenge wird beim Niedergang des 
Kolbens in eine seitlich in dem Boden des Stiefels 
mündende Röhre, die Steigröhre, hineingepreßt; 
zwischen dem Stiefel und der Steigröhre befindet 
sich ein nach der letzteren sich öffnendes Ventil, 
das beim Aufziehen des Kolbens durch den Druck 
der im Steigrohre stehenden Wassersäule geschlos- 
sen wird. 

In der Saugröhre einer Wasserpumpe kann das 
Wasser höchstens bis zu der Höhe gehoben werden, 
bei der sein eigener Druck dem Luftdruck das 
Gleichgewicht hält. In der Steigröhre einer Druckpumpe hängt die 
Höhe der Wassersäule lediglich von dem auf den Kolben ausgeübten 
Druck ab. 

§ 142. Die Luftpumpe. Der für physikalische Zwecke wichtigste 
der hier zu besprechenden Apparate ist die Luftpumpe, die von Otto 
von Guericke erfunden und auf dem Regensburger Reichstag im Jahre 
1654 demonstriert wurde. Ihre einfachste Form wird repräsentiert durch 
die einstief lige Hahnenluftpumpe (Fig. 133). Den ersten Bestandteil 
bildet der Rezipient, der Raum, in dem die Luft verdünnt werden soll. 
Er wird hergestellt durch eine Glasglocke, die mit eben geschliffenem 
Rande auf einen horizontalen Teller aufgesetzt ist. Der zweite Bestand- 
teil ist die aus Stiefel und Kolben bestehende Pumpe; der dritte die 
mit einem Hahn versehene Röhre, die den Rezipienten mit dem Pumpen- 
stiefel verbindet. Wir stellen den Hahn zuerst so, daß der Rezipient 
mit dem Pumpenstiefel kommuniziert, ziehen den Kolben von dem Boden 
des letzteren zurück und saugen so einen Teil der Luft aus dem Rezi- 
pienten in den Raum des Pumpenstiefels hinein. W'enn der Kolben bis 
zu dem Deckel des letzteren emporgezogen ist, legen wir den Hahn um, 
so daß der Rezipient abgeschlossen und gleichzeitig der Pumpenraum 



Fig. 132. 
Druckpumpe. 



mit der atmosphärischen Luft durch eine seitliche Durchbohrung des 
Hahns in Verbindung gesetzt ist. Beim Herabgehen des Kolbens wird 



182 



Mechanik der Flüssiakeiten und Gase 



§142 



die vorher aus dem Kolben herausgezogene Luft in die Atmosphäre ent- 
leert. Durch Zurückdrehen des Hahns stellen wir jetzt wieder die Ver- 
bindung der Pumpe mit dem Eezipienten her und können nun von 
neuem Luft aus dem letzteren herausziehen. Wir sehen, wie durch 

Wiederholung der Operation die 
^ Luft in dem Rezipienten mehr 

und mehr verdünnt werden 

kann. 



3 



P 




Fig. 133. Hahnenluftpumpe. 



Es knüpft sich hieran eine 
wichtige Bemerkung, aus der 
hervorgeht, daß die mit der 
Pumpe zu erreichende A^erdün- 
nung eine bestimmte Grenze 
besitzt. So oft wir durch Um- 
legen des Hahns den Pumpen- 
raum mit der Atmosphäre in 
Verbindung setzen, füllt sich 
der zwischen dem Hahn und 
der unteren Kolbenfiäche vor- 
handene Raum s mit atmosphä- 
rischer Luft. Wir wollen nun das Spiel der Pumpe ein wenig abändern. 
Statt sofort die Kommunikation zwischen dem Rezipienten und der 
Pumpe herzustellen, drehen wir den Hahn nur so weit, daß alle Ver- 
bindungen unterbrochen sind. Ziehen wir dann den Kolben bis zu dem 
Deckel des Stiefels zurück, so wird die Luft, die zuerst jenen Raum s mit 
atmosphärischem Druck erfüllt hatte, auf den Raum des Pumpenstiefels 
sich ausbreiten. Bezeichnen wir durch s zugleich das Volumen des 
Raumes, der zwischen dem Hahn und dem auf dem Boden des Stiefels 
ruhenden Kolben eingeschlossen ist, das Volumen des Pumpenstiefels 
durch P, den Barometerstand durch b, so ist der Druck, den die zu 
Anfang in s befindliche Luft nach ihrer Ausbreitung über den Raum 



des Stiefels annimmt, gleich b 



P 



Legen wir nun den Hahn vollends 



um, so daß der Rezipient mit der Pumpe kommuniziert, so wird Luft 
aus dem ersterem nur austreten, wenn der Druck der in ihm enthaltenen 



Luft größer ist als b 



P 



; ist dieser Druck erreicht, so ist eine weitere 



Verdünnung der Luft im Rezipienten nicht möglich. Die zu erreichende 
Verdünnung ist um so kleiner,. je größer der Raum s; man bezeichnet 
ihn daher als den schädlichen Raum, und bei der Konstruktion der 
Pumpe wird man also vor allem darauf zu sehen haben, daß der schäd- 
liche Raum möglichst verringert wird. Verkleinerung des schädlichen 
Raumes, größere Bequemlichkeit in der Handhabung der Pumpe hat 
man zu erreichen gesucht, indem man an Stelle des Hahns Ventile 
setzte; stärkere Wirkung durch Konstruktion von zweistief ligen Pumpen. 



§143 Statik der kompressibeln oder gasförmigen Flüssigkeiten 



183 



7nm 
' Mj&citile'id&ih 



§ 143. Die Quecksilberluftpumpe. Den schädlichen Raum, der 
nach dem vorhergehenden der Verdünnung der Luft im Rezipienten 
eine bestimmte Grenze setzt, kann man nicht vermeiden, solange der 
Kolben der Luftpumpe aus einem festen Körper hergestellt wird; denn 
ein solcher läßt sich dem Boden der Pumpe nie vollständig anpassen; 
es bleibt immer, auch bei der tiefsten 
Stellung des Kolbens, zwischen seiner 
unteren Fläche und dem Boden des 
Pumpenstiefels ein gewisser Raum. Die- 
ser wird sich beseitigen lassen, wenn 
man den Kolben der Pumpe aus einer 
Flüssigkeit herstellt, die den Wänden 
des Pumpenstiefels vollkommen, ohne 
jeden Zwischenraum sich anschmiegen 
kann. Dieser Gedanke wird verwirklicht 
durch die Quecksilberluftpumpe. Wir 
beschreiben im folgenden zunächst die 
einfache Form derselben, die der ein- 
stiefligen Hahnluftpumpe entspricht 
(Fig. 134). Der Stiefel ist repräsentiert 
durch einen Glasballon A, der etwa 
1 Liter Quecksilber faßt. An dem Ballon 
ist oben die Glasröhre angeschmolzen, 
welche die Verbindung mit dem Rezi- 
pienten vermittelt. Sie ist mit einem 
Hahn versehen, der die früher beschriebene 
doppelte Durchbohrung besitzt. Die Be- 
wegung des den Kolben ersetzenden 
Quecksilbers geschieht mit Hilfe eines 
zweiten Gefäßes B von gleichem Volu- 
men wie A, das mit diesem durch einen 
biegsamen Kautschukschlauch verbunden 

ist. Der Hahn wird zuerst so gestellt, daß A mit der atmosphärischen Luft 
kommuniziert. Das Niveau des Quecksilbers stellt sich dann in den 
Gefäßen A und B gleich hoch. Wird B gehoben, so steigt das Niveau 
in A, und man kann so das ganze Gefäß A bis zu dem Hahne mit 
Quecksilber füllen. Stellt man jetzt durch Drehen des Hahns die Ver- 
bindung mit dem Rezipienten her, so wird beim Senken des Gefäßes B 
das Quecksilber in A sich zurückziehen, und eine entsprechende Menge 
Luft aus dem Rezipienten in das Gefäß übertreten. Diese wird durch 
Zurückdrehen des Hahns in die erste Stellung und abermaliges Heben 
des Gefäßes B in die Atmosphäre entleert. Man sieht, wie der Rezipient 
ebenso evakuiert werden kann], wie bei der Hahnenluftpumpe, aber der 
schädliche Raum ist vermieden, und dementsprechend die Grenze der 
Verdünnung ganz außerordentlich erniedrigt. 




Fig. 134. 



184 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



§143 



Eine andere Form der Quecksilberluftpumpe, bei der gar keine 
Hanne oder anderen Schliffstücke verwandt sind, zeigt Figur 1 35, welche 
dem Zustande einer schon weit fortgeschrittenen Verdünnung entspricht. 
Der Ballon A kommuniziert mit dem Rezipienten durch das Rohr G. 
Dieses ist mit Hilfe eines durchbohrten Korkes in ein mit Quecksilber 
gefülltes Glas G eingesetzt und steigt über das Niveau des Quecksilbers 

noch um etwa 80 cm in die 
j}/(~\ Höhe. Über das Steigrohr C 

ist der eine weitere Schenkel D 
eines heberförmig gebogenen 
Glasrohres gestülpt, so daß der 
Rand unter das Quecksilber 
in dem Gefäße G taucht 
und der innere Raum durch 
das Quecksilber gegen die 
Luft abgeschlossen wird. Der 
zweite Schenkel E des Heber- 
rohres führt zu dem Rezi- 
'ienten pienten. Wenn die Verdün- 
nung der Luft in dem Rezi- 
pienten fortschreitet, so wird 
das Quecksilber durch den 
Druck der äußeren Luft in 
den Raum zwischen den Röh- 
ren G und D getrieben und 
bewirkt so stets einen luft- 
dichten Abschluß des Rezi- 
pienten und des mit ihm 
verbundenen Ballons A. Will 
man weiter evakuieren, so 
hebt man den Ballon B\ 
das vordringende Quecksilber 
verschließt selbst die Mün- 
dung F der Steigröhre C und 
verhindert so das Zurück- 
strömen der in A noch vor- 
handenen Luft in den Rezi- 
pienten. Hebt man die Kugel B 
weiter, so erfüllt das Queck- 
silber allmählich den Ballon A 
und treibt die Luft in die enge Röhre, welche die Verbindung mit dem 
Auslaßrohr HJ vermittelt. Hebt man soweit, daß etwas Quecksilber 
in das Rohr HJ überfließt, so reißt dieses die kleinsten noch vor- 
handenen Luftmengen mit sich und treibt sie durch den offenen 
Schenkel J des Auslaßrohres in die Atmosphäre hinaus. Mit einer 




Fig. 135. TöPLERSclie Pumpe. 



§ 144 Statik der kompressibeln oder gasförmigen Flüssigkeiten 



185 



solchen Pumpe ist es möglich, den Druck der Luft im Rezipienten auf 
0-000012 mm zu reduzieren. 1 

Die Verbindung zwischen dem Rezipienten und dem Gefäße A läßt 
sich bequemer als durch die Röhre D, deren Länge der einer Barometer 
röhre gleichkommt, durch eine mit einem 
Quecksilberventil versehene Röhre herstellen. 
Eine solche ist in Fig. 135 a im offenen und 
im geschlossenen Zustande in etwas größerem 
Maßstabe gezeichnet. 

§ 144. Die Barometerprobe. Bei der 
praktischen Anwendung der Luftpumpe ist es 
vor allem nötig, den Grad der erreichten Ver- 
dünnung, den Druck der Luft im Rezipienten 
zu messen. Man kann zu diesem Zweck mit 
dem Rezipienten ein Barometer, am bequemsten 
ein Heberbarometer, verbinden. Das Queck- 





Fig. 135 a. 



silber in dem zugeschmolzenen Schenkel wird 
in dem Maße sinken, in dem der Druck ab- 
nimmt. Da es sich aber in der Regel nur um 
die Bestimmung sehr kleiner Drucke handelt, so hat man nicht nötig, 
dem geschlossenen Schenkel die dem Atmosphärendruck entsprechende 
Länge zu geben. Man kürzt ihn ab und erhält so ein Barometer, dessen 
beide Schenkel gleiche Länge besitzen, dessen zugeschmolzener 
Schenkel ganz mit Quecksilber gefüllt ist, eine sogenannte 
Barometerprobe (Fig. 136). 

Die sehr kleinen Drucke, die mit der Quecksilberluft- 
pumpe zu erreichen sind, lassen sich natürlich nicht mit 
einem Manometer messen. Man bedient sich hier des folgenden 
Verfahrens. Durch passende Einstellung des Gefäßes B 
Fig. 135) sei das Quecksilber so weit gehoben, daß die Ver- 
bindung zwischen dem Rezipienten und zwischen dem Ge- 
fäß A bei F eben unterbrochen ist. Der Druck in dem 
Rezipienten ist dann noch derselbe wie in A. Das Volumen, 
welches unter diesen Umständen von der Luft in A und in 
den damit kommunizierenden Röhren eingenommen wird, sei V. Nun 
wird das Gefäß B gehoben, so daß das Quecksilber bis zu der Mündung 
der Kapillare steigt, welche A mit H verbindet. Die so herbeigeführte 
große Volumverminderung der eingeschlossenen Luft hat eine entsprechende 
Vermehrung ihres Druckes zur Folge; das Quecksilber in der Auslaß- 
röhre H wird dadurch herabgedrückt. Ziehen wir den vertikalen Höhen- 
unterschied der Quecksilberkuppen in H und in I von dem Barometer- 
stand ab, so erhalten wir den Druck p der eingeschlossenen Luft nach 



Fig. 136. 



1 Bessel-Hagen, Über eine neue Form der TöPLERschen Quecksilberluftpnmpe 

Wied. Ann. Bd. 12. 1881. p. 425. 



und einige mit ihr angestellte Versuche 



186 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase § 145 

der Verkleinerung ihres Volumens. Ist ferner das entsprechende Volumen 
der Kapillare von ihrer Mündung in das Gefäß A bis zu der Kuppe 
des Quecksilbers in H gleich v, so ist der ursprüngliche Druck der Luft 
in A gleich 

V 

P'-v 

Ebenso groß ist aber der Druck, bis zu dem die Verdünnung der 
Luft in A fortgeschritten ist. 

§ 145. Spezifisches Gewicht der Gase. Von den mannigfachen 
Versuchen, die man mit der Luftpumpe anzustellen pflegt, um die Wir- 
kungen des Luftdruckes oder die Eigenschaften der Luft zu demon- 
strieren, beschränken wir uns auf zwei von allgemeinerer Bedeutung. 
Wir haben früher das spezifische Gewicht der Luft gemessen nach einer 
Methode, die im wesentlichen auf dem Satz von den korrespondierenden 
Höhen beruhte. Die Luftpumpe bietet die Möglichkeit, auch die anderen 
bei den inkompressiblen Flüssigkeiten besprochenen Methoden zur An- 
wendung zu bringen. Ein Glasballon wird gewogen luftleer, mit Luft 
und mit Wasser gefüllt. Man erhält so das Gewicht gleicher Volumina 
von Luft und von Wasser und daraus das spezifische Gewicht der Luft. Die 
Methode ist natürlich ebenso anwendbar bei anderen Gasen. Betrachtet 
man das spezifische Gewicht der Luft als gegeben, so hat man dabei 
nicht nötig, den Ballon luftleer zu wägen, man kann ebensogut das 
Gewicht des mit Luft gefüllten Ballons bestimmen. Auf diese Weise 
ergibt sich bei einem Drucke von 76 cm Quecksilber für Wasserstoff ein 
spezifisches Gewicht von 0-0000895, für Chlor ein solches von 0-00317, 
für Kohlensäure von 0-00196. Die Angaben beziehen sich, ebenso wie 
die früher für Luft gemachte, auf eine Temperatur von 0° Celsius. 

Nach dem BoYLE-MAEiOTTEschen Gesetz ist der Quotient aus dem 
Druck und dem spezifischen Gewichte für jedes Gas eine konstante Zahl, 
die wir als virtuelle Druckhöhe bezeichnet haben. Da der Druck von 
76 cm Quecksilber 1033 g-Gewichten auf das Quadratzentimeter ent- 
spricht, so ist die virtuelle Druchhöhe des Wasserstoffes gleich 

-^jj- = 11540000 cm. 
0- 0000895 

Ebenso ergibt sich für Chlor eine virtuelle Druckhöhe von 326000 cm, 
für Kohlensäure eine solche von 527 000 cm. 

Da die Gase schwere Flüssigkeiten sind, so üben sie auf Körper, 
die in ihnen schweben, einen Auftrieb aus, der gleich dem Gewichte des 
verdrängten Gases ist. Man kann somit auch die auf der Anwendung 
des Archimedischen Prinzips beruhende Methode der spezifischen Ge- 
wichtsbestimmung bei den Gasen anwenden. An den einen Arm einer 
kleinen empfindlichen Wage, die unter den Rezipienten der Luft- 
pumpe gebracht werden kann, hängt man einen zugeschmolzenen Glas- 
ballon und legt auf die am andern Arm hängende Schale so viel Gewichte, 
daß die Wage in dem evakuierten Rezipienten im Gleichgewicht ist. 



§ 147 Statik der kompressibeln oder gasförmigen Flüssigkeiten 



187 



Wenn man nun den Rezipienten mit einem Gase füllt, so erleidet der 
Ballon einen Auftrieb gleich dem Gewicht des durch ihn verdrängten 
Gasvolumens. Hieraus und aus dem Gewichtsverlust in Wasser ergibt 
sich das spezifische Gewicht des Gases. 

Aus der Definition der virtuellen Druckhöhe folgt, daß die spezifischen 
Gewichte zweier Gase bei gleichem Drucke sich umgekehrt verhalten 
wie ihre virtuellen Druckhöhen. Hiernach ist das Verhältnis, welches 
zwischen dem spezifischen Gewicht eines Gases und dem spezifischen 
Gewichte der Luft bei gleichem Drucke besteht, eine von dem absoluten 
Werte des Druckes unabhängige Konstante; man bezeichnet sie als Gas- 
dichte. Ihre Werte für die obengenannten Gase sind bei: 

Luft 1-0000 

Wasserstoff 0-0695 
Kohlensäure 1-502 
Chlor 2-451 

Die Zahlen beziehen sich zunächst auf eine Temperatur von 
° Celsius. Betrachtungen, die wir der Wärmelehre vorbehalten müssen, 
zeigen aber, daß die Zahlen auch von der Temperatur unabhängig sind, 
sofern nur die Temperatur der Luft dieselbe ist, wie die des betreffen- 
den Gases. 

§ 146. Die Kompresssionspumpe. Jede Hahnluftpumpe 
kann in eine Kompressionspumpe, durch welche die Luft 
im Rezipienten verdichtet wird, verwandelt werden, wenn 
man das Spiel des Hahnes umkehrt. Beim Rückgang 




des Kolbens wird er so gestellt, daß der Stiefel mit der 
atmosphärischen Luft kommuniziert; ist der Kolben zu- 
rückgezogen, so wird die Verbindung mit dem Rezipienten 
hergestellt und die in dem Stiefel enthaltene Luft in den 
Rezipienten hineingepreßt. An Stelle von Teller und 
Glocke, die fest zusammengepreßt werden müßten, um 
das Entweichen der verdichteten Luft zu verhindern, 
benützt man als Rezipienten eine mit dem Pumpenstiefel 
luftdicht verschraubte Flasche. Der Hahn kann dann 
ersetzt werden durch ein in ihren Boden eingesetztes 
Ventil, das sich nach ihrem Innern öffnet (Fig. 137). Um 
den Raum des Punipenstiefels bei jedem Rückgange des 
Kolbens von neuem mit atmosphärischer Luft zu füllen, 
setzt man in die Wand des Zylinders eine kleine, nach 
außen offene Röhre ein, durch welche die Luft einströmt, 
sobald der Kolben über sie zurückgegangen ist. Eine 
solche Pumpe kann natürlich ebenso zur Kompression 
irgend eines anderen Gases gebraucht werden, wenn 
strömungs Öffnung mit dem Gasometer verbindet. 

§ 147. Der Luftballon. Die im vorhergehenden betrachteten 
setze finden eine interessante Anwendung auf die 



Fig. 137. 
man die Ein- 



Ge- 



Gleichgewichtstheorie 



188 



Mechanik der Flüssigkeiten und Oase 



§ 14- 



eines Luftballons. Dieser bildet für die Erforschung der Atmosphäre 
ein Hilfsmittel, dessen Wert mehr und mehr hervortritt, und es scheint 
daher nicht überflüssig, die Bedingungen für sein Schweben im Luft- 
meere kurz zu untersuchen. Wir betrachten einen Ballon von der ge- 
wöhnlichen kugelförmigen Gestalt; wir nehmen an, daß der Druck des 
in dem Ballon enthaltenen Gases stets gleich dem äußeren Luftdrucke 
sei. Beim Auflassen wird der Ballon mit einem leichteren Gase, z. B. 
mit Wasserstoff, nur teilweise gefüllt. Wenn er in die Höhe steigt, so 
nimmt mit dem Luftdrucke auch der Druck des Gases ab; umgekehrt 
muß sein Volumen zunehmen und das sich ausdehnende Gas wird den 
Ballon mehr und mehr aufblähen, bis er die kugelförmige Gestalt er- 
reicht. 

Für die theoretische Betrachtung wird es zweckmäßig sein, wenn 
wir die Form und den inneren Baumgehalt des Ballons als unveränder- 
lich betrachten. Wir nehmen dann an, 
daß der Ballon zu Anfang in seinem oberen 
Teile bis zu der Linie AB (Fig. 138) mit 
Wasserstoff, in seinem unteren Teile mit 
Luft gefüllt sei. Der Auftrieb, den die 
äußere Luft auf den unteren Teil L des 
Ballons ausübt, wird durch das Gewicht 
der im Ballon enthaltenen Luft kompen- 
siert. Es kommt also nur der auf den 
oberen, mit Wasserstoff gefüllten Teil 
wirkende Auftrieb in Betracht. Bezeich- 
nen wir durch W das Gewicht des in dem 
Ballon enthaltenen Wasserstoffes, durch a, 
sein spezifisches Gewicht, so ist das von 
dem Wasserstoff eingenommene Volumen 
gleich W\g\ ist X das spezifische Gewicht der Luft, so ist das Gewicht 
der von dem Wasserstoff verdrängten Luft gleich l W\a. Subtrahieren 




Fig. 138. 



wir hiervon das Gewicht des in dem Ballon enthaltenen Wasserstoffes, 
so ergibt sich als Größe des wirksamen Auftriebes: 



W 



- 1 



Nun ist g\'l nach § 145 eine von Druck und von Temperatur un- 
abhängige Konstante; der auf den Ballon wirkende Auftrieb ist somit 
nur abhängig von dem Gewichte des in ihm enthaltenen Wasserstoffes 
einerlei ob dieser einen größeren oder geringeren Teil des inneren Raumes, 
oder ob er diesen ganz ausfüllt; einerlei, welches Druck und Temperatur 
der äußeren Luft sind. Bei gegebenen Verhältnissen läßt sich hiernach 
der auf den Ballon wirkende Auftrieb leicht ausrechnen. Der Durch- 
messer des Ballons betrage 10 m; er sei zu Anfang bei einer Temperatur 
von Null Grad und bei normalem Luftdruck bis zu 2 / 3 seines Volumens 
mit Wasserstoff gefüllt. Das Volumen des letzteren beträgt dann 



§ 147 Statik der kompressibeln oder gasförmigen Flüssigkeiten 189 

349 100 cdzm, sein Gewicht mit Benützung der in § 145 angegebenen 
Zahl 31 -24 kg. Für X/a ergibt sich aus der in demselben Paragraphen 
angeführten Gasdichte der Wert 14-39. Hiermit wird der wirksame 
Auftrieb für den betrachteten Ballon gleich 418 kg. Dieser Auftrieb 
bleibt in jeder Höhenlage des Ballons derselbe, solange nur das in ihm 
enthaltene Wasserstoffgewicht W unverändert bleibt. Wenn also das 
Gewicht G des Ballons selbst samt dem von ihm getragenen Korbe 
kleiner ist als 418 kg, so steigt der Ballon; benützen wir die allgemeinen 
zu Anfang eingeführten Symbole, so ergibt sich für die Kraft, welche 
den Ballon nach oben treibt, der Ausdruck: 

Sie bleibt dieselbe, solange das Gewicht W des in dem Ballon 
enthaltenen Wasserstoffes unverändert bleibt. Der Ballon steigt also 
zunächst mit konstanter Kraft; je höher er kommt, um so geringer wird 
der Druck der Luft; der im Ballon enthaltene Wasserstoff dehnt sich 
aus, und verdrängt mehr und mehr die Luft, die zu Anfang den unteren 
Raum des Ballons erfüllte. Schließlich wird die Luft ganz verdrängt, 
das Wasserstoffgewicht W erfüllt das ganze Innere des Ballons. Bis 
zu diesem Augenblick behält die nach oben gerichtete Kraft den an- 
gegebenen Wert. Wenn aber der Ballon weiter steigt, so entweicht 
Wasserstoff, das Gewicht W wird kleiner, die treibende Kraft nimmt ab 
und wird schließlich zu Null, wenn eine hinreichende Menge von Wasser- 
stoff entwichen ist. Will man nun noch weiter steigen, so muß man 
das Gewicht des Ballons vermindern, indem man Ballast auswirft. Das 
weitere Steigen ist aber mit weiterem Verluste von Wasserstoff ver- 
bunden, und nach einiger Zeit wird abermals Gleichheit zwischen Auf- 
trieb und Ballongewicht erreicht sein; der Ballon wird nun in der 
erreichten Höhe im Gleichgewicht schweben. Man bemerkt aber, daß 
dieses Gleichgewicht einen labilen Charakter besitzt. Denn wenn jetzt 
durch irgend welche Umstände ein neuer Verlust von Wasserstoff ein- 
tritt, wird der Auftrieb kleiner als das Gewicht des Ballons; der Ballon 
wird mit einer konstanten Kraft nach unten getrieben und ins Fallen 
geraten. Ist W das Gewicht des noch in dem Ballon verhandenen 
Wasserstoffes, so ist die nach unten treibende konstante Kraft: 

G - W'l- - 1 
\ ff 

Sie kann nur dadurch verringert oder aufgehoben werden, daß man 

das Ballongewicht G von neuem verkleinert. 



Zweiter Abschnitt. 
Dynamik der Flüssigkeiten und Gase. 

Erstes Kapitel. Strömungen und Wirbel. 

§ 148. Bewegungen idealer Flüssigkeiten. In dem vorhergehenden 
Abschnitt haben wir die Gleichgewichtserscheinungen der Flüssigkeiten 
und Gase entsprechend ihrer augenfälligen Verschiedenheit gesondert 
behandelt. Dagegen zeigen die Bewegungserscheinungen der inkom- 
pressibeln und der kompressibeln Flüssigkeiten, insbesondere die im 
folgenden zu besprechenden, eine so große Übereinstimmung, daß eine 
Teilung des Stoffes nach der Art der betrachteten Flüssigkeit durchaus 
verkehrt wäre. Das durchgreifende Prinzip der Teilung wird hierdurch 
die Art der Bewegung gegeben. 

Aus der leichten Verschiebbarkeit, welche die Teilchen einer Flüssig- 
keit gegeneinander besitzen, folgt, daß ihre Bewegungen viel mannig- 
fältiger sind, als die der starren Körper. Wenn ein starrer Körper 
nicht rotiert und keine Kräfte auf ihn wirken, so ist er nur einer ein- 
zigen Bewegung fähig, einer Verschiebung in gerader Linie mit kon- 
stanter Geschwindigkeit. Eine Flüssigkeit dagegen, auf die keine Kräfte 
wirken und die keine Rotationsbewegung besitzt, kann noch unendlich 
verschiedene Bewegungen ausführen. Ihre Mannigfaltigkeit ist nur be- 
schränkt durch den zwischen Dichte und Druck bestehenden Zusammen- 
hang, d. h. durch die Inkompressibilität bei den Flüssigkeiten im engeren 
Sinn, durch das BoYLE-MAEiOTTEsche Gesetz bei den Gasen. 

Wir betrachten in den nächstfolgenden Paragraphen Bewegungen 
einer Flüssigkeit, auf die keine Kräfte wirken. Man könnte ver- 
muten, daß das Studium solcher Bewegungen kein praktisches Interesse 
besitze, weil alle Bewegungen, die wir in Flüssen, Kanälen, Röhren vor 
sich gehen sehen, zu ihrer Erhaltung einer äußeren Kraft bedürfen, sei 
es der auf die Teilchen der Flüssigkeit wirkenden Schwere, sei es eines 
auf ihre Oberfläche ausgeübten äußeren Druckes. Nun verhalten sich 
aber, jene Bewegungen doch in vielen Fällen so, als ob keine Kraft auf 
die Flüssigkeiten wirkte. In einem Kanäle, der von parallelen Wänden 
begrenzt und nur wenig geneigt ist, fließen die Wasserteilchen mit un- 
veränderter Geschwindigkeit dahin, ebenso in einer Röhre von gleich- 
förmigem Querschnitt, wenn zwischen ihrem Anfang und ihrem Ende eine 
konstante Druckdifferenz herrscht. Dies ist nur dadurch zu erklären, daß die 
Flüssigkeitsteilchen einer zweiten Wirkung unterliegen, durch welche die 
beschleunigende Wirkung der äußeren Kraft aufgehoben wird. Eine solche 



§ 149 Strömungen und Wirbel 191 

ist gegeben durch die Reibung, welche die Teilchen einer jeden realen 
Flüssigkeit bei ihrer Bewegung gegeneinander und gegen die begrenzende 
Wand erleiden. Eine Flüssigkeit, wie wir sie im folgenden betrachten, 
die keine innere Reibung besitzt, die also, ohne daß eine Kraft auf sie 
wirkt, eine einmal empfangene Bewegung lediglich vermöge ihrer Trägheit 
unendlich lange fortsetzt, stellt also einen idealen Fall dar, von dem die 
Flüssigkeiten, die wir in der Natur beobachten, in bestimmter Weise unter- 
schieden sind. Nehmen wir aber bei den vorher benützten Beispielen 
an, daß die Widerstände der Reibung der Schwere oder dem äußeren 
Druck gerade das Gleichgewicht halten, so wird die Flüssigkeit sich 
im wesentlichen so verhalten, als ob keine Kräfte auf sie wirkten. Die 
Bewegung wird dann wenigstens im allgemeinen nach den für eine 
reibungslose, ideale Flüssigkeit geltenden Gesetzen sich vollziehen, deren 
Teilchen äußeren Kräften nicht unterworfen sind. Immerhin muß man 
bei der Übertragung dieser Gesetze auf reale Flüssigkeiten mit einer 
gewissen Vorsicht verfahren; wir werden später sehen, daß die Teilchen 
einer reibenden Flüssigkeit, die unmittelbar an der begrenzenden Wand 
sich befinden, an dieser haften, sich also überhaupt nicht bewegen. In- 
folge der zwischen ihnen und den benachbarten Flüssigkeitsteilchen vor- 
handenen Reibung wird auch die Bewegung dieser mehr oder weniger 
gehemmt. Die ideale, reibungslose Flüssigkeit dagegen kann längs der 
Wand mit jeder beliebigen Geschwindigkeit strömen. Hieraus folgt, daß 
Übereinstimmung zwischen den Bewegungen einer idealen Flüssigkeit 
und der wirklichen Strömung in Flüssen, Kanälen, Röhren jedenfalls nur 
in einem gewissen Abstände von den Wänden möglich ist, ein Umstand, 
der nicht übersehen werden darf, wenn man die bei einer idealen Flüssig- 
keit möglichen Bewegungen mit den Bewegungen vergleichen will, die 
man bei realen Flüssigkeiten beobachtet. 

§ 149. Strömung. Wenn eine Flüssigkeit sich so bewegt, daß 
die Geschwindigkeit an jeder bestimmten Stelle der Richtung und Größe 
noch konstant bleibt, so nennt man dies eine stationäre Strömung; 
alle Teilchen der Flüssigkeit, die nacheinander dieselbe Stelle passieren, 
gehen mit gleicher Richtung und gleicher Geschwindigkeit durch sie 
hindurch. Daraus folgt, daß die Flüssigkeit in ganz bestimmten Linien, 
den Strömungslinien, sich bewegt, die wir durch Beobachtung be- 
stimmen können, wenn wir die Bahnen verfolgen, die von leichten, in 
der Flüssigkeit suspendierten Körperchen durchlaufen werden. Eine 
Fläche, welche, senkrecht zu den Strömungslinien, den Kanal durch- 
schneidet, wollen wir als einen Querschnitt des Stromes bezeichnen. 
Wenn wir in einem solchen Querschnitt ein kleines Flächenstück abgrenzen, 
so schließen die durch seinen Rand hindurchgehenden Strömungslinien 
eine Röhre ein, in der die Flüssigkeit strömt, gerade so, wie wenn ihre 
Wände undurchdringlich wären; wir nennen die in einer solchen Röhre 
sich bewegende Flüssigkeit einen Stromfaden. Wenn die Dichte der 
Flüssigkeit dieselbe bleibt, so wollen wir unter Stromstärke in einem 



192 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



§ 149 



solchen Faden das Volumen verstehen, das in einer Sekunde durch seinen 
Querschnitt fließt. Es ist klar, daß bei jeder stationären Bewegung die 
Stromstärke in einem Faden allenthalben konstant sein muß. ISTun ist 
aber die Stromstärke gleich dem Produkt aus Querschnitt und Geschwin- 
digkeit. Wir erhalten somit den Satz: 

Im Falle der stationären Bewegung einer Flüssigkeit von 
konstanter Dichte verhalten sich an den verschiedenen Stellen 
eines Stromfadens die Geschwindigkeiten umgekehrt wie seine 
Querschnitte. 

Wir betrachten den Fall eines von parallelen Wänden begrenzten, sehr 
langen Kanales, der in der Mitte eine Erweiterung besitzt. Solange die 
Flüssigkeit zwischen parallelen Wänden sich bewegt, sind die Strömungs- 
linien parallele Gerade, die Strömungsgeschwindigkeit ist überall dieselbe. 
Wenn die Flüssigkeit dem weiteren Becken sich nähert, so divergieren 
die Strömungslinien in der durch Fig. 139 angedeuteten Weise. An der 




Fig. 139. Strömung. 

Stelle A B teilen wir den ebenen Querschnitt des Kanales in gleich große 
Flächenstücke vom Inhalt w; in den durch sie bestimmten Stromfäden 
ist dann auch die Stromstärke, das in einer Sekunde durch co gehende 
Flüssigkeitsvolumen, gleich groß, nämlich bei allen gleich co c, wenn wir 
durch g die konstante Stromgeschwindigkeit in dem geraden Teile des 
Kanales bezeichnen. Gehen wir nun über zu dem mittleren Querschnitt 
CD des erweiterten Beckens; die Figur läßt erkennen, daß der Strom- 
faden, der unmittelbar an der Achse des ganzen Kanales liegt, einen 
kleineren Querschnitt besitzt, als ein weiter nach außen liegender. Sind 
q und q die beiden Querschnitte; v und v' die Geschwindigkeiten, so 
ist vq = v' q = cco. Wir legen nun einen Querschnitt CD' durch den 
Kanal, der dem Querschnitt CD benachbart ist. Zwischen den beiden 
Querschnitten liegen dann Stücke der durch q und q gehenden Strom- 
fäden, deren Höhen durch d und d' bezeichnet werden mögen. Man 
sieht dann, daß dem kleineren Querschnitt auch die kleinere Höhe 
entspricht; die genauere Untersuchung zeigt, daß die Proportion erfüllt 



§ 151 Strömungen und Wirbel 193 



ist: q:q'=d:d', und in dem Bestehen dieser Beziehung haben wir die Eigen- 
schaft zu erblicken, durchweiche die strömende Bewegung einer Flüssig- 
keit wesentlich charakterisiert wird. Nun verhalten sich aber die Strö- 
mungsgeschwindigkeiten in den Querschnitten q und q' umgekehrt wie diese 
Querschnitte, also auch umgekehrt wie die Höhen. Man hat somit den Satz : 

In dem von zwei Querschnitten des Stromes begrenzten 
Räume verhalten sich die Geschwindigkeiten an verschiedenen 
Stellen umgekehrt wie die Abstände der Querschnitte. 

Dieser Satz gibt mit dem vorhergehenden zusammen einen voll- 
ständigen Überblick über die Geschwindigkeitsverhältnisse der Strömung. 

§ 150. Zirkulation. In einer Flüssigkeitsmasse, die nichts nach 
außen abgibt und keine Zufuhr nach außen empfängt, müssen die Strom- 
fäden alle in sich zurücklaufen. Wir wollen eine solche Strömung einer 
Flüssigkeit eine Zirkulation nennen. Eine, wenn auch nicht ganz 
reine, Anschauung von dem Vorgang gewährt die Bewegung des Wassers 
in einem Becherglase, das unten in der Mitte erwärmt wird. Man sieht, 
wie die Flüssigkeit in der Mitte aufsteigt, wie sie sich oben ausbreitet 
und an den Wänden des Glases herabsinkend zur Mitte zurückkehrt. 
Die großartigsten Zirkulationen vollziehen sich in der Atmosphäre der 
Erde; der Austausch der warmen und kalten Luftmassen des Äquators 
und der Pole beruht auf einer Zirkulation.; die parallel zu der Erdober- 
fläche übereinander liegenden Teile der Strömung, welche entgegengesetzte 
Richtungen haben, sind bekannt als unterer und oberer Passatwind. 

§ 151. Wirbelbewegung. Wenn wir ein zylindrisches Gefäß mit 
einer Flüssigkeit auf die Zentrifugalmaschine setzen und um die Achse 
des Zylinders rotieren lassen, so wird nach 
einiger Zeit die Flüssigkeit mit dem Gefäße 
rotieren, wie wenn beide zusammen einen 
starren Körper bildeten. Wir können leicht 
zeigen, daß diese Rotation der Flüssigkeit 
von der im vorhergehenden betrachteten Strö- 
mung ganz wesentlich verschieden ist. Zu- 
nächst sind die Strömungslinien der Flüssig- 
keit Kreise, deren Achse mit der Zylinder- 
achse zusammenfällt (Fig. 140). Legen wir eine 
Ebene durch die letztere, so schneidet sie die 
Strömungslinien senkrecht, sie würde also dem 
entsprechen, was wir früher Querschnitt der 

Strömung nannten. Nun legen wir durch die 

a i_ • • i i ii . m ,, i Fl g- 14 °- Rotation. 

Achse zwei einander benachbarte Ebenen M und 

M'\ sie schließen miteinander den Winkel w ein, der gleich der Winkel- 
geschwindigkeit der Zentrifugalmaschine sein möge. Da die Bewegung 
der Flüssigkeit in einer einfachen Rotation um die Achse besteht, so 
müssen alle Teilchen, die sich zu einer bestimmten Zeit in einer Ebene M 
befinden, nach einer Sekunde in die Ebene M' gelangt sein. Nehmen 

Eiecke, Physik I. Dritte Aufl. 13 




194 Mechanik der Flüssigkeiten und Oase § 151 

wir zwei Teilchen in den Entfernungen r und r x von der Achse, so sind 
ihre linearen Geschwindigkeiten gleich w r und w r x ; ebenso groß aber 
sind die Abstände der Querschnitte M und M '. Während also bei der 
Strömung einer Flüssigkeit die Geschwindigkeiten in dem Räume zwischen 
zwei Querschnitten ihren Abständen umgekehrt proportional sind, stehen 
bei der Rotation die Geschwindigkeiten in dem gleichen Verhältnis wie 
jene Abstände. Damit ist offenbar ein fundamentaler Unterschied 
der beiden Bewegungsarten gegeben. 

Rotationsbewegungen sind nun auch im Innern ausgedehnter Flüssig- 
keitsmassen möglich; so oft solche auftreten, spricht man von Wirbel- 
bewegungen in der Flüssigkeit. Für uns ist von besonderem Interesse 
der spezielle Fall, daß die Rotation auf abgegrenzte Teile der Flüssig- 
keit von der Form dünner Röhren mit zunächst gleichförmigem Quer- 
schnitt beschränkt ist. Wir bezeichnen dann den in Rotationsbewegung 
begriffenen Teil der Flüssigkeit als einen Wirbel. Die Achse, um welche 
die Teilchen alle mit derselben Winkelgeschwindigkeit rotieren, nennen wir 
Wirbelachse. Der Wirbel selbst wird von der die Achse umgebenden 
Röhre eingehüllt. Wir setzen voraus, daß ihr Querschnitt klein sei gegen 
ihre Länge und sprechen mit Bezug hierauf von einem Wirbel faden. 
Die Wirbelachse braucht keineswegs eine gerade Linie zu sein, sie kann 
jede beliebige Form haben; immer werden die Flüssigkeitsteilchen relativ 
zu ihr in Kreisen sich bewegen, deren Ebene in einem Querschnitt des 
Wirbelfadens, deren Mittelpunkt in der Achse liegt. Wenn die Achse des 
Wirbels selber in Bewegung ist, so werden die Kreisbahnen der rotierenden 
Flüssigkeitsteilchen von der Achse mitgeführt, wie wenn sie fest mit ihr 
verbunden wären, der ganze Wirbelfaden schwimmt wie ein biegsamer 
Schlauch in der Flüssigkeit fort, ohne daß die in ihm enthaltenen Teilchen 
sich irgendwie mit den anderen vermischen. Im Innern einer Flüssigkeit 
kann ein Wirbelfaden offenbar nicht aufhören, da sonst die Kontinuität 
der Bewegung zerstört würde. Die Wirbelachse muß somit entweder in 
sich selbst zurückkehren, oder an den die Flüssigkeit begrenzenden 
Wänden endigen. Der Querschnitt eines Wirbelfadens kann sich mit der 
Zeit ändern, er kann auch räumlich, von einer Stelle der Achse zur andern, 
wechseln, immer ändert sich dann auch die Rotationsgeschwindigkeit, so 
daß das Produkt aus dem Querschnitt q und der Winkelgeschwindigkeit w 
dasselbe bleibt. Das Produkt qw stellt also eine unveränderliche 
und unzerstörbare Eigenschaft des Wirbels dar. 

Betrachten wir die Flüssigkeit, die außerhalb des Wirbelfadens sich 
befindet, so kann auch diese nicht in Ruhe sein; die an den Wirbel- 
faden unmittelbar angrenzenden Teilchen werden in eine zirkulierende 
Bewegung versetzt und übertragen diese auch auf die entfernteren. Die 
so in der Flüssigkeit außerhalb des Wirbeifadens entstehende Bewegung 
folgt den in § 149 angegebenen Gesetzen der Strömung, sie hat den 
Charakter einer Zirkulation, bei der die Geschwindigkeit mit der Ent- 
fernung von dem Faden immer kleiner wird. 



§152 



Strömungen und Wirbel 



195 



§ 152 Geradlinige Wirbelfäden und Wirbelringe. Wir werden im 
folgenden die Eigentümlichkeiten der Wirbelbewegung an ein paar spe- 
ziellen Beispielen noch etwas genauer studieren. In einer idealen Flüssig- 
keit, die wir uns durch zwei 
horizontale Ebenen be- 
grenzt denken können, seien 
zwei parallele vertikale 
Wirbelfäden von kreis- 
förmigem Querschnitt ge- 
geben. Die Strömungslinien 
sind dann notwendig hori- 
zontal und in allen Horizon- 
talebenen dieselben. Unsere 
Zeichnung (Fig. 141) stellt 
die Verhältnisse in irgend 
einer durch die Flüssigkeit 

gelegten Horizontalebene 
dar; die Kreise A und B 
sind die Querschnitte der 
Wirbelfäden; die Rotations- 
richtungen seien einander 
entgegengesetzt und werden 
durch die eingezeichneten 
Pfeile gegeben. Man sieht 
nun, daß jeder Wirbelfaden 
den anderen in einer Rich- 
tung fortzutreiben sucht, die 
übereinstimmt mit der Rich- 
tung, in der sich die Flüssig- 
keitsteilchen auf seiner in- 
neren Seite bewegen. Die 
Folge dieser von den Wirbeln 
wechselseitig aufeinander 
ausgeübten Impulse ist eine 
gleichmäßig fortschreitende 
Bewegung beider Wirbel 
senkrecht zu der sie ver- 
bindenden Ebene. Durch 
die eigene Bewegung der 
Wirbel wird nun die Zir- 
kulation, die ein feststehen- 
der Wirbel in der ganzen 

umgebenden Flüssigkeit erregen würde, in sehr eigentümlicher Weise 
verändert. Um die beiden geraden Wirbelfäden herum grenzt sich 
ein vertikaler Zylinder ab von ovalem Querschnitt, der sich mit den 

13* 




Fig. 141. Zwei geradlinige, parallele Wirbel. 



196 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



§152 



Wirbelfäden weiterbewegt und sie immer in derselben Weise umgibt. 
Innerhalb dieses Zylinders zirkuliert die Flüssigkeit um die beiden 
Wirbelfäden in den aus der Figur ersichtlichen Strömungslinien, so daß 
der Zylinder immer von denselben Flüssigkeitsteilchen erfüllt bleibt. 
Da auch seine Mantelfläche eine unveränderte Gestalt bewahrt, so ver- 
hält sich der Zylinder mit der in ihm zirkulierenden Flüssigkeit gerade 
wie ein starrer Körper, der sich mit gleicbmäßiger Geschwindigkeit 
durch die übrige, im ganzen ruhende Flüssigkeit bewegt; wir bezeichnen 
diesen, um die Wirbelfäden zirkulierenden und mit ihnen fortschreiten- 
den Teil der ganzen Flüssigkeit als den Wirbelkörper. Betrachten 
wir nun ein Teilchen der Flüssigkeit, das seitwärts von dem Wirbel, 
etwa an der Stelle S, sich befindet. Wenn der Wirbelkörper dem be- 
trachteten Teilchen sich nähert, so wird er zuerst nach vorn und außen 
gedrängt, bewegt sich nachher wieder rückwärts, während die seitliche 
Bewegung noch andauert; in dem Moment, in dem die Achsenebene der 
beiden Wirbelfäden durch das Teilchen geht, hat es seine größte seitliche 

Abweichung in dem Punkte T erreicht; wenn 
der Wirbelkörper weitergeht, so bewegt 
es sich auf einer zu der bisherigen sym- 
metrischen Kurve und kommt in dem 
Punkte U zur Kühe, wenn der Wirbel- 
körper in großer Ferne verschwunden ist. 
Die Zirkulationsbewegung in dem 
Wirbelkörper gibt noch zu einer Be- 
merkung Veranlassung, die mit Rück- 
sicht auf gewisse Beobachtungen von In- 
teresse ist. Wir betrachten die Flüssig- 
keitsteilchen, die sich in einem bestimm- 
ten Augenblicke zwischen den beiden 
Wirbelfäden auf der geraden Linie A B 
befinden. Bei der Zirkulation bewegen 
sie sich auf den zugehörigen Strömungs- 
linien mit verschieden großen Geschwin- 
digkeiten in der Richtung, in welcher 
der Wirbelkörper selbst fortschreitet. Für 
einige der Strömungslinien sind die 
Punkte markiert, in welche die zu An- 
fang auf der Linie AB liegenden Teil- 
chen nach 1, 2, 3, 4 und 5 Sekunden 
gelangen. Denken wir uns eine dünne 
Flüssigkeitslamelle zu Anfang in der 
Ebene der Wirbelfäden A B ausgespannt, 
so wird diese durch die verschiedene 
Geschwindigkeit der Strömung rasch deformiert; ihre Mitte baucht 
sich immer weiter aus, während ihre Ränder spiralig um die Wirbel- 




Fig. 142. 



§ 152 



Strömungen und Wirbel 



197 



fäden herum aufgewunden werden, wie dies durch Fig. 142 anschaulich 
gemacht wird. 1 

Der Fall geradliniger Wirbelfäden ist von besonderer Bedeutung, 
weil bei ihm die Berechnung der Bewegung nach den allgemeinen Prinzipien 
der Mechanik vollständig durchgeführt werden kann. Der Beobachtung 
dagegen sind Wirbelfäden mit kreisförmigen, überhaupt gekrümmten 
Achsen leichter zugänglich. Wirbel in der Luft 
mit in sich zurücklaufender kreisförmiger Achse 
sind z. B. Rauchringe, die durch eine kreisförmige 
Öffnung erzeugt werden; Wirbel in einer in- 
kompressiblen Flüssigkeit, bei denen zwei Punkte 
der Oberfläche durch eine gekrümmte Achse ver- 
bunden sind, erhält man, wenn man ein Ruder 
durch die Oberfläche des Wassers, oder wenn man 
eine halbkreisförmige Scheibe, den unteren Rand 
eines Löffels eine kurze Strecke längs der Ober- 
fläche einer Flüssigkeit führt und dann schnell 
herauszieht. 

Wirbelringe mit kreisförmiger Achse 
kann man in einer inkompressiblen Flüssigkeit 
mit dem folgenden Apparate erzeugen (Fig. 143). 
In den Boden eines zylindrischen Glasgefäßes 
ist zentral eine Röhre eingesetzt, die mit 
einem Hahn Q versehen und durch ein horizon- 
tales Verbindungsstück mit dem vertikalen Druck- 
rohre G G' verbunden ist. Der Zylinder wird 
mit reinem Wasser, das Steigrohr bis zu dem 
Hahne mit gefärbtem Wasser so hoch gefüllt, 
daß in ihm ein gewisser Überdruck vorhanden 
ist. Öffnet man für einen Moment den Hahn, 
so tritt eine kleine Menge von gefärbtem Wasser 



aus 



der 



Mündung 



der Röhre stoßartis; aus. 



Es bildet sich rings um den Rand der Öffnung 
ein Wirbelfaden, der sich in ähnlicher Weise, 
wie dies bei zwei parallelen Wirbelfäden der 
Fall ist, mit einem Wirbelkörper umgibt und 
mit diesem zusammen in dem Zylinder sich er- 
hebt. In dem Wirbelkörper zirkuliert die Flüs- 
sigkeit um den Wirbelfaden, und dies hat eine 

Erscheinung zur Folge, die im wesentlichen mit der durch die Figur 142 
dargestellten übereinstimmt. Die gefärbte Flüssigkeit tritt aus der Öff- 
nung zuerst in der Form einer flachen Scheibe. Durch die Zirkulation 




Wirbelapparat. 



1 Riegke, Beiträge zur Hydrodynamik. Göttinger Nachr. 1888. Nr. 13. Wied. 
Annal. Bd. 36. 1889. p. 322. 



198 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



§ 152 



wird diese in der Mitte ausgestülpt, so daß sie dem Hute eines Pilzes 
ähnlich wird; die Ränder aher werden um den Wirbelfaden herum auf- 
gewunden, so daß in einem Meridianschnitte eine den Querschnitt des 
AVirbelfadens umziehende farbige Spirale entsteht, deren Windungen durch 
die ungefärbte Flüssigkeit voneinander getrennt sind (Fig. 144). 1 Natür- 
lich führt die immer weitergehende Windung der Spiralen zu einer 
raschen Vermischung der gefärbten und der ungefärbten Flüssigkeit. In 
dieser Weise tragen auch die Wirbel, welche beim Zusammenrühren 
verschiedener Flüssigkeiten entstehen, zu ihrer Mischung bei. 

Zwei einander diametral gegenüberliegende Teile eines kreisförmigen 
Wirbelfadens verhalten sich zueinander ebenso, wie zwei parallele 

geradlinige Wirbelfäden von entgegengesetzter Ro- 
tationsrichtung; daraus folgt, daß jeder kreisförmige 
Wirbelfaden in der Richtung fortschreitet, in der 
die Flüssigkeitsteilchen auf seiner inneren Seite sich 
bewegen. — Wenn zwei kreisförmige Wirbel- 
fäden mit gemeinsamer Figurenachse im selben Sinne 
rotieren (Fig. 145), so schreiten sie auch in dem- 
selben Sinne längs der Figurenachse fort; der hintere 
wird dabei durch den von ihm ausgehenden An- 




wwtjrrtwiwrM. 




T 






Fig. 144. 



Fig. 145. 



trieb Q den vorderen erweitern, der vordere den hinteren durch den An- 
trieb P verengern; zugleich nimmt die Translationsgeschwindigkeit des 
vorderen ab, die des hinteren zu. So kommt es, daß der hintere Ring 
den vorderen einholt und durch seine Öffnung hindurchschlüpft, worauf 
dann dasselbe Spiel mit umgekehrten Rollen sich wiederholt; so können 
dieselben Ringe immer von neuem durcheinander hindurchschlüpfen. 2 



1 Eeüsch, Über gewisse Strömungsgebilde im Innern von Flüssigkeiten und 
deren morphologische Bedeutung. Tübingen 1860. 

2 Helmholtz, Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den 
Wirbelbewegungen entsprechen. 1858. Wissensch. Abh. I. Bd. p. 101. 



§152 



Strömungen und Wirbel 



199 



Wenn die beiden kreisförmigen Wirbelfäden bei gemeinsamer 
Figurenachse in entgegengesetztem Sinne rotieren, wie in Figur 146, so 
daß sie sich einander 



Q* 





-E- 



-£' 





nähern, so erweitern sie 
sich gegenseitig durch 
die Antriebe P und Q, 
und zugleich nimmt ihre 
Geschwindigkeit immer 
mehr ab. Umgekehrt, 
wenn sie sich vonein- 
ander entfernen, wie in 
Figur 147, so verengern 
sie sich wechselseitig, 
und ihre Geschwindigkeit 
nimmt zu. 

In den beiden letzten 
Fällen haben die in der 
Symmetrieebene EE' der 
Wirbelfäden liegenden 
Flüssigkeitsteilchen keine 

Geschwindigkeit senk- 
recht zu dieser Ebene; 

man kann daher an ihrer Stelle eine feste Wand in die Flüssigkeit 
einsetzen, ohne daß dadurch in der Bewegung irgend etwas geändert 
wird. So erhalten wir 
die Bewegung eines kreis- 
förmigen Wirbelfadens 
in einer durch eine ebene, 
ihm parallele Wand be- 
grenzten Flüssigkeit. 
Nehmen wir an, die Flüs- 
sigkeit erhebe sich über 
einer horizontalen Grund- 
fläche; wenn der gleich- 
falls horizontale Wirbel- 



Fig. 146. 









v 



V 



£• 



ring so rotiert, daß die 
infolge der Zirkulation 
durch ihn strömende Flüs- 
sigkeit aufsteigt, so geht 
der Ring, entsprechend 
Figur 147, selbst mit zu- 
nehmender Geschwindig- 
keit in die Höhe und 

wird enger. Wenn umgekehrt die zirkulierende Flüssigkeit durch den 
Ring hindurch nach dem Boden absteigt, so hewegt sich der Ring wie 



— £' 



Fig. 147. 



200 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



§153 



in Figur 146 mit abnehmender Geschwindigkeit nach unten und wird 
weiter. 

Auch in dem Fall zweier paralleler, geradliniger und entgegen- 
gesetzt rotierender Wirbelfäden (Fig. 141) kann man die Mittelebene 
als eine feste Wand einführen, ohne die Bewegung zu ändern. Ein zu 
der horizontalen Grundfläche einer Flüssigkeit paralleler W 7 irbelfaden 
schreitet also parallel der Grundfläche fort, in der Richtung, in der 
sich die Flüssigkeitsteilchen seiner unteren Seite bewegen. 

§ 153. Druck in einer bewegten Flüssigkeit. Verfolgen wir einen 
bestimmten Stromfaden in einer stationär sich bewegenden Flüssigkeit, so 
wird nach § 149 die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen größer, wenn 
sie von einem größeren Querschnitt zu einem kleineren fließen. Es muß 
also eine Kraft vorhanden sein, welche die Beschleunigung hervorbringt. 
Da wir von äußeren Kräften absehen, so kann diese nur daher rühren, daß 
in dem weiteren Querschnitt, also bei der kleineren Geschwindigkeit, der 
Druck der Flüssigkeit größer ist, als in dem engeren Querschnitt bei 
größerer Geschwindigkeit. Nach dem Energieprinzip muß die Zunahme 
der lebendigen Kraft gleich der Arbeit sein, die von der Druckkraft 
an der bewegten Flüssigkeit geleistet wird. Es mögen nun die Linien F 
und der Figur 148 die Grenzen eines Stromfadens im Inneren der 



P 



Do D f Az / 


; 






1 








< 


c z c 


^ 5 


7 



p 



Fig. 148. 

Flüssigkeit repräsentieren. Im stationären Zustande ändert sich die 
Verteilung der Geschwindigkeiten und der Drucke in dem Stromfaden 
nicht mehr mit der Zeit, es kommt also jedem Punkte des von dem 
Faden erfüllten Raumes ein bestimmter Wert der Geschwindigkeit und 
des Druckes zu. In dem Stromfaden grenzen wir ein kleines zylindrisches 
Stückchen A l B x C x D 1 ab, dessen Längsachse mit einer Stromlinie zusammen- 
fällt, dessen Endflächen auf dieser Stromlinie senkrecht stehen. Der 
Schwerpunkt des Stückchens sei S v die ihm entsprechenden AVerte der 
Geschwindigkeit und des Druckes v x und p v Bezeichnen wir mit m die 
Masse des abgegrenzten Teilchens der Flüssigkeit, so ist die lebendige 






§ 153 Strömungen und Wirbel 201 

Kraft, welche ihm in der Lage A x B x G x D x zukommt, gleich \mv\. In- 
folge der Strömung gelangt der Zylinder A x B x G x D x nach einer kleinen 
Zeit in die Lage A 2 B 2 G 2 D 2 , sein Schwerpunkt verschiebt sich von S x 
nach S 2 . Die Werte von Geschwindigkeit und Druck in dem Punkte S 2 
seien v 2 und p 2 . Die lebendige Kraft des betrachteten Teilchens der 
Flüssigkeit in der Lage Ä 2 B 2 C 2 D 2 ist dann gleich \mv\. Die Grenzen 
des Stromfadens convergieren von rechts nach links, die Geschwindigkeit 
nimmt in demselben Sinne zu. Die Flüssigkeitsmenge m erleidet also 
einen Zuwachs an lebendiger Kraft 

\mv\ — \mv\, 

während ihr Schwerpunkt von S x nach S 2 sich verschiebt. Ein solcher 
Zuwachs kann nur dadurch erklärt werden, daß eine von außen wirkende 
Kraft an der Flüssigkeitsmenge eine Arbeit leistet. Von einer etwaigen 
Wirkung der Schwere können wir absehen; es bleibt uns nur die Wirkung 
der auf die Flächen A x B x und C, D x wirkenden Drucke. Sollen diese 
eine mit der Bewegung gleichgerichtete Kraft liefern, so muß der 
Druck p auf A X B X größer sein als der Druck p' auf G X D X . Ist q der 
Querschnitt des Zylinders, so ist die auf A X B X wirkende Kraft gleich 
pq, die auf G X D X wirkende gleich p' q; die mit der Bewegung gleich- 
gerichtete Kraft ist somit gleich (p — p) q, und die von ihr geleistete 
Arbeit gleich (p — p')q- S x S 2 . Nach dem Prinzip der Energie muß nun 
die Beziehung bestehen: 

\mv\ -\mv\ = {p -p) q-S x S 2 . 

Wenn das von uns abgegrenzte zylindrische Stückchen A x B x C x D x 

hinreichend klein ist, so können wir annehmen, daß innerhalb desselben 

die Druckänderungen den Längenänderungen proportional sind; es ist 

dann: 

P-p' = Pi-Pt 
A X D X S,S 2 ' 

Mit Hilfe dieser Beziehung können wir die vorhergehende Gleichung 
in die Form bringen: 

\mv\ —\mv\ =(p x — p 2 ) q-A x D x . 

Das Produkt q-A x D x ist aber nichts anderes, als das Volumen des 
Flüssigkeitsteilchens mit der Masse m; die Dichte S der Flüssigkeit, die 
Masse der Volumeinheit, ist somit: 

8= m 



q.A,D x ' 

dividieren wir unsere Gleichung mit q-A x D x , so ergibt sich: 

\Sv\ — \ 8v\ =p\ —p 2 , 
oder 

\Sv\ +p x =%Svl +p 2 . 



202 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase § 154 

In einer stationär sich bewegenden Flüssigkeit besitzt somit die 
Summe aus der lebendigen Kraft der Volumeinheit und aus 
dem Druck an allen Stellen der Flüssigkeit denselben Wert. 
Bezeichnen wir die Geschwindigkeit allgemein durch v, den Druck in dem 
betrachteten Teile der Flüssigkeit durch p, so ist ±dv 2 +p = konstanz, 
Natürlich müssen dabei lebendige Kraft und Druck in demselben Maß- 
system angegeben werden. Wählen wir das absolute System mit cm, g, 
sec als Einheiten, so ist der Druck in Dynen pro Quadratzentimeter aus- 
zudrücken. Gewisse Teile der ganzen Flüssigkeitsmasse mögen so wenig 
bewegt sein, daß man ihre lebendige Kraft vernachlässigen kann. Der 
in ihnen herrschende Druck sei p , dann findet im ganzen Innern der 
Flüssigkeit die Gleichung statt: 

\§v 2 + p =p . 

Aus ihr kann der Druck p, der sogenannte hydrodynamische Druck, 
berechnet werden, wenn die Geschwindigkeit v gegeben ist. 

Bei der Ableitung des Satzes haben wir von der Wirkung äußerer 
Kräfte abgesehen. Sind solche vorhanden, so rührt die Zunahme der 
lebendigen Kraft auch von der von ihnen geleisteten Arbeit her. Handelt 
es sich um die Wirkung, der Schwere, so ergibt sich die folgende Be- 
ziehung. Der als ruhend betrachtete Teil der Flüssigkeit befinde sich in 
der Tiefe % unter ihrem Spiegel, die betrachtete Stelle der strömenden 
Flüssigkeit in der Tiefe %; dann ist: \§v' 2 -\-p=p () +gd{% — z ). Zu p kommt 
also die hydrostatische Druckdifferenz der betrachteten Stellen hinzu. 

§ 154. Strahlbildung. Wir nehmen an, in den nur wenig bewegten 
Teilen einer Flüssigkeit sei der Druck gleich dem Luftdruck, also nach 
§ 137 gleich 1014000 Dynen pro cjcm. Dann gilt im ganzen Innern 
der strömenden Flüssigkeit die Gleichung ^Sv 2 + p = 1014000. 

Im Falle des Wassers können wir d'=l setzen und erhalten dann 

für den Druck 1A1 , AAft . a 

p = 1014000 — l 2 v • 

Daraus folgt, daß der Druck Null wird überall, wo die Geschwindig- 
keit des Wassers den Betrag von 1420 cm -sec- 1 erreicht. Wird die 
Geschwindigkeit größer, so wird der Druck negativ; die Teilchen des 
Wassers werden nicht mehr zusammengedrückt, sondern auseinander- 
gezogen; aus theoretischen Betrachtungen ergibt sich, daß die hierzu 
erforderliche Steigerung der Geschwindigkeit immer da eintreten würde, 
wo die kontinuierliche Strömung um eine scharfe Kante herumbiegen 
müßte. Nun zeigt aber die Erfahrung, daß das Wasser einem Zuge 
nicht widerstehen kann, sondern unter seiner Wirkung zerreißt. Sobald 
ein solches Zerreißen eingetreten ist, brauchen benachbarte Teilchen 
des Wassers, die eben durch die Fläche der Zerreißung voneinander 
getrennt sind, nicht mehr gleiche Geschwindigkeit zu besitzen, es können 
sogar die auf der einen Seite befindlichen Teilchen in Ruhe sein, 
während die auf der anderen Seite mit großer Geschwindigkeit sich 
bewegen. Die Zerreißungsfläche kann einen ruhenden Teil der Flüssig- 



§154 



Strömungen und Wirbel 



203 



keit von einem anderen trennen, der an der Zerreißungsfläche wie an 
einer festen Wand dahinströmt. Zu beiden Seiten einer solchen Trennungs- 
liäche muß der Druck derselbe sein; man hat dann auf der einen Seite den 
einfachen hydrostatischen Druck der ruhenden Flüssigkeit; auf der anderen 
Seite muß der zu Anfang vorhandene Überdruck durch die Strömung so 
vermindert sein, daß er dem Druck der ruhenden Flüssigkeit gleich ge- 
worden ist. Auf diesen Verhältnissen beruhen die diskontinuierlichen 
Bewegungen der Flüssigkeiten, die wir als Strahlen bezeichnen. 1 Luft, die 
mit nicht zu großer Geschwindigkeit aus einer feinen zylindrischen Öffnung 
hervordringt, bildet einen solchen Strahl, wie man beobachten kann, wenn 
man die Luft mit Rauch vermischt. Man sieht dann, daß die Luft 
in dem Strahl in der Tat wie in einer von festen Wänden gebildeten 
Röhre sich bewegt, während die äußere Luft von dem Strahle kaum be- 



Dmck:?inm 



Dmickfimtn- 





Dnirh t^nun 



Drach 16mm 





Fig. 149. Strahlbildung. 



einflußt wird. Gleiches beobachtet man, wenn man den Strahl gegen 
eine Flamme richtet; er durchbohrt die Flamme in einem scharf abge- 
grenzten Loche, während sie im übrigen ungestört bleibt. Die Figuren 
149 zeigen die Strahlbildung in einer quadratischen Wasserplatte, wenn 
Zu- und Abfluß in den Ecken einer Diagonale liegen. Bei dem sehr 



1 Helmholtz, Über diskontinuierliche Flüssigkeitsbewegungen 1868. Wiss. Abh. 
Bd. I. p. 146. 



204 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase § 155 

geringen Druck, unter dem das Wasser anfänglich durch die Platte 
strömt, ist von Strahlbildung kaum etwas wahrzunehmen, mit wachsen- 
dem Drucke bildet sich der quer durch die Platte gehende Strahl immer 
mehr aus. Dabei zeigt sich aber, daß die neben dem Strahle liegenden 
Teile des Wassers nicht wie bei der Luft in Ruhe bleiben, sondern in 
Wirbelbewegung geraten. Es ist dies eine Folge der zwischen den 
Teilchen einer Flüssigkeit vorhandenen Reibung, die bei Wasser um 
vieles stärker ist als bei der Luft. Die Höhen der Wassersäulen, unter 
deren Druck die Bewegung stattfindet, sind bei den Figuren in Milli- 
metern angegeben. 1 

§ 155. Ausfluß einer Flüssigkeit aus einem Gefäße. Wir gehen 
über zu der Betrachtung des durch die Schwere, also durch eine 
äußere Kraft, veranlaßten Ausflusses einer Flüssigkeit aus einem Ge- 
fäße. Die kleine kreisförmige Öffnung befinde sich in dem Boden des 

Gefäßes in der Tiefe h unter dem freien Niveau 
(Fig. 150). Der Querschnitt des Gefäßes sei 
Q; sinkt der Spiegel der Flüssigkeit um die 
sehr kleine Höhe a, so vermindert sich die 
potentielle Energie um g S Qah, wenn § die 
Dichte der Flüssigkeit bezeichnet. Gleich- 
zeitig fließt die Menge § Q a aus und gewinnt 
die lebendige Kraft j^dQav 2 ; es ergibt sich 
somit nach dem Energieprinzip für die Aus- 
flußgeschwindigkeit v der Wert: 



a.: 



^:^ä~. 



i, 



.__ _± 



v = ]/2gh. 

Die Ausflußgeschwindigkeit ist hiernach 
Fig. 150. unabhängig von dem spezifischen Gewicht und 

gleich der Geschwindigkeit eines frei fallenden 
Körpers, dessen Fallhöhe gleich der Druckhöhe der Flüssigkeit ist. Die 
Ausflußöffnung kann auch seitlich in der Gefäßwand angebracht werden ; 
der Strahl beschreibt dann, entsprechend den Gesetzen des Wurfes, eine 
Parabel, deren Weite von der Ausflußgeschwindigkeit abhängt. Die 
Ausmessung der Parabel kann zur Prüfung des gefundenen Gesetzes 
dienen. Bringt man endlich die Ausflußöffnung in einem seitlichen An- 
sätze des Gefäßes nach oben hin an, so springt aus ihr ein Strahl in 
die Höhe, allerdings nicht bis zu dem Niveau der Flüssigkeit, wie dies 
nach der Formel zu erwarten wäre; der Grund hierfür ist im wesent- 
lichen in den Reibungswiderständen zu suchen, denen die Bewegung 
unterliegt. 

Bei der vorhergehenden Betrachtung ist die Annahme gemacht, daß 
die Geschwindigkeit der Strömung in dem Gefäße so klein sei, daß nur 



1 Biecke, Beiträge zur Hydrodynamik. G-ött. Nachr. 1888. p. 347. Wied. Ann. 
Bd. 36. 1889. p. 322. 



§ 155 Strömungen und Wirbel 205 

die lebendige Kraft des aus der Öffnung tretenden Strahles zu berück- 
sichtigen ist; dies ist zulässig, solange der Querschnitt der Öffnung sehr 
klein ist gegen den des Gefäßes. Außerdem gilt die Betrachtung nur, 
wenn zwischen dem Niveau der Flüssigkeit und der Öffnung keine 
andere Druckdifferenz vorhanden ist, als die von der Schwere der 
Flüssigkeit selbst herrührende. Im Gegensatz hierzu wird bei Gasen der 
Ausfluß aus einer feinen Öffnung wesentlich durch den äußeren Druck 
bedingt, unter dem sie stehen. Aber auch in diesem Falle kann das Energie- 
prinzip zu der Bestimmung der Ausflußgeschwindigkeit 
dienen. Ein Gasometer sei mit Gas von einem 
Drucke p gefüllt, der größer ist als der Luftdruck p Q , 
Die Messung des Druckes p, beziehungsweise der Druck- 
differenz p — p geschieht mit einem Manometer 
(Fig. 151). Es ist dies eine U-förmig gebogene Glas- 
röhre, die mit der Öffnung des einen Schenkels in 
das Gasometer eingesetzt ist; der untere Teil der Bohre 
ist mit Wasser oder Quecksilber gefüllt; der außerhalb 
des Gasometers befindliche Schenkel ist meist offen; 
der Stand der Sperrflüssigkeit gibt dann die Druck- 
differenz p — p n . Bei Messung von sehr hohen Drucken 

r 12\ 151. 

wird der äußere Schenkel zugeschmolzen und der 
Druck durch das Volumen der in ihm abgeschlossenen Luft bestimmt. 
Das unter dem Drucke p in dem Gasometer eingeschlossene Gas 
enthält eine Energie, die gleich ist der Arbeit, die wir aufwenden mußten, 
um es von dem Druck der Atmosphäre p Q auf den Druck p zu kom- 
primieren. Bezeichnen wir die in der Volumeinheit des komprimierten 
Gases erzeugte Energie mit u; sie verwandelt sich bei dem Ausfluß in 
lebendige Kraft; dabei sinkt der Druck wieder auf p , das Volumen 
nimmt dementsprechend zu. Ist d die Dichte des Gases im Gasometer, 
v die Ausfiußgeschwindigkeit, so muß \§v 2 = u sein, und daher 




v=\/ 



2u 



Ö 

Die Energie u hängt nur von den Drucken p und p ab; es er- 
gibt sich somit der Satz, daß bei gleichen Druckverhältnissen die Aus- 
fiußgeschwindigkeiten verschiedener Gase sich umgekehrt verhalten wie 
die Quadratwurzeln ihrer Dichten. Es ist dadurch ein Prinzip gegeben, 
nach dem sich leicht vergleichende Messungen der Dichten oder der 
spezifischen Gewichte verschiedener Gase anstellen lassen; nur muß die 
nicht ausführbare Beobachtung der Ausnußgeschwindigkeiten durch die 
Messung der in gleichen Zeiten ausströmenden Gasmengen ersetzt werden. 

Die Berechnung der in der Volumeinheit enthaltenen Energie u 
stößt auf Schwierigkeiten, weil jede Volumenänderung eines Gases mit 
Änderungen der Temperatur verbunden ist; die Aufgabe liegt daher 
außerhalb des Gebietes der Mechanik und würde erst in der Wärme- 
lehre gelöst werden können. Sieht man von Temperaturänderungen ab, 



206 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase § 155 

so kann man die Energie auf der Grundlage des BoYLE-MARiOTTEschen 
Gesetzes bestimmen und findet 

u = p log nat. — • 

Po 

Sind die Drucke p und p nur wenig verschieden, so erhält man 
hierfür: u = p — p . Unter diesen vereinfachten Annahmen stellt also 
P ~ Po die an der Volumeneinheit des komprimierten Gases geleistete 
Arbeit dar, ein Resultat, das sich durch eine direkte Berechnung leicht 
bestätigen läßt. Für die Ausflußgeschwindigkeit ergibt sich dann 



-V 5 



p-p> 



ö 

Bei der praktischen Anwendung der Formel muß man auf die Maße 
Rücksicht nehmen, die zugrunde gelegt werden. Im absoluten cm-g-sec- 
System ist p — p in Dynen pro Quadratzentimeter, 8, die Dichte im 
Gasometer, in g pro Kubikzentimeter anzugeben. Ist der Druck zu- 
nächst durch die Anzahl der g-Stücke bestimmt, die auf das Quadrat- 
zentimeter drücken, so erhält man den Druck in Dynen durch Multi- 
plikation mit g. Benutzen wir andererseits das technische Maßsystem, 
so bezeichnet p — p eine gewisse Anzahl von g-Gewichten pro Quadrat- 
zentimeter; 8 ist die Masse eines Kubikzentimeters in technischen Ein- 
heiten. Ist nun das spezifische Gewicht des Gases gleich a, so gibt <j 
die Anzahl der g-Gewichte in Kubikzentimetern. Es ist aber nach § 69 

die Masse eines g-Gewichtes gleich ——Einheiten des technischen Systems, 

somit die Masse von ö- g-Gewichten gleich — — - technischen Einheiten; 

d. h. es ist im technischen Maßsystem 8 = - — oder, wenn wir an Stelle 

von 981 das allgemeine Zeichen der Schwerebeschleunigung benützen, 

8 = — . Setzen wir 

9 
keit, so ergibt sich 



§ = — . Setzen wir diesen Wert in die Formel für die Ausflußgeschwindig- 
9 



Da g und g-Gewicht, Dichte und spezifisches Gewicht durch dieselben 
Zahlen gegeben werden, so stimmen die auf den verschiedenen Wegen 
erhaltenen Formeln miteinander vollkommen überein. Durch dieselbe 

Betrachtung wie in § 139 zeigen wir, daß — — — die Bedeutung einer 

virtuellen Druckhöhe hat; setzen wir diese gleicht, so wird v = ]/ 2 g h, 
eine Formel, welche der für inkompressible Flüssigkeiten geltenden 
analog ist. 

Die Formel v = 1/ 2 g p ~ Po gilt übrigens auch für inkompressible 

Flüssigkeiten, wenn diese nicht infolge der Schwere, sondern getrieben 
von einem darauf wirkenden Drucke ausfließen. 

Bei der Berechnung von Ausflußmengen aus den im vorhergehenden 



§ 156 



Strömungen und Wirbel 



207 



entwickelten Formeln muß man auf die Kontraktion Kücksicht nehmen, 
die der Strahl beim Austritt aus der Öffnung erleidet. Sie rührt daher, 
daß die an dem Kande der Öffnung vorbeigehenden Flüssigkeitsteilchen 
sich nicht senkrecht zu ihr, sondern seitlich gegen die Achse des Strahles 
hin bewegen. 

8 156. Reaktion des ausfließenden Strahles. Wenn wir ein Gefäß 
(Fig. 152), woraus Wasser durch eine seitliche Öffnung ausfließt, um eine 
vertikale Achse drehbar machen, so gerät es um diese in Rotation. 

Wir geben dem Gefäße die in Figur 152 gezeichnete Form und 
halten dasselbe fest. Die Zentrifugalkräfte der Flüssigkeitsteilchen, die 
in den beiden kreisförmig gebogenen Stücken der Ausflußrohren sich 
bewegen, üben dann ein 
Drehungsmoment um die 
Achse D aus. Da die 
Verhältnisse auf beiden 
Seiten der Drehungsachse 
ganz dieselben sind, so 
können wir uns auf die 
Betrachtung einer Seite 
beschränken. Die auf den 
Viertelkreis AB wirken- 
den Zentrifugalkräfte ver- 
teilen sich symmetrisch 
zu beiden Seiten des 
Radius GE\ wir können 
sie somit zu einer Re- , 

sultanten P vereinigen, welche durch die Mitte des Bogens Ä B senk- 
recht hindurchgeht. Bezeichnen wir die Dichte der Flüssigkeit durch §, 
den Querschnitt der Ausflußröhre mit q, die Ausflußgeschwindigkeit mit 
v, so ergibt sich für jene Resultante der Ausdruck P = ^2-Sqv 2 . (Vgl. 
hierzu die analoge und ausführlichere Rechnung in § 164.) 

Wir verlegen nun, entsprechend dem Satze von § 30, den Angriffs- 
punkt der Kraft P in ihrer Richtung nach E. Dann können wir, wie 
dies auf der linken Seite der Zeichnung geschehen ist, die Kraft P zer- 
legen in zwei Komponenten B und Q; die erste steht gegen den Ra- 
dius DE senkrecht, die zweite fällt in seine Richtung, beide greifen an 
in dem Punkte E. Die Wirkung von Q wird aufgehoben durch eine 
ihr gleiche und entgegengesetzte Komponente auf der rechten Seite der 
Drehungsachse; die Komponente R erzeugt ein Drehungsmoment RxDE 
um die Achse D. Ein ebensolches Moment wird von der entsprechenden 
Komponente der rechten Seite ausgeübt; das gesamte Moment, welches 
das Gefäß um die Achse D zu drehen sucht, ist somit gleich 2 RxDE. 

Die Bewegung vollzieht sich so, als ob nur die Kraft R und die 
ihr entsprechende der anderen Seite vorhanden wäre; die Richtung 




Fig. 152. 



208 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



§ 157 



von R fällt in die Achse der Ausflußöffnung JH, sie ist der Richtung des 
ausfließenden Strahles entgegengesetzt; die Kraft R sucht also das Gefäß 
in einem Sinne zu bewegen, welcher der Bewegung des Strahles entgegen- 
gesetzt ist. Man bezeichnet daher R als die Eeaktion des ausfließenden 
Strahles, die dadurch erzeugte Bewegung als die Reaktionsbewegung 
des Gefäßes. 

Aus der Figur folgt, daß 

= S qv 2 . 



R = 

1/2 

Die Reaktion des ausfließenden Strahles ist also bei 
ruhendem Gefäße gleich dem Produkte aus seinem Quer- 
schnitt, aus der Dichte der Flüssigkeit und aus dem Quadrate 
der Ausflußgeschwindigkeit. 

§ 157. Verminderter Seitendruck von Flüssigkeitsstrahlen. Ver- 
suche und Anwendungen (Luftpumpen). Im folgenden stellen wir noch 
einige Versuche zusammen, durch welche der verminderte Druck bewegter - 
Flüssigkeiten anschaulich gemacht wird, sowie einige Anwendungen, die 
man davon bei der Konstruktion von Apparaten gemacht hat. Der 
Charakter der Erscheinungen ist allerdings ein komplizierter, da wir 
nicht mit idealen Flüssigkeiten zu tun haben. Wegen der Reibung zieht 
jeder Strahl die umgebende Flüssigkeit in die Bewegung hinein; bei der 
Luft spielt außerdem die mit Verdünnung verbundene Druckabnahme 
eine wesentliche Rolle. 

Wir nehmen eine enge Röhre ab (Fig. 153), die bei b in eine 
weitere b c einmündet. Von b c führe durch die seitliche Öffnung d eine 

Röhre de in ein mit Flüssigkeit ge- 

- -V,* o_ fülltes Gefäß Q. Lassen wir durch 

ab Flüssigkeit unter kleinem Drucke 

einströmen, so erweitern sich die 
Stromfäden stetig bei dem Übergang 
in die weitere Röhre, sie verzweigen 
sich, indem ein Teil durch de nach 
dem Gefäße, ein Teil in der Haupt- 
röhre nach c weiter geht. Wenn wir 
aber die Geschwindigkeit, mit der die 
Flüssigkeit strömt, steigern, so zer- 
reißt sie beim Eintritt in die weitere 
Röhre, und es bildet sich in dieser 
ein Strahl; infolge der hiermit verbundenen Druckabnahme treibt der auf 
der Oberfläche der Flüssigkeit in dem Gefäße lastende Luftdruck die 
Flüssigkeit aus diesem in die Röhre hinein, wo sie dann von dem 
Strahle mitgerissen wird. Man bezeichnet dies als eine Aspiration 
infolge des verminderten Seitendruckes. 

Stellt man die Röhre a b vertikal und verbindet man die seitliche 




Fig. 153. Aspirator. 



§ 157 



Strömungen und Wirbel 



209 



c 



n 



lh 



cl 



J 



> 



G 



Röhre de mit einem Rezipienten, der mit Luft gefüllt ist, so aspiriert, 
der aus ab tretende Wasserstrahl Luft aus dem Rezipienten und man 
hat damit das Prinzip für die Konstruktion der Wasserstrahlluft- 
pumpe gewonnen. 

Läßt man die Röhre de in die freie Luft 
münden, so aspiriert der aus a b tretende Wasser- 
strahl fortdauernd Luft und reißt diese in der 
vertikalen Fallröhre G (Fig. 154) mit hinab. 
Mündet diese in ein Gefäß G, so sammelt sich 
hier die Luft oben, das Wasser unten. Das 
Wasser fließt durch die Röhre H ab, die Luft 
wird durch J herausgeblasen. Hierauf beruht 
die Konstruktion der Wasserstrahlgebläse. 

Lassen wir durch die Röhre ab, die wie in 
Fig. 153 in horizontaler Lage zu denken ist, 
einen Dampfstrahl austreten, während de nach 
einem Flüssigkeitsreservoir geht, so wird Flüssig- 
keit aspiriert und von dem Dampfstrahle mitge- 
führt. Auf dieser Wirkung beruht der bekannte 
Zerstäuber, sowie der Injektor, den man 
benützt, um bei den Dampfmaschinen dem Kessel 
neues Wasser zuzuführen. Für die Aspiration 
von Luft durch einen Gras strahl liefert der Bunsen- 
brenner ein Beispiel. 

In sehr hübscher Weise äußert sich der 
verminderte Seitendruck von Luftstrahlen bei 
den beiden folgenden Versuchen. Vor eine ver- 
tikal gestellte Glasplatte (Fig. 155) setzen wir ein Licht und blasen mit einer 
Glasröhre gegen das Spiegelbild. Wir sehen dann, daß das Licht senk- 
recht gegen die Glasplatte getrieben wird. Es erklärt sich dies daraus, 
daß der gegen die Platte treffende 
Luftstrahl von ihr nicht reflek- 
tiert wird, sondern sich entlang 
der Glasplatte ausbreitet; die 
Bewegung des Lichtes ist dann 
die Folge des geringeren Druckes, 
den die im Strahle bewegte Luft 
ausübt. Bei dem zweiten Ver- 
suche mündet die Röhre ab in 
einer ebenen Platte cd (Fig. 156) 
senkrecht zu ihr; cd gegenüber 
steht eine zweite parallele Platte 
e f, die in der Richtung der Röhrenachse beweglich ist. Bläst man durch 
ab einen kräftigen Luftstrom, so wird die Platte ef entgegen seiner 
Richtung nach der Platte cd gezogen. Zwischen den beiden Platten 

14 



Fig. 154. 
Wasserstrahlgebläse. 




a 



■d. 



r 



Fig. 155. 



Piff. 156. 



Riecke, Physik I. Dritte Aufl. 



210 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



158 




Z///SI 



ist in der rings ausströmenden Luft der Druck erniedrigt, und die 
Bewegung ist eine Folge des von der ruhenden Luft ausgeübten Über- 
druckes. 

Mit dem verminderten Drucke einer bewegten Flüssigkeit hängt 
endlich noch die Wirkung der SpEENGELschen Quecksilberluft- 
pumpe zusammen; nur wird dabei nicht ein freier 
Flüssigkeitsstrahl, sondern eine in einer Glasröhre 
fallende Quecksilbersäule benützt. Die in ein unter- 
gestelltes Gefäß mündende Glasröhre ab (Fig. 157) 
ist mit einem Trichter durch einen Schlauch ver- 
bunden, der durch einen Quetschhahn geschlossen 
werden kann. In die Röhre ab mündet seitlich 
eine Röhre de, die mit dem zu evakuierenden 
Rezipienten verbunden ist. Man füllt den Trichter 
.xi/ue m ^ Queckgjibej.^ öffnet den Hahn und läßt das 

Quecksilber durch die Röhre a b herunterfließen. 
Bei d wird dann infolge des verminderten Druckes 
Luft aspiriert und die Luft im Rezipienten ver- 
dünnt. Schließt man den Quetschhahn, so bleibt 
in der Röhre a b eine Quecksilbersäule stehen, die 
den Grad der erreichten Verdünnung angibt. Würde 
das Quecksilber durch ab in einer zusammen- 
hängenden Säule fließen, ohne in Tropfen zu zer- 
reißen, so würde der hydrodynamische Druck in 
ab von der Mündung an nach oben ebenso ab- 
nehmen, wie der hydrostatische. Wenn die Höhe 
der Ansatzstelle e über der Mündung 76 cm be- 
trägt, so würde bei e der hydrodynamische Druck 
auf Null reduziert sein. Macht man die Fallröhre 
ab etwas länger als 76 cm, so kann man mit der Pumpe die Verdünnung 
der Luft im Rezipienten ebenso weit treiben, wie mit der gewöhnlichen 
Quecksilberluftpumpe. 

§ 158. Automatische Quecksilberluftpumpe. Die im vorhergehenden 
besprochenen Erscheinungen können zur Konstruktion einer selbsttätigen 
Quecksilberluftpumpe verwandt werden, welche ein kontinuierliches Aus- 
pumpen des Rezipienten ermöglicht, ohne daß man genötigt ist, in den 
Ablauf des Vorganges irgendwie einzugreifen. Eine einfachere Form 
einer solchen Pumpe, wie sie durch Verbindung einer Wasserstrahlpumpe 
mit einer SpEENGELschen Pumpe entsteht, ist durch Fig. 158 dargestellt. 
Die Verbindungen der einzelnen Röhren des Apparates werden teils durch 
Schliffstücke, teils durch kurze Stücke von Gummischläuchen bewirkt. 
Soll der Rezipient evakuiert werden, so wird der Gummischlauch c 
durch einen Quetschhahn zusammengedrückt, so daß der obere Teil 
der Röhre C von dem unteren abgeschlossen ist. Der am oberen Ende 
der Pumpe befindliche Hahn h wird so gestellt, daß die Röhren A und B 



r 



Fig. 157. 
SpRENGELsche Pumpe. 



§ 158 



Strömungen und Wirbel 



211 



durch den Gummis chlauch W 
mit einer Wasserstrahlpumpe 
in Verbindung stehen; der 
Quetschhahn a ist offen. 

Sobald man die Wasser- 
strahlpumpe anläßt, wird Luft 
aus derRöhre A und aus dem da- 
mit kommunizierenden oberen 
Teile der Röhre G herausge- 
saugt. Die Röhre B reicht hin- 
ab bis zum Boden eines Ge- 
fäßes 0, welches bis zu einer 
gewissen Höhe mit Quecksilber 
gefüllt ist. Das Gefäß kom- 
muniziert mit der Luft durch 
die mit Chlorcalcium gefüllte 
Flasche L und die Röhre E, 
welche in den unteren Teil 
des Rohres C mündet. Wird 
der Quetschhahn b am oberen 
Ende von B geöffnet, so wird 
in der Röhre B Quecksilber 
angesaugt. Auf diese Weise 
sollen nun die Röhren A und 
damit auch C von B aus so- 
weit mit Quecksilber gefüllt 
werden, daß dieses durch 
die heberförmige Röbre F 
ausfließt und in der mit 
dem Rezipienten verbunde- 
nen Röhre D, dem Fallrohr 
der Speengel sehen Pumpe, 
in das Gefäß O zurückfällt, 
die Luft aus dem Rezipienten 
mit sich reißend. Die Er- 
reichung dieses Zweckes ist 
dadurch erschwert, daß der 
Höhenunterschied zwischen 
dem oberen Ende der Röhre B 
und zwischen dem Gefäße G 
etwa 1 1 / 2 m beträgt; der 
Luftdruck ist also nicht im- 
stande, das Quecksilber in B 
auf die erforderliche Höhe zu 
umgangen 



/ 7tä<JJ£Mrf}ra/il/u///?tfie 






^- -xu?n 



Meci/iie'rd&n' 




>— XMsr 



Fig. 158. 



heben. Die Schwierigkeit wird dadurch 
daß man in B Quecksilber mit Luft vermischt ansaugt. Die 

14* 



212 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase § 159 

Röhre B hat zu diesem Zwecke über dem Niveau des Quecksilbers in 
G eine kleine Öffnung, durch welche die durch L und E zuströmende 
Luft eintreten kann. Wenn die Pumpe arbeitet, so wird durch B fort- 
dauernd Quecksilber angesaugt und in die Röhre A hineingeschleudert, 
es steigt in der Röhre G hinauf, füllt den Heber F und fließt durch das 
Fallrohr D wieder in das Gefäß zurück. Auf diese Weise wird ein fort- 
dauernder Kreislauf des Quecksilbers durch den Apparat erhalten, bei 
dem ohne Unterbrechung Luft aus dem Rezipienten aspiriert wird. Hat 
man den gewünschten Verdünnungsgrad erreicht, so wird der Hahn h 
abgestellt und der Quetschhahn b geschlossen. Der Quetschhahn c wird 
geöffnet, wenn man das Quecksilber aus dem Apparate entleeren will. 



Zweites Kapitel. 
Flüssigkeiten und starre Körper in wechselseitiger Bewegung. 

§ 159. Ruhende Kugel in einer strömenden Flüssigkeit. Die Fragen, 
mit denen wir uns im folgenden beschäftigen, sind von mannig- 
facher praktischer Bedeutung. Bei der Schwierigkeit des Gegenstandes 
müssen wir aber auf ein tieferes Eindringen verzichten und die all- 
gemeine Untersuchung durch die Betrachtung von speziellen Beispielen 
ersetzen. 

Wir nehmen zuerst eine Flüssigkeit, die in einem Kanäle von gleich- 
mäßigem Querschnitt mit kleiner Geschwindigkeit hinfließt. Die Strömungs- 
linien sind durch gerade, den Wänden des Kanales parallele Linien dar- 
gestellt. Nun bringen wir in die Mitte des Kanales eine feste Kugel. 
Die Strömungslinien müssen sich dann um die Kugel herumbiegen. 
Wenn die Wände des Kanales weit genug von der Kugel entfernt sind, 
um keine Asymmetrie zu erzeugen, so ergibt sich für die Strömung der 
Flüssigkeit um die feste Kugel das in Figur 159 gezeichnete Bild. Die 
Strömungslinien sind vollkommen symmetrisch zu dem Äquator AB der 
Kugel; dasselbe gilt von den Geschwindigkeiten und von den hydro- 
dynamischen Drucken. Es folgt daraus, daß die Gesamtdrucke, die auf 
die beiden durch den Äquator AB geschiedenen Halbkugeln ausgeübt 
werden, einander gleich sind. Die in der Strömung befindliche Kugel 
erleidet somit keinerlei Wirkung in der Richtung der Strömung. 

Wir sind damit zu einem Schlüsse gelangt, welcher der alltäglichen 
Erfahrung widerspricht, und es entsteht die Frage, woher dieser Wider- 
spruch rührt. Es kommt dabei in erster Linie in Betracht, daß bei allen 
realen Flüssigkeiten zu den hydrodynamischen Drucken noch eine zweite 
Klasse von Kräften sich gesellt, die von der wechselseitigen Reibung der 
Flüssigkeitsteilchen abhängt. Die Reibung erzeugt in unserem Falle eine 
Kraft, welche die Kugel im Sinne der Strömung mitzureißen sucht, eine Kraft, 
wie wir sie tatsächlich beobachten. Es gibt aber noch einen Umstand, 
der selbst bei der Strömung einer reibungslosen Flüssigkeit einen Druck 



§160 Flüssigkeiten und starre Körper in wechselseitiger Bewegung 213 



in der Stromrichtung erzeugen kann. Es ist dies die in § 154 betrachtete 
Strahlbildung; sobald sie eintritt, wird die Symmetrie der Verhältnisse zu 
beiden Seiten des 

Äquators AB völlig E' 

zerstört und es bleibt 
einDrucküberschußim 
Sinne der Strömung. 
§ 160. Bewegte 
Kugel in einer ruhen- 
den Flüssigkeit. Wir 
wollen versuchen, uns 
von den Bewegungen 
ein Bild zu machen, 
welche auftreten, wenn 
wir durch eine im 
ganzen ruhende Flüs- 
sigkeit eine Kugel in 
gerader Linie mit 

gleichmäßiger Ge- 
schwindigkeit fortbe- 
wegen. Wir gehen 
dabei aus von den Ver- 
hältnissen derFig.159. 
Die Bewegungsrich- 
tung der strömenden 
Flüssigkeit sei dort, 
wo der störende Ein- 
fluß der Kugel sich 

nicht bemerklich 
macht, parallel der 
Achse D C; die Strö- 
mungsgeschwindigkeit 
sei v. Wir erteilen nun 

der ganzen Flüssigkeit samt der in ihr befindlichen Kugel die Verschiebungs- 
geschwindigkeit v in der umgekehrter Richtung, d. h. von G nach D; 
die Flüssigkeit kommt dann an allen Stellen, welche nicht in der Nähe 
der Kugel liegen, zur Ruhe; da die beiden entgegengesetzt gleichen 
Geschwindigkeiten sich aufheben. Die Kugel dagegen schreitet mit der 
Geschwindigkeit v in der Richtung der Achse CD durch die Flüssigkeit fort. 
Wir versuchen nun, uns über die Bewegung der Flüssigkeitsteilchen 
zu orientieren, die in die Nähe der Kugel gelangen. Zu diesem Zwecke 
betrachten wir ein Flüssigkeitsteilchen p, das bei ruhender Kugel die 
Linie EF durchlaufen würde. In dem Punkte E sei die Strömungslinie 
E F noch parallel mit der allgemeinen Stromrichtung D G, sowie die 
Geschwindigkeit des Teilchens p noch gleich v. Wenn wir also dem 




214 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase § 160 

ganzen Systeme die Geschwindigkeit v in der entgegengesetzten Sich- 
tung CD erteilen, so wird die Geschwindigkeit von p gerade aufgehoben 
und das Teilchen bleibt in Ruhe an der Stelle E. Nun entfernt sich 
aber weiterhin die Stromlinie EF von der Achse D C; die Geschwindig- 
keit, welche das Teilchen p in der Stromlinie E F besitzt, nimmt ab. 
Mit dieser abnehmenden Geschwindigkeit kommt das Teilchen p in einer 
gewissen Zeit nach dem Punkte G der Strömungslinie. Verschieben 
wir gleichzeitig die Flüssigkeit samt der Kugel mit der Geschwindigkeit v 
nach oben, so wird das Teilchen p über die Stelle E hinausgetragen nach 
dem mit y bezeichneten Punkte; es wird nach vorn, in der Bewegungs- 
richtung der Kugel, verschoben und zugleich zur Seite gedrängt. 

Auf der Strecke G J biegt sich die Stromlinie EF von der Achse D C 
immer weiter ab, zugleich aber verengern sich die von EF begrenzten 
Stromfäden. Die Geschwindigkeit, mit der das Teilchen p in der Strom- 
linie EF sich bewegt, nimmt zu. Die Stelle J sei so gewählt, daß die 
mit D C parallele Komponente der Strömungsgeschwindigkeit gerade 
gleich v ist. Erteilen wir nun dem Teilchen p abermals mit dem ganzen 
System zusammen die Verschiebungsgeschwindigkeit v in der Richtung 
CD, so zerstören sich die entgegengesetzten Geschwindigkeiten, es bleibt 
nur eine Seitengeschwindigkeit senkrecht zu CD übrig. Das Teilchen p 
ist inzwischen an die mit j bezeichnete Stelle gelangt und bewegt sich 
hier senkrecht zu der Achse CD. Von / bis K wendet sich die Strö- 
mungslinie der Achse wieder zu, in K ist sie mit CD parallel. Gleich- 
zeitig verengern sich die Stromfäden immer noch mehr, und die 
Strömungsgeschwindigkeit des Teilchens p nimmt dementsprechend weiter 
zu; die mit CD parallele Komponente der Geschwindigkeit ist von J an 
größer als v. Die Geschwindigkeit der Strömung überwiegt über die 
Geschwindigkeit der Verschiebung, das Teilchen p bewegt sich daher 
von dem Punkte j an rückwärts und weicht gleichzeitig noch weiter 
nach der Seite aus. In dem Moment, in dem die Verbindungslinie des 
Teilchens p mit dem Mittelpunkte -der Kugel zu der Bewegungsrichtung 
der letzteren senkrecht steht, hat das Teilchen seine größte Seiten- 
ausweichung in dem Punkte K erreicht: seine Geschwindigkeit ist jetzt 
der Bewegungsrichtung der Kugel genau entgegen gerichtet. Wenn die 
Kugel in ihrer geradlinigen Bahn noch weiter geht, so bewegt sich das 
Teilchen p in einem zu der bisherigen Bahn symmetrischen Bogen bis 
zu dem Punkte E', in dem es zur Ruhe kommt. 

Die Bewegung, welche in einer Flüssigkeit durch eine in gerader 
Linie gleichmäßig fortschreitende Kugel erzeugt wird, ist nach dem 
vorhergehenden ganz ähnlich der durch einen fortschreitenden Wirbel- 
körper erzeugten, eine Analogie, auf die wir schon in § 152 hingewiesen 
haben. 

Das Resultat, daß eine in einem Flüssigkeitsstrome ruhende Kugel 
keine Kraft in der Richtung des Stromes erleidet, überträgt sich auf 
den Fall einer in einer ruhenden Flüssigkeit gleichmäßig bewegten Kugel. 



§ 161 Flüssigkeiten und starre Körper in wechselseitiger Bewegung 215 



Das Auffallende und scheinbar Unannehmbare des Satzes wird durch 
dieselben Bemerkungen beseitigt, wie in dem zuerst betrachteten Falle. 

§ 161. Zwei Kugeln in einer Flüssigkeit. Besonders eigentümliche 
Wirkungen treten auf, wenn gleichzeitig mehrere Körper in eine strömende 
Flüssigkeit tauchen, oder in einer ruhenden Flüssigkeit sich bewegen. 
Wir erläutern diese Verhältnisse an dem Beispiele zweier Kugeln. Dabei 
gehen wir wieder von dem Falle einer Flüssigkeit aus, die in einem 
Kanäle von gleichmäßigem Querschnitt in parallelen Linien 
mit konstanter Geschwindigkeit strömt. In den Strom tauchen 
wir zwei Kugeln, so daß die Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte zu den 
Strömungslinien senkrecht steht. Man übersieht dann, daß die Strom- 
linien in dem Räume zwischen den Kugeln sich mehr zusammendrängen 
als außerhalb. Die Geschwindigkeit der Strömung ist also zwischen den 
Kugeln größer als außerhalb, der hydrodynamische Druck kleiner. Die 
Kugeln werden durch den überwiegenden äußeren Druck zusammen- 
getrieben, sie üben scheinbar eine anziehende Wirkung aufeinander aus. 

Wir bringen nun umgekehrt die beiden Kugeln so in den Strom, daß 
die Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte den Stromlinien parallel wird. 
Der Abstand benachbarter Stromlinien wird dann in dem Zwischenräume 
zwischen den Kugeln größer, ebenso der Druck, und dieser vergrößerte 
Druck treibt die Kugeln auseinander. Diese üben scheinbar eine 
abstoßende Wirkung aufeinander aus. 

Das Verhalten bewegter Kugeln in einer im ganzen ruhenden 
Flüssigkeit kann aus den vorhergehenden Betrachtungen für zwei 
spezielle Fälle leicht abgeleitet werden. Man braucht nur dem ganzen 
System, welches aus der strömenden Flüssigkeit und aus den in ihr 
ruhenden Kugeln besteht, eine Geschwindigkeit zu erteilen, welche der 
Strömungsgeschwindigkeit gleich und entgegengesetzt ist. In größerer 
Entfernung von den Kugeln kommt die Flüssigkeit dadurch zur Ruhe; 
die Kugeln aber schreiten mit derselben Geschwindigkeit in der im ganzen 
ruhenden Flüssigkeit fort. In den Wirkungen, welche die Kugeln schein- 
bar aufeinander ausüben, kann durch die Hinzufügung einer gemeinsamen 
Geschwindigkeit nichts geändert werden. Wir erhalten somit die Sätze: 

Wenn in einer im Ganzen ruhenden Flüssigkeit zwei 
Kugeln senkrecht zu der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte 
mit derselben Geschwindigkeit sich bewegen, so ziehen sie 
sich scheinbar an. Fällt die Richtung der gemeinsamen Ge- 
schwindigkeit mit der Verbindungslinie der Mittelpunkte 
zusammen, so stoßen sich die Kugeln scheinbar ab. 

Wir betrachten noch den allgemeineren Fall, daß die beiden 
Kugeln im Innern der im ganzen ruhenden Flüssigkeit in 
beliebigen Richtungen mit konstanten Geschwindigkeiten 
bewegt werden. Die Anwendung der allgemeinen Prinzipien der 
Mechanik hat hier zu dem folgenden, verhältnismäßig einfachen Satze 
geführt. 



216 Mechanik der Flüssigkeiten und Oase § 161 

K x und K 2 (Fig. 160), seien die beiden Kugeln, V x und V 2 die 
Richtungen, in welchen sie sich bewegen. Die durch den Mittelpunkt 
von K x gelegte Eichtung V x schneide ihre Oberfläche in den Polen 
a x und b y Durch den Mittelpunkt der Kugel K 2 legen wir eine Parallele 
zu V 2 , welche auf ihrer Oberfläche die Pole cc x und ß t bestimmt. Die 





Fig. 160. 

von der Kugel K x auf K 2 scheinbar ausgeübte Wirkung verhält sich 
dann so, als ob zwischen den Polen a x und cc x , \ und ß x Anziehung, 
zwischen a x und ß x , b x und a x dagegen Abstoßung vorhanden wäre. 
Beide Wirkungen sind den Quadraten der Entfernungen a x cc x , b x ß x , 
a x ß x , b x u x umgekehrt proportional zu setzen, außerdem proportional 
dem Quadrat der Geschwindigkeit, mit der sich die Kugel K x bewegt. 
Die von K x auf K 2 ausgeübte Wirkung ist somit von der Bewegung 
dieser Kugel selbst unabhängig. 

Wollen wir umgekehrt die Wirkung untersuchen, die von K 2 auf K x 
ausgeübt wird, so bestimmen wir auf der Oberfläche von K 2 die in der 
Richtung V 2 liegenden Pole c 2 und d 2 . 

Wir ziehen ferner durch den Mittelpunkt K x die Linie ^ 2 y 2 parallel 
mit d 2 c 2 . Zwischen y 2 und e v 8 2 und d 2 muß dann Anziehung, zwischen 
y 2 und d 2 , § 2 und c 2 Abstoßung angenommen werden. Die Kräfte sind 
wieder dem Quadrate des Abstandes der aufeinander wirkenden Punkte 
umgekehrt proportional und proportional dem Quadrate der Geschwindig* 
keit von K 2 . 

Für die scheinbare Wechselwirkung, welche die Kugeln K x und K 2 
aufeinander ausüben, hat hiernach das Prinzip der Gleichheit von 
Aktion und Reaktion keine Gültigkeit. Es erklärt sich dies dadurch, 
daß die Kräfte nicht unmittelbar von der einen Kugel auf die andere 
wirken. Sie sind nichts anderes als die Resultanten der hydrodynamischen 
Drucke, welche von der durch die Kugeln mitbewegten Flüssigkeit 
herrühren. 

Mit den zu Anfang behandelten Beispielen steht der im vorstehenden 
formulierte allgemeine Satz in voller Übereinstimmung. Von naheliegenden 
weiteren Anwendungen soll abgesehen werden; dafür aber möge noch 



§ 162 Flüssigkeiten und starre Körper in wechselseitiger Bewegung 217 

eine andere Bewegung der beiden Kugeln betrachtet werden, bei der sich 
gleichfalls merkwürdige scheinbare Wechselwirkungen ergeben. Es ist 
dies eine pendelnde Bewegung in gerader Linie mit derselben 
Schwingungsdauer für beide Kugeln. 

Wir betrachten zunächst den Fall, daß die Oscillationsrichtung der 
Kugeln mit der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte zusammenfällt. 
Schwingen dann die beiden Kugeln mit gleicher Phase, also zugleich 
nach rechts und zugleich nach links, so stoßen sie sich ab. Schwingen 
sie mit entgegengesetzter Phase, also immer gleichzeitig in entgegen- 
gesetzten Eichtungen, so ziehen sie sich an. 

Einen zweiten ausgezeichneten Fall erhalten wir, wenn die Schwingungs- 
richtungen der beiden Kugeln senkrecht zu der Linie stehen, welche 
die Mittellagen der Kugelzentren verbindet. Schwingen dann die Kugeln 
mit gleicher Phase, so findet Anziehung, schwingen sie mit entgegen- 
gesetzter Phase, so findet Abstoßung statt. 

Schließlich kehren wir zurück zu der Betrachtung ruhender 
Kugeln in bewegter Flüssigkeit. Die beiden Kugeln mögen zunächst 
nicht bloß mit gleicher Schwingungsdauer, Richtung und Phase, sondern 
auch mit gleicher Amplitude schwingen. Sie bewegen sich dann so, wie 
wenn sie fest miteinander verbunden wären. Wenn man nun dem ganzen 
aus Kugeln und Flüssigkeit bestehenden System in jedem Augenblick eine 
Geschwindigkeit erteilt, die der Geschwindigkeit der Pendelbewegung ent- 
gegengesetzt gleich ist, so kommen die Kugeln zur Ruhe ; dafür wird die 
Flüssigkeit in eine hin- und herschwankende Bewegung versetzt, deren 
Oscillationsdauer dieselbe ist, wie vorher die der Kugeln, deren Oscillations- 
richtung im ganzen übereinstimmt mit der früheren Schwingungsrichtung 
der Kugeln. Die scheinbaren Wechselwirkungen werden in den beiden 
Fällen dieselben sein. Wir erhalten somit die beiden Sätze: 

Zwei Kugeln sollen sich im Inneren einer Flüssigkeit in 
Ruhe befinden; die Flüssigkeit aber schwanke im ganzen perio- 
disch hin und her in einer Richtung, welche zu der Verbindungs- 
linie der Kugelmittelpunkte senkrecht stehe. Unter diesen 
Umständen ziehen sich die beiden Kugeln scheinbar an. 

Ist andererseits die Schwingungsrichtung der Flüssigkeit 
parallel der Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte, so 
stoßen sich die beiden Kugeln scheinbar ab. 

Diese Wirkungen stimmen dem Sinne nach mit den in einem kon- 
stanten Strome auftretenden üb er ein. 

§ 162. Eine ebene Scheibe in einem Fliissigkeitsstrome. Wir haben 
schon in den ersten Paragraphen dieses Kapitels darauf hingewiesen, 
daß die Strömung einer Flüssigkeit, in die ein fester Körper ein- 
getaucht ist, bei größeren Strömungsgeschwindigkeiten durch Strahl- 
bildung wesentlich modifiziert werden kann. Wir haben ferner in 
§ 154 davon gesprochen, daß Strahlbildung, Zerreißen der Flüssigkeit 
besonders dann eintritt, wenn sie gezwungen wird, um eine scharfe Kante 



218 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



§ 162 



herum zubiegen. Gerade dieser Fall aber hat ein großes praktisches 
Interesse, er tritt beispielsweise ein, wenn ein Euder in bewegtes 
Wasser getaucht wird, oder wenn ein Drache in der Luft entgegen der 
Richtung des Windes im Gleichgewichte steht. So scheint es nützlich, 
etwas genauer auf die Verhältnisse einer solchen diskontinuierlichen 
Bewegung einzugehen. 

Wir berichten zunächst über die Resultate theoretischer Unter- 
suchungen; dieselben beziehen sich auf den Fall einer Flüssigkeit, die 
von Hause aus, etwa in einem Kanäle von gleichmäßigem, großem 
Querschnitte, in parallelen Linien mit der konstanten Geschwindigkeit c 
dahinströmt. In die Flüssigkeit werde nun eine Scheibe oder Lamelle 
von rechteckiger Form und von großer Länge, l, aber kleiner Breite, b, 
so eingetaucht, daß ihre Längskanten zu der ursprünglichen Richtung 
der Strömungslinien senkrecht stehen; die schmalen Kanten sollen gegen 
die Strömungslinien unter einem wechselnden Winkel geneigt werden. 
Die folgenden Sätze beziehen sich auf die Strömung über die Längs- 
kanten, und zwar auf solche Punkte derselben, in denen der störende 
Einfluß der Seitenkanten noch nicht merklich ist. 

Am übersichtlichsten gestalten sich die Verhältnisse, wenn die Fläche 
der Lamelle zu der ursprünglichen Richtung der Strömungslinien senkrecht 

steht. Auf diesen Fall bezieht 
sich die Figur 161, welche einen 
Durchschnitt der strömenden 
Flüssigkeit mit einer zu den 
Längskanten der Lamelle senk- 
rechten Ebene darstellt. ABist 
der Schnitt dieser Ebene mit der 
Lamelle; C der Mittelpunkt, 
DC das Mittellot von AB; 
dieses liegt in der Richtung 
der ungestörten Strömung, und 
zu DC als Achse ist das ganze 
Bild der Bewegung symmetrisch. 
An den Kanten A und B der 
Lamelle zerreißt die Flüssig- 
keit infolge der vermehrten 
Geschwindigkeit der Strömung; 
sie zerfällt in zwei Teile, ent- 
sprechend den Räumen, welche 
in unserer Zeichnung durch 
die Linien A E und B F und 
durch das Bild der Lamelle, AB, geschieden werden. Die in dem 
Räume EABF befindliche Flüssigkeit bleibt in Ruhe. Der um- 
gebende Raum, sowie der vor der Lamelle AB befindliche ist mit 
strömender Flüssigkeit erfüllt. Die Strömungslinien sind in der Figur 




Fig. 161. 



§ 162 Flüssigkeiten und starre Körper in wechselseitiger Bewegung 219 

eingezeichnet. Sie bleiben dieselben, welches auch die Geschwindigkeit 
der strömenden Flüssigkeit ist, solange nur die Breite der Lamelle gleich 
bleibt. Wird die Lamelle verbreitert, so sind die linearen Dimensionen 
der Stromlinien in demselben Maße zu vergrößern, das Bild der Strömung 
bleibt sich geometrisch ähnlich. 

In der Achse D C bewegen sich die Flüssigkeitsteilchen mit stetig ab- 
nehmender Geschwindigkeit, dem Punkte G selbst würde die Geschwindig- 
keit Null entsprechen; er wird von Flüssigkeitsteilchen umgeben sein, 
welche nur eine sehr kleine Geschwindigkeit besitzen. Wir nehmen daher 
an, daß in G der hydrodynamische Druck dem hydrostatischen Drucke p 
gleich sei. In dem ruhenden Teil EABF der Flüssigkeit herrscht 
überall derselbe hydrostatische Druck p , sofern wir von dem Einfluß 
äußerer Kräfte, wie etwa der Schwere, absehen. An den Grenzflächen 
AE und BF der ruhenden und der bewegten Flüssigkeit kann Gleich- 
gewicht nur bestehen, wenn der Druck der strömenden Flüssigkeit 
allenthalben derselbe ist, wie der Druck der ruhenden. Ist g die Ge- 
schwindigkeit der Strömung in der Grenze, ö die Dichte der Flüssigkeit 
so ist der hydrodynamische Druck gleich p — \§% 2 , und es muß also 
an den Grenzflächen A E und B F 

P - H9 2 =Po 
sein; g ist hiernach konstant. In großer Entfernung von der Lamelle 
wird aber die Geschwindigkeit g wieder gleich der ursprünglichen 
Strömungsgeschwindigkeit c, sie muß also in der ganzen Grenze gleich 
c sein und wir erhalten so den wichtigen Satz: 

An den Grenzflächen AE und BF der strömenden gegen 
die ruhende Flüssigkeit ist die Geschwindigkeit der ersteren 
konstant und gleich der Geschwindigkeit c des Stromes in 
einer Entfernung von der Lamelle, wo der störende Einfluß 
derselben sich noch nicht geltend macht. 

Wir betrachten jetzt eine Stelle x der Lamelle zwischen den 
Punkten G und B. Die Flüssigkeit wird hier eine Geschwindigkeit v 
besitzen, kleiner als die Geschwindigkeit c, welche an der Kante B er- 
reicht wird. Der hydrodynamische Druck, den die bewegte Flüssigkeit 
auf die Lamelle an der Stelle x ausübt, ist gleich p — \ Sv 2 . Dem vor- 
hergehenden Satz zufolge ist aber p — ± d c 2 = p , d. h. gleich dem Druck 
in dem ruhenden Teile der Flüssigkeit. Der hydrodynamische Druck an 
der Stelle x kann somit ausgedrückt werden durch: 



Po + h^c 2 



V 



2\ 



Ihm entgegen wirkt auf der Seite der ruhenden Flüssigkeit der Druck p . 
An der betrachteten Stelle übt somit die strömende Flüssigkeit einen 
Überdruck aus von der Größe: 

Der Überdruck ist am größten in der Mitte der Lamelle, für v =s 0; er 
verschwindet an ihrem Rande, für v = c. Im ganzen resultiert aus diesen 



220 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



162 



Überdrucken eine Kraft, welche die Lamelle in der Richtung der Strö- 
mung fortzutreiben sucht. Die theoretische Betrachtung gibt für diese 
Kraft die Formel: 



n 



4 + 71 



blöc 2 



Hier bezeichnet b die Breite, l die Länge der Lamelle. Benützt man 
als Einheit der Länge das Zentimeter, als Einheit der Zeit die Sekunde, 
als Einheit der Masse das Gramm, so wird die Kraft angegeben in Dynen. 
Mit Rücksicht auf praktische Anwendungen scheint es zweckmäßiger 
die Kraft auszudrücken durch Kilogrammgewichte, die Länge zu messen 
nach Metern. Die sich ergebenden neuen Maßzahlen der Länge, der 
Breite und der Geschwindigkeit seien b', V, und o'\ dann ist die auf die 
Lamelle wirkende Druckkraft gegeben durch: 

10 8 



7T 



d. h. gleich: 



4 + n 



b'l'dc' 2 X 



981000 ' 



45 x b'l'dc' 2 Kilogrammgewichten. 



Die Kraft ist proportional der von der Strömung getroffenen 
Fläche, proportional dem Quadrate der Strömungsgeschwindig- 
keit und der Dichte der Flüssigkeit. 

Für Luft ergibt sich der Wert der Druckkraft mit ö = 0-0012 zu 

0«054 x b' V c' 2 Kilogrammgewichten. 

Wir behandeln noch kurz den Fall, daß die Richtung der 
Strömung gegen die Ebene der Lamelle unter einem be- 
liebigen Winkel a geneigt ist. Eine erste Abweichung von dem 

Falle der senkrechten Strömung be- 
steht darin, daß die Grenze zwischen 
den nach rechts und den nach links 
abfließenden Teilen der Flüssigkeit 
nicht mehr durch die Mitte der 
Lamelle geht. Sie trifft vielmehr 
die Lamelle seitlich, wie dies durch 
die Linie D G der Figur 162 an- 
schaulich gemacht wird. In dem 
Falle von Fig. 161 ergibt sich ferner 
schon aus der Symmetrie, daß die 
resultierende Druckkraft ihren An- 
griffspunkt in der Mitte C der La- 
melle haben muß. Bei schiefer Rich- 
Fig. 162. tung der Strömung erfährt auch 

dieser Punkt eine seitliche Verschie- 
bung; in Fig. 162 ist die Druckkraft durch den Pfeil N dargestellt, 
hr Angriffspunkt liegt in dem Punkte n. Sein Abstand von der Mitte G 
der Lamelle wird um so größer, je kleiner der Winkel a zwischen der 




§163 Flüssigkeiten und starre Körper in wechselseitiger Bewegung 221 

Stromrichtung und der Fläche der Lamelle ist. Die Theorie gibt für 
den Abstand Gn die Formel 

Cn 3 cos a 

AB 4 (4 + n sin a) 

Seinen größten Wert erreicht Cn für a gleich Null, und zwar 
wird dann: 

[Gn\ = 0-187 X AB. 

Endlich ist natürlich auch die Größe der Druckkraft abhängig von 
dem Winkel a. Hierfür ergibt sich das Gesetz: 

Resultierende Druckkraft N = — bld'c 2 . 

4 + n Sin n 

Bezeichnen wir mit iV 90 den Betrag der Druckkraft bei senkrechter 
Strömung, so ist: 

N (4 + n) sin « 



N 90 4 + 7i sin a 

Die folgende Tabelle enthält eine Reihe von Zahlen, die aus den 
angeführten Formeln abgeleitet sind, und mit Hilfe deren die Druckkraft 
sowie die Lage der Punkte und n berechnet werden kann: 1 

a NjN 90 CnjAB CGI AB 

90° 1-000 0-000 0-000 

70° 0-965 0-037 0-232 

50° 0-854 0-075 0-402 

30° 0-641 0-117 0-483 

20° 0-481 0-139 0-496 

10° 0-273 0-163 0-500 

An das vorhergehende knüpfen sich noch ein paar praktische 
Folgerungen. Machen wir unsere Lamelle drehbar um eine Achse, 
welche durch ihren Mittelpunkt G parallel zu den Längskanten hindurch- 
geht, so stellt sie sich unter der Wirkung des von der Strömung her- 
rührenden Druckes zu dieser senkrecht. Wir nehmen andererseits einen 
Punkt n seitlich von der Achse, aber so, daß die Entfernung Cn kleiner 
als 0-187 x AB ist. Machen wir die Lamelle drehbar um eine durch 
jenen Punkt gehende Längsachse, so stellt sie sich schief gegen die 
Strömung und der Betrag der Neigung kann mit Hilfe unserer Tabelle 
bestimmt werden. Wird die Entfernung der Drehungsachse, von der 
Mitte der Lamelle gleich oder größer als 0,187 X AB, so stellt sie sich 
in die Richtung der Strömung. 

Zum Schlüsse möge noch darauf hingewiesen werden, daß die vor- 
hergehenden Resultate sich auf den Fall übertragen lassen, daß eine starre, 
ebene Lamelle durch eine im ganzen ruhende Flüssigkeit bewegt wird. Es 
beruht dies auf derselben Überlegung, die wir in § 160 angestellt haben. 

§ 163. Ergebnisse der Beobachtung; Winddruck. Für den Druck, 
welchen der Wind auf eine senkrecht zu seiner Richtung 



1 Lord Rayleigh, On the resistance of fluids. Philos. Mag. Dez. 1876, 



222 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase § 163 

stehende Lamelle von der Fläche F ausübt, hat Lilienthal die 
empirische Formel aufgestellt: 

N 90 = Q-lSFv 2 • Kilogrammgewichten. 

Hier bedeutet v die Windgeschwindigkeit in m/sec; ebenso wie in dem 
vorhergehenden Paragraphen ist als Einheit der Fläche das qm genommen. 
Mit der theoretischen Formel von § 162 stimmt die empirische nur in 
der Größenordnung überein; der beobachtete Druck ist 2-4 mal größer 
als der berechnete. 

Die Erklärung dieser Differenz liegt vor allem darin, daß die Theorie 
sich auf eine ideale, reibungslose Flüssigkeit bezieht; die Reibung der 
Luft wirkt aber einmal direkt vergrößernd auf die Druckkraft, anderer- 
seits erzeugt sie auf der Rückseite der Lamelle Wirbel, welche den 
dort vorhandenen hydrostatischen Druck verkleinern. 

Der Einfluß der Luftreibung tritt sehr deutlich hervor, wenn die 
Windrichtung nicht senkrecht zu der Lamelle steht, sondern 
unter einem kleineren Winkel u gegen sie geneigt ist. Während bei 
der idealen Flüssigkeit der Druck nach wie vor senkrecht zu der Fläche 
der Lamelle bleibt, tritt bei den Experimenten Lilienthals zu der 
normalen Druckkraft N noch eine tangentiale Kraft P hinzu, 
welche die Lamelle in ihrer Ebene in einem der Windrichtung ent- 
sprechenden Sinne zu verschieben sucht. In der Fig. 163 sind die Werte 
von N I N 90 und von Pj N go , wie sie sich aus den Beobachtungen von 
Lilienthal ergeben, auf den von G aus gezogenen Windrichtungen ab- 
getragen. A B stellt die von dem Winde getroffene Lamelle dar. Weht 
der Wind in der Richtung D G senkrecht zu der Lamelle, so ist die 
normale Druckkraft am größten, die mit der Lamelle parallele Kraft 
verschwindet. Fällt umgekehrt die Windrichtung in die Lamelle, so ist 
die Normalkraft Null, die tangentiale Wirkung im Maximum. 

Die gestrichelte Kurve gibt die Werte von N j N go , welche sich aus 
der theoretischen Formel des vorhergehenden Paragraphen ergeben. Nach 
den Versuchen Lilienthals nimmt die normale Kraft schneller ab als 
nach der Theorie. 

Den Abstand des Angriffspunktes der normalen Druck- 
kraft von der Mitte der Lamelle hat Kummer 1 auf experimentellem 
Wege bestimmt. Das Prinzip für eine solche Bestimmung liegt in den 
Bemerkungen am Schlüsse des vorhergehenden Paragraphen. Ebenso 
wie dort bezeichne AB die Breite der Lamelle, C ihre Mitte und n den 
Angriffspunkt der normalen Druckkraft. Bei einer quadratischen Scheibe 
von 8 cm Kantenlänge ergaben sich bei verschiedenen Neigungswinkeln a 
die folgenden Werte des Verhältnisses GnjAB 

a 90° 70° 50° 30° 20° ■ 10° 0° 

Gn 

0-000 0-033 0-058 0-081 0-150 0-222 0-266 « 



AB 



1 Abhandl. d. Kgl. Akad d. Wiss. zu Berlin 1876. 



§164 Flüssigkeiten und starre Körper in wechselseitiger Bewegung 223 



Eine unmittelbare Vergleichung dieser Zahlen mit den in dem vor- 
hergehenden Paragraphen mitgeteilten ist nicht möglich; die letzteren 




A C B 

Fig. 163. Druck des Windes. 

gelten für ein langes und schmales Rechteck; die von Kummek er- 
mittelten für eine quadratische Scheibe. 

§ 164, Stoß von Flüssigkeitsstrahlen gegen starre Körper. Von 
dem Drucke, den ein freier Flüssigkeitsstrahl, der einen starren Körper 
trifft, auf diesen ausübt, hat man bei gewissen Formen der Turbinen 
praktische Anwendung gemacht. 

Die Größe der Druckkraft läßt sich in einem speziellen Falle durch 
eine ziemlich elementare Betrachtung bestimmen. Der starre Körper 
habe die Gestalt eines Keiles mit scharfer Schneide, dessen Seitenflächen 
durch zwei sich berührende Zylinder von gleichem Radius dargestellt 
sein mögen. Fig. 164 gibt einen Durchschnitt des Keiles senkrecht 
zu seiner Kante. Die Kreisbogen A C und B G entsprechen den Seiten- 
flächen des Keiles; CD ist ihre gemeinsame Tangente und zugleich 
Symmetrieachse der Figur. In der Richtung CD stoße nun auf die 
Kante des Keiles ein Flüssigkeitsstrahl mit der Geschwindigkeit v. Seine 



224 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



164 




Dicke sei b, seine Breite sei gleich der Länge L des Keiles. Wir 
setzen voraus, daß L sehr groß sei gegen b. Der Strahl habe also 
die Gestalt einer breiten aber dünnen Lamelle. Beim Auftreffen auf 

die Kante des Keiles 
teilt er sich in zwei 
Teile, deren jeder die 
Dicke 1 / 2 b besitzen 
wird. Diese werden 

_i_ J?--- { -^jf längs der Kreisbögen 

CA und GB von der 
ursprünglichen Sich- 
tung CD abgelenkt, 
und verlassen den 
Keil in den Enden A 
und B in tangentialer 
Richtung mit der Ge- 
schwindigkeit v. Da- 
bei üben die im Kreise 
sich bewegenden Was- 
Fi g- 164 - serteilchen Zentrifu- 

galkräfte auf die Sei- 
ten des Keiles aus; die Resultante dieser Zentrifugalkräfte gibt die auf 
den Keil wirkende Druckkraft. 

Nehmen wir in dem an GB entlang gleitenden Strahl ein Stück 
von der Länge s, so ist das ihm entsprechende Flüssigkeitsvolumen 
gleich \bhs; ist S die Dichte der Flüssigkeit, so ist die in dem be- 
trachteten Stücke s enthaltene Masse gleich \SbLs, somit die von 
ihm auf die Wand des Keiles ausgeübte Zentrifugalkraft gleich 

— SbLs — , 
2 r 

wenn wir unter r den Halbmesser MC des Kreisbogens GB verstehen. 
Von dieser Kraft wird aber aus Symmetriegründen nur die der Mittel- 
linie CD parallele Komponente zur Geltung kommen. Bezeichnen wir 
den Winkel zwischen M C und zwischen dem nach dem Stücke s gehen- 
den Radiusvektor mit cp, so ist jene wirksame Komponente gegeben durch: 

— ob L — ssinflp. 
2 r T 

Nun ist aber s sin cp nichts anderes, als die Projektion von s auf 
die Linie MC. Bezeichnen wir diese Projektion mit a, so ergibt sich 
für die ganze Kraft, die auf die Seite B G des Keiles in der Richtung 
CD wirkt, der Ausdruck: 



1^I^ = ^L^X^ 



',u einem 
105) ein 




§ 165 Flüssigkeilen und starre Körper in wechselseitiger Bewegung 225 

wo wir mit ß den Projektionspunkt von B auf MC bezeichnen. Der 
Winkel, den die Strahlrichtung beim Verlassen der Keilfiäche mit der 
Achse CD einschließt sei a, dann ist Cß = r — rGOBa. Für die ge- 
samte Kraft, welche der Strahl in der Sichtung CD auf beide 
Flächen des Keiles zusammengenommen ausübt, ergibt sich 
hiernach der Wert: ÖbLv % (l —cos«). 

Dasselbe Gesetz gilt noch in einem anderen Falle, der z 
hübschen Experimente Veranlassung gibt. Es sei AB (Fig. 
zylindrischer Wasserstrahl, der vertikal aus 
der Mündung eines Springbrunnens empor- 
steigt. Er treffe auf eine Kugel, deren Mittel- 
punkt M in der Achse des Strahles sich be- 
linde. Der Strahl wird an der Kugel trichter- 
förmig ausgebreitet und fällt seitlich wieder 
nach unten zurück. Wir bezeichnenden Winkel, 
unter dem die Kanten des Trichters gegen 
die Achse des Strahles geneigt sind, mit a, den 
Querschnitt des ungeteilten Strahles mit q, 
die Geschwindigkeit der Flüssigkeit wie oben 
mit v, ihre Dichte mit d; die Kraft, welche 
der Strahl auf die Kugel nach oben hin ausübt, 
ist dann gleich: 

S qv 2 {\ — cos«). 

Ist diese Kraft gleich dem Gewichte der 
Kugel, so bleibt diese auf dem Gipfel des 
Strahles schweben, allein von dem Druck des 
Strahles getragen. 

Besonders überraschend gestaltet sich 
der Versuch, wenn wir eine verhältnismäßig 

leichte Kugel von einem Luftstrahle tragen lassen. Das Gleichgewicht 
der Kugel ist dann ein vollkommen stabiles; denn verschieben wir den 
Mittelpunkt der Kugel, so daß sie an der Seite des Luftstrahles sich 
befindet, so schwingt sie infolge des verminderten Seitendruckes der 
bewegten Luft (§ 157) von selber nach der Achse des Strahles zurück. 

§ 165. Der Drache. Dieses bekannte Spielzeug ist in neuerer Zeit 
vielfach verwandt worden, um mit seiner Hilfe Untersuchungen über den 
Zustand der Atmosphäre anzustellen. Dieser Umstand mag es rechtfertigen, 
wenn wir seiner Betrachtung einige Zeilen widmen. Es würde zu weit 
führen, wenn wir hier eine allgemeine Theorie des Gleichgewichtes und 
der Bewegung eines Drachen in der Luft geben wollten. Wir werden 
uns darauf beschränken, an einem den Verhältnissen der Wirklichkeit 
einigermaßen entsprechenden Beispiele die in Betracht kommenden 
Wirkungen zu studieren, und insbesondere das Gewicht zu bestimmen, 

Riecke, Physik I, Dritte Aufl. 15 



A 

Fig. 165. 



226 



Mechanik der Flüssigkeiten und Oase 



§ 165 



welches der Drache zu tragen imstande ist; denn dieses ist gerade mit 
Rücksicht auf die praktischen Anwendungen von besonderem Interesse. 
Der Drache bestehe zunächst aus einem einfachen, möglichst leichten 
Rahmen von rechteckiger Form, der mit Papier überspannt ist. Die 
Länge des Rechteckes betrage 1-5 m, die Breite 1 m. Wir nehmen an, 
der Drache stehe ruhig im Winde so, daß seine Längskanten zur 
Windrichtung senkrecht sind, seine Fläche unter einem Winkel von 20° 
gegen jene Richtung geneigt ist. Der Wind wehe in horizontaler 
Richtung; die Längskanten des Drachens stehen gleichfalls horizontal. 
Die Windgeschwindigkeit betrage 10 m in der Sekunde. Unter diesen 
Umständen ergibt sich aus den Versuchen von Lilifnthal eine normale 
Druckkraft N von im ganzen 7-47 kg-Grewichten, ein tangentialer Zug P 
von 1 -05 kg-Gewichten. Der Angriffspunkt der normalen Druckkraft kann 
aus den Angaben der §§ 162 und 163 näherungsweise bestimmt werden. 
Er ist von dem Mittelpunkt des Rechteckes um ca. 14-5 cm der Wind- 
richtung entgegen verschoben. Diesen Verhältnissen entspricht die 
Fig. 166. A und B stellen die Mitten der langen Kanten der Drachen- 




Fig. 166. G-leichgewicht des Drachens. 



fläche dar; ihre Verbindungslinie AB wollen wir als die Mittellinie des 
Drachens bezeichnen; die Figur bezieht sich auf eine Ebene, welche durch 
die Mittellinie senkrecht zu den langen Kanten gelegt ist; diese Ebene ist 
vertikal und geht durch die Windrichtung. Cist der Mittelpunkt der Drachen- 
liäche; in ihm werden wir das Gewicht Q des Drachens samt der etwaigen 
Belastung angreifen lassen. D bezeichnet den Angriffspunkt der normalen 
Druckkraft; DE die Resultante R aus der normalen Kraft N und aus 
der tangentialen P. Die Schnur oder der Draht, welcher den Drachen 
hält, mache mit der Horizontalen einen Winkel von 45°; seine Spannung 
sei T. Von den drei Kräften, welche auf den Drachen wirken, ist uns 



§ 165 Flüssigkeiten und starre Körper in wechselseitiger Bewegung 227 

die eine R, der Größe und der Richtung nach bekannt; von den anderen 
O und T kennen wir nur die Richtung. Konstruieren wir demnach 
über der Linie DE, der Repräsentanten von R, ein Dreieck EFD, dessen 
eine Seite EF vertikal, dessen andere Seite FD unter 45° gegen die 
Horizontale geneigt ist, so stellt EF das Gewicht des Drachen, FD den 
Zug des Drahtes dar. Die Resultante DE ist gleich 7-55 kg Gewichten; 
aus der Figur ergibt sich für das Gewicht O der Betrag von 3 kg- 
Gewichten, für den Zug T ein solcher von 5-2 kg -Gewichten. Beträgt 
das Eigengewicht des Drachens etwa 1 kg -Gewicht, so ist er imstande, 
noch eine Last von 2 kg-Gewichten zu tragen, die in C anzuhängen ist. 

Damit aber der Drache unter den angenommenen Verhältnissen 
wirklich im Gleichgewicht sich befindet, muß schließlich noch der Punkt, 
in dem der Draht zu befestigen ist, in geeigneter Weise bestimmt 
werden. Drei Kräfte können an einem starren Körper nur dann im 
Gleichgewichte sein, wenn ihre geometrischen Repräsentanten durch einen 
und denselben Punkt gehen. Nun schneiden sich die Richtungen des 
Gewichtes G und des resultierenden Winddruckes DE in H; durch den- 
selben Punkt muß somit auch der Zug T gehen; wir erhalten seinen 
Angriffspunkt J, wenn wir durch H die Parallele HJ zu FD ziehen. In 
dem Punkte J muß der Draht JK befestigt sein. 

In Wirklichkeit wird der Befestigungspunkt J des Drachens von 
Hause aus gegeben sein; man kann dann die ganze im vorhergehenden 
enthaltene Schlußfolgerung umkehren und erhält den Satz: Wenn das 
gesamte Gewicht des Drachens 3 kg-Gewichte beträgt, so ist er 
unter den folgenden Bedingungen im Gleichgewicht. Seine 
Mittellinie AB muß mit dem Drahte JKm einer und derselben vertikalen 
Ebene liegen, die langen Kanten der Drachenfläche, A und B müssen 
horizontal, also senkrecht zu der Richtung des Windes liegen; die Fläche 
des Drachens muß unter einem Winkel von 20° gegen die Windrichtung 
geneigt sein, der Draht, welcher den Drachen hält, einen Winkel von 
45° mit der Horizontalen bilden. 

Man wird nun zu der weiteren Frage kommen, ob das so bestimmte 
Gleichgewicht des Drachens ein stabiles ist. Um dies zu entscheiden, 
muß man den Drachen aus der Gleichgewichtsstellung herausbringen 
und zusehen, ob unter allen Umständen Kräfte entstehen, die ihn in 
die Gleichgewichtslage zurückzuführen suchen. Bei unveränderter Länge 
des haltenden Drahtes KJ kommen vorzugsweise die folgenden Be- 
wegungen in Betracht. Der Punkt J kann sich nach oben oder nach 
unten auf einem Kreisbogen verschieben, welcher sich in der Vertikalebene 
KJA mit KJ als Halbmesser beschreiben läßt; zugleich kann sich der 
Drache um eine durch J gehende horizontale Achse drehen, so daß seine 
Neigung gegen den Wind eine andere wird. Zweitens kann sich der 
Punkt J seitlich auf einem Kreisbogen verschieben, der mit KJ als 
Halbmesser so beschrieben ist, daß er in J auf der Ebene A JK senkrecht 
steht; zugleich kann sich der Drache um seine Mittellinie AB drehen. 

15* 



228 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase § 165 

Es ergibt sich nun in der Tat, daß das Gleichgewicht des Drachens all 
jenen Verschiebungen gegenüber stabil ist, wenigstens solange, als sie 
ein gewisses Maß nicht überschreiten. Daraus folgt aber nicht, daß der 
Drache ruhig in seiner Gleichgewichtslage steht; es folgt daraus nur, 
daß er um diese Gleichgewichtslage herum schwingt und immer wieder 
nach ihr zurückzukehren sucht. Man hat häufig Gelegenheit, solche 
Schwingungen zu beobachten, namentlich die durch die seitlichen Ab- 
weichungen bedingten. Dabei besteht aber immer die Gefahr, daß diese 
schlingernden Bewegungen durch äußere Störungen verstärkt werden, so 
daß die Grenze der Stabilität überschritten wird, nnd der Drache zu 
Boden stürzt. 

Aber auch ganz abgesehen hiervon werden Schwingungen störend 
sein, wenn der Drache irgendwelche Instrumente zu Beobachtungs- 
zwecken zu tragen hat. Man wird also unter allen Umständen 
schwingende Bewegungen zu unterdrücken suchen, und man wird dies 
erreichen, indem man sie in einer möglichst wirksamen Weise dämpft. 
Bei dem Spielzeug der Knaben dient dazu der Drachenschwanz. Bei 
den zu wissenschaftlichen Zwecken bestimmten Drachen hat man den- 
selben Zweck ohne Verminderung der Tragkraft dadurch erreicht, daß 
man ihnen die Form einer Röhre von rechteckigem Querschnitt gibt, 
welche mehr breit als lang ist, und durch welche der Wind hin durch- 
streichen kann (Fig. 167). Auf die untere Fläche wirkt der Wind 

ebenso, wie auf die Fläche 
eines einfachen Drachen; von 
der Bewegung der Luft 
zwischen der oberen und der 
unteren Fläche kann man sich 
Fig. 167. zwar ein ungefähres Bild 

machen; es scheint aber 
schwierig, die hier auftretenden Druckkräfte zu bestimmen. Vorerst ist 
es jedenfalls nicht möglich, die Gleichgewichtsbedingungen in derselben 
Weise aufzustellen, wie bei einem einfachen Drachen. Die Erfahrung 
aber zeigt, daß solche röhrenförmige Drachen, der Vergrößerung der 
Fläche entsprechend, eine größere Tragkraft und eine starke Dämpfung 
besitzen; sie stehen ruhig im Winde. Es wird dies zum Teil von Luft- 
reibung, zum Teil davon herrühren, daß die Luft seitlichen Bewegungen 
des Drachens einen erheblichen Widerstand entgegensetzt, vermöge des 
auf die Seitenwände ausgeübten Druckes. 

Das Steigen des Drachens wird durch Nachlassen des haltenden 
Drahtes bewirkt; seine Spannung wird dadurch vorübergehend vermindert, 
es entsteht eine Resultante der wirkenden Kräfte, welche den Drachen 
in der Richtung des Drahtes nach oben treibt. Mit einem einzelnen 
Drachen hat man so eine Höhe von 1000 m erreicht; bis zu Höhen von 
4000 m ist man gekommen, indem man mehrere Drachen übereinander 
setzte, so daß einer den anderen trug. 





§166 Flüssigkeiten und starre Körper in wechselseitiger Bewegung 229 



§166. DerBumerang. Ein besonders merkwürdiger Fall von Bewegung 
eines starren Körpers in der Luft wird uns geboten durch den Bumerang, 
das Wurfgeschoß der australischen Wilden. Wir beschränken uns auf 
die Darstellung der beobachteten Bewegungen, ohne auf einen Versuch 



zu ihrer Erklärung uns einzulassen. 1 



Der Bumerang wird am besten aus Eschenholz hergestellt; er hat 
die in Fig. 168 a gezeichnete Form, seine Länge beträgt, in der Mittel- 
linie gemessen, etwa 80 cm. Er ist in seiner Mitte B etwa 6*5 cm 
breit und 1 cm dick; er ist bei B annähernd in einem rechten Winkel 
gebogen. Der Querschnitt ist in Fig. 168 b gezeichnet. Die eine 




Fig. 168 a. 



Fig. 168 b. 



Seite ist stärker gewölbt wie die andere. Das Gewicht beträgt ungefähr 
230 g. Die Arme BA und BG werden nach den Enden hin etwas 
schmäler; sie sind aus der Ebene ABC heraus um die Linien AB und 
B G im Sinne einer rechtsläufigen Schraube gedreht; die Drehung beträgt 
nur 2 bis 3°, so daß die breiten 
Flächen des Bumerang sich als ganz 
flache, rechtsgewundene Schrauben- 
flächen darstellen. 

Beim Werfen hält man den Bu- 
merang so, daß die gewölbtere Seite 
nach links, die konkave Kante nach 
vorn zeigt, die Ebene ABC stellt 
man vertikal, und wirft nun den 
Bumerang horizontal nach vorn, indem 
man ihn zugleich in möglichst rasche 
Rotation um eine horizontale zu A B G 
senkrechte Achse versetzt. Figur 169 
gibt ein Bild der einfachsten, von 
einem Bumerang beschriebenen Bahn. 
Der untere Teil der Figur stellt die 

Projektion auf die horizontale Fläche des Bodens dar, der obere 
Teil die Projektion auf die vertikale Ebene, zu welcher die hori- 
zontale Projektion symmetrisch ist. A W repräsentiert die Richtung des 




D 

Fig. 169. 



1 Gilbert T. Walker, Phys. Zeitschrift IL p. 457. 



230 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



§ 167 



anfänglichen Wurfes, a die Anfangsstellung der Rotationsachse. Der Maß- 
stab der Figur ist etwa 1:1000. Während der Bewegung erfährt die 

Rotationsachse eine doppelte Änderung. 
Sie dreht sich einmal um eine verti- 
kale Achse entgegengesetzt der Bewe- 
gung des Uhrzeigers; zugleich krümmt 
sich die Bahn nach der linken Seite 
des Werfenden. Zweitens dreht sich die 
Achse im Sinne des Uhrzeigers um die 
Flugrichtung des Bumerang, so daß die 
zu Anfang vertikal stehende Rotations- 
ebene sich der horizontalen Lage nähert; 
zugleich steigt die Bahn in die Höhe. 
Die Bahn wendet sich bei C dem 
Werfenden wieder zu, der Bumerang 
sinkt von der erreichten Höhe herab, 
seine Rotationsgeschwindigkeit wird 
infolge des Luftwiderstandes allmählich 
kleiner, und schließlich erreicht er 
den Erdboden nahe den Füßen des 
Werfenden. 

Eine kompliziertere Bahnkurve 
entsprechend einer größeren Anfangs- 
geschwindigkeit ist in Figur 170 dar- 
gestellt. Der untere Teil der Figur 
gibt wieder eine Projektion auf die Horizontalebene; der obere Teil 
stellt eine Vertikalprojektion der Bahn dar. Die Projektionsebene steht 
aber senkrecht zu der bei Fig. 166 gewählten, da nur so der schleifen- 
förmige Teil der Bahn deutlich wird. 




Drittes Kapitel. Wellenbewegungen. 

§ 167. Wellen inkompressibler Flüssigkeiten. Wenn man einen 
Stein in die ruhige Oberfläche eines Teiches wirft, so sieht man die be- 
kannte Erscheinung der Wellenringe, die sich um den getroffenen Punkt 
konzentrisch verbreiten. Die Gebrüder Weber erzeugten bei ihren 
klassischen Untersuchungen über Wellenbewegung ähnliche Wellen in 
einer von parallelen Glaswänden begrenzten Rinne, indem sie an dem 
einen Ende eine Säule der Flüssigkeit, mit der die Rinne gefüllt war, 
in einer Glasröhre aufsaugten und dann fallen ließen. In beiden Fällen 
besteht die Welle aus einem voranschreitenden Wellenberg und einem 
darauf folgenden Wellental. Beide zusammen geben die ganze 
Länge der Welle. Wie bei jeder Weilenbewegung, so ist auch hier, 
zu unterscheiden zwischen der scheinbaren Bewegung, welche in dem 
Fortschreiten der Welle, d. h. der in der angegebenen Weise veränderten 



§167 Wellenbewegungen 231 

Gestalt der Oberfläche, von einer Stelle zu der anderen besteht, und der 
reellen Bewegung, welche die einzelnen Teilchen der Flüssigkeit selbst 
dabei ausführen. Wie bei den Seilwellen in § 104, so wird auch hier eine 
Hauptaufgabe der Forschung in der Ermittelung des zwischen den beiden 
Bewegungen vorhandenen Zusammenhanges bestehen. Daß die reelle 
Bewegung der Flüssigkeitsteilchen keine fortschreitende, sondern im 
wesentlichen eine schwingende ist, erkennen wir, wenn wir irgend einen 
auf dem Wasser schwimmenden oder in ihm suspendierten Körper be- 
obachten. Die Welle ist also kein Körper, der dauernd aus denselben 
Teilchen sich zusammensetzte, sondern nur eine Form der Oberfläche 
und der übereinander gelagerten Schichten der Flüssigkeit; im Zustande 
der Ruhe sind diese eben, bei der Wellenbewegung gekrümmt, so daß 
sie Erhebungen und Vertiefungen bilden. Das Fortrücken einer Welle 
ist daher nur ein Fortrücken dieser Form; während die Welle, die durch 
den in das Wasser geworfenen Stein erzeugt wurde, über einen immer 
größeren Kreis sich ausdehnt, bleibt das Wasser, aus dem sie jeweils 
besteht, an seinem Ort. 

Für die reelle Bewegung der Flüssigkeitsteilchen bei der Wellen- 
bewegung ergeben sich aus den Beobachtungen der Gebrüder Weber 
die folgenden Sätze: 

Die Schwingungsbahnen der in der Nähe der Oberfläche 
der Flüssigkeiten befindlichen Teilchen sind anscheinend 
Ellipsen, die sich der Kreisgestalt nähern; mit der Tiefe wird 
die elliptische Gestalt der Bahnen immer gestreckter und 
fällt endlich mit einer horizontalen geraden Linie zusammen. 

Mit der Tiefe nehmen die Bahnen der daselbst schwingenden Teil- 
chen, sowohl im senkrechten als im horizontalen Durchmesser, an 
Größe ab. 

Die schwingende Bewegung der Teilchen ist selbst in einer Tiefe, 
welche der 350 maligen Höhe der Welle über der Oberfläche gleich- 
kommt, noch wahrnehmbar. 

Die scheinbare Bewegung, das Fortschreiten der Welle, 
ergibt sich aus der geschilderten reellen Bewegung dadurch, 
daß die horizontal in der Fortschreitungsrichtung hinterein- 
ander liegenden Teilchen sukzessiv in eine schwingende 
Bewegung geraten, und zwar so, daß sich niemals mehrere 
derselben, die zu einer Welle gehören, gleichzeitig in ent- 
sprechenden Punkten ihrer Schwingungsbahnen befinden, 
sondern erst sukzessiv in diese entsprechendenPunkte kommen. 

Nach der Lage der Teilchen in den Schwingungsbahnen bemessen 
wir, ebenso wie in § 104, die Phasen der Schwingung; die Beziehung 
zwischen den Schwingungen verschiedener Teilchen drückt sich dann 
dadurch aus, daß sie eine bestimmte Phasendifferenz besitzen. 

In die Tiefe der Flüssigkeit hinab bemerkt man weder bei der Er- 
regung noch bei dem Fortgange der Wellen ein allmähliches Fortschreiten 



232 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



167 



derselben, sondern die schwingende Bewegung scheint gleichzeitig in der 
Tiefe und an der Oberfläche zu geschehen, und die senkrecht unterein- 
ander liegenden Teilchen einer Flüssigkeit scheinen gleichzeitig in die sich 
entsprechenden Punkte ihrer Schwingungsbahnen eintreten. 1 

Daß durch eine solche schwingende Bewegung der einzelnen Teilchen 
der Flüssigkeit in der Tat die Formänderung der Oberfläche hervor- 
gebracht Avird, die wir bei der Wellenbewegung beobachten, ergibt sich 
aus Fig. 171. Die Punkte a, b, c, . . .i stellen die in gleichen Ab- 
ständen genommenen Mittelpunkte von vertikalen Kreisen dar, in denen 
sich die an der Oberfläche befindlichen Teilchen A, B, C, . . . J der 
Flüssigkeit bewegen. Von diesen Teilchen mögen sechs gerade auf die 



E 7 FLFg & Gs 




Fig. 171. Wasserwellen. 

Länge der Welle kommen. Die Welle schreite von links nach rechts 
fort, die Teilchen bewegen sich in ihren kreisförmigen Bahnen im Sinne 
des Uhrzeigers. Die Welle sei mit dem Anfang ihres Berges bis zu 
dem Teilchen G vorgedrungen, und dieses befinde sich in dem Punkte G x 
eben noch in Ruhe. Das hinter G liegende Teilchen F hat schon 1 / 6 
seines Kreises durchlaufen und befindet sich in F x , das Teilchen E 2 / 6 
in dem Punkte J57, ; D hat schon die Hälfte seiner Bahn zurückgelegt 
und steht seiner Ruhelage diametral gegenüber in D v Die Teilchen 
G und B haben 4 / 6 und 5 / 6 ihrer Bahnen zurückgelegt und sind in den 
Punkten C l und B x angelangt; A endlich hat schon seine ganze Bahn 
vollendet und ist in die Ruhelage A x zurückgekehrt; in dieser bleibt es 
von nun an, es sei denn, daß an die erste Welle sich eine zweite, drifte, 
oder ein ganzer Zug von zusammenhängenden Wellen anschlösse. Die 
Gestalt der Welle ist gegeben durch die Linie A l B x C x D 1 E 1 F 1 G x , 
welche die augenblicklichen Lagen der betrachteten Teilchen verbindet. 
Suchen wir nun die Formänderung, welche die Oberfläche der Flüssig- 
keit erleidet, in dem Zeitintervall, in dem die Flüssigkeitsteilchen den 
sechsten Teil ihrer Bahn durchlaufen. Die betrachteten Teilchen haben 
sich alle um 1 / G des Kreisumfanges weiterbewegt nach den mit dem 
Index 2 versehenen Punkten der betreffenden Kreise; der Fuß des 
Wellenberges ist vorgedrungen bis zu der Ruhelage H 2 des zunächst vor 
G liegenden Teilchens, das Ende des Wellentales ist bei B 2 . Die Welle 
selbst ist gegeben durch die Linie B 2 C 2 D 2 E 2 F 2 G 2 H 2 . Während also 
die Teilchen 1 / 6 ihrer Bahn durchliefen, ist die - Welle um 1 / e ihrer 
Länge vorgerückt. In einem folgenden, gleich großen Zeitintervalle ge- 



1 Ernst Heineich Weber und Wilhelm Weber, Wellenlehre auf Experimente 
gegründet. 1825. Wilhelm Webers Werke, Bd. V. p. 90 — 94. 



§ 167 Wellenbewegungen 233 

langen die Teilchen in die mit dem Index 3 versehenen Punkte; die 
Welle ist dargestellt durch die Linie C 3 D 3 E 3 F 3 G 3 H, A L A ; sie ist in der 
Zeit, in der die Teilchen 2 / G ihrer Bahn durchliefen, um 2 / G ihrer Länge 
vorgeschritten. Setzen wir diese Betrachlung weiter fort, so erkennen 
wir, daß die Wellenbewegung, soweit sie als Formänderung der Ober- 
fläche erscheint, in der Tat dadurch dargestellt werden kann, daß wir 
eine unveränderliche aus Berg und Tal zusammengesetzte Wellenlinie 
über die Oberfläche mit gleichbleibender Geschwindigkeit hinbewegen. 
Wir sehen aber auch, wie diese scheinbare Bewegung aus der kreis- 
förmigen Schwingung der Flüssigkeitsteilchen entsteht, und wir gewinnen 
den beide Bewegungen verbindenden Satz: 

Während ein Teilchen der Flüssigkeit einmal seine Bahn 
durchläuft, schreitet die Welle, in der sich das Teilchen be- 
findet, um so viel fort, als ihre Länge beträgt. 

Bezeichnen wir die Länge der Welle durch l, ihre Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit durch v, die Umlaufszeit der Teilchen in ihrer kreis- 
förmigen Bahn durch T, so ist: 

l = vT. 

Wenn durch einen kontinuierlichen Zug von Wellen die Teilchen an- 
dauernd in ihrer kreisförmigen Bewegung erhalten werden, ist es zweck- 
mäßig, an Stelle von T die Schwingungszahl n der Teilchen einzu- 
führen, die Anzahl der Umläufe, die sie in einer Sekunde machen. Es 

wird dann: 

v 
n = -- 

Die Schwingungszahl der in der Welle befindlichen Teil- 
chen ist gleich der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle, 
dividiert durch die Wellenlänge. 

Die Kraft, die bei der Wellenbewegung wirksam ist, liegt in den 
hydrostatischen Druckdifferenzen, die zwischen dem Berge und dem Tale 
einer Welle und ebenso zwischen beiden und dem Spiegel der ruhen- 
den Flüssigkeit bestehen. Daraus ergibt sich die Möglichkeit einer 
theoretischen Untersuchung der Bewegung vom Standpunkt der Newton- 
schen Prinzipien aus. Wir beschränken uns auf die Angabe eines 
Resultates, das sich auf die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Flüssig- 
keitswellen bezieht. Diese hängt im allgemeinen ab von der Wellen- 
länge und von der Tiefe der Flüssigkeit. Ist die letztere sehr groß 
gegenüber der Wellenlänge, so verschwindet ihr Einfluß, und es ergibt 
sich für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wert 

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist proportional der Wurzel aus 
der Wellenlänge. Ist umgekehrt die Wellenlänge sehr groß im Vergleich 
mit der Tiefe h der Flüssigkeit, pflanzen sich z. B. lange Wellen in einem 

flachen Kanäle fort, so ist ihre Geschwindigkeit v—ygh. 



234 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



168 



§ 168. Das HTJYGHENSsche Prinzip. Von der oberflächlichen Aus- 
breitung einer Welle von einem Erschütterungszentrum aus machen wir uns 
nach Huyghens die folgende Vorstellung. Es sei die von dem Punkte O 

(Fig. 172) ausgehende Welle zu 
irgend einer Zeit bis zu dem Kreise 
abcde . . . vorgedrungen. Nun 
denkt sich Huyghens, daß die von 
der Welle erschütterten Teilchen 
a, b, c, d, e . . . sich wie neue 
W'ellenzentren verhalten, daß von 
ihnen neue Wellen, Elementar- 
wellen, nach vorwärts sich aus- 
breiten mit derselben Geschwindig- 
keit, mit der die Hauptwelle über 
die Oberfläche der Flüssigkeit 
hingeht. In der Zeit also, in 
der die Hauptwelle sich bis zu 
dem Kreise ABCDE... aus- 
gebreitet hätte, haben die von 
den Punkten a, b, c, d, e . . . ausgehenden Elementarwellen auf Kreise 
von dem Halbmesser aA, b B, c C, dB, eE ... sich erweitert, welche 
den Wellenkreis ABCDE... als gemeinsame Umhüllungslinie be- 
sitzen. Dementsprechend können wir uns den Kreis ABCDE... 
zusammengesetzt denken aus den ihn berührenden und sich kon- 
tinuierlich aneinanderreihenden Segmenten der von den Punkten a, 




b, c, d, e 



ausgehenden Elementarwellen. Wir können also in 



der Tat sagen, daß diese nach vorwärts sich zu der neuen Welle 
ABCDE... zusammensetzen; wir müssen aber zugleich annehmen, 
daß im Innern dieses Wellenkreises die Wirkung der sich durch- 
kreuzenden Elementarwellen verschwindet. Für das Verständnis der 
Ausbreitung einer kreisförmigen Welle von einem Erschütterungszentrum 
aus erscheint das HuYGHEisrssche Prinzip überflüssig; es wird aber sofort 
zu einem mächtigen Hilfsmittel für die Untersuchung der Wellen- 
bewegung, wenn wir ihm eine etwas allgemeinere Fassung geben, welche 
durch die zugrunde liegende Vorstellung unmittelbar an die Hand ge- 
geben wird. 

Auf der Oberfläche der Flüssigkeit, auf welcher eine Welle 
sich ausbreitet, sei eine beliebige Linie gegeben (Fig. 173). 
Werden ihre Punkte a, b, c, d, e .. . von der Welle, sei es gleich- 
zeitig (wie in der Figur), sei es sukzessive, getroffen, so breiten 
sich von ihnen Elementarwellen aus, mit derselben Geschwin- 
digkeit, die der gegebenen Welle zukommt; für irgend eine 
spätere Zeit ist dann die Gestalt der Welle, die Linie, bis zu 
der die ursprüngliche Wellenbewegung sich ausgebreitet hat, 
durch die Umhüllende jener Elementarwellen gegeben. 



168 



Wellenbewegungen 



235 



Wir wenden diesen Satz an auf den Durchgang einer von einem 
Punkte (Fig. 174) ausgehenden Welle durch eine Öffnung, die von 
zwei in die Flüssigkeit eintauchenden Wänden gebildet wird. Hier 
werden die in den Punkten a, b, c, d, e der Öffnung liegenden Flüssig- 
keitsteilchen der Reihe nach von der Welle getroffen. Fragen wir 
nach der Gestalt, welche die Welle zu einer Zeit besitzt, in der bei un- 
gestörter Ausbreitung die von ausgehende Welle bis zu dem Kreise 





Fig. 173. 



Fig. 174. 



A E gelangt wäre. Die von den Teilchen a, b, e, d, e erregten Elementar- 
wellen haben sich in dem betrachteten Zeitpunkte zu Kreisen mit den 
Halbmessern a A, b B, oC, dB und e E erweitert. Ihre gemeinsame Um- 
hüllungslinie wird durch den Kreisbogen AB ÖDE dargestellt, der von 
den Verbindungslinien OA und OE des Wellenzentrums mit den Rän- 
dern der Öffnung begrenzt wird. Die Welle dringt also von aus in 
den Raum hinter der Öffnung ein, aber so, daß sie in diesem Räume 
begrenzt wird durch die nach den Rändern der Öffnung hingehenden 
Strahlen. Man bezeichnet dies als geradlinige Ausbreitung der 
Welle. Jedoch findet eine solche in Wirklichkeit nur statt, wenn die 
Wellenlänge klein ist gegen die Breite der Öffnung. Es folgt dies aus 
einer tiefer eindringenden Untersuchung, die wir der Wellenlehre des 
Lichtes vorbehalten. 

Wir betrachten zweitens mit Hilfe des HüYGHENSschen Prinzips den 
Vorgang der Reflexion einer Welle. In einer Flüssigkeit, die auf einer 
Seite durch eine ebene Wand begrenzt ist, werde in dem Punkte 



236 



Mechanik der Flüssigkeiten und Gase 



168 



(Fig. 175) eine Welle erregt; sie breitet sich zunächst kreisförmig aus, 
bis sie an die Wand stößt. Es entsteht nun die Aufgabe, die weitere 
Bewegung zu bestimmen, die Gestalt der Welle für irgend einen spä- 
teren Zeitpunkt zu konstruieren. Wir können diesen Zeitpunkt dadurch 
fixieren, daß wir den Kreis fe A e f zeichnen, bis zu dem die Welle von 
aus sich verbreitet hätte ohne das Dazwischentreten der Wand. Ist 
a die Mitte der Sehne ee, die jener Kreis aus der Wand ausschneidet, 




N 6-^ 

Fig. 175. Reflexion einer Welle. 

so wird das in a befindliche Flüssigkeitsteilchen zuerst von der Welle 
getroffen, darauf die Teilchen b, V ' — c, c — d, d' — zuletzt die Teilchen 
e, e. In der Zeit, in der die Hauptwelle bis zu dem Kreis eAe fort- 
schreiten würde, breiten sich die von den Teilchen a, b, b', c, c , d, d' aus- 
gehenden Elementarwellen auf Kreise mit den Halbmessern aA, Bb, 
cC dB aus. Im Falle der Reflexion können von diesen Kreisen nur die 
rückwärts gewandten Teile in Betracht kommen, im Gegensatz zu dem 
Falle der fortschreitenden Welle, in dem wir nur die vorwärts liegen- 
den Teile zu berücksichtigen hatten. Die umhüllende dieser Elementar- 
wellen ist ein Kreisbogen eAe, der zu dem Bogen eAe symmetrisch 
liegt mit Bezug auf die feste Wand. Sein Mittelpunkt liegt in dem zu 
symmetrischen Punkte £!. Hieraus folgt, daß zu der betrachteten Zeit 
die Welle aus zwei Teilen besteht, dem ungestörten Wellenkreise fe — fe, 
der noch nicht mit der Wand in Berührung gekommen ist, und dem 



§ 169 Wellenbewegungen 237 

von der Wand reflektierten Teil eAe. Dieser reflektierte Teil besteht 
aus einem Kreisbogen, dessen Mittelpunkt £2 auf dem von dem Er- 
schütterungszentrum auf die Wand gefällten Lote Oa gerade so weit 
hinter der W"and liegt, als vor derselben. Der reflektierte Teil der 
Welle verhält sich demnach gerade so, als ob er zu einer Welle gehörte, 
die in einem zu dem Wellenzentrum mit Bezug auf die Wand symme- 
trischen Punkte erregt wäre. 

In dem Punkte e ist die Fortschreitungsrichtung der ursprünglichen 
Welle gegeben durch den Radius Oe, die der reflektierten Welle durch 
£2 er; wir bezeichnen diese Richtungen als die Wellenstrahlen. Ziehen 
wir in dem Punkte e die Linie en senkrecht zu der reflektierenden Wand, 
so sind die Winkel Oen und ren gleich. Wir nennen en das Ein- 
fallslot, Oen den Einfalls-, ren den Reflexionswinkel und haben 
dann den Satz: 

Trifft eine Welle auf eine ebene Wand, so wird sie so 
reflektiert, daß der Einfallswinkel gleich dem Reflexions- 
winkel ist. 

§ 169. Stellende Wellen. Wir betrachten den Fall, daß in dem 
Erschütterungszentrum eine stetige Folge von gleich langen Wellen 
erregt wird, die sich zu einem zusammenhängenden Wellenzuge ver- 
binden. Wird dieser an einer geradlinigen Wand reflektiert, so entsteht 
ein zweiter aus den einzelnen reflektierten Wellen zusammengesetzter 
Zug. Dieser besteht ebenso wie der ursprüngliche aus kreisförmigen 
Wellen; das Zentrum £2, von dem sie scheinbar ausgehen, liegt nach 
dem Vorhergehenden symmetrisch mit zu der reflektierenden Wand. 
Die gleichzeitige Ausbreitung der beiden Wellenzüge auf der Oberfläche, 
die damit verbundene Durchkreuzung ihrer Berge und Täler gibt zu 
eigentümlichen Erscheinungen Veranlassung, deren Analogie bei den 
Seilwellen in § 106 behandelt worden ist. Wir bezeichnen diese Er- 
scheinungen mit dem schon damals eingeführten Namen der Inter- 
ferenz. Das Ergebnis der Durchkreuzung bestimmt sich nach dem 
Prinzip der Kombination mit Hilfe des in §§ 105 und 106 geschilderten 
Verfahrens. An jeder Stelle der Flüssigkeitsoberfläche ist die wirkliche 
Abweichung der Teilchen von ihrer Ruhelage gleich der algebraischen 
Summe der auf sie fallenden Ordinaten der verschiedenen sich durch- 
kreuzenden Wellen. Wenn die Oberfläche der Flüssigkeit mit feinen 
Kräuselwellen bedeckt ist, und zugleich größere Wogen über sie hin- 
rollen, so scheinen die letzteren mit einem Netze von feinen Wellen über- 
zogen; diese Bemerkung enthält den Grund, weshalb man bei der 
Wellenbewegung das allgemeine Prinzip der Kombination als das der 
Superposition bezeichnet. 

Kehren wir nun zurück zu der Untersuchung der durch Reflexion 
eines Wellenzuges bedingten Interferenz. Experimentell läßt sich die 
Erscheinung am besten mit Quecksilber darstellen, wenn man in aus 
einem darüberstehenden Trichter einen feinen Strahl von Quecksilber 



238 



Mechanik der Flüssigkeilen und Gase 



§169 



einfließen läßt; es geht dann von ein regelmäßiger Zug von Wellen aus, 
der, an den Wänden des das Quecksilber enthaltenden Gefäßes reflektiert, 
Interferenz erzeugt. Der von uns betrachtete Fall, daß die Flüssigkeits- 
oberfläche nur einseitig von einer geraden Wand begrenzt ist, kann 
natürlich nur näherungsweise realisiert werden, wenn man in einem eine 
große Oberfläche bietenden Gefäße das Erschütterungszentrum relativ 
nahe an eine geradlinige Wand verlegt. Man erhält aber regel- 
mäßige Interferenzerscheinungen auch bei allseitig begrenzten Flüssig- 
keitsoberflächen und hat in dem HuYGHENSschen Prinzip und dem dar- 
aus abgeleiteten Reflexionsgesetz ein Mittel, um den Verlauf der Er- 
scheinung auch bei anscheinend sehr komplizierten Verhältnissen theore- 
tisch zu verfolgen. Besonders einfach und regelmäßig gestaltet sich diese 




Fig. 176. Stehende Wellen. 

bei elliptischer Begrenzung, wenn das Erschütterungszentrum in den 
einen Brennpunkt der Ellipse fällt. Eine für diesen Fall von den 
Brüdern Weber entworfene Zeichnung ist in Figur 176 reproduziert. 

Wir betrachten schließlich ausführlicher nur noch die Verhältnisse, 
wie sie sich in der Nähe einer geradlinigen reflektierenden Wand in 
nicht zu großer Entfernung von der die Wellenzentren und Q (Fig. 175) 
verbindenden Linie gestalten. Die Wellen selbst können wir dann als 
parallel mit der Wand betrachten; der ursprüngliche und der reflektierte 
Wellenzug sind also ebenfalls einander parallel, ihre Wellenlänge ist 



169 



Wellenbe weg angen 



239 



dieselbe, aber ibre Fortpflanzungsrichtungen sind entgegengesetzt. 
Schneiden wir die beiden Wellenzüge durch eine vertikale Ebene nach der 
Linie Q, so bieten sie in einem bestimmten Momente das in Fig. 177 a 
dargestellte Bild; der direkte Wellenzug ist ausgezogen, der reflektierte 
gestrichelt. In den Punkten K x , K 2 , K 3 , . . . sind die den einzelnen 
Wellen entsprechenden Ordinaten entgegengesetzt gleich, die in ihnen 
liegenden Flüssigkeitsteilchen befinden sich somit in ihrer Ruhelage ; wir 
nennen diese Punkte Knotenpunkte; in den mitten zwischen ihnen 
liegenden Punkten B 1 , B 2 , B s , . . . summieren sich die nach oben ge- 
richteten Ordinaten der Berge, die nach unten gehenden der Täler; 
in ihnen sind die Teilchen der Flüssigkeit am weitesten in dem einen 






Fig. 177. 

oder anderen Sinne von ihrer Ruhelage entfernt; wir nennen diese 
Punkte Schwingungsbäuche. Die Oberfläche der Flüssigkeit hat 
im Schnitt durch die Vertikalebene OQ in dem betrachteten Augen- 
blicke die Gestalt der ausgezogenen Kurve (Fig. 177 b). Wenn wir nun 
die Bewegung der Wellen weiter fortschreiten lassen, so schieben sich 
die Wellenlinien der Fig. 177a im entgegengesetzten Sinne mit gleicher 
Geschwindigkeit durcheinander. Man erkennt, daß in den Punkten K 
stets entgegengesetzt gleiche Ordinaten zusammentreffen, daß sie stets 
den Charakter von Knotenpunkten behalten, in denen die Flüssigkeits- 
teilchen in Ruhe sind. In den Bäuchen B dagegen schwanken die 
Teilchen am stärksten auf und ab, indem sie bald zu der doppelten 
Höhe des Berges einer einzelnen Welle erhoben, bald in die doppelte 
Tiefe ihres Tales hinabgezogen werden. Die extremen Gestalten, die 
der Durchschnitt OQ dabei annimmt, sind in Fig. 177 c gezeichnet. Über- 
tragen wir dies auf den betrachteten Teil der Oberfläche der Flüssigkeit, 
so entsprechen den Punkten K Knotenlinien, die sich der Wand parallel 



240 Mechanik der Flüssigkeiten und Oase § 1^0 



über die Oberfläche hinziehen; in ihnen bleibt der Spiegel der Flüssig- 
keit in Kühe; in den dazwischen liegenden Streifen schwankt der Spiegel 
auf und ab; so daß benachbarte Streifen sich stets in entgegengesetzten 
Schwingungsphasen befinden, der eine einen Wellenberg, der andere 
gleichzeitig ein Wellental bildet. Man bezeichnet diese Bewegung als 
eine stehende Wellenbewegung oder stehende Schwingung. 
Die Entfernung zweier benachbarten Knoten oder zweier be- 
nachbarten Bäuche ist dabei gleich der halben Länge der 
interferierenden Wellen. Die Periode der Schwingung, die 
Zeit, in der die Flüssigkeit in einem durch zwei Knotenlinien begrenzten 
Streifen von ihrer größten Erhebung durch das Tal hindurch wieder 
zu derselben Höhe zurückkehrt, ist gleich der Zeit, in der die Wellen 
ihre eigene Länge durchlaufen. Bezeichnen wir jene Zeit einer ganzen 
Schwingung durch T, die Länge der Welle durch /, ihre Fort- 
pflanzungsgeschwindigkeit durch v, so ist T = 

Bezeichnen wir die Anzahl der ganzen Schwingungen, welche der Flüssigkeits- 
spiegel in einer Sekunde ausführt, durchs, so ist diese Schwingungszahl: 

v 

Der nahe Zusammenhang dieser Betrachtungen mit denen von § 106 
liegt auf der Hand. 

§ 170. Wellenbewegung in Gasen. Wenn wir in der Luft an 
irgend einer Stelle die gleichmäßige Verteilung des Druckes und der 
Dichtigkeit stören, indem wir etwa in einem kugelförmigen Bereiche die 
Luftteilchen nach außen drängen, so daß in ihm die Luft verdünnt, 
ringsherum verdichtet wird, so gibt dies Veranlassung zu einer Luft- 
welle, die sich kugelförmig von dem Störungspunkte aus verbreitet. 
Ebenso wie bei den Wasserwellen ist das, was sich in der Luftwelle 
ausbreitet, nicht ein Körper, sondern eben nur jene veränderte Verteilung 
der Dichtigkeit und des Druckes. Die Luftteilchen selbst führen eine 
schwingende Bewegung aus; in dem verdichteten Teile der Welle be- 
wegen sie sich nach vorn, in der Richtung, in der die Welle sich aus- 
breitet; wenn sie in den verdünnten Teil gelangen, so schwingen sie 
zurück der Fortpflanzungsrichtung der Welle entgegen. Als charakter- 
istisch für die Wellenbewegung in der Luft erscheint der Umstand, daß 
die Richtung, in der die Welle fortschreitet, mit der Schwingungsrichtung 
der Teilchen in dieselbe gerade Linie fällt. Weilenbewegungen von 
dieser Art nennt man longitudinale Wellen. Zwischen der reellen 
Bewegung der Luftteilchen und der virtuellen Bewegung der Welle be- 
steht wieder die Beziehung, daß die Welle um ihre eigene Länge fort- 
schreitet in der Zeit einer ganzen Schwingung der Teilchen. Ist T die 
Dauer einer ganzen Schwingung, n die Schwingungszahl, die Anzahl der 
Schwingungen in einer Sekunde, l die Wellenlänge und v die Fort- 
pflanzungsgeschwindigkeit, so ist wieder: 



§ 170 Wellenbewegungen 241 

T = — und n r . 

v l 

Die Anwendung der NEWTONSchen Prinzipien auf die Wellenbewegung 
der Luft oder der Grase überhaupt gelingt am leichtesten, wenn man 
eine in einer langen zylindrischen Röhre eingeschlossene Luftsäule be- 
trachtet. Schließt man sie an dem einen Ende durch einen beweglichen 
Stempel ab, so kann man eine Welle in der Röhre erzeugen, indem man 
den Stempel einmal rasch vorwärts stößt; die vor dem Stempel ent-; 
stehende Verdichtung bewegt sich dann als Welle in der Röhre weiter 
ebenso kann man durch Zurückziehen des Stempels eine Verdünnungs- 
welle, durch rasches Hin- und Zurückschieben eine aus Verdichtung und 
Verdünnung zusammengesetzte Welle erzeugen. Die Kraft, welche die 
einzelnen Teile der Luft in Bewegung setzt, resultiert aus den in der 
Röhre herrschenden 
Druckdifferenzen. A- £ 



B D 



Nehmen wir (Fig. 1 78) p 

die zwischen den H 

Querschnitten A B 
und CD der Röhre Fig - 178> 

eingeschlosseneLuft- 

säule, so wird der auf ihre Endflächen wirkende Druck verschieden groß 
sein, so lange sich der Abschnitt AB CD in der Welle befindet. Be- 
zeichnen wir den auf AB wirkenden Druck durch p, den auf CD aus- 
geübten durch p', den Querschnitt der Röhre durch q, so wirkt auf die 
Säule AB CD eine Kraft q(p — p') im Sinne von A nach C. ' Ist § die 
mittlere Dichte der in AB CD enthaltenen Luft, a die von der wirken- 
den Kraft erzeugte Beschleunigung, so ist nach dem Prinzip der Masse: 

A C X qS • a = q{p — p') 

oder * „ P - P' 

o • a = 



AG 

Zu dieser Gleichung kommt zunächst noch die zwischen Druck und 
Dichtigkeit der Luft bestehende Beziehung hinzu; außerdem eine Gleichung 
für die Dichtigkeitsänderungen, welche durch die Bewegung der Luft 
herbeigeführt werden. Nimmt man an, daß die erstere Beziehung durch 
das BoTLE-MAEiOTTESche Gesetz gegeben sei, so liefert die weitere mathe- 
matische Behandlung der Gleichungen für die Fortpflanzungsgeschwindig- 
keit den Wert: 

Dabei ist nun unter p der Druck der ruhenden Luft zu verstehen. Die 
Anwendung der Formel setzt voraus, daß Druck und Dichte in dem- 
selben Maßsystem ausgedrückt werden. Benützen wir das absolute System, 
so ist der Druck p in Dynen pro Quadratzentimeter anzugeben; d be- 
zeichnet die Masse der Volumeinheit in g. Benützen wir das technische 
System, so ist der Druck p durch die Anzahl der g-Gewichte auf das 

Execke, Physik I. Dritte Aufl. 16 



242 Mechanik der Flüssigkeiten und Gase § 171 

Quadratzentimeter gegeben; die Dichte ö ist gleich dem spezifischen 
Gewichte a dividiert durch die Beschleunigung der Schwere. Bei Zu- 
grundelegung des technischen Systemes erhalten wir somit: 

oder mit Benützung der in § 139 'eingeführten virtuellen Druckhöhe 

v = Hh, 
eine Formel, die ebenso für irgend ein anderes Gas gilt, wie für Luft. 
§ 171. Die Schallgeschwindigkeit. Die im vorhergehenden Para- 
graphen für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Luftwellen gegebene 
Formel kann in sehr einfacher Weise geprüft werden, wenn man be- 
achtet, daß jede Luftwelle, wenn sie zu unserem Ohre gelangt, die 
Empfindung eines Schalles hervorruft. Die Geschwindigkeit, mit der Wellen 
in der Luft sich fortpflanzen, ist somit keine andere als die Schall- 
geschwindigkeit. Diese kann bestimmt werden, wenn man auf zwei 
Stationen A und B Kanonen abfeuert und sowohl in A als in B die 
Zeit beobachtet, die zwischen der Wahrnehmung des Blitzes und der 
des Schalles vergeht; das Mittel aus den Beobachtungen gibt die Zeit, 
welche der Schall braucht, um die Strecke AB zu durchlaufen, unab- 
hängig von der Geschwindigkeit eines etwa herrschenden Windes. Auf 
diese Weise ergab sich für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles 
oder der Luftwellen der Wert: 

v = 33170 cm-sec -1 . 

Setzen wir dagegen in die im vorhergehenden gegebene Formel die 
virtuelle Druckhöhe der Luft, 799000 cm, ein, so ergibt sich: 

v = V981 x 7990ÖÖ 
oder 

v= 28 000 cm-sec -1 , 

Zwischen Theorie und Erfahrung besteht hiernach eine sehr bedeutende 
Differenz. Der Grund davon wurde aufgeklärt durch Laplace. Jede 
Verdichtung der Luft ist mit einer Erwärmung, jede Verdünnung mit 
einer Abkühlung verbunden; bei der Wellenbewegung der Luft vollziehen 
sich aber diese Änderungen so schnell, daß ein Ausgleich der Tem- 
peraturunterschiede während der Schwingung nicht möglich ist. Das 
BoYLE-MAEiOTTEsche Gesetz ist daher nicht gültig; an seine Stelle tritt 
eine andere Beziehung, deren Entwicklung eine Aufgabe der Wärmelehre 
ist. Aus der verbesserten Theorie ergibt sich dann für die Schall- 
geschwindigkeit in einem beliebigen Gase der Ausdruck 

Hier bezeichnet bei Zugrundelegung des absoluten Maßes p den 
Druck in Dynen pro qcm, d' die Dichte und k das Verhältnis der spe- 
zifischen Wärmen des Gases bei konstantem Druck und bei konstantem 
Volumen. Für Luft ist k= 1-411. 



DRITTES BUCH. 

MOLEKULARERSCHEINUNGEN. 



Einleitung. 

§ 172. Molekularkräfte. Wir werden uns in den folgenden Ab- 
schnitten mit einer Gruppe von Erscheinungen befassen, die man, 
von gewissen theoretischen Vorstellungen ausgehend, als Molekular- 
erscheinungen bezeichnet hat. An das Newton sehe Gesetz hat man zu- 
nächst die Vermutung geknüpft, daß außer der Gravitation zwischen 
zwei Körpern A und B noch andere Wechselwirkungen existieren, die 
von der Entfernung abhängig sind. Ganz im allgemeinen ergibt sich 
dann folgendes. Wenn die Dimensionen von A und B sehr klein sind 
im Vergleich mit ihrer Entfernung, so kann eine zwischen ihnen vor- 
handene Wechselwirkung außer von der besonderen Beschaffenheit der 
Körper nur von ihrer Entfernung und etwa noch von deren zeitlichen 
Änderungen abhängig sein; die Richtung der Wechselwirkung muß mit 
der Richtung der Verbindungslinie zusammenfallen, die Körper müssen 
sich einfach anziehen oder abstoßen, wenigstens solange, als in ihrem 
Innern keine ausgezeichneten Richtungen existieren, die außerdem zu 
Direktionskräften Veranlassung geben. Abhängigkeit der Kraft von der 
relativen Geschwindigkeit oder Beschleunigung wurde von Wilhelm Webee 
angenommen, um die Erscheinungen der Elektrizität aus Fernwirkungen 
zu erklären; schließen wir diese Annahme aus, so kann die zwischen 
A und B vorhandene Wechselwirkung in eine Reihe entwickelt werden 
von der Form: 

K - b i ° i _ i 

""- _ r 2 "•" r 3 "T" r i I * * - ' 

wo r die Entfernung ist, b, c, d gewisse, von der Beschaffenheit der 
Körper abhängige Konstanten bedeuten. 

Das erste Glied repräsentiert die Newton sehe Anziehung; die den 
folgenden entsprechenden Kräfte müssen gegen die Gravitation so klein 
sein, daß sie ihr gegenüber nicht bloß bei planetarischen Distanzen ver- 
schwinden, sondern auch in den kleinen Entfernungen, wie sie bei den 
Beobachtungen in Betracht kommen, durch welche die Gravitations- 
konstante bestimmt worden ist. Nun kann man fragen, wie weit muß die 
Entfernung zweier Körper verkleinert werden, damit außer der Newton- 

"■ 16* 



244 Molekularerscheinungen § 172 



sehen Anziehung noch weitere Glieder der allgemeinen Reihe sich be- 
merkbar machen. Es zeigt sich, daß dies nicht der Fall ist, solange 
die Entfernung der Körper mit gewöhnlichen Hilfsmitteln meßbar ist. Erst 
bei unmittelbarer Berührung treten neue Wirkungen auf, die wir nun 
als Molekularwirkungen bezeichnen. Die NEWTONsche Vorstellung 
von fernwirkenden Kräften versagt unter diesen Verhältnissen, solange 
man sich die Körper als kontinuierlich den Raum erfüllend denkt. Erst 
die Annahme der molekularen Konstitution gewährt wieder die Mög- 
lichkeit, die bei unmittelbarer Berührung auftretenden Wirkungen auf 
einzelne Paare von Kräften zu reduzieren. Man hat demnach der ganzen 
von uns zu betrachtenden Klasse von Erscheinungen die Annahme zu- 
grunde gelegt, daß die Körper im kleinen ähnlich wie die Weltsysteme im 
großen aus einzelnen Teilchen, den Molekülen, zusammengesetzt seien, die 
voneinander durch relativ große Zwischenräume getrennt sind, so daß 
man sie wie materielle Punkte behandeln kann. Diese Moleküle wirken 
aufeinander mit Kräften, die mit wachsender Entfernung rasch abnehmen ; 
beschreibt. man um den Mittelpunkt eines Moleküls A eine Kugel, deren 
Halbmesser gleich der größten Distanz ist, bis zu welcher die von ihm auf 
ein anderes Molekül ausgeübte Molekularkraft noch wirkt, so nennt man sie 
die Wirkungssphäre von A\ jene größte Entfernung bezeichnet man als 
den Radius der Wirkungssphäre. Nach Versuchen von Quincke kann 
man den Radius der Wirkungssphäre etwa gleich 50 X 10- 6 mm setzen. 
Mindestens auf eine solche Distanz müßte man also die Oberflächen 
zweier Körper einander nähern, um molekulare Wechselwirkungen zu 
erhalten. Die Annahme von der molekularen Konstitution und den 
zwischen den Molekülen wirkenden Kräften ist -eine Hypothese, die sich 
in vielen Fällen als ein nützlicher Leitfaden erwiesen hat; sie enthält 
aber eine Reihe von willkürlichen Annahmen, deren Berechtigung keines- 
wegs sichergestellt ist, und so sehr sie durch die dem Chemismus nahe- 
stehenden Erscheinungen der Lösung, der Absorption, endlich durch die 
Tatsachen der Chemie selbst gefordert zu werden scheint, darf sie nicht 
in dogmatischer Weise als eine ausgemachte Sache betrachtet werden. 
Es ist daher wünschenswert, die Gruppe der Molekularerscheinungen noch 
unter einem anderen, allgemeineren Gesichtspunkte zusammenzufassen. 
Ein solcher ergibt sich aus der Betrachtung der ihnen zugrunde liegenden 
Energieformen. Die Energie erscheint bei ihnen gebunden an die 
einzelnen Volum- oder Oberflächenelemente der Körper und hängt mit 
direkt meßbaren Änderungen der geometrischen Verhältnisse zusammen 
Man kann sagen, daß den Erscheinungen der Gravitation eine Distanz - 
energie, den Molekularerscheinungen eine Volum- oder Oberflächen- 
energie zugrunde liege 1 , eine Bemerkung, die in der folgenden Dar- 
stellung selbst ihre Begründung finden wird. 



1 Ostwald, Studien zur Energetik. II. Grundlinien der allgemeinen Energetik. 
Ber. d. Kgl. sächs, Ges. d. Wiss. Matk.-Phys. Kl. 1892. p. 211. 



173 



Feste Körper 



245 



a 



Erstes Kapitel. Molekularerscheinungen fester Körper. 

§ 173. Elastizität; spezielle Gesetze. Wenn man einen prisma- 
tischen Stab oder einen Draht belastet, so wird er verlängert, gebogen 
oder gedreht, je nachdem die Last wirkt. Wenn man das angehängte 
Gewicht wieder entfernt, so kehrt er zu seiner ursprünglichen Form 
zurück. Man bezeichnet diese Eigenschaft eines Körpers, nach Fortfall 
der deformierenden Ursache seine ursprüngliche Gestalt wieder anzu- 
nehmen, als seine Elastizität. Wir betrachten im folgenden die für ge- 
wisse spezielle Formänderungen geltenden Gesetze. 

Elastizität der Ausdehnung. Die Länge des Stabes (Fig. 179) 
sei a\ der Querschnitt sei rechteckig mit den Kantenlängen b und c; der 
Stab sei an seinem oberen Ende festgeklemmt, an seinem 
unteren belastet; die ganze in der Richtung der Länge a wir- 
kende Zugkraft sei P x , die auf die Flächeneinheit kommende 

P 

„Spannung" ^j = -— ; die Verlängerung der Kante a sei 

gleich a. Als Dilatation X bezeichnen wir dann das Verhält- 
nis der Verlängerung zu der ursprünglichen Länge ; X = 

Die Beobachtung führt dann zu folgendem Gesetze für die 
Verlängerung : 

1 Px 

E bc 

Hier ist E eine der Substanz des Stabes eigentümliche Kon- 
stante, derElastizitätsmodul der Ausdehnung. Zwischen 
der Spannung und der Dilatation besteht dementsprechend 
die Beziehung 

Wenn wir auf das Prisma nicht einen . Zug, sondern 
einen Druck in der Richtung a ausüben, so tritt an Stelle 
der Verlängerung eine Verkürzung, an Stelle der Dilatation eine Kon- 
traktion, aber die Beziehung 

k= E~ 
bleibt dieselbe, wenn wir jetzt unter X die Kontraktion, unter p x den 
Druck auf die Flächeneinheit verstehen. 

Wird das Prisma durch einen in der Richtung a ausgeübten Zug 
gedehnt, so ist mit der Verlängerung a eine Verkürzung der Kanten des 
Querschnittes verbunden, die sogenannte Querkontraktion. Sind ß 
und y diese Verkürzungen für die Kanten b und e, so sind die Kontrak- 
tionen gegeben durch die Verhältnisse 

-j- und v = — ■ 

b c 



oc 



V 
Pi 

Fig. 179. 

Aus- 
dehnung. 



(l = 



246 



Molekularerscheinungen 



173 



Sie sind bei isotropen Körpern einander gleich, und ihr Verhältnis zu der 

1 = ^ 



Längsdilatation 



a 



stellt eine zweite dem Stabe eigentümliche Konstante dar. Bezeichnen 
wir dieses Verhältnis der Querkontraktion zu der Längsdila- 
tation durch x, so ist 

/x = v = xl. 

Die Abhängigkeit der Querkontraktion von der Spannung in der Richtung 
der Kante a ist somit durch die Formel gegeben: 

ß f _ v- 

b ~ c ~~ E Pl ' 

Diese Gesetze gelten ebenso bei anderen Formen des Stabquerschnittes; 

die Querkontraktion ist dann allgemeiner gleich dem Verhältnis, in dem 

die Verkürzungen seiner Querdimensionen zu den ursprünglichen Werten 

selbst stehen. 

Lassen wir gleichzeitig auf alle drei Seitenflächen eines Prismas 

Spannungen wirken, p ± auf die Fläche be, p 2 auf ca und j9 3 auf ab, so 

superponieren sich die den einzelnen entsprechenden Dilatationen und 

Kontraktionen, und man erhält so zur Berechnung der resultierenden 

Wirkungen die Formeln: 



a 






IsPi 



X H 



E 



E 



Pl+~üP2- 



E 



Ps 



7 

v = - J — 



* . 1 



B Pl E r * ' E 
Hier sind a, ß, y die ganzen Verlängerungen, die durch das Zu- 
sammenwirken der drei verschiedenen Züge erzeugt werden; die Span- 
nungen p v p 2 , p 3 sind, wie immer, berechnet für die Flächeneinheit. 
Biegungselastizität. Ein prismatischer Stab von der Breite a und 

der Höhe b werde an seinen 
K Z - -> 




ts~ 




Y 

Fig.^180. Biegung. 



S ~ \E 



a b : 



Enden auf zwei feste Schnei- 
den aufgelegt und in der 
Mitte mit einem Gewichte P 
belastet; die Mitte senkt sich 
dadurch um eine Strecke s 
(Fig. 180). Ist die Entfer- 
nung der Schneiden gleich /, 
so gilt das Gesetz: 

P. 



Torsionselastizität. Ein Draht mit kreisförmigem Querschnitt 
von dem Halbmesser r werde vertikal aufgehängt und an seinem oberen 
Ende fest eingeklemmt (Fig. 181). Auf das freie untere Ende wirke in 
horizontalem Sinne das Drehungsmoment D. Der Draht wird dadurch 



§ 174 



Feste Körper 



247 



um einen Winkel (p gedrillt, der in Bogenmaß gegeben ist durch die 

Formel : 

2 l i 



Hier bezeichnet l die Länge des Drahtes, T eine 
von seiner Natur abhängende Konstante, den 
Torsionsmodul. Zwischen diesem und den bei 
der Ausdehnung eingeführten Konstanten besteht 
die Beziehung: 

2 1 + x 
Verbindet man Beobachtungen über Ausdehnung 
oder Biegung mit solchen über Torsion, so kann 
man darnach die beiden elastischen Konstanten 
E und x bestimmen. 

§ 174. Numerische Werte. Bei der Aus- 
dehnungselastizität bestand zwischen der Dila- 
tation und dem Zuge die Beziehung 



X = 



E 



Fig. 181. Torsion. 



Die Dilatation ist das Verhältnis zweier Längen, 
also eine reine Zahl; es muß somit auch der auf der rechten Seite 
stehende Bruch eine reine Zahl, in den Einheiten der Länge, Masse und 
Zeit von der Dimension Null sein. Daraus folgt, daß der Elastizitäts- 
modul im absoluten Maße die Dimension einer Spannung oder eines 
Druckes besitzt; seine Dimensionsgleichung ist somit nach § 127: 

Der Index a ist hier eingefügt, um anzudeuten, daß bei der Berechnung 
von E die Einheiten des absoluten Systems zugrunde gelegt werden. 

Das Verhältnis der Querkontraktion zu der Längsdilatation ist natür- 
lich eine reine Zahl, somit hat der Torsionsmodul T dieselbe Dimension 
wie der Elastizitätsmodul der Ausdehnung. Messen wir in der Formel 

l -~E 
Spannung oder Druck nach Dynen pro Quadratzentimeter, so erhalten 
wir den Wert des Elastizitätsmodul E im absoluten cm • g- sec- System. 
Messen wir in der Formel 

2 1 / 
' n 1 r* 

die in Betracht kommenden linearen Dimensionen nach Zentimetern, die 
das Drehungsmoment D erzeugende Kraft nach Dynen, so ergibt sich 
auch der Torsionsmodul T in Einheiten des absoluten cm-g-sec-System. 
Wir bezeichnen die so berechneten Moduln, entsprechend der vorigen 
Bemerkung, durch E a und T a ; die Dimensionsgleichungen sind: 

[.EJ = cm -1 • g • sec~ 2 
[yj = cm -1 'g' sec -2 . 



248 Molekular er scheinungen § 174 

In der Technik rechnet man bei der Bestimmung der Elastizitäts- 
moduln die Spannung nach kg-Gewichten pro Quadratmillimeter. Ver- 
stehen wir unter E den in diesem technischen Maße ausgedrückten 
Elastizitätsmodul der Ausdehnung, so ergibt sich seine Beziehung zu 
dem Werte E a im absoluten System in folgender Weise. Es ist nach 
§ 70 1 Dyne = ä-gxVoo kg- Gewichten. Um also die Spannung von Dynen 
zu reduzieren auf kg-Gewichte, müssen wir den Wert E a dividieren durch 
981000; wollen wir ferner die Spannung statt auf das Quadratzentimeter 
auf das Quadratmillimeter beziehen, so müssen wir noch weiter dividieren 
durch 100; somit ergibt sich für den Modul in technischem Maße: 

E = ^ un d umgekehrt E = 98100000 E. 

98100 000' & a 

Daß die Eeduktion auch für den Torsionsmodul in derselben Weise 
sich gestaltet, sieht man leicht, wenn man für das Drehungsmoment D 
das" Produkt aus Kraft P und Hebelarm a einführt und die Gleichung 
der Drillung so schreibt: 

2la j^ jP_ 

Die folgende Tabelle enthält für eine Beihe von Metallen die Werte 
der besprochenen Konstanten: 1 



E kg-Gew. T kg-Gew 



x 



Mg 4260 1710 0-24 

AI 6570 2580 0-26 

Fe 12800 5210 0-23 

Ni 20300 7820 0-28 

Cu 10800 4780 0-13 

Zn 10300 3880 0-33 

Ag 7790 2960 0-31 

Cd 7070 2450 0-44 

Sn 5410 1730 0-50 

Au 7580 2850 0-33 

Bi 3190 1240 0-34. 

Mit Rücksicht auf ihre vielfache praktische Verwendung fügen 

wir hinzu: 

E T y. 

Stahl 20000 8070 0-26 

Messing 9220 3700 0-25 

Bronze 10 600 4060 0-31. 

Für einige dichte Mineralien haben sich die folgenden Werte ergeben: 

E 

Solnhofer Lithographenstein 5890 

Feuerstein 7600 

Opal 3880 



T 


X 


2350 


0-25 


3520 


0-08 


1830 


0-06. 



1 W. Voigt, Bestimmung der Elastizitätskonstanten einiger quasi -isotroper 
Metalle durch langsame Schwingung von Stäben. Wied. Ann. Bd. 48. 1893. p. 674. 



§175 Feste Körper 249 

Man kann die Konstante E bezeichnen als die zur Verdoppelung der 
Länge dienende Spannung; der Versuch ist natürlich nicht ausführbar, 
die entsprechende Definition von E aber doch nützlich wegen des an- 
schaulichen Bildes, das sie mit den Zahlen der Tabelle verbindet. 

§ 175. Allgemeine Theorie der Elastizität. Auf Grund der speziellen 
Eesultate, mit denen wir uns im ersten Teile von § 173 beschäftigt 
haben, ist es möglich, zu einer allgemeinen Theorie zu gelangen, mit 
Hilfe deren die Formänderungen elastischer Körper auch unter kompli- 
zierteren Bedingungen im voraus berechnet werden können. 

Nehmen wir einen Körper von beliebiger Form, der irgend welchen 
deformierenden Ursachen unterworfen wird. In seinem Innern herrschen 
Spannungen oder Drucke, ähnlich wie in einer schweren Flüssigkeit. Um 
eine unnötige Schwerfälligkeit des Ausdruckes zu vermeiden, werden wir 
zunächst nur von Drucken sprechen, welche die aneinandergrenzenden 
Teile des Körpers wechselseitig aufeinander ausüben; aber unsere Sätze 
gelten ebenso für Spannungen und Dilatationen, wie für Drucke und 
Kontraktionen. Während nun bei einer Flüssigkeit der Druck von der 
Richtung, in der er wirkt, unabhängig ist, hängt 
der Druck im Innern eines festen Körpers von 
der Lage der Fläche ab, auf die er ausgeübt 
wird. Damit hängt zusammen, daß an einer 

Stelle A im Innern des Körpers der Druck im -~£ 

allgemeinen nicht senkrecht gegen eine durch A Yig. 182. 

gelegte Fläche F gerichtet ist, sondern schief 

(Fig. 182); er besitzt eine in der Fläche selbst liegende Komponente, 
welche die in F aneinandergrenzenden Teile des Körpers gleitend gegen 
einander zu verschieben sucht. Man bezeichnet eine derartige Kraft als 
eine scherende, und wir haben also im allgemeinen in dem Innern der 
festen Körper nicht bloß mit normalen Drucken, sondern auch mit 
diesen Scherkräften zu rechnen. 

Nun ergibt sich aber, daß an jeder Stelle A drei zu einander senk- 
rechte Flächen F ± , F 2 und F 3 sich finden lassen, so daß auf sie nur 
normale Drucke, keine Scherkräfte wirken. Die zu den Flächen F v F v F 3 
senkrechten Richtungen dieser Drucke bezeichnen wir als Hauptdruck- 
achsen, die entsprechenden Drucke p x , p 2 , p 3 selbst als die Haupt- 
drucke. Bei einem Körper, der beliebigen äußeren Kräften unterworfen 
ist, ändern die Hauptdruckachsen von einer Stelle zu der anderen ihre 
Richtung. Es existiert daher im allgemeinen im Innern des Körpers 
ein System von drei sich unter rechten Winkeln kreuzenden Linien, die 
den Verlauf der Hauptdruckachsen darstellen. Zerschneidet man den 
Körper in Gedanken in Prismen, deren Kanten durch Kurven der Haupt- 
drucke gebildet werden, so wirken an keiner Schnittfläche Kräfte, die 
eine Scherung, eine gleitende Verschiebung der Prismen gegeneinander 
zu bewirken suchen. Wäre der Körper nach allen Richtungen in der 
Tat nur auf Druck in Anspruch genommen, so könnte man ihn in der 



250 



Molekularerscheinungen 



§175 



angegebenen Weise wirklich durchschneiden, ohne daß der Zusammen- 
hang gelockert würde. Dadurch wird verständlich, weshalb die kon- 
struktiven Elemente bei Maschinen, bei den Knochen des menschlichen 
Körpers den Kurven der Hauptdrucke angepaßt sind. 

Zur Erläuterung diene noch Figur 183. Sie entspricht dem Falle 
eines ausgedehnteren Körpers, der von einer ebenen Fläche begrenzt ist. 
Auf diese werde in A von außen her ein normaler Druck ausgeübt. Die 

Figur zeigt die Kurven der 
Hauptdrucke in einer durch 
die Richtung des äußeren 
Druckes gelegten Ebene. Man 
sieht an der Richtung der 
Pfeile, daß die Prismen, in 
welche der Körper durch jene 
Kurven zerschnitten wird, in 
seinem mittleren Teile in der 
einen Eichtung auf Druck, in 
der dazu senkrechten auf Zug 
beansprucht werden. 1 

Wenden wir uns nun zu der 
Betrachtung der durch äußere 
Kräfte im Innern des Körpers erzeugten Deformationen. Wenn wir 




Fig. 183. 
Kurven der Hauptdracke. 



einen Streifen von Kautschuk aufhängen und belasten, so wird ein 
Kreis, den wir vorher auf die Oberfläche gezeichnet hatten, infolge der 
Längsdilatation und Querkontraktion, zu einer Ellipse verzerrt. All- 
gemein wird eine Kugel, die wir um einen Punkt A im Innern eines 

Körpers konstruieren, in ein dreiachsiges Ellip- 
soid verwandelt. Damit sind nun wieder drei 
ausgezeichnete Eichtungen an der Stelle A ge- 
geben, die Achsen X, Y, Z jenes Ellipsoides, die 
Hauptdilatationsachsen(Fig. 184). Schnei- 
den wir um den Punkt A ein Prisma aus, 
dessen den Hauptdilatationsachsen parallele 
Kanten ursprünglich die Längen a, b, c, nach 
der Deformation die Längen a + a, b + ß, 
e + y besitzen, so nennen wir die Dilatationen 




A = 



a 



fl = 



t 
b 



v = 



e 



Fig. 184. 
Deformationsellipsoid. 



die Hauptdilatationen. Nun verhält sich 
aber ein solches Prisma gerade so wie das in 
§ 173 betrachtete; auf seine Seitenflächen wirken also normale Spannungen 
Pi> P 2 > 2h > welchen die Dilatationen l, (jl, v entsprechen. Wir werden 



1 H. Hertz, Über die Berührung fester elastischer Körper und über die Härte. 
1882. Ges. Werke Bd. I. p. 174. 



§176 Feste Körper 251 

somit annehmen müssen, daß die Richtungen der Hauptdrucke oder 
Spannungen, von den besonderen Verhältnissen der Kristalle abgesehen, 
mit denen der Hauptdilatationen zusammenfallen und daß zwischen ihnen 
die in § 173 aufgestellten Beziehungen bestehen: 



l 


— 


1 
~E 


Vx- 




P% 


— 


•A 


Ps 


V 


= — 




Px + 


1 


Pz 


— 


E 


Ps 


V 


= — 


y. 


Vi- 


~E 


P 2 


+ 


1 
~E 


Pz 



Auf die weitere mathematische Behandlung dieses Ansatzes und 
seine Anwendung zu der Lösung allgemeinerer Probleme der Elastizitäts- 
lehre gehen wir nicht ein. Nur auf einen aus der Theorie sich er- 
gebenden Zusammenhang wollen wir noch hinweisen. Wenn wir einen 
elastischen Körper einem allseitig gleichen Drucke p unterwerfen, so 
wird er zusammengedrückt; die räumliche Kompression messen wir 
durch das Verhältnis der Volumabnahme co zu dem ursprünglichen 
Volumen v\ sie ist dem Drucke p proportional und kann daher durch 
die folgende Formel dargestellt werden: 

co p 

V ~ ~c' 

Hier bezeichnen wir die Konstante C als den Kompressions- 
modul oder Modul der Volum elastizi tat. Aus den vorstehenden 
Formeln folgt, daß sich C durch den Elastizitätsmodul der Ausdehnung 
und durch das Verhältnis der Querkontraktion zur Längsdilatation in 
folgender Weise ausdrückt: 

3 l-2x 

I 

Würde x = • 5, so würde die räumliche Kompression 0, für x > • 5 
würde sie negativ. Schließt man die Fälle, in denen allseitiger Druck 
räumliche Dilatation, einseitiger Zug Querdilatation erzeugt, aus, so er- 
gibt sich, daß der Wert von x zwischen den Grenzen und 0-5 
liegen muß. 

§ 176. Energiegehalt eines deformierten elastischen Körpers. Wir 
wenden uns nun zu der schon in § 172 berührten Frage nach dem 
Energiegehalt eines elastisch deformierten Körpers. Einen solchen, z. B. 
einen gebogenen oder tordierten Stab, können wir nach dem vorher- 
gehenden Paragraphen in Prismen zerlegen, deren Kanten von Kurven 
der Hauptdrucke gebildet werden. Im nicht deformierten Zustand haben 
wir die Kanten eines solchen Prismas bezeichnet durch a, b, c. Die 
Deformation wollen wir uns so entstanden denken, daß zuerst auf die 
Fläche bc eine Spannung ausgeübt wird, die von dem Werte Null allmählich 
bis zu dem Betrage p 1 steigt. Gleichzeitig findet in der Richtung der zu 
bc senkrechten Kanten a eine Dilatation /L statt, so daß die Verlängerung 



252 Molekularerscheinungen § 177 

der Kanten gleich al ist. Die Kraft, unter deren "Wirkung diese Ver- 
längerung des Prismas entsteht, ist zu Anfang Null, am Schlüsse p l -bc, 
im Mittel ^p 1 -bc; die von ihr bei der Verlängerung geleistete Arbeit 
ist ^p x -be-ka = \p x habe) wenn auf die anderen Seitenflächen der 
Prismen die Spannungen p 2 und p s wirken, und die Dilatationen in der 
Richtung der Kanten b und c wie früher durch /x und v bezeichnet 
werden, so ist die ganze von den Druckkräften geleistete Arbeit gleich 

i (Pi %+Pzti+p 3 v)abe. 

Hier muß man für l, \x, v die ganzen schließlich vorhandenen 
Dilatationen setzen ; denn die durch einen Zug bedingten Querkontraktionen 
konsumieren Arbeit, wenn auch auf die sich kontrahierenden Flächen ein 
Zug wirkt. Die ganze geleistete Arbeit hat sich verwandelt in eine in 
dem Prisma abc aufgespeicherte Energie, die dem Volumen des Prismas 
proportional ist. Für die auf die Volumeinheit bezogene Energie er- 
gibt sich der Wert 

setzen wir hier für 1, fx, v die im vorhergehenden Paragraphen gegebenen 
Werte, so drückt sich die elastische Energie der Volumeinheit aus durch 
die Formel: 

Man kann aber die früheren Formeln auch nach p v p 2 p 3 , als unbe- 
kannten Größen auflösen und diese durch l, fj,, v ausdrücken. Dann 
ergibt sich die elastische Energie in ITbereinstimmung mit einer früheren 
Bemerkung als Funktion der Deformationen. Ein Beispiel von Rück- 
verwandlung elastischer Energie in Arbeit gibt uns die Feder einer 
Taschenuhr, welche beim Ablaufen sich entspannt und die Uhr den 
Reibungswiderständen entgegen im Gange erhält. 

§ 177. Zur Molekulartheorie der Elastizität. Die Theorie der mole- 
kularen Konstitution der festen Körper setzt voraus, daß ihre kleinsten 
Teilchen im natürlichen Zustand in ganz bestimmten Punkten im stabilen 
Gleichgewichte sich befinden. Im natürlichen Zustand wirken aber nur die 
Wechselkräfte der Moleküle, und diese müssen also bei einer bestimmten 
Anordnung der Moleküle stabiles Gleichgewicht zur Folge haben. Es 
scheint dies kaum auf andere Weise möglich, als dadurch, daß jene 
Wechselwirkungen abstoßende sind, wenn die Entfernung der Moleküle 
unter eine gewisse Grenze sinkt, anziehende, wenn sie diesen kritischen 
Wert übertrifft. 

Wenn man annimmt, daß die Moleküle nach allen Seiten gleiche 
Kräfte ausüben, wie homogene Kugeln, so ergibt, sich aus der Mole- 
kulartheorie für die Konstante x der Wert 0-25. Wenn dies nach der 
in § 174 gegebenen Tabelle im allgemeinen nicht der Fall ist, so folgt, 
daß die Wirkungen der Moleküle einen polaren Charakter besitzen, daß 
sie nicht bloß von der Entfernung, sondern auch von der Orientierung 



178 



Feste Körper 



253 



abhängen, die gewisse ausgezeichnete, mit den Molekülen verbundene 
Achsen gegen die Entfernung besitzen. 

§ 178. Elastizität der Kristalle. Die in den vorhergehenden 
Paragraphen aufgestellten Gesetze gelten für sogenannte isotrope Körper, 
die nach allen Richtungen hin dieselben Eigenschaften zeigen. Bei den 
Kristallen sind die elastischen Eigenschaften von der Richtung im 
Kristall abhängig; die Hauptdilatationen fallen mit den Hauptdrucken 
im allgemeinen nicht zusammen; die Zahl der elastischen Konstanten ist 
eine um so größere, je geringer die Symmetrie des Kristalles; die Er- 
scheinungen werden in entsprechendem Maße verwickelt. 

Wir beschränken uns auf einige Angaben, welche die elastischen 
Eigenschaften des Quarzes betreffen; diese sind von einem gewissen 
Interesse, da man Fäden von geschmolzenem und dann freilich isotropem 
Quarz vorteilhaft verwendet, um einen 
Körper so aufzuhängen, daß er um eine 
vertikale Achse sich drehen kann und 
nach seiner Gleichgewichtslage mit einer 
sehr kleinen Direktionskraft zurückge- 
trieben wird. So hat man zu der 
Konstruktion der in § 89 erwähnten 
Drehwage Quarzfäden benützt. Der 
Quarz kristallisiert im rhomboedrischen 
System; bei allen Kristallen' erscheint als 
Grundform eine regelmäßige sechsseitige 
Säule (Fig. 185); ihre Achse bezeichnen 
wir als die Achse Z\ durch sie gehen 
senkrecht zu den Seiten der Säule 
drei Ebenen, mit bezug auf welche die 
elastischen Eigenschaften symmetrisch 

sind. Eine von der Mitte der Z-Achse in einer dieser Symmetrie- 
ebenen senkrecht zu Z gezogene Linie bezeichnen wir als die Y-Achse; 
endlich ziehen wir noch die zu Z und OY senkrechte Linie X, die 
X-Achse. 

Schneiden wir aus dem Kristall einen Zylinder, dessen Längs- 
richtung mit der Z-Achse zusammenfällt, so ist für diesen der Elastizi- 
tätsmodul der Ausdehnung 

E°= 10 300, 
des Modul der Torsion 

T° = 5080. 

Die Werte beziehen sich auf das technische Maßsystem; es wird also 
der Druck in kg-Gewichten für das Quadratmillimeter angegeben. 

Schneiden wir aus dem Kristall einen Zylinder, dessen Längsrichtung 
zu der Achse senkrecht steht, also irgendwie in der Ebene X Y gelegen 
ist, so hat der Elastizitätsmodul der Ausdehnung den Wert 




Fig. 185. 
Säule des Quarzes. 



254 



Molekularerscheinungen 



§178 



#'=7850, 
der Modul der Torsion den Wert 

T'=4130. 
Wenn man die Längsrichtung des Zylinders durch eine Drehung 

Ausdehnungsmoduln Torsionsmoduln 

des Quarzes. 




E 



—^7 



E 





Fig. 186 b. 





Fig. 187 b. 



um die X-Achse allmählich aus der mit der Z-Achse parallelen Stellung in 
die Richtung der Y- Achse übergehen läßt, so verändert sich der Elastizi- 
tätsmodul stetig. Man gewinnt von der Änderung ein anschauliches 
Bild, wenn man auf den verschiedenen Richtungen der Zylinderachse 









§ 179 Feste Körper 255 

Strecken abträgt, die den entsprechenden Elastizitätsmoduln numerisch 
gleich sind. Auf diese Weise ergibt sich für den Ausdehnungsmodul 
die in Figur 186a gezeichnete, in der Symmetrieebene ZY liegende 
Kurve. Man sieht, daß die Moduln bei gleicher Neigung der Zylinder- 
achse gegen die Z-Achse verschieden sind, je nachdem die Längsrichtung 
des Zylinders in dem vorderen oder hinteren Quadranten liegt. Bei 
Zylindern, deren Längsrichtung der XZ-Ebene angehört, fällt dieser 
Unterschied weg, hier muß die Kurve, durch welche die Werte der Aus- 
dehnungsmoduln graphisch dargestellt werden, notwendig gegen die beiden 
Achsen Z und X symmetrisch sein; dies wi 'd durch die in Figur 186b 
gegebene graphische Darstellung bestätigt. Die Figuren 187 a und 187b 
geben die entsprechenden Bilder für die Torsionsmoduln von Zylindern, 
deren Achse in der Symmetrieebene YZ oder in der dazu senkrechten 
Ebene XZ beliebig gegen die kristallographische Hauptachse des Quarzes 
geneigt sind. 1 

§ 179. Wellenbewegung in einem isotropen elastischen Körper. 
In einem isotropen elastischen Körper möge an irgend einer Stelle das 
Gleichgewicht durch eine vorübergehende Verschiebung oder Erschütterung 
der Teilchen gestört werden. Diese Stelle wird dann Ausgangspunkt 
einer Wellenbewegung, ähnlich derjenigen in einem Gase, dessen Dichte 
in einem kleinen Bezirke eine vorübergehende Veränderung erlitten 
hatte. Während aber in einem Gase nur longitudinale Wellen möglich 
sind, können in einem festen elastischen Körper sowohl 
longitudinale, wie transversale Wellen fortschreiten. Bei den 
ersteren fällt die Eichtung, in der sich die Elemente des elastischen 
Körpers bewegen, zusammen mit der Ausbreitungsrichtung der Wellen, 
Verschiebungen senkrecht zu dieser Eichtung sind nicht vorhanden; die 
Welle ist mit einseitigen Kontraktionen und Dilatationen in der Aus- 
breitungsrichtung verbunden. Bei den transversalen Wellen stehen die 
Verschiebungen auf der Eichtung der Wellenfortpflanzung senkrecht, 
räumliche Dilatationen oder Kontraktionen sind nicht vorhanden. Die 
theoretische Untersuchung der Bewegung gibt für die Geschwindig- 
keit der longitudinalen Wellen den Ausdruck: 



v- 



2T 1 "* oder /3 ° x " 



ä 1-2k yd 1 + x 

Hier bezeichnet T wie früher den Elastizitätsmodul der Torsion, C den 
Kompressionsmodul, x das Verhältnis von Querkontraktion zu Längs- 
dilatation, £die Dichte des elastischen Körpers. Für die Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit der Transversalwellen ergibt sich der sehr viel 
einfachere Ausdruck: 



6 



1 W.Voigt, Bestimmung der Elastizitätskonstanten von Beryll und Bergkristall. 
Gott. Nachr. 1886. p. 93. 289. — Liebisch, Phys. Kristallographie. Leipzig 1891. p. 545. 



256 Molekularer scheinungen § 179 

Die Geschwindigkeit der transversalen Wellen wird durch den Torsions- 
modulus bestimmt. Es hängt dies damit zusammen, daß die bei der 
Drillung eines Drahtes auftretenden Verschiebungen gleichfalls einen 
transversalen Charakter besitzen. Sie stehen senkrecht auf der Längs- 
richtung des Drahtes; sie bedingen keine Änderung des Volumens. Aus 
den früher angegebenen Elastizitätskonstanten ergeben sich für die 
longitudinalen und für die ■ transversalen Wellen die folgenden Fort- 
pflanzungsgeschwindigkeiten in m/sec. 

Fortpflanzungsgeschwindigkeit 

longitudinaler transversaler 

Wellen in m/sec 

Mg 6390 3740 

Fe 4310 2560 

Cd 5490 1670 

Stahl 5560 3180 

Messing 3620 2090 

Solnhofer Stein 5150 2980 

Feuerstein 5350 3620 

Opal 3840 2600 

Die Tabelle zeigt, daß die Verschiedenheiten cfer Elastizität zum 
großen Teile kompensiert werden durch die Verschiedenheiten der Dichte, 
so daß Stoffe von so verschiedener Art, wie Stahl und Solnhofer Stein 
beinahe dieselben Fortpflanzungsgeschwindigkeiten besitzen. 

Bei der ausführlicheren Untersuchung der Wellenbewegung in einem 
festen elastischen Körper kann man, ebenso wie bei den Wasserwellen, 
das HüTGHENSsche Prinzip benützen. Man wird nur die Konstruktionen, 
die wir in § 168 in der Ebene des Wasserspiegels ausgeführt haben, 
auf den Raum übertragen müssen. Denn die Wellen in einem un- 
begrenzten elastischen Körper breiten sich von einem Erschütterungs- 
zentrum in Kugelform aus, nicht in Kreisen wie die Wasserwellen. 

Die Konstruktionen, wie die aus ihnen abzuleitenden Gesetze der 
Wellenbewegung, werden aber im Falle des elastischen Körpers kom- 
plizierter als bei den Wasserwellen. Denn wir haben bei dem elastischen 
Körper von vornherein mit zwei Wellen zu tun, mit einer longitudinalen 
und mit einer transversalen. Es möge dies etwas weiter ausgeführt 
werden in dem besonders wichtigen Falle, daß der Raum von zwei 
verschiedenen elastischen Medien a und b erfüllt wird, welche 
in einer ebenen Grenzfläche F zusammenstoßen. Von einem in dem 
Medium a gelegenen Zentrum O (Fig. 188) breite sich eine kugelförmige 
Welle aus ; wir nehmen an, daß es sich nur um eine einzige Welle, und 
zwar um eine longitudinale handle, die wir durch @ ; bezeichnen wollen. 
Wenn diese Welle bei ihrer Ausbreitung einen Punkt P der Grenz- 
fläche F trifft, so bildet dieser dem Huyghens sehen Prinzip zufolge ein 
neues Erschütterungszentrum. Als solches wirkt P zunächst auf das 
Medium a zurück ; P erzeugt aber hier nicht bloß eine Elementarwelle, 
sondern zwei, eine longitudinale r t und eine transversale r t . Die erstere 



§179 



Feste Körper 



257 



breitet sich mit derselben Geschwindigkeit aus, wie die Welle © { ; die 
Geschwindigkeit von r t ist kleiner. Wir benützen zur Zeichnung eine 
Ebene, die durch das Erschütterungszentrum senkrecht zu der Grenz- 
fläche F hindurchgeht; für die resultierende longitudinale Welle 
9t t gelten dann die Verhältnisse der Figur 188; sie verhält sich so, 
als ob sie von einem Punkte £2 herrührte, der mit Beziehung auf die 
Grenzfläche F symmetrisch zu gelegen ist. Die Welle ^ gehorcht also 
dem in § 168 ausgesprochenen Eeflexionsgesetz. Die transversalen 
Elementarwellen r t dagegen pflanzen sich mit kleinerer Geschwindig- 
keit fort, als die longitudinalen ; demnach wird auch die sie umhüllende 




transversale Hauptwelle %i t innerhalb des Kreisbogen eAe liegen; 
sie ist nicht mehr kugelförmig und gehorcht nicht mehr dem gewöhn- 
lichen Reflexionsgesetze. 

Ein Punkt P der Grenzfläche, welcher von der Welle (5^ getroffen 
wird, sendet aber Elementarwellen auch in das zweite Medium b hinein, 
eine longitudinale Welle g v eine transversale Welle g t ; wieder ist die 
Geschwindigkeit der Welle g t größer als die von g t . Die Elementarwellen 
setzen sich nach dem HüYGHENSSchen Prinzip zu zwei Hauptwellen ($, 
und ($ t zusammen, welche sich in dem Medium b so ausbreiten, daß 
die transversale Welle © ; stets umschlossen wird von der rascher sich 
ausbreitenden Welle © r Die Form beider Wellen ist eine von der 
Kugelform abweichende. Die in das Medium b eindringenden Wellen 
bezeichnen wir als die gebrochenen Wellen. 

Dieselben Konstruktionen können wir nun auch ausführen, wenn 
die ursprüngliche in dem Medium a erregte Welle eine trans- 

RlBCKB, Physik I. Dritte Aufl. 17 



258 



Mo lekular er scheinungen 



180 



versale ist. Auch in diesem Falle erhalten wir zwei reflektierte und 
zwei gebrochene Wellen. Nur die reflektierte transversale Welle be- 
wahrt die Kreisform und gehorcht damit dem gewöhnlichen Reflexions- 
gesetze. Die vier aus den ursprünglichen entstehenden Wellen sind 
für diesen Fall in Figur 189 dargestellt. Dabei sind, ebenso wie bei 
Figur 188, für das Medium a die Konstanten des Solnhofer Steines, 
für das Medium b die des Eisens benützt. 




Fig. 189. 



§ 180. Die Brechung ebener Wellen. Wenn das Zentrum 0, von 
dem die ursprünglichen Wellen ausgehen, sehr weit von der Grenzfläche 
der Medien a und b entfernt ist, so werden die Wellen innerhalb eines 
kleineren Bereiches den Charakter ebener Wellen haben; d. h. alle 
Punkte, welche gleichzeitig von der Welle ergriffen werden, liegen in 
einer und derselben Ebene, und diese Wellenebene schreitet sich selber 
parallel in der Richtung ihrer Normale fort; die Richtung, in welcher 
die Wellenbewegung sich fortpflanzt, ist durch die Normale der Wellen- 
ebene bestimmt. Wir wollen für diesen Fall den Übergang der Welle 
von dem einen Medium zu dem anderen noch etwas genauer ver- 
folgen. 

Die Linie FD (Figur 190) stelle die Grenzfläche der Medien aund& 
dar; wir nehmen an, daß diese Grenzfläche selbst zu der Ebene der 
Zeichnung senkrecht stehe. Die Linie A B stelle die ebene Welle @ 
dar, welche in dem Medium a gegen die Grenzfläche sich bewegt, die 
einfallende Welle; dabei können wir unentschieden lassen, ob es 
sich um eine longitudinale oder um eine transversale Welle handelt. 
Ebenso wie die Grenzfläche stehe auch die Ebene der einfallenden 
Welle auf der Zeichenebene senkrecht. Dem Punkte A der Zeichnung 
entspricht im Räume eine Linie A, in welcher die Wellenebene die 
Grenzfläche der Medien a and b schneidet; wir begrenzen die Welle (£ 
dadurch, daß wir durch den Punkt B eine Parallele zu jener Schnitt- 
linie A ziehen. 



§ 180 



Feste Körper 



259 




Fig. 190. 



Die Fortpflanzungsrichtung der Welle ist durch die senkrecht zu 
AB stehende Linie BD gegeben. Während nun der obere Rand der 
Welle die Strecke BD bis zu der Grenzfläche der beiden Medien durch- 
läuft, werden von dem Punkte A und von den in ihm sich projizierenden 
Punkten der Schnittlinie A longitudinale und transversale Elementarwellen 
halbkugelförmig sich ausbreiten mit den Geschwindigkeiten, wie sie dem 
Medium b eigentümlich sind. Von diesen Wellen betrachten wir nur 
die von einer Art, einerlei, 
ob dies die longitudi- 
nalen oder die trans- 
versalen sind. Wir be- 
rechnen den Halbmesser 
der von A ausgehenden 
Elementarwelle für den 
Moment, in welchem der 
obere Rand der ebenen 
Welle (& die Grenzfläche 
in D trifft. Ist v die Ge- 

a 

schwindigkeit der Wellen- 
bewegung in dem Me- 
dium a, so ergibt sich 
für die Zeit, welche die 
Welle zum Durchlaufen 
der Strecke BD braucht, t = BD\v a \ ist v l die Geschwindigkeit der 
Wellenbewegung in dem Medium b, so breitet sich die von A ausgehende 
Elementarwelle in derselben Zeit r auf eine Kugel von dem Halbmesser 

AC = BD x — 

aus. Bei der Zeichnung ist angenommen, daß v l < v a , also auch 
AG < BD sei. 

Die Wellenlänge trifft gleichzeitig mit A alle Punkte der Grenz- 
fläche, welche sich in A projizieren, alle Punkte der Linie, die wir mit 
dem gleichen Buchstaben bezeichnet haben. Die von ihnen ausgehenden 
kugelförmigen Elementarwellen Verden jederzeit umhüllt von einem zu der 
Ebene der Zeichnung senkrecht stehenden Zylinder, dessen Achse durch 
die Linie A gebildet wird. Man kann daher diese Linie, in welcher die 
Grenzfläche von der ebenen Welle @ getroffen wird, als den Ursprung einer 
zylindrischen Elementarwelle betrachten, welche in dem Medium b mit der 
Geschwindigkeit v h sich ausbreitet. Ganz ähnliche Zylinderwellen breiten 
sich aber nacheinander von den Linien der Grenzfläche aus, welche durch 
die zwischen A und D liegenden Punkte senkrecht zu der Ebene der 
Zeichnung hindurchgehen. Die Gestalt der Hauptwelle ist für irgend einen 
Moment gegeben durch die Fläche, welche sämtliche für den gleichen 
Moment konstruierte Zylinderwellen berührt. Wir beschreiben nun um A 
als Mittelpunkt einen Kreis mit dem Halbmesser A G = B D x %fv ; 

17* 



260 Molekularerscheinungen § 180 

er stellt den Querschnitt der von der Linie A ausgehenden Zylinderwelle 
für die Zeit r dar, in welcher der obere Eand der einfallenden Welle (£ 
die Strecke B D durchlaufen hat. Ziehen wir von D aus die Tangente 
D G an den Kreis A, so entspricht ihr eine Ebene D G, welche die in 
jenem Kreise projizierte Zylinderwelle berührt. Betrachten wir nun 
irgend einen Punkt A' der Grenzfläche, der zwischen A und D gelegen 
ist; er wird später von der in der Richtung BD fortschreitenden ebenen 
Welle erreicht, als A. Zur Zeit r wird also der Halbmesser der von A ' 
ausgehenden Elementarwelle kleiner sein als A C, und zwar ergibt sich, 
daß die Elementarwelle des Punktes A' zur Zeit r die Ebene D G gerade 
berührt. Dies gilt aber für alle Punkte der Grenzfläche, welche nach- 
einander von der ebenen Welle des Mediums a getroffen werden; es 
folgt daraus weiter, daß die Ebene D C auch all die Zylinderwellen be- 
rührt, die von den Linien der Grenzfläche ausgehen, welche der Eeihe 
nach den unteren Eand der in dem Medium a fortschreitenden Welle 
bilden. Dem HüYGHEisrsscken Prinzip zur Folge stellt also die Ebene 
D C die in dem Medium b fortschreitende Welle ® dar, und zwar für 
den Moment, in welchem der obere Eand der einfallenden Welle eben 
die Grenzfläche getroffen hat. Die Welle bleibt also auch nach dem 
Übergang in das Medium & eine ebene, nur ihre Neigung gegen die 
Grenzfläche und ihre Fortpflanzungsrichtung ist eine andere geworden. 
Die Änderung gehorcht einem einfachen Gesetz, das wir leicht aus 
der Figur ableiten können. Wir ziehen zu diesem Zweck die Normale 
DN der Grenzfläche, das Einfallslot. Den Winkel a, welchen die 
Fortpflanzungsrichtung BD der Welle @ mit dem Einfallslot bildet, 
nennen wir, wie bei den Wasserwellen, den Einfallswinkel. Die 
Welle © des Mediums b, welche aus der einfallenden Welle entsteht, 
nennen wir die gebrochene Welle, den Winkel ß zwischen ihrer Fort- 
pflanzungsrichtung A G und zwischen dem Einfallslote nennen wir den 
Brechungswinkel. Nun ist: 

BD = ADsina, 
A G = A D sin ß . 



Somit: 



B D sin « 



A G amß 

Andererseits ergibt sich aus der früheren Betrachtung: 

BD __ v a 
AG — ^° 

Der Zusammenhang zwischen den Fortpflanzungsrichtungen 
der einfallenden und der gebrochenen Welle ist somit ge- 
geben durch die Formel: 

sin a _ v a 
sin ß v b 

Aus dieser kann für jeden Einfallswinkel a der zugehörige Brechungs- 
winkel ß berechnet werden, sobald die Geschwindigkeiten v a und v b 



§180 



Feste Körper 



261 



bekannt sind. Das Gesetz, welches seinen Ausdruck in der letzten Formel 
findet, bezeichnet man als das Brechungsgesetz. 

An die Ableitung dieses wichtigen Gesetzes, dem wir bei der 
Brechung des Lichtes wieder begegnen werden, schließen wir noch einige 
ergänzende Bemerkungen an. 

Die erste bezieht sich auf den Fall, daß die Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit der Welle in dem Medium b größer ist, als 
in a. Man kann dann immer eine solche Neigung der einfallenden 
Welle AB (Fig, 191), einen 
solchen Einfallswinkel a 
linden, daß die Strecke 
BD von der Welle im Me- 
dium a in derselben Zeit 
durchlaufen wird, wie die 
Strecke A D von einer 
Welle in b. Während die 
obere Kante der einfallen- 
den Welle in der Zeit r 
von B nach D vorrückt, 
breitet sich die von A aus- 
gehende Elementarwelle 
auf eine Kugel vom Halb- 
messer AD aus, welche 
das Einfallslot DN in D 
berührt. In demselben 
Punkt D berühren sich 
aber auch all die anderen Elementarwellen, die während der Zeit r von 
den zwischen A und D liegenden Punkten der Grenzfläche ausgehen. 
Räumlich entsprechen den in der Figur gezeichneten Kreisen zylindrische 
Wellen, die zu der Ebene der Zeichnung senkrecht stehen; dem Berüh- 
rungspunkte der Kreise entspricht eine Berührungskante der Zylinder. 
Dem Bogenelemente, welches die Kreise im Berührungspunkte gemeinsam 
haben, entspricht im Räume ein unendlich schmaler Flächenstreifen als 
die gemeinsame Berührungsfläche der Zylinderwellen. Der Flächen- 
streifen stellt die gebrochene Welle dar; ihre Normale ist gegeben durch 
AD; in dieser Richtung, also parallel mit der Grenzfläche schreitet die 
gebrochene Welle als ein unendlich schmales, zur Grenzfläche senkrecht 
stehendes Band fort. Man bezeichnet die Welle als eine streifend 
gebrochene. Der Brechungswinkel ist in diesem Falle gleich 90°; der 
zu ihm gehörende Einfallswinkel ergibt sich aus der Formel: 




Fig. 191. 



sin a„ — — 

9 v h 



Den hieraus berechneten Winkel a nennt man den Grenzbrechungs^ 
winkel. 



262 Molekularerseheinungen § 180 

Es fragt sicli noch, was eintritt, wenn die Welle in dem Medium a unter 
einem Winkel a einfällt, der größer ist, als der Grenzbrechungswinkel a . 
In diesem Falle umhüllen sich die Elementarwellen, welche der Reihe nach 
von A und von den zwischen A und D liegenden Punkten ausgehen, ohne 
sich zu berühren. Das HuYGHENssche Prinzip liefert also wenigstens so, 
wie es in § 168 ausgesprochen wurde, keine gebrochene Welle mehr. 

Eine zweite Bemerkung bezieht sich auf die reflektierten Wellen. 
Wir haben schon in den vorhergehenden Paragraphen hervorgehoben, 
daß das gewöhnliche Reflexionsgesetz nur dann gilt, wenn die reflektierte 
Welle mit der einfallenden gleichartig ist. Wenn aber aus einer ein- 
fallenden longitudinalen Welle eine reflektierte transversale, oder um- 
gekehrt aus einer einfallenden transversalen eine reflektierte longitudi- 
nale entsteht, so findet zwischen dem Einfallswinkel und zwischen dem 
Reflexionswinkel eine Beziehung von derselben Art statt wie bei der 
Brechung. Nun ist die Geschwindigkeit, mit der sich die transversalen 
Wellen fortpflanzen, stets kleiner als die Geschwindigkeit der longitudi- 
nalen. Daraus folgt, daß für die transversale Welle ein Grenzwert des 
Einfallswinkels existiert, für welchen die zugehörige longitudinale Welle 
unter einem Winkel von 90°, streifend reflektiert wird. Für Ein- 
fallswinkel, die größer sind als jener Grenzwinkel, gibt es dann keine 
reflektierte longitudinale Welle mehr. 

Die vorhergehenden Betrachtungen bezogen sich auf die geometri- 
schen Verhältnisse der Reflexion und der Brechung; sie werden zu 
ergänzen sein durch eine Untersuchung, welche die Ermittelung der 
Intensitätsverhältnisse der Wellen zum Ziele hat. Man kann 
von vornherein annehmen, daß bei Wellen von gleicher Oscillationsdauer 
die größere oder geringere Intensität der Bewegung davon abhängt, ob 
die Teilchen bei ihrer Schwingung sich mehr oder weniger weit von 
ihrer Gleichgewichtslage entfernen, ob die Amplitude ihrer Schwingung 
größer oder kleiner ist. Die Frage nach den Intensitätsverhältnissen 
der Wellen kann also im wesentlichen auf die Frage nach dem Ver- 
hältnis ihrer Amplituden zurückgeführt werden. Zu ihrer Lösung dient 
auf Seiten der Theorie die folgende Überlegung. Wenn die beiden 
Medien a und b in der Grenzfläche fest gegeneinander gepreßt sind, so. 
müssen die einander berührenden Elemente von a und von b dieselbe 
Bewegung besitzen. Die einfallende Welle möge etwa eine longitudinale 
sein; sie gibt dann Veranlassung zu einer reflektierten longitudinalen 
und einer reflektierten transversalen Welle. Ein Teilchen des Mediums 
a, welches gerade an der Grenze gelegen ist, nimmt an der Bewegung 
der drei in a vorhandenen Wellen teil; seine Verschiebung bestimmt 
sich nach dem Prinzip der Kombination aus den Verschiebungen, die 
den einzelnen Wellen entsprechen. Ebenso ergibt sich aus den Ver- 
schiebungen der beiden gebrochenen Wellen die Verschiebung eines an 
derselben Stelle der Grenze liegenden, aber dem Medium b angehörenden 
Teilchens. Stellt man die Bedingung auf, daß die Verschiebungen der 



§181 Feste Körper 263 

beiden betrachteten Teilchen einander gleich sein sollen, so ergeben sich 
gewisse Bedingungen, welchen die Amplituden der Wellen zu genügen 
haben. Aber zu einer Berechnung der Amplituden reichen sie nicht 
aus. Die noch fehlenden Gleichungen ergeben sich aus der Annahme, 
daß auch der Druck auf beiden Seiten der Grenzfläche derselbe sein 
muß. Da der Druck einerseits abhängt von den Verschiebungen in dem 
Medium a, andererseits von den Verschiebungen in b, so ergeben sich 
weitere Beziehungen zwischen den Amplituden. Im ganzen erhält man 
auf diese Weise vier Gleichungen, welche die Amplituden der beiden reflek- 
tierten und der beiden gebrochenen Wellen als Unbekannte enthalten 
und zu ihrer Berechnung ausreichend sind. 

Eine Kontrolle für die Ergebnisse der Kechnung ergibt sich aus einer 
energetischen Betrachtung, die wir noch kurz andeuten wollen. Die ein- 
fallende Welle enthält eine gewisse Menge von Energie, welche mit der 
Welle von einer Stelle des Eaumes zur anderen fortgetragen wird. Wenn 
die einfallende Welle sich spaltet in die beiden reflektierten und in die 
beiden gebrochenen, so verwandelt sich ihre Energie in die Energie 
dieser vier Wellen, vorausgesetzt, daß keine inneren Reibungswiderstände 
zu berücksichtigen sind, die zur Entstehung von Wärme Veranlassung 
bieten würden. Unter dieser Voraussetzung muß die Energie der ein- 
fallenden Welle gleich der Summe der Energieen sein, die in den reflek- 
tierten und in den gebrochenen Wellen enthalten sind. Eine genauere 
Untersuchung der hierdurch gegebenen Bedingung würde uns zu weit 
führen. Wir beschränken uns auf die Bemerkung, daß die Energie einer 
in einem elastischen Körper fortschreitenden Welle mit dem Quadrate 
der Wellenamplitude und mit der Dichte des Körpers proportional ist. In 
einem ähnlichen Falle, nämlich bei einer schwingenden Saite, werden wir 
später (§ 223) die Energiebestimmung wirklich ausführen. 

Eine letzte Bemerkung bezieht sich auf den Fall, daß der elastische 
Körper durch eine freie Oberfläche begrenzt wird. Auf diese wirkt 
der Druck der Luft; der Körper wird dadurch ein wenig komprimiert. 
Wir können nun in dem Körper elastische Wellen erzeugen, etwa da- 
durch, daß wir gegen irgend eine Stelle der Oberfläche einen Schlag 
führen. Über die konstanten durch den Luftdruck erzeugten Deforma- 
tionen lagern sich dann die Verschiebungen, welche den elastischen 
Wellen entsprechen. Der Druck, den die Oberfläche des Körpers er- 
leidet, der Luftdruck, wird aber durch die Wellen nicht geändert. Die 
Verschiebungen der oberflächlichen Körperteilchen, welche von den 
elastischen Wellen herrühren, müssen daher so beschaffen sein, daß der 
ihnen entsprechende Oberflächendruck gleich Null ist. Diese Bedingung 
ermöglicht die Berechnung der Amplituden der beiden von der freien 
Oberfläche reflektierten Wellen, welche aus einer einfallenden longitudi- 
nalen oder transversalen Welle entstehen. 

§ 181. Erdbebenwellen. Die Ergebnisse der beiden vorhergehenden 
Paragraphen finden zur Zeit nur eine interessante Anwendung, und zwar 



264 



MolekularerscJieinungen 



§ 181 



auf die elastischen Schwingungen, die von einem Erdbehenzentrum aus 
wellenförmig durch die Erde sich verbreiten. 

Die Schwingungen, die an einem Orte der Erdoberfläche durch ein 
Beben mit fernem Zentrum erzeugt werden, sind überaus klein; es bedarf 
zu ihrem Nachweise sehr feiner Hilfsmittel, nnd es scheint nicht über- 
flüssig, zunächst über diese einiges zu sagen. Das Prinzip für die Kon- 
struktion eines Apparates, der die Bewegungen des Erdbodens aufzeichnet, 
ist durch das in § 83 besprochene Doppelpendel gegeben. Der Erd- 
boden selbst zusammen mit einem festen, wohl fundamentierten Gestell 
entspricht dem Pendel von großer Masse; dem in erzwungene Schwingung 
versetzten Pendel von kleiner Masse entspricht ein an dem Ge- 
stelle hängendes Pendel, welches zur Aufzeichnung von Erdbeben- 
wellen dient. 

Der Rahmen ABFG, Fig. 192, repräsentiert das Gestell; das Pendel 
besteht aus einem starren Stabe, der an seinem unteren Ende die Pendel- 
masse P trägt. Soll das Pendel Bewegungen des Erdbodens anzeigen, 

die parallel sind mit der Richtung A 0, 
so verbinden wir dasselbe mit einer hori- 
zontaler Drehungsachse D, die senkrecht 
zu dem Rahmen ABFG steht. Die Ver- 
größerung der Bewegungen wird durch 
einen langen Zeiger P C bewirkt, der seine 
Bewegungen mit einer feinen Spitze auf be- 
rußtem Papier aufschreibt. Die Theorie 
dieses seismographischen Pendels ist 
außerordentlich einfach, wenn die Schwin- 
gungen des Erdbodens sehr schnell sind im 
Vergleich mit der Schwingungsdauer des 
Pendels P. Für diesen Fall folgt aus den 
Untersuchungen der §§ 81 und 82, daß 
der Schwerpunkt der Pendelmasse P an derselben Stelle des Raumes in 
Ruhe bleibt. Wenn also die Achse D infolge der Schwingungen des Erd- 
bodens nach D' verschoben wird, so drebt sich die Pendelstange DP 
und der Zeiger P C um den Schwerpunkt von P\ die Spitze des Zeigers 
kommt dadurch nach E; gleichzeitig hat sich die vertikale Linie D G 
nachD'C verschoben. Der Ausschlag des Zeigers ist somit gleich E G'. 
Er verhält sich zu der wirklichen Verschiebung DD' des Erdbodens wie 
die Länge D C zu der Pendellänge D P; es ist also 




Fig. 192. 



DD'= EC'X 



DP 
DC 



Die Länge D C bezeichnet man als die Indikatorlänge, das Verhältnis 

DG 

jpp als die Indikatorvergrößerung. 1 



1 Wiechert, Physikalische Zeitschrift. 2 Jahrg. Xr. 40 und 41. 



§181 Feste Körper 265 

Komplizierter wird der Zusammenhang zwischen dem Ausschlage, 
den der Zeiger aufschreibt, und der wirklichen Bewegung des Bodens, 
wenn die Schwingungsdauer der Erdbebenwellen der Schwingungsdauer 
des Pendels mehr oder weniger nahe kommt. Die Amplitude der 
Pendelschwingungen wird insbesondere dann eine unverhältnismäßig 
große, wenn die Wellen dieselbe Schwingungsdauer besitzen, wie das 
Pendel, d. "h. wenn dieses auf die Schwingungen des Bodens resoniert. 
Die Untersuchungen der §§ 80 — 82 zeigen, wie man ein übermäßiges 
Anwachsen der Ausschläge in diesem Falle vermeiden kann; man muß 
einen Keibungs widerstand einführen, welcher die Bewegungen des Pen- 
dels dämpft. Eine solche Dämpfung ist aber noch aus einem anderen 
Grunde notwendig. Im allgemeinen werden zu den erzwungenen Schwin- 
gungen, welche den Wellen des Erdbebens entsprechen, freie Schwin- 
gungen des Pendels von der ihm eigentümlichen Dauer sich gesellen. 
Durch die Überlagerung der beiden Bewegungen würde die Deutung 
eines von dem Zeiger aufgeschriebenen Erdbebendiagrammes außerordent- 
lich erschwert. Der verwirrende Einfluß der freien Schwingungen wird 
vermieden, wenn das Pendel so stark gedämpft ist, daß ihre Amplitude 
schon nach wenigen Schwingungen auf einen kleinen Bruchteil des ur- 
sprünglichen Betrages herabgedrückt wird. 

In Fig. 193 ist ein in Göttingen erhaltenes Erdbebendiagramm 
wenn auch nicht in all seinen Einzelheiten, so doch in seinem ganzen 
Charakter wiedergegeben. Die an den horizontalen Linien angeschriebenen 
Zahlen bedeuten Minuten. Die Schwingungsdauer des Pendels betrug 
5-6 sec, die Indikatorlänge 6600 m. Eine solche Länge kann natürlich 
nicht durch einen einfachen mit dem Pendel verbundenen Zeiger her- 
gestellt werden. An seine Stelle tritt vielmehr ein Hebelmechanismus, 
der aber die Pendelausschläge ebenso vergrößert, wie ein Indikator von 
der angegebenen Länge. 

Die Schwingungen sind zu einer wellenförmigen Kurve dadurch 
auseinander gezogen, daß das berußte Papier unter dem Schreibstifte 
mit einer Geschwindigkeit von etwa 80 cm in der Stunde in einer zu der 
Schwingung des Pendels senkrechten Richtung fortgezogen wurde. 

Das Beben beginnt mit unregelmäßigen Schwingungen von etwa 
2,5 sec Dauer, den Vorläufern. Diese zeigen nach 3 min einen neuen 
charakteristischen Einsatz, der Erschütterungen mit größerer Ampli- 
tude einleitet. Nach Vertiuß von etwa 6 min setzen regelmäßigere Schwin- 
gungen von größter Amplitude ein, die Hauptwellen; ihre Schwingungs- 
dauer beträgt etwa 5,5 sec; ihre Amplituden wachsen rasch zu einem 
Maximum an, um dann allmählich wieder abzunehmen. Nach einer Zeit 
von etwa 30 min ist die Bewegung unmerklich geworden. Das Zentrum 
des dargestellten Bebens lag in Kleinasien. 

In Göttingen betrugen die Verschiebungen des Bodens im Ma- 
ximum etwa 1 j s mm. 



266 



Molekularerscheinungen 



181 



Der bei dem Pendel benutzten Schwingungsdauer von 5*6 sec würde 
bei einem Fadenpendel ein Länge von 31 m entsprechen. 

Das längste Pendel, welches bisher zur Registrierung von Erd- 
bebenwellen, als Seismometer, benützt wurde, hat Vicentini in Padua 
konstruiert. Es besitzt eine Länge von 20 m bei einer Pendelmasse 
von 400 kg. Schon bei einem solchen Pendel sind die Schwierigkeiten 
der Aufhängung sehr groß; Pendel von noch größerer Länge würden 



10 



<£tdtfk$0mzze$&n/ 




1/l^ww 



w 



K l:l 77 1ö 16 

Fig. 193. 



17 



18 



19 



20 



nur unter ganz besonderen Verhältnissen zu brauchen sein. Man muß 
also die große bei dem Göttinger Pendel benützte Schwingungsdauer 
von 5*6 sec dadurch erreichen, daß man die Einwirkung der Schwere 
auf die Pendelmasse bis auf einen kleinen Rest kompensiert. 

Bei dem sogenannten Horizontalpendel (Fig. 194) geschieht dies 
in folgender Weise: Die Pendelmasse P wird einerseits von dem in B 
befestigten Faden B A gehalten, und andererseits stützt sie sich mittels 
der Stange D E gegen die mit B in derselben Vertikalebene liegende 
Spitze E einer Schraube. Durch Drehen der letzteren kann der Stütz- 
punkt E der Stange in horizontaler Richtung verschoben werden. Liegen 
die Punkte E und B in einer Vertikalen, so bleibt der Schwerpunkt 
der Pendelmasse bei einer Drehung um B E in derselben Höhe; das 
Pendel befindet sich in jeder Lage im Gleichgewicht. Neigen wir die 



§ 181 



Feste Körper 



267 



Linie B E durch Drehen der Schraube nach der Seite, auf welcher das 
Pendel sich befindet, so hat der Schwerpunkt des letzteren die tiefste 
mögliche Lage, wenn die Ebene des Drei- 
eckes BGB vertikal steht. Diese Lage ent- 
spricht somit dem stabilen Gleichgewichte 
des Pendels. Die Direktionskraft, durch 
welche das Pendel bei einer Ablenkung 
aus der Gleichgewichtslage in diese 




den neuesten von 
Die Pendelmasse 



zurück- 
getrieben wird, ist um so kleiner, je geringer 
die Neigung der Linie B E. Nun wächst aber 
die Schwingungsdauer des Pendels mit ab- 
nehmender Direktionskraft, durch passende 
Einstellung der Spitze E wird man also 
leicht eine Schwingungsdauer von der ge- 
wünschten Größe herstellen können. 1 

In anderer Weise ist die Kompensation bei 
Wiechert konstruierten Pendeln erreicht (Fig. 195) 
P ruht mit der Stange AB auf der Fußplatte des 
Apparates. Wir wollen annehmen, daß AB um 
eine horizontale .Achse drehbar sei, welche wir 
uns in A senkrecht zu der Ebene der Zeichnung 
stehend denken. Das Pendel wird dann zu der 
Registrierung von horizontalen Bodenbewegungen 
dienen können, welche senkrecht zu jener Drehungs- 
achse stehen. Damit das Pendel nicht umfällt, . 
muß man auf dasselbe außer der Schwere noch 
eine zweite Kraft in entgegengesetztem Sinne 
wirken lassen. Zu diesem Zwecke ist die Stange 
verlängert bis D. In diesem Punkte greift eine aus 
zwei Gliedern DE und EGF bestehende Führung 
an, und verbindet ihn mit einem Punkte H des 
den Apparat tragenden festen Gestelles. In den 
Punkten D, E und F befinden sich Gelenke, so daß 
die in ihnen zusammenhängenden Teile sich gegen- 
einander um Achsen drehen können, welche der 
Drehungsachse der Stange AB parallel sind. Um 
Reibungswiderstände zwischen sich berührenden Körpern zu vermeiden, 
sind jene Gelenke durch elastische Federn dargestellt, wie dies bei F 
in schematischer Weise angedeutet ist. Auch die Stange AB ist da- 
durch drehbar gemacht, daß sie bei A zu einer Feder ausgefeilt ist, 
welche sich in der zu ihrer Fläche senkrechten Richtung hin und her- 
kann. Wenn wir die Pendelstange etwa nach der linken Seite 




Fig. 195. 



biegen 



1 Vgl. hierzu: Wiechert, Seismometrisclie Beobachtungen im Göttinger geo- 
physikalischen Institut. Gott. Nachr. 1899. p. 195. 



268 Molekularerscheinungen § 181 



der Figur hinüberneigen, so wird die Feder F nach unten gebogen; 
sie übt dann infolge ihrer Elastizität ein Drehungsmoment auf das Pendel 
aus, welches, dem der Schwere entgegengesetzt, die Pendelstange wieder 
aufzurichten sucht. Die Stärke der Feder F muß so reguliert werden, 
daß das durch ihre Biegung erzeugte Drehungsmoment dem der Schwere 
ein wenig überlegen ist. Die Wirkung der Schwere wird also bei dem 
Apparat von Wiecheet durch die elastische Gegenkraft um einen kleinen 
Betrag überkompensiert. Den einzigen Punkt, wo bei dem Wiecheet- 
schen Pendel gleitende Reibung verschiedenartiger Körper auftritt, bildet 
die Spitze des Schreibstiftes. Der Reibimgswiderstand des Stiftes kann 
bei Anwendung von berußtem Papier auf l j 2 vng Gewicht herabgedrückt 
werden; er wirkt aber am Ende des langen Zeigers, also an einem großen 
Hebelarm. Um den störenden Einfluß der Reibung tunlichst herabzu- 
drücken, gibt man dem Pendel eine große Masse, bei dem Apparate von 
Wiecheet von etwa 1000 kg. 

Um Eigenschwingungen des Pendels, wie sie durch jede Erschütte- 
rung erzeugt werden, rasch zu beseitigen, benützt Wiecheet einen soge- 
nannten Luftdämpfer. Es würde zu weit 
führen, auf Einzelheiten der Konstruktion ein- 
zugehen; da aber die Luftdämpfung bei 
vielen Apparaten angewandt wird, um Eigen- 
schwingungen aufzuheben, so möge eine von 
den gebräuchlichsten Formen des Luftdämpfers 
kurz erläutert werden (Fig 196). Die Achse 
um welche die zu dämpfenden Schwingungen 
Fi gi ige. sich vollziehen, stehe in A senkrecht auf der 

Ebene der Zeichnung. FGHJ bezeichnet eine 
bei GH geschlossene, im Kreise gebogene Röhre, welche fest aufgestellt 
ist, so daß ihre Rotationsachse mit der Drehungsachse A zusammenfällt. 
Mit dieser letzteren ist durch den Arm ABC eine Scheibe DE ver- 
bunden, deren Ebene durch die Achse A hindurchgeht. Diese Scheibe 
füllt den Querschnitt der Röhre FGHJ so weit aus, daß nur noch ein 
schmaler ringförmiger Spalt am Rande frei bleibt. Erteilen wir der 
Achse A eine Winkelgeschwindigkeit entgegen dem Sinne des Uhrzeigers, 
so wird zunächst die Luft in der hinteren Kammer der Röhre FGHJ 
verdichtet und strömt dann durch den schmalen Spalt zwischen Scheibe 
und Röhre nach vorn; die .dabei entwickelte Reibung erzeugt eine starke, 
die Schwingung dämpfende Kraft. Ist die Winkelgeschwindigkeit ent- 
gegengesetzt der Drehung des Uhrzeigers, so wird die Luft in der 
hinteren Kammer von FGHJ verdünnt; die Strömung der Luft erfolgt in 
entgegengesetztem Sinne wie vorher, aber der dämpfende Einfluß ist 
derselbe. 

Wir ergänzen den vorstehenden Bericht über Instrumente und 
Beobachtungen durch einige Bemerkungen von theoretischer 
Natur. 




§ 182 Feste Körper 269 

Wären wir mit der Beschaffenheit der Erde, mit ihrer Elastizität, 
ihrer Dichte bekannt, so würden die §§ 179 und 180 die Mittel ent- 
halten, um eine vollständige Theorie der Erdbebenwellen zu entwerfen. 
Umgekehrt darf man hoffen, daß aus einer vollständigen Beobachtung 
der Erdbeben wichtige Schlüsse auf die Beschaffenheit der Erde sich 
werden ziehen lassen. Immerhin muß man von vornherein darüber klar 
sein, daß es sich um die Entwirrung sehr komplizierter Vorgänge handelt. 
In § 91 haben wir gesehen, daß die Erdkugel aus einem Mantel von 
Gesteinen mit geringerer Dichte und einem Kerne von metallischer 
Dichte bestehen muß. Unter dieser Voraussetzung würde sich für die 
Ausbreitung der Wellen von einem an der Oberfläche der Erde liegenden 
Zentrum A das folgende Bild ergeben. 

Wir legen zunächst von A aus einen Kegel, welcher den Metall- 
kern der Erde berührt; ihre Oberfläche zerfällt dadurch in zwei Zonen. 
In der Mitte der einen liegt das Erdbebenzentrum A, in der Mitte der 
anderen der Gegenpunkt B von A. Die beiden Zonen mögen bezw. 
mit denselben Buchstaben A und B bezeichnet werden. W T fr nehmen 
zuerst einen Punkt P der Zone A; die in A erzeugten Wellen pflanzen 
sich nach ihm in der geraden Linie A P durch den Gesteinsmantel fort. 
Außerdem gelangen nach P Wellen, die an der Oberfläche der Erde 
eine einmalige oder eine wiederholte Eeflexion erlitten haben. Ferner 
erhält P eine Welle, die an der Oberfläche des Metallkernes einmal 
reflektiert wurde, andere Wellen, die zwischen der Oberfläche des Kernes 
und zwischen der äußeren Oberfläche der Erde wiederholt hin- und 
hergeworfen wurden. Wenn endlich die Geschwindigkeit der Wellen in 
dem Metallkerne größer ist als in dem Gesteinsmantel, so können Wellen 
auch durch den Kern hindurch von A nach P kommen. 

Nehmen wir einen Punkt Q der Zone B, so kann in der geraden 
Linie A Q keine Welle nach ihm gelangen; es bleiben nur die Wellen, 
welche an der äußeren und an der inneren Oberfläche des Gesteins- 
mantels reflektiert worden sind. Dazu kommen die durch den Metall- 
kern gebrochenen Wellen; ihr Verhalten hängt wesentlich davon ab, 
ob sie sich in dem Kern mit größerer oder mit kleinerer Geschwindig- 
keit fortpflanzen, wie die entsprechenden Wellen im Mantel. Im ersteren 
Falle würde die Wirkung des Kernes an die der Zerstreuungslinsen der 
Optik erinnern, im zweiten an die Wirkung der Sammellinsen. Den 
Verhältnissen der Optik gegenüber bleibt aber die große Komplikation, 
daß im allgemeinen jede einfallende elastische Welle in zwei reflektierte 
und in zwei gebrochene sich spaltet, wobei immer die longitudinalen 
Wellen sich rascher fortpflanzen als die entsprechenden transversalen 

§ 182. Elastische Nachwirkung. Wenn man einen elastischen 
Körper einer deformierenden Kraft unterwirft, so nimmt die Deformation 
noch längere Zeit hindurch, bei manchen Körpern mehr, bei anderen 
weniger, zu. Wenn man die deformierende Kraft aufhebt, so verschwindet 



270 



Molekularerscheinungen 



§ 182 



die Formänderung nicht sofort vollständig, es bleibt vielmehr zunächst ein 
Rest, der erst nach längerer Zeit ganz rückgängig wird. Man bezeichnet 
diese mit großer Regelmäßigkeit verlaufenden Erscheinungen als elastische 
Nachwirkung. 

Wenn nach irgend einer äußeren Einwirkung eine merkliche, dauernd e 
Formänderung eines Körpers zurückbleibt, so sagt man seine Elastizitäts- 
grenze sei überschritten worden. 

Zyklische Deformationen. In eigentümlicherweise äußert sich 
die elastische Nachwirkung bei zyklischen Prozessen. Wir lassen auf einen 
Körper erst eine kleine Anfangsbelastung wirken, wir steigern sie in 
stetiger Weise bis zu einem bestimmten Maximalwerte, lassen sie ebenso 
abnehmen, bis der Anfangswert wieder erreicht ist; von da an steigen 
wir von neuem auf bis7zu*'dem Maximalwert, gehen abermals herunter 



kJL&. ^.eivichiz' 













?— 






\/ 


\# 






CL 




_l \^ 




Q 












C'\ 


^~~\ ^v, 












i 




mm 


c €ucwk 


~Ae xMe&u 


täm& 







Fig. 197. 

zum Anfangswert, und wiederholen diesen Prozeß so lange, bis das Ver- 
halten des Körpers ein ganz konstantes geworden ist, d. h. bis jeder 
Belastung der aufsteigenden wie der absteigenden Reihe immer wieder 
dieselbe Deformation entspricht, so daß der Körper eine geschlossene 
Folge von Deformationen in gleicher Weise durchläuft. Dabei stellt 
sich dann heraus, daß die den abnehmenden Belastungen entsprechenden 
Deformationen andere sind, als die bei zunehmender Belastung be- 
obachteten. Es wird dies am einfachsten an der Hand einer graphischen 
Darstellung deutlich zu machen sein. 

Die Zeichnung, Fig. 197, bezieht sich auf den Fall der Dehnung 
einer Lederschnur durch ein angehängtes Gewicht; die Länge der Schnur 
betrug 130 cm, ihr Durchmesser 0-49 cm; die anfängliche Belastung 
ist gleich Null genommen. Die allmählich bis zu dem Maximalwerte 
P m = 4- 76 kg -Gewichten gesteigerte Last ist auf der horizontalen Achse 
abgetragen, senkrecht dazu nach unten hin die entsprechenden Ver- 



§ 184 Feste Körper 271 

längerungen a in mm. Die Linie OBA entspricht der Zunahme der 
Belastung, die Linie AG der Wiederabnahme. Infolge der elastischen 
Nachwirkung verläuft AG unterhalb von OBA. Daraus ergibt sich 
noch eine weitere eigentümliche Folgerung. Die Schnur sei belastet 
mit einem Gewichte P; wenn wir nun ein kleines Mehrgewicht hinzu- 
fügen, so dehnt sich die Schnur um einen kleinen Betrag da; bei dieser 
Dehnung wird von dem Gewichte P die Arbeit P-da geleistet. Die 
gesamte Arbeit, welche von der allmählich bis zu dem Maximalwerte 
steigenden Belastung geleistet wird, ist gegeben durch ^Pdce, oder 
nach § 22 durch den Inhalt der zwischen den Linien OBA, Aa und aO 
eingeschlossenen, dreieckigen Figur. Wenn nun die Schnur allmählich 
wieder entlastet wird, so verkürzt sie sich und hebt dabei die jeweilig 
noch vorhandene Belastung; es wird also bei der Entlastung Arbeit 
wiedergewonnen, und diese gewonnene Arbeit ist durch den Inhalt der 
Figur ACOaA gegeben. Die gewonnene Arbeit ist hiernach 
kleiner als die geleistete: die Differenz ist numerisch gleich dem 
Inhalte der Figur BA G O. Nun kehrt bei einem vollkommen zyklischen 
Prozeß die Schnur stets wieder in denselben Zustand zurück; es scheint 
also, daß ein gewisser Teil der geleisteten Arbeit verloren gegangen ist. 
Nach dem Prinzip von der Erhaltung der Energie muß aber die an- 
scheinend verlorene Arbeit in irgend einer Form von Energie sich wieder- 
finden, und es ist kaum eine andere Annahme möglich, als daß dies die 
Form der Wärmeenergie ist. Wir kommen somit zu dem Schlüsse, daß 
in jedem Körper, der einen zyklischen Prozeß von der ge- 
schilderten Art durchläuft, Wärme erzeugt wird. 

Die Erscheinungen, von denen wir hier gesprochen haben, bezeichnet 
man als elastische Hysteresis; ganz analogen Erscheinungen werden 
wir auf dem Gebiete des Magnetismus begegnen. 

§ 183. Innere Reibung. Mit der Erscheinung der elastischen Nach- 
wirkung hängt die der inneren Reibung zusammen. Wenn wir eine ge- 
bogene Feder schwingen lassen, oder wenn wir einen vertikal aufgehängten 
Draht drillen und dann loslassen, so daß er in Torsionsschwingung gerät, 
so bemerken wir, daß die Weite der Schwingungen immer mehr abnimmt, 
bis die Bewegung schließlich erlischt. Wir bezeichnen dies als Dämpfung 
der Schwingungen, und den Grund der Erscheinung suchen wir in einer 
Reibung, welche die Teilchen des schwingenden Körpers bei der gegen- 
seitigen Verschiebung erfahren. Die Energie des deformierten Körpers, 
welche während der Schwingung bald potentieller, bald kinetischer Art 
ist, verwandelt sich infolge der inneren Reibung allmählich in Wärme. 

§ 184. Festigkeit. Wenn man einen Draht so belastet, daß seine 
Elastizitätsgrenze überschritten wird, so zerreißt er sehr bald, wenn er aus 
einem spröden Stoffe besteht; Stoffe, die große Formänderungen erleiden 
können, ohne daß der Zusammenhang ihrer Teile zerstört wird, nennen wir 
zähe oder duktile. Unter Zugfestigkeit verstehen wir die auf die Flächen- 
einheit kommende Spannung, bei der ein Stab oder Draht zerreißt. Um 



272 Molekularerseheinungen § 184 

eine Vorstellung von den hier vorliegenden Verhältnissen zu geben, stellen 
wir in der folgenden Tabelle einige Werte von Zugfestigkeiten zusammen: 

Stahl 80 kg - Gew , icht 

mnr 

Eisen 60 „ . 

Messing 60 „ 

Kupfer 40 „ 

Platin 30 „ 

Silber 29 „ 

Zink 13 „ 

Blei 2 

Bei Glas erweist sich die Zugfestigkeit in hohem Grade als abhängig 
von der chemischen Zusammensetzung und der Beschaffenheit der Ober- 
fläche. Sie schwankt zwischen 3-5 und 11-9 kg-Gewichten pro Quadrat- 
millimeter und steigt bei Glasstäben mit geätzter Oberfläche bis auf 17-8. 1 

Rückwirkende Festigkeit nennen wir den Druck, der zum Zer- 
drücken eines Körpers von prismatischer Form erfordert wird. Biegungs- 
festigkeit ist die Kraft, welche zum Zerbrechen, Torsionsfestigkeit die, 
welche zum Abdrehen eines stabförmigen Körpers notwendig ist. Auf- 
fallend ist die große Biegungsfestigkeit schnell gekühlten Glases, z. B. des 
Schwanzes der Glastränen; sie ist gleich der des Stahles; sobald aber 
der Bruch eintritt, so zerfällt das ganze Glasstück explosionsartig in 
kleine Splitter. 

Sehr merkwürdig sind die Erscheinungen, welche dem Zerreißen 
eines über die Festigkeitsgrenze hinaus in Anspruch genommenen Stabes 
vorhergehen. Ein gedehnter Stahlstab schnürt sich an einer Stelle ein, es 
tritt ein Fließen der Masse ein, bis schließlich an der Stelle der größten 
Einschnürung der Bruch erfolgt. Im Zusammenhange damit stehen ge- 
wisse Veränderungen der Oberfläche; insbesondere tritt beim Beginn des 
Fließens eine eigentümliche netzartige Zeichnung auf, die sich von dem 
einen Ende aus über die Oberfläche verbreitet; eine Erscheinung, die man 
als Überfließen bezeichnet. Charakteristisch für die Natur des Materiales 
sind die Bruchflächen selbst; es scheint, daß sie bei spröden Körpern 
senkrecht stehen zu der Richtung der größten linearen Dilatation, während 
sie bei duktilen der Richtung der größten Scherkraft folgen; bei den 
letzteren treten daher in der Regel trichterförmige Bildungen an den 
Bruchflächen auf. Während des Überfließens ist das Eisen besonders 
empfänglich für magnetische Erregung; die Stellen eines gedehnten Stabes, 
an denen das Überfließen eintritt, werden schon unter dem Einflüsse des 
Erdmagnetismus relativ stark magnetisch; es hängt dies mit Tatsachen 
zusammen, über die wir in der Lehre vom Elektromagnetismus berichten 



1 C. Brodmann, Einige Beobachtungen über die Festigkeit von Glasstäben. 
Gott. Nachr. Math.-Phys. Kl. 1894. p. 44. — Winkelmann und Schott, Über die 
Elastizität und über die Zug- und Druckfestigkeit verschiedener neuer Gläser in 
ihrer Abhängigkeit von der chemischen Zusammensetzung, Wied. Ann. Bd. 51. 
1894. p. 697. 



§ 184 



Feste Körper 



273 



werden. Beim Fließen selbst bis zu dem schließlichen Bruche nimmt 
die magnetische Erregbarkeit wieder ab. 1 

Um eine Vorstellung von den Deformationen zu erhalten, welche 
ein mehr oder weniger duktiles Material durch Überlastung erleidet, be- 




Fig. 198. 

trachten wir die Figuren 198 und 199. Die erstere stellt in verkleinertem 
Maßstabe einen bis zum Bruche nach der Linie A B gedehnten Flachstab 
aus Flußstahl dar. Seine Breite betrug ursprünglich 60 mm, seine Dicke 





Fig. 199. 

1 2 mm, der Querschnitt 7 • 2 qcm. Auf dem Stab war durch Längs- und 
Querlinien ein quadratisches Netz von 10 mm Seitenlänge gezeichnet 
worden. Dieses erfuhr die aus der Figur ersichtliche Deformation. Man 
sieht, daß vor dem Zerreißen in der Tat Formänderungen eintreten, die 



1 Kirsch, Beitrag zum Studium des Fließens beim Eisen und Stahl. Mit- 
teilungen aus den Kgl. techn. Versuchsanstalten zu Berlin. 1887 p. 69, 1888 p. 37, 
1889 p. 9. 

Eiecke, Physik I. Dritte Aufl. 18 



274 Molekularerscheinungen § 185 

dem Strömen einer flüssigen Masse analog sind. Nach dem Zerreißen 
betrug der Querschnitt an der Bruchstelle AB noch 4*53 qcm, die 
Bruchbelastung war 37 460 kg-Gewichte; die Dehnung betrug auf 
100 mm 27 • 5 mm. 

Figur 199 stellt einen Bleiwürfel dar, der zwischen zwei parallelen 
Platten zusammengedrückt wurde. Seine Kanten besaßen ursprünglich 
eine Länge von 80 mm. Auf den Seitenflächen waren quadratische Netze 
mit 64 Maschen gezeichnet; ihre Deformation zeigt die Figur. Die 
Höhe des Würfels beträgt nach dem Zusammendrücken noch 65 mm; 
die Kanten der Druckflächen haben sich um 6 mm, die ihnen parallelen 
Mittellinien der Seitenflächen um 10 mm verlängert. 1 

§ 185. Adhäsion. Wenn man zwei vollkommen reine, eben ge- 
schliffene Glasplatten zusammendrückt, so haften sie fest zusammen. Ist 
die eine Platte größer als die andere, so kann man sie auf einen hori- 
zontalen Ring auflegen, so daß die kleinere an ihrer unteren Fläche 
hängt. Bringt man die Vorrichtung unter den Rezrpienten der Luft- 
pumpe, so haften die Platten unverändert aneinander. Man nimmt ge- 
wöhnlich an, daß die Erscheinung durch die molekulare Anziehung der 
sich berührenden Teile, die Adhäsion, bewirkt werde. Aus optischen 
Beobachtungen ergibt sich aber, daß die Platten sich dabei nicht zu 
berühren brauchen, sondern durch einen Zwischenraum von 0-0001 mm 
Dicke voneinander getrennt sein können. Das ist mehr als der Badius 
der Wirkungssphäre, und es ist daher wahrscheinlich, daß der Zusammen- 
hang der Platten unter Umständen auch durch Luftschichten vermittelt 
wird> die an ihrer Oberfläche verdichtet sind. 2 

§ 186. Gleitende Reibung. Zwei Körper mögen sich berühren und 
normal zu der Berührungsfläche mit einer gewissen Kraft N gegen- 
einander gedrückt werden. Sobald man versucht, den einen Körper 
gegen den anderen gleitend zu verschieben, entsteht in der Berührungs- 
fläche eine Kraft, die jener Verschiebung entgegengerichtet ist. Man 
bezeichnet diese Kraft als gleitende Reibung. Die Kraft, welche die 
wechselseitige Verschiebung der sich berührenden Körper zu erzeugen 
sucht, möge von einem sehr kleinen Betrage an allmählich zuneiimen. 
Der Widerstand der Beibung ist dann fürs erste immer gerade so 
groß, wie jene äußere Kraft. Aber die gleitende Reibung besitzt 
einen gewissen Maximalwert, den sie nicht überschreiten kann. 
Wenn die äußere Kraft diesem Maximalwert gleich geworden ist, so 
werden die beiden Körper eben noch in Ruhe gegeneinander bleiben; 
sobald aber die äußere Kraft noch weiter steigt, wird sie die beiden 
Körper in der Berührungsfläche gegeneinander verschieben. Der 
Maximalwert der gleitenden Reibung ist unabhängig von der Größe 



1 Bach, Elastizität und Festigkeit. Berlin 1894. Taf. I und IV. 

2 W. Voigt, Einige Beobachtungen über das Verbalten der an Glasflächen ver- 
dichteten Luft. Wied. Ann. 1883. Bd. 19. p. 39. 



§186 



Feste Körper 



275 



der Berührungsfläche; sein Verhältnis zu dem Druck N, der Koeffi- 
zient der gleitenden Reibung, kann für zwei bestimmte Substanzen 
näherungsweise als konstant betrachtet werden. Bezeichnen wir ihn durch 
7], die Maximalkraft der glei- 
tenden Reibung durch F, so ^s? 
ist B == iß • N. Wenn man 
einen Körper von dem Ge- 
wichte P auf eine schiefe 
Ebene legt, die aus einer 
beliebigen Substanz herge- 
stellt ist, so hält, wie sich 
aus Fig. 200 leicht ergibt, die 
Reibung der zu jener Ebene 
parallelen Komponente des 
Gewichtes eben noch das 
Gleichgewicht, wenn tg cp = i\ 
ist, unter cp> den Neigungs- 
winkel der schiefen Ebene verstanden. Einige der von den Technikern 
benutzten Reibungskoeffizienten sind folgende: 




Fig. 200. 



Holz auf Holz: 0-2—0-5 
Holz auf Stein: 0-4 
Eisen auf Stein : • 3—0 • 7 
Holz auf Metall: 0-2—0-6 
Leder auf Metall: 0-56 
Metall auf Metall : • 1 5—0 • 25. 

Der Betrachtung, die wir an Fig. 200 geknüpft haben, läßt sich eine 
etwas andere Wendung geben, wenn wir an Stelle der schiefen Ebene 
eine horizontale, an Stelle des Gewichtes eine beliebige auf den Körper 
wirkende Kraft P treten lassen, welche gegen die Vertikale unter dem 
Winkel cp nach unten geneigt ist. Wir können dann fragen, wie groß 
der Winkel cp werden kann, ohne daß der Körper auf der horizontalen 
Unterlage verschoben wird. Man findet für diesen Maximalwert wieder 
tg cp = r\. Nun liegt es nahe, an Stelle des Koeffizienten i] eine andere 
Konstante q einzuführen, welche mit t\ durch die Gleichung verbunden ist: 

tg(> = tj. 

Der Körper wird dann auf der horizontalen Ebene unter der Wirkung 
der Kraft P im Gleichgewicht sein, solange der Winkel zwischen P und 
der Vertikalen kleiner als q ist. Man nennt q den Reibungswinkel. 
Wir beschreiben ferner um die Normale der Ebene, auf welcher der 
Körper liegt, als Achse einen Kegel, dessen Kanten mit der Achse den 
Winkel q einschließen; dieser Kegel heißt der Reibungskegel. Kräfte, 
deren geometrische Repräsentanten innerhalb dieses Kegels liegen, ver- 
mögen keine Verschiebung des Körpers auf der Unterlage zu erzeugen. 
In all den Fällen, in denen die gleitende Reibung zur Erhaltung des 

18* 



276 



Molekularerscheinungen 



§186 




1 j ä 



Fig. 201. 



Gleichgewichtes in ihrem maximalen Betrage in Anspruch genommen 
wird, kann die Resultante aus dem Normaldruck N und aus der Reibung 

mit Hilfe des Reibungswinkels 
q sehr einfach dargestellt wer- 
den. Es seien irgend welche 
Ursachen vorhanden, die den 
Körper in der Richtung x 
(Fig. 201) auf seiner Unterlage 
zu verschieben suchen; ent- 
gegengesetzt mit x wirkt dann 
die gleitende Reibung i?=JVtg(). 
Die Resultante aus N und F 
ist R ==NJ cos q. Der Winkel, 
welchen die Resultante mit 
der Normalen bildet, ist gleich 
dem Reibungswinkel q , die Resultante liegt in der durch x und N be- 
stimmten Ebene, abgewandt von der Richtung x der erstrebten Ver- 
schiebung. 

Bei den bisherigen Betrachtungen haben wir angenommen, daß die 
sich berührenden Körper unter der Mitwirkung der gleitenden Reibung 
in Ruhe sind; die Reibung wirkt aber auch, wenn die Körper in der 
gemeinsamen Berührungsfläche aufeinander gleiten. Quantitativ ist 
übrigens diese Reibung der Bewegung namentlich bei großen Ge- 
schwindigkeiten verschieden von der Reibung der Ruhe. 

Gleitende Reibung benützen wir bei der Kraftübertragung durch 
Riemen und Riemenscheiben, sie macht sich geltend bei jeder Achse in 
der Berührungsfläche mit dem sie umhüllenden Lager. Bei den Achsen 
der Maschinen benützen wir Schmiermittel, um die gleitende Reibung 
zu vermindern; auf ihre Wirkung werden wir in § 199 zurückkommen. 
Auch die Messung des von einer Maschine gelieferten Effektes, 

der in einer Se- 
kunde geleisteten 
Arbeit, beruhtauf 
einer Anwendung 
der gleitenden 
Reibung. 

Man preßt, 
nach Ausschal- 
tung der Arbeits- 
maschinen, die 
Backen einer 

Bremse, des soge- 
nannten PsoNYschen Zaumes (Fig. 202), gegen den Umfang der ro- 
tierenden Maschinenachse und reduziert dadurch die Umdrehungsgeschwin- 
digkeit -f auf den Wert, für welchen der Effekt gefunden werden soll. 




Fig. 202. PitONYscher Zaum. 



§187 



Feste Körper 



211 



Dabei wird ein mit dem Zaume verbundener Hebel je nach der Rota- 
tionsrichtung gegen den Anschlag a oder h sich legen. Man verschiebt 
dann an dem Hebel ein Gewicht so lange, bis er frei zwischen den 
Anschlägen schwebt. Nach dem Hebelgesetz muß das statische Moment 
der auf den Umfang der Achse wirkenden Reibung dem Moment des 
Gewichtes G gleich sein; man kann also die Reibungskraft berechnen, die 
in dem Umfange der Welle von dieser auf die Bremsbacken ausgeübt 
wird. Dieselbe Kraft ist dann umgekehrt von der rotierenden Welle 
zu überwinden, und eben darin besteht die ganze von der Maschine ge- 
leistete Arbeit. Multipliziert man die Kraft mit dem Umfang der Welle 
und mit der Anzahl der Umdrehungen in einer Sekunde, so hat man 
den Effekt, wie er der bei dem Versuche vorhandenen Rotationsgeschwin- 
digkeit entspricht. 

§ 187. Rollende Reibung. Das Rollen eines Zylinders auf einer 
ebenen Fläche kann man auffassen als eine Rotationsbewegung, bei 
der die Drehung 
in jedem Augen- 
blicke um die 
Kante erfolgt, in 
der sich gerade 

Zylinder und 
Ebene berühren. 
Dieser Bewegung 

setzt sich ein 
Widerstand ent- 
gegen in der Form 
eines statischen 

Momentes, das der Drehung um jene Berührungslinie entgegenwirkt; man 
bezeichnet dieses Moment als das Moment der rollenden Reibung; 
dasselbe ist dem zwischen Zylinder und Ebene vorhandenen Drucke pro- 
portional ; der Koeffizient der rollenden Reibung ist aber sehr viel kleiner, 
als der der gleitenden. Bezeichnen wir den Normaldruck durch JV, das 
Moment der rollenden Reibung durch D, jenen Koeffizienten durch £, so ist 

zur Erläuterung diene Figur 203. Dabei ist D als eine Kraft eingeführt, 
die an dem Hebelarm 1 wirkt. Der Reibungskoeffizient selbst hat die 
Eigenschaft eines Hebelarmes, seine Dimension ist die einer Länge. 

Für Eichenholz auf Eichenholz ist £ gleich 0*018 cm, für Gußeisen 
auf Gußeisen £ gleich 0-006 cm. 1 

Um schwere Lasten zu bewegen setzen wir sie auf Rollen oder 
Räder; um eine Achse möglichst leicht beweglich zu machen, lassen wir 
sie auf Friktionsrollen laufen. Bei der Riemenscheibe kann man die 







j .fl/jcfctu/nq. det 


\ n s . 


A J 

* . — 


I JSlßniedwn/%' 






> 


t 





2T 



Fig. 203. 



1 Rankine, Applied Mechanics. London 1885. p. 619. 



278 



Molekularer seheinungen 



188 



relative Bewegung zwischen Scheibe und Riemen als ein Abrollen der 
ersteren auf dem Riemen betrachten; an den Stellen, wo der Riemen 
die Scheibe verläßt, widersetzt sich dieser Trennung nur die rollende, 
nicht die gleitende Reibung, während diese letztere das Haften des Riemens 
an der Peripherie der Scheibe verursacht. 



Zweites Kapitel. Molelnilarerscheinuugen der Flüssigkeiten. 



§ 188. Kompressibilität der Flüssigkeiten. Die Flüssigkeiten haben 
den früheren Betrachtungen zufolge keine Elastizität der Form, wohl 
aber eine solche des Volumens; sie widerstehen einer Zusammendrückung 
mit großer Kraft, besitzen eine sehr geringe Kompressibilität. Die 
Messung der letzteren ist zunächst erschwert durch den Umstand, daß 
jeder Druck, der auf eine Flüssigkeit wirkt, zugleich das Gefäß deformiert, 
. in dem sie enthalten ist. Die erste Bedingung für ge- 

I iL, naue Messungen war also die, eine Versuchsanordnung 

zu finden, bei der die Deformation des Gefäßes klein 



r^ 



G 



\ 



M 



und leicht zu berücksichtigen ist. Dies ist der Fall 
bei dem Piezometer (Fig. 204). Das Gefäß G, 
welches die zu untersuchende Flüssigkeit enthält, 
ist in eine Kapillarröhre ausgezogen und durch 
Quecksilber gegen außen abgeschlossen. Es befindet 
sich in einem zweiten, weiteren und mit Wasser 
gefüllten Gefäße, in dem der Druck in geeigneter 
Weise gesteigert werden kann; er pflanzt sich durch 
das Wasser hindurch auf das absperrende Queck- 
silber und die in dem Piezometer enthaltene Flüssig- 
keit fort, und die durch ihn erzeugte Kompression 
kann an der geteilten Kapillare abgelesen werden. 
Die Größe des Druckes wird mit Hilfe eines Luft- 
manometers M gemessen. Das Piezometergefäß erleidet keine Änderung 
der Form, wohl aber eine solche des Volumens, die nach den Elastizitäts- 
gesetzen berechnet und zu der scheinbaren Kompression hinzugefügt 
werden muß. Als Maß der Kompression benützen wir das Verhältnis 
der Volumveränderung co zu dem ursprünglichen Volumen v. Bezeichnen 
wir durch p die Druckzunahme, so ist 




Fig. 204. 
Piezometer. 



0) 

v 



JL 
G 



C ist eine der betreffenden Flüssigkeit eigentümliche Konstante, die wir 
Modul der Volumelastizität oder Kompressionsmodul nennen. 
Rechnen wir den Druck wie bei der Elastizität der festen Körper nach 
kg-Gewichten auf das Quädratmillim eter , so ergeben sich für die Kon- 
stante G die folgenden Werte: 



§ 189 Flüssigkeiten 279 





C 


kg Gew. 
mm' 2 


Temperati 


Quecksilber 




3503 


0°Cels. 


Wasser 




205 


0° 


Äthylalkohol 




124 


7° „ 


Methylalkohol 




113 


13° „ 



Zum Vergleich fügen wir die nach der Formel von § 175 berech- 
neten Kompressionsmoduln einiger Metalle hinzu: 





G 




G 




G 


Mg 


2800 


Ni 


17000 


Ag 


7080 


AI 


4h30 


Cu 


4950 


Au 


7470 


Fe 


790U 


Zn 


10100 


Bi 


2500 



Man könnte, allerdings nur auf Grund einer Fiktion, den Kom- 
pressionsmodul definieren als den Druck, der das Volumen eines Körpers 
auf Null reduzieren würde. Der Vergleich der obigen Zahlen macht 
dann die viel kleinere Kompressibilität der Metalle dem Wasser und 
den Alkoholen gegenüber anschaulich. 

Bei Vermehrung des Druckes um eine Atmosphäre wird Wasser 
um 50 Millionstel, Quecksilber um 3 Millionstel seines Volumens kom- 
primiert. 

§ 189. Oberflächenspannung der Flüssigkeiten. Flüssige Körper 
besitzen, ebenso wie die festen, Volumelastizität; d.h. Energie kann durch 
Kompression in den einzelnen. Volumelementen angesammelt werden. Bei 
den Flüssigkeiten tritt aber noch eine zweite Energie auf, die ihren Sitz in 
den Elementen der Oberfläche hat. Sie beruht auf einer Spannung der 
Oberfläche, die wir durch den folgenden Versuch nachweisen können. An 
den beiden parallelen Schenkeln ab und cd eines U-förmig gebogenen 
Drahtes (Fig. 205) sei mit Hilfe zweier Ösen ein vierter Draht bd leicht 
verschiebbar; wir bringen in das Rechteck ab cd eine Seifenlamelle und 
halten die Vorrichtung so, daß die Schenkel ab und cd vertikal nach 
unten gerichtet sind. Der bewegliche Draht b d wird in die Höbe ge- 
zogen und die Lamelle zieht sich zusammen. Wenn wir ein kleines 
Gewicht an bd hängen, so wird an der Erscheinung zunächst nichts ver- 
ändert; bei vorsichtiger Vermehrung der Belastung gelingt es aber, ein 
Gewicht zu finden, welches der in der Lamelle vorhandenen Spannung 
gerade das Gleichgewicht hält. Man kann dann die Lamelle weit ausziehen 
oder auf einen engen Kaum zusammenschieben, ohne das Gleichgewicht 
zu stören. Wenn man jedoch das Gewicht noch weiter vergrößert, so 
wird die Lamelle immer mehr gedehnt, bis sie schließlich zerreißt. Um 
die Beobachtung zu erklären, nehmen wir an, auf den beiden Seiten der 
Lamelle sei die Oberfläche überzogen mit einer äußerst dünnen Schicht 
von abweichender Beschaffenheit, und diese sei der Sitz der Spannung, 
die wir demnach als Oberflächenspannung bezeichnen. Man hat ge- 
funden, daß die Dicke einer Seifenlamelle im Minimum 16 X 10 -6 mm 



280 



Molekularer scheinungen 



§189 



ct_ 



beträgt. 1 Auf Quecksilber kann man zusammenhängende Ölhäutchen 
ausbreiten, deren Dicke kleiner ist als 5 X 10 -6 mm. 2 Die Schlüsse, die 
man daraus auf den Radius der Wirkungssphäre gezogen hat, beruhen 
auf der zweifelhaften Annahme, daß die Dicke der dünnsten, existenz- 
fähigen Flüssigkeitslamellen gleich dem Doppelten jenes Radius sei. 

Die Oberflächenspannung wirkt senkrecht zum Rande, im Innern 
der Oberfläche senkrecht gegen die Linie, welche zwei benachbarte Teile 

derselben scheidet. Wir beziehen die Spannung 
auf die Längeneinheit; ihre Dimension ist daher 
gegeben durch einen Bruch, dessen Zähler eine 
Kraft, dessen Nenner eine Länge ist. Die Dimensions- 
gleichung im absoluten System ist somit: 

[T] = m t~ 2 . 

Ziehen wir den Draht bd (Fig. 205) nach unten 
bis in die Lage b'd', so leisten wir eine Arbeit, die 
gleich dem Produkte aus der doppelten Spannung 
2 T und aus dem Inhalte des Rechteckes bb' d' d 
ist; die Oberflächenspannung wirkt ja auf beiden 
Seiten der Lamelle, und die ganze bei der Ver- 
schiebung zu überwindende Kraft ist also gleich 
2 T X bd. Die Arbeit verwandelt sich in Oberflächen- 
energie und diese wächst somit um 2Tx bdxbb'. 
Andererseits ist die Vergrößerung, welche die Ober- 
fläche der Lamelle auf beiden Seiten zusammen 
erleidet, gleich 2 X bd X bb'. Es ergibt sich 
hieraus, daß die Oberflächenspannung gleich der Zunahme der 
Energie bei einer Vergrößerung der Oberfläche um die Ein- 
heit, d. h. gleich der Energie der Flächeneinheit ist. 

Aus Versuchen, die wir in § 193 besprechen werden, ergeben sich 
die folgenden Werte der Oberflächenspannung; dabei sind technische Ein- 
heiten und zwar g-G-ewichte pro cm zugrunde gelegt; vorausgesetzt 
ist ferner, daß die Oberfläche der Flüssigkeiten von Luft begrenzt ist. 

T, g-Gewichte pro cm 



M 



bd 



cl' 



r 



Fig. 205. 



Quecksilber 


0-550 


Wasser 


0-075 


Olivenöl 


0-035 


Benzol 


0-031 


Chloroform 


0-031 


Terpentinöl 


0-030 


Alkohol 


0-025 


Äther 


0-018 



1 Drude, Über die Größe der Wirkungssphäre der Mölekularkräfte und die 
Konstitution von Lamellen der Plateac sehen Glyzerin -Seifenlösung. Gott. Nachr. 
1890. p. 482. 

2 K. T. Fischek, Die geringste Dicke der Flüssigkeitshäutchen, Ann. d. Phys. 
1899. Bd. 68. p. 414. 



§190 



Flüssigkeiten 



281 



bc ' 



A; 






Wenn zwei Flüssigkeiten sich berühren, so hängt die Spannung in 
der gemeinsamen Grenzfläche von der Natur der beiden Flüssigkeiten 
ab. Im folgenden sind einige Beispiele solcher Spannungen gegeben. 

T, g-Gewicht pro cm 
Wasser-Quecksilber 0*421 

Quecksilber-Olivenöl 0-342 
Quecksilber-Chloroform 0-403 
Olivenöl- Wasser 0-021 

Chloroform- Wasser 0-029. 

§ 190. Erscheinungen der Ausbreitung. Wir betrachten den Fall, 
daß drei Flüssigkeiten gegeben sind, a, b, c (Fig. 206). Die Spannungen 
an ihren Berührungsflächen seien 
T„ h , 71 , T . Stoßen die Flüssig- 

ab' bc' ca a 

keiten in einer Linie zusammen, so 
müssen die Grenzflächen sich so 
stellen, daß die Spannungen im Gleich- 
gewichte sind. Dies ist nach dem 
Satz vom Parallelogramm der Fall, 
wenn ihre geometrischen Repräsen- 
tanten sich zu einem Dreieck zu- 
sammenfügen lassen. Hiernach sind 
die Winkel, unter denen die Grenz- 
flächen sich schneiden, entsprechend Fig. 206 leicht zu konstruieren. 

Ist die Summe zweier Spannungen kleiner als die dritte, 
so ist Gleichgewicht nicht möglich; bringt man z. B. einen kleinen 01- 
tropfen auf Wasser, so ist die Spannung in der Oberfläche des Wassers, 
0-075, größer als die in der Oberfläche des Öls zusammen mit der in 
der Berührungsfläche von Ol und Wasser, 0-035 + 0-021. Der Öltropfen 
wird daher sofort zu einer Haut ausgezogen, die sich über die ganze 
Oberfläche des Wassers ausbreitet (Fig. 207). Da das Wasser eine viel 
größere Oberflächen- 



T aö 




Fig. 206. 




Fig. 207. 



Spannung hat, als die 

meisten anderen Flüs- < 

sigkeiten, so breiten sich 
alle energisch auf ihm 
aus, und es ist sehr 
schwierig, eine wirklich reine Wasseroberfläche herzustellen. Bringt man 
an einer Stelle Alkohol auf die Oberfläche des Wassers, so wird die 
Oberflächenspannung verändert, sie ist da, wo noch reiner Alkohol sich 
findet, auf 0-025 erniedrigt und steigt bis zu dem Werte 0-075 des 
reinen Wassers. Dieses wird daher lebhaft nach außen getrieben und der 
Alkohol verbreitet sich mit großer Schnelligkeit über die ganze Oberfläche. 
In derselben Weise werden die fetten Öle vermöge ihrer größeren 
Oberflächenspannung von Terpentin, Alkohol, Äther, Benzol verdrängt; 
davon ziehen wir beim Entfernen von FettHecken Nutzen. Wir umgeben 
den Fleck mit Benzol; das Fett zieht sich dann zu einem Tropfen zu- 



282 Molekular er scheinungen ' § 191 

sammen, der von einem damit in Berührung gebrachten Stück Fließpapier 
vermöge der in § 193 zu besprechenden Kapillarwirkungen aufgesaugt wird. 
§ 191. Gleichgewichtsfiguren. Wir haben in § 118 gesehen, daß 
die natürlichen Bewegungen mechanischer Systeme so geschehen, daß 
ihre potentielle Energie kleiner wird. Dies gilt auch von den durch 
Oberflächenspannung veranlaßten Bewegungen flüssiger Körper; vermöge 
ihrer Spannung sucht sich die Oberfläche so weit zu verkleinern, als es 
unter den gegebenen Bedingungen möglich ist; mit der Oberfläche ver- 
mindert sich aber in gleichem Maße die Energie. Wenn die Oberfläche 
und mit ihr die Energie ein Minimum geworden ist, so ist der Gleich- 
gewichtszustand erreicht. 

Am einfachsten gestaltet sich die Anwendung dieses Prinzipes, wenn 
keine äußere Kraft auf die Flüssigkeit wirkt. Dies ist der Fall bei den 
Seifenlamellen, welche man zwischen Drähten herstellen kann, die z. B. zu 
einem windschiefen Viereck, einem Polyeder miteinander verlötet oder 
zu irgend einer zusammenhängenden Kurve gebogen sind. Tatsächlich 
wirkt zwar auf die Lamellen noch ihre Schwere, bei dünnen Lamellen 
hat sie aber keinen merklichen Einfluß auf das Gleichgewicht. Dem 
Einfluß der Schwere völlig entziehen lassen sich Olmassen, die in einer 
Mischung von Wasser und Alkohol schweben. Ein freier Tropfen nimmt 
dabei Kugelform an, da die Kugel der Körper ist, der bei gegebenem 
Volumen die kleinste Oberfläche hat. Andere Formen erhält man, wenn 
man den Tropfen an Drahtringen adhärieren läßt oder ihn in Rotation 
um eine durch seinen Mittelpunkt gehende Achse versetzt. 

Einen wesentlichen Einfluß übt dagegen die Schwere auf die Form 
von Tropfen, die an einer Röhre oder Platte hängen, oder auf horizon- 
taler, nicht benetzter Unterlage liegen, sowie auf die Form von Luft- 
blasen in einer Flüssigkeit. 

§ 192. Seifenblasen. Bei einer Seifenblase ist der Überdruck der 
eingeschlossenen Luft im Gleichgewicht mit der Oberflächenspannung. 

Bei einer virtuellen Verschiebung muß dann 
nach § 47 die Summe der Arbeiten gleich 
Null sein. Bezeichnen wir die Oberfläche 
der kugelförmigen Blase mit 0, jenen Über- 
druck durch p, so ist der ganze auf die 
innere Oberfläche wirkende Druck gleich 
Op\ die bei einer kleinen Zunahme q des 
Halbmessers geleistete Arbeit ist gleich 
Op q (Fig. 208). Andererseits ist mit dieser 
Zunahme des Halbmessers eine Vergrößerung 
co der Oberfläche verbunden; bezeichnen 
Fig. 208. wir den Halbmesser der Blase durch r, so 

wird für die innere und äußere Oberfläche 

zusammengenommen w = 4 0— ; die Vermehrung der Oberflächenenergie 




§194 



Flüssigkeiten 



283 



ist also gleich co T oder 4 



T. 



Dieser Energiezuwachs muß aber 



gleich der von dem Drucke p geleisteten Arbeit sein. Wir haben somit 



die Gleichung: 



oder 



Op q = 4 -*- T, 



p =4 



T 



Der Druck der in einer Seifenblase eingeschlossenen Luft ist um so 

größer, je kleiner ihr Halbmesser. Die Messung von p und r kann zu 

der Bestimmung der Oberflächenspannung dienen. 

§193. Kapillarität. Wenn man eine enge Glasröhre in eine benetzende 

schwere Flüssigkeit taucht, so stellt sich diese in ihr höher als außerhalb. 

Die Flüssigkeit zieht sich an der Wand der Röhre in einer dünnen an 

ihr haftenden Schicht über die scheinbare Grenzlinie hinauf. Ihre freie 

Oberfläche bildet angenähert eine hohle, die Röhre berührende Halbkugel 

(Fig. 209). Auf dem ganzen Umfange dieser Halbkugel wirkt die Spannung 

T nach oben; ist der Halbmesser der Röhre gleich r, so ergibt sich 

hieraus ein nach oben gerichteter Zug von der Größe 2 n r T, der dem 

Gewichte der gehobenen Flüssigkeit das Gleichgewicht halten muß. Ist 

h die Steighöhe, a das spezifische Gewicht der Flüssigkeit, so ergibt 

sich 2 n r T — nr 2 ha, somit 

2T . 1 

h = und T = —-hr <r . 

r a 2 

Die Steighöhe ist hiernach dem Halbmesser der Röhre umgekehrt pro- 
portional; ihre Beobachtung liefert eine bequeme Methode zur Bestimmung 
der Oberflächenspannung. 



TW / k t 




Tu 




Z-Tjc 



Fig. 209. 



Fig. 210. 



§ 194. Randwinkel. Wenn die Grenzfläche zweier Flüssigkeiten 
a und b (Fig. 210) an eine ebene feste Wand c stößt, so wird die zu 
der Wand senkrechte Komponente der Spannung T ah in der Berührungs- 



284 



Molekularer scheinungen 



§195 



fläche durch die Festigkeit der Wand aufgehoben. Die zu der Wand 
parallele Komponente muß der Differenz der Spannungen T ' ac und T bc 
zwischen den Flüssigkeiten und der festen Wand entgegengesetzt gleich 
sein. Es bestimmt sich hierdurch der Winkel, unter dem die Be- 
rührungsfläche der beiden Flüssigkeiten die Wand trifft, der Randwinkel. 
Die Konstruktion des Randwinkels ist nur möglich, solange die Spannung 
T ab in der Grenzfläche der beiden Flüssigkeiten größer ist, als die 
Differenz T ac —T bc der Spannungen in den Berührungsflächen zwischen 
den Flüssigkeiten und zwischen der Wand. Es existiert also auch nur 
unter dieser Voraussetzung ein Randwinkel. Ist dagegen T ab <T ac —T bc , 
so wird sich die Flüssigkeit b über die ganze Oberfläche des festen 
Körpers ausbreiten, und die Flüssigkeit a von derselben verdrängen. 
Darauf beruht das Kriechen von Flüssigkeiten an der Oberfläche des Glases. 
§ 195. Der Radius der Wirkungssphäre. Der Wert, den wir auf 
S. 244 für den Radius der Wirkungssphäre angegeben haben, beruht 
auf Beobachtungen der Steighöhe von Wasser zwischen Glasplatten, die 
mit gleichen, keilförmigen Silberschichten bedeckt waren. Die Platten 

wurden in klei- 
nem Abstände 
einander p arallel 
so in das Wasser 
gestellt, daß sich 
überall gleiche 
Dicken der Sil- 
berschichten ge- 
genüberstanden. 
Die Resultate 




30/o/t 



einer von 
Quincke ausge- 
führten Beob- 
achtungsreihe 
sind in Figur 211 



Fig. 211. 



graphisch dar- 
gestellt. Als Ab- 
szissen sind die 
Dicken der Silberschichten in Milliontel mm horizontal abgetragen, als 
Ordinaten die Steighöhen des Wassers, welche bei diesen Dicken be- 
obachtet wurden. Die Steighöhe nimmt mit wachsender Dicke des 
Silbers ab; die Abnahme war bis zu einer Dicke von 50 x 10~ 6 mm 
noch bemerklich. Daraus schloß Quincke, daß die Molekularkräfte, die 
von Glas auf Wasser ausgeübt werden, noch in einer Entfernung von 
50 n[A, merklich seien, daß also der Radius der Wirkungssphäre in diesem 
Falle gleich jener Entfernung gesetzt werden könne. 

§ 196. Bewegung" infolge von Kapillarkräften. Daß kapillare 
Kräfte auch Bewegungen starrer Körper zu erzeugen vermögen, wollen 



§ 197 



Flüssigkeiten 



285 



A 



c 



\h- 



K_ 



wir nur an einem Beispiele zeigen. In ein mit Wasser oder mit einer 
anderen benetzenden Flüssigkeit gefülltes Gefäß tauchen wir zwei Glas- 
platten AB und CD (Fig. 212). Beide seien vertikal und einander in 
kleinem Abstände parallel gestellt. AB werde festgehalten, die Platte 
CD sei in horizontalem Sinne beweglich, etwa dadurch, daß sie an zwei 
feinen Fäden aufgehängt ist. In dem Zwischenraum zwischen den 
Platten steigt die Flüssigkeit an; gleichzeitig wird die bewegliche Platte 
nach der festen hingezogen. Der 
Luftdruck spielt bei der Erschei- 
nung keine wesentliche Rolle; er 
wirkt sowohl auf die äußere, wie 
auf die innere Seite der Platte CD; 
die kleine durch den Höhenunter- 
schied h bedingte Verschiedenheit 
können wir vernachlässigen. Die ganze 
Wirkung muß von dem Zuge her- 
rühren, welchen die in dem Zwischen- 
räume emporgehobene Flüssigkeits- 

schichte durch ihre Schwere ausübt. 
Gerade wie der Druck im Innern einer 
Flüssigkeit, wirkt auch dieser Zug 
ebenso in horizontaler wie in verti- 
kaler Richtung. In der vertikalen 
Richtung wird er aufgehoben durch die Spannung in der die Platten be- 
rührenden Oberfläche der Flüssigkeit. Der in horizontaler Richtung auf 
die Platte CD wirkende Zug aber treibt diese Platte gegen die feste Platte 
hin. An dem oberen Ende ist der Zug der gehobenen Flüssigkeits- 
schichte für 1 qcm durch das Gewicht einer Flüssigkeitssäule von 1 qcm 
Querschnitt und von der Höhe h gegeben; er ist also hier gleich ah, wenn 
(T das spezifische Gewicht der Flüssigkeit ist. In der Höhe der äußeren 
Oberfläche der Flüssigkeit ist der Zug gleich Null; im Mittel ist er 
gleich \ (7 h. Bezeichnen wir mit l die Länge der Platten, so ist die 
Fläche, auf welche der Zug wirkt, gleich l h, und somit die Kraft, welche 
die Platte CD nach innen treibt, gleich \(jlh 2 . Die Steighöhe h in dem 
Zwischenräume der Platten hängt mit der Oberflächenspannung T durch 
die Gleichung zusammen: 

2T 



B D 

Fig. 212. 



h = 



a d 



Hier bezeichnet d die Distanz der Platten. 

§ 197. Kapillarwellen. Die Wellenbewegung einer Flüssigkeit hängt 
im allgemeinen von der Schwere und von der Oberflächenspannung ab. 
Bei größeren Wellen tritt der Einfluß der Spannung zurück gegenüber 
dem hydrostatischen Drucke. Wenn man aber auf die Oberfläche einer 
Flüssigkeit an einer bestimmten Stelle schwache Impulse in regelmäßiger 
Folge wirken läßt, so bildet sich ein System sehr feiner Wellen, deren 



286 



Molekularerscheinungen 



§198 



Fortpflanzung nur von der Oberflächenspannung abhängt, während die 
Wirkung des hydrostatischen Druckes verschwindet. Diese Wellen be- 
zeichnet man als Kapillarwellen. Man erzeugt die Wellen am besten 
dadurch, daß man über der Flüssigkeit eine Stimmgabel anbringt, an 
deren Zinken feine, in die Oberfläche der Flüssigkeit eintauchende Stifte 
befestigt sind. Sobald die Schwingungen der Stimmgabel erregt werden, 
entsteht auf der Flüssigkeit ein sehr regelmäßiges System von Kapillar- 
wellen. Wir bezeichnen die Länge der Wellen mit 1, die Schwingungs- 
zahl der Stimmgabel, d. h. die Anzahl der auf 1 sec kommenden ganzen 
Schwingungen, mit n, die Dichte der Flüssigkeit mit a, ihre Oberflächen- 
spannung in g-Gewichten pro cm mit T\ dann findet die Beziehung statt: 

2ngT 



l 9 = 



<r n' 



Hier bedeutet g die Beschleunigung der Schwere. Man sieht, daß man 
durch Beobachtung der Wellenlänge /L die Oberflächenspannung T be- 
stimmen kann. Einige auf diesem Wege gewonnene Zahlen sind im 



folgenden zusammengestellt. ] 



T, g- 


Ge 


wichte pro cm 


Quecksilber 




0-400 


Blei 




0-482 


Chlor 




0-343 


Schweflige Säure 




0-340. 



§ 198. Zur Molekulartheorie der Kapillarität. Nehmen wir an, daß 
die Teilchen einer Flüssigkeit mit molekularen Kräften aufeinander 
wirken, so ist klar, daß für ein Teilchen im Innern so lange keine resul- 
tierende Wirkung sich ergibt, als seine Wirkungssphäre ganz in das 

Innere der Flüssigkeit fällt. 
Dagegen erleidet das Teilchen, 
anziehende Wechselwirkung 
vorausgesetzt, einen nach innen 
gerichteten Zug, sobald seine 
Wirkungssphäre die Oberfläche 
der Flüssigkeit durchschneidet ; 
denn dann ist die allseitige 
Symmetrie der Wirkungen ver- 
schwunden. 

Wir betrachten eine Flüssig- 
keit (Fig. 213), deren Ober- 
fläche durch eine mit dem 
Halbmesser r aus dem Punkte 
O beschriebene Kugel begrenzt 
wird ; diese ist im Durchschnitte 
durch den Kreis ABC dargestellt. Den unterhalb der Kugel liegenden, 




Fig. 213. 



1 GrEüNMAOH, Ann. d. Phys. 1900. Bd. 3. p. 660. 



§198 Flüssigkeiten 287 

von Flüssigkeit erfüllten Raum bezeichnen wir mit /. Bei B grenzen 
wir ein durch Bb bezeichnetes Flächenstück ab, dessen Inhalt wir gleich 
der Einheit nehmen; errichten wir senkrecht auf Bb einen in das 
Innere der Flüssigkeit hineingehenden Zylinder, so wird der molekulare 
Zug oder Druck, dem das Flächenstück Bb unterworfen ist, gleich der 
Anziehung sein, die der von Flüssigkeit erfüllte Raum / auf jenen Zy- 
linder ausübt. Es ergibt sich, daß dieser Druck aus einem konstanten 
und einem mit dem Kugelhalbmesser veränderlichen Teile besteht; be- 
zeichnen wir ihn durch Z I} so besteht eine Gleichung von der Form: 

r 

Für den Fall einer ebenen Grenzfläche wird der Druck somit 
gleich K. Wir legen in B eine Tangentialebene D B E an die Kugel; 
den zwischen ihr und der Kugel eingeschlossenen Raum bezeichnen wir 
durch II; füllen wir ihn mit Flüssigkeit, so übt er auf den Zylinder Bb 
einen offenbar nach oben gerichteten Zug aus, der durch Z n bezeichnet 
werden möge. Der von denRäumen /und II zusammengenommen nach unten 
geübte Druck ist dann gleich Z T — Z n . Aber die Räume I und II bilden 
zusammen einen von der Ebene D B E begrenzten Flüssigkeitsraum, und 
der resultierende Druck muß daher gleich K sein. Es ergibt sich somit: 

Zi - Z u = K, 
und mit Rücksicht auf die vorhergehende Gleichung: 

7 A 

Z n = — ' 

Konstruieren wir eine Kugel Ä B C, die zu ABC mit Bezug auf die 

Tangentialebene D B E symmetrisch liegt, und füllen wir den zwischen 

ihr und jener Ebene liegenden Raum III ebenfalls mit Flüssigkeit, so 

läßt sich zeigen, daß er auf den Zylinder Bb einen Zug Z m nach oben 

ausübt, der ebenso groß ist wie der von dem Meniskus // herrührende; 

es ist somit auch: 

A 



Z 



in-—' 

Wenn also die Oberfläche der Flüssigkeit durch die Hohlkugel Ä B C 
begrenzt ist, so hat der in B herrschende molekulare Druck den Wert 

A 
Zi — Z u — Z IU = K — • 

Endlich ergibt sich noch, daß der von der Kugel Ä B C umschlossene 
Raum IV mit Flüssigkeit erfüllt einen Zug Z IV nach oben auf den 
Zylinder Bb ausübt, der gegeben ist durch 

Z IV = K - A • 

A 
Z IV + Z in + Z n ist dann wieder gleich K -\ ' also gleich Z/ , aber 

umgekehrt gerichtet. 



288 



Molekularerscheinungen 



§ 198 



K^ + 



r 



Wir nehmen nun an, daß der Raum /von einer Flüssigkeit, der 
Raum 11 + III + IV von einer anderen erfüllt sei (Fig. 214). In ähn- 
licher Weise wie zuvor kann man dann die 
molekularen Züge berechnen, die an der 
Stelle B auf den Zylinder Bb von der einen 
und anderen Flüssigkeit ausgeübt werden. 
Ihre Differenz stellt einen nach dem Innern 
von / gerichteten Druck dar, der gegeben 
ist durch 

A\ — -^12 



n+m+w 




P* = K x - K 12 + 

Hier haben die Konstanten K x und A^ 
für die Flüssigkeit, welche den Raum I 
erfüllt, dieselbe Bedeutung, wie K und A 
bei der vorhergehenden Betrachtung; da- 
gegen sind K l2 und A 12 Konstanten, die 
von der Wirkung abhängen, welche die Teilchen der beiden Flüssig- 
keiten wechselseitig aufeinander ausüben. 

Über der Fläche Bb können wir nun einen zweiten Zylinder er- 
richten, der in das Innere der zweiten Flüssigkeit hineingeht. Unsere 
Betrachtung gilt dann auch umgekehrt für die zweite Flüssigkeit. Im 
Falle der Figur 214 wird auf die Fläche B b, als Grenzfläche der zweiten 
Flüssigkeit, ein nach oben gerichteter Druck 



P 2 = K 2 - K i2 - 



A 2 — A u 



wirken. K 2 und A 2 sind die Werte, welche die Konstanten K und A 
für die zweite Flüssigkeit besitzen. 

Wir wollen schließlich den gesamten Druck bestimmen, der an 
der Stelle B nach dem Innern der ersten Flüssigkeit wirkt. Er ist 
offenbar gleich der Differenz der zuvor betrachteten Drucke P 1 und P 2 ; 
für diese aber ergibt sich: 

-o-l T -a-2 — " -"12 



P 1 -P 2 = K l - K 2 + 

Erfüllt die erste Flüssigkeit den Raum / + U + III, die zweite den 
Raum IV (Fig 215), so werden die Drucke P J und P 2 : 



p 1= =iq-2r ia - 



P % =K 2 



* 12 + 



A 


~~ A 12 


A 


r 



Somit der nach dem Innern der ersten Flüssigkeit gerichtete Druck: 
P x - P 2 = K x -K 2 - A ±A-ZlA™ . 



§198 



Flüssigkeiten 



289 



Immer also zerfällt der Molekulardruck in einen konstanten Teil, 
dessen Wert nur abhängig sein kann von dem Wirkungsgesetz der Mole- 
kularkräfte und Ton der Zahl der in der 
Wirkungssphäre enthaltenen Teilchen, 
d. h. von der Dichte der Flüssigkeiten, 
und in einen variabeln Druck, der dem 
Krümmungshalbmesser der Oberfläche 
umgekehrt proportional ist. Mit Hilfe 
der in § li)2 benützten Methode kann 
man andererseits zeigen, daß eine Ober- 
flächenspannung T einen Druck erzeugt, 




f+JT+M 



Kr 



A, 
r 



der gleich 2 -- , dem Krümmungshalb- 



Fig. 215. 



messer gleichfalls umgekehrt propor- 
tional ist. Der in der molekularen Theorie sich ergebende variabele 
Druck kann also in der Tat als das Resultat einer Oberflächenspannung 



angesehen werden, deren Betrag gegeben ist durch T = 



A± + A-2 & A xi 



Die Übereinstimmung der theoretischen Betrachtung mit den Vor- 
stellungen, die wir in § 189 entwickelt hatten, ist aber doch nur eine for- 
male. Der unmittelbaren Anschauung erscheint die Oberflächenspannung 
als eine ursprüngliche, reale Wirkung, welche mit der Gestalt der 
Oberfläche nichts zu schaffen hat. Die Theorie betrachtet als das real 
Existierende einen nach dem Innern der Flüssigkeit gerichteten Druck, 
dessen einer Teil konstant, dessen anderer Teil der Krümmung der 
Oberfläche proportional ist. An Stelle dieses letzteren Druckes setzen 
wir eine ihm äquivalente Spannung der Oberfläche, welcher dann aber 
nur die Bedeutung einer Fiktion und keine reale Existenz zukommt. 

Bei der Berechnung der Konstanten K und A aus den Wechsel- 
wirkungen der Moleküle macht man zunächst die Annahme, daß die 
Dichte der Flüssigkeiten konstant sei, und daß die Moleküle in allen Ent- 
fernungen sich wechselseitig anziehen. Keine dieser Annahmen dürfte 
der Wirklichkeit entsprechen. Die der Oberfläche benachbarte Schichte 
der Flüssigkeit besitzt vermutlich eine wechselnde Dichte, die moleku- 
laren Kräfte werden nur in größerer Entfernung anziehende, in kleinerer 
abstoßende sein. Wenn die Berücksichtigung dieser Verhältnisse auch 
zu denselben allgemeinen Ausdrücken führt, durch die wir oben die 
molekularen Drucke dargestellt haben, so werden die quantitativen Ver- 
hältnisse der Konstanten K und A doch wesentlich andere werden können. 

Für die Oberflächenspannung an der Grenze zweier Flüssigkeiten 

haben wir die Formel erhalten: 

A t + A 2 



T = 



— A. 



2 12 ' 

Sie ist bemerkenswert, weil sie die Möglichkeit nahe legt, daß T negativ 
werden kann. In diesem Falle würde die gemeinsame Grenzfläche nicht 
das Bestreben haben, sich zusammenzuziehen, sondern umgekehrt, sich 

Bibcke, Physik I. Dritte Aufl. 19 



290 Molekularerscheinungen § 199 

auszudehnen. Einen solchen negativen Wert der Oberflächenspannung 
könnte man z. B. annehmen an der Grenze eines festen Körpers und 
einer ihn benetzenden Flüssigkeit. 1 

§ 199. Innere Reibung der Flüssigkeiten. Gehen wir nun über zu 
der Betrachtung bewegter Flüssigkeiten, so treten zu den Erscheinungen 
der Kompressibilität und der Oberflächenspannung noch die der inneren 
Reibung, von deren Bedeutung wir schon in § 148 gesprochen haben. 
Eine Flüssigkeit fließe über einer ruhenden horizontalen Platte 
(Fig. 216); die unmittelbar an der Platte liegenden untersten Teilchen mögen 

an dieser haften und seien 
, >^ daher gleichfalls in Ruhe. 

^ Proportional der zuneh- 

menden Höhe wachse die 
Geschwindigkeit der Flüs- 
,,,. sigkeit und sei in einer 



v 



Höhe o über der Platte 
p,. 21g gleiche. Infolge der ver- 

schiedenen Geschwindig- 
keit der übereinander liegenden Flüssigkeitsschichten entsteht zwischen 
je zweien eine Kraft, welche die schnellere Schicht zu verzögern, die 
langsamere zu beschleunigen sucht. Wir bezeichnen als ihre Ursache 
die innere Reibung der Flüssigkeit; sie hat den Charakter eines auf die 
Grenzflächen der Schichten wirkenden Zuges, dessen Richtung bei der 
langsamer bewegten mit der Stromrichtung übereinstimmt, während sie 
bei der schneller bewegten dem Strom entgegengeht. Nehmen wir in der 
Höhe c als Grenze zweier Flüssigkeitsschichten eine Fläche s, so ist die 
in ihr parallel zu der Strömungsrichtung liegende Reibungskraft ge- 
geben durch 

R = o — s . 

Sie hängt nicht ab von der absoluten Geschwindigkeit v, sondern nur von 
dem Verhältnis zwischen v und zwischen der Höhe c, in welcher die Ge- 

schwindigkeit v erreicht wird, von dem Geschwindigkeitsgefälle — ; 

C 

(j ist eine von der Natur der Flüssigkeit abhängende Konstante, die 
man als Koeffizienten der inneren Reibung bezeichnet. Benützt 
man die Gleichung zu der Berechnung von q, so ergibt sich 

Re 

v SV 

Die Dimension des Reibungskoeffizienten im absoluten Maßsystem ist daher: 

[_q] = l- i mt-\ 
Sind v und v' die Geschwindigkeiten der Flüssigkeit in den Höhen c 



1 Van der Mensbrugghe, Congres international de Physique 1900. T. I. p. 487. 
Paris. 



§199 



Flüssigkeiten 



291 



und c, so kann das Geschwindigkeitsgefälle auch durch den Bruch 



v — v 



definiert werden. Es ist nützlich, dies zu bemerken, weil so eine Be- 
stimmung des Gefälles auch bei ungleichförmiger Geschwindigkeits- 
änderung möglich wird. 

Wenn wir eine starre Scheibe in einer Flüssigkeit in horizontaler 
Stellung bifilar aufhängen und in Schwingung versetzen, so teilt sich ihre 
Bewegung der Flüssigkeit mit, nach einiger Zeit aber kommen Scheibe 
und Flüssigkeit zur Ruhe; dies ist eine Folge der inneren Reibung, und 
die Beobachtung der Dämpfung, welche die Schwingung der Scheibe 
erleidet, kann zu der Bestimmung des Reibungskoeffizienten dienen. 

Von großer Bedeutung ist die innere Reibung bei dem Ausflusse der 
Flüssigkeiten aus langen Röhren. An der Röhrenwand haftet eine 
Flüssigkeitsschicht, die ein für allemal in Ruhe bleibt"; die Geschwin- 
digkeit nimmt dann gegen die Achse der Röhre hin zu, und so zerfällt 
die in der Röhre strömende Flüssigkeit in konzentrische Ringe, die mit 
verschiedener Geschwindigkeit, also unter Reibung, sich gegeneinander 
bewegen. Die Druck- 
differenz zwischen dem 
Anfang und dem Ende 
der Röhre sei p — p, 
der Halbmesser der 
letzteren R, ihre Länge 
l ; dann ist die Geschwin- 
digkeit der Flüssigkeit 
im Abstand r von der 
Röhrenachse 
durch : 



gegeben 



(R 2 - r 2 




J_ . Po - P 

Q ' AI 

der Druck nimmt auf 
der Länge l von p bis 
p stetig ab, kann also 
graphisch für eine be- 
liebige Stelle der Röhre 
durch die in Figur 217 
gezeichnete Gerade be- 
stimmt werden. Für das in einer Sekunde ausströmende Volumen V 
der Flüssigkeit gilt das Gesetz von Poiseuille, wonach: 



Fig. 217. 



V "= — 



Po ~ P 



R\ 



Q 8/ 

Die Messung von V kann daher zu der Bestimmung des Reibungs- 
koeffizienten o dienen. 

Diesen kann man, auf Grund der Formel für q auf S. 290, defi- 
nieren als den Zug, der auf die Flächeneinheit wirkt, wenn die Ge- 

19* 



292 Molekularerscheinungen § 199 

scliwindigkeit auf der Längeneinheit um die Einheit abnimmt, d. h. wenn 

das Geschwindigkeitsgefälle — =1 ist. 

Im folgenden sind die Werte einiger Reibungskoeffizienten im tech- 
nischen Maße, g- Gewichte pro qcm, und im absoluten Maß, Dynen pro 
qcm, zusammengestellt. 

Koeffizient der inneren Reibung 
g-G-ewichte absolutes Maß 





qcm 


ein— l-g-sec 


Glyzerin (15°) 


0-00238 


2-34 


Olivenöl 


0-00100 


0-98 


Quecksilber 


0-0000163 


0-0160 


Wasser (15°) 


0-0000137 


0-0134. 



Wir erwähnen noch einige Anwendungen, welche die im vorher- 
gehenden enthaltenen Sätze finden. 

Läßt man eine schwere Kugel im Inneren einer Flüssigkeit von der 
Ruhe aus fallen, so wird sie zunächst in eine beschleunigte Bewegung 
geraten. Aber mit der wachsenden Geschwindigkeit nimmt auch die 
von der Reibung herrührende Gegenkraft zu. Es wird schließlich der 
Moment kommen, in dem die beschleunigende Wirkung der Schwere 
durch jene Kraft gerade kompensiert wird, von diesem Augenblicke an 
fällt die Kugel mit konstanter Geschwindigkeit. Bezeichnet man diese 
mit c, und ist R der Halbmesser der Kugel, so wird die Gegenkraft der 
Reibung durch den Ausdruck 

6 % q Rc 

dargestellt. Ist andererseits S die Dichte des Materiales, aus dem die 

Kugel besteht, so ist ihr Gewicht — n 8 R 3 g ; man erhält also zur Be- 

rechnung der konstanten Endgeschwindigkeit die Formel: 

g — — ■• —R 2 g. 

9 Q 

Die Endgeschwindigkeit ist dem Reibungskoeffizienten o umgekehrt 
proportional, außerdem proportional der Dichte und der Oberfläche der 
Kugel. An Stelle dieser letzteren Bestimmungen kann man auch die 
direkte Proportionalität mit dem Gewichte, die umgekehrte mit dem 
Halbmesser der Kugel setzen. 

Auf der Reibung beruht ein. großer Teil des Widerstandes, den ein 
fester Körper, z. B. ein Schiff, bei seiner Bewegung durch das Wasser 
findet; außerdem tragen dazu die in den §§ 162 und 163 behandelten 
Druckkräfte bei, die mit Diskontinuitäten der Flüssigkeitsbewegung ver- 
bunden sind, sowie die Drucke der Wellen, die von dem Schiff selber 
erregt werden. 

Wenn man zwischen eine rotierende Achse und das sie um- 
schließende Lager Schmieröl bringt, so haftet dieses einerseits an der 



§ 200 Flüssigkeiten 293 

Achse, andererseits an dem Lager; die äußerste Schicht ist in Ruhe, 
die innerste rotiert mit der Achse. Der Bewegung wirkt die innere 
Reibung des Öles entgegen. Auf dem viel kleineren Betrage, den sie 
der gleitenden Reibung fester Körper gegenüber besitzt, beruht die 
Wirkung des Schmiermittels. 

Die Bewegungen von Flüssigkeiten, die eine sehr große innere 
Reibung besitzen, führen endlich noch hinüber zu den Bewegungen 
duktiler fester Körper unter sehr großem Druck. Es ist bekannt, 
daß man aus Natrium mit leichter Mühe Drätite herstellen kann, wenn 
man das Metall in einem Zylinder zusammenpreßt, in dessen Boden eine 
kleine Öffnung sich befindet. Ebenso kann man, nur mit Anwendung 
sehr viel stärkerer Drucke, Blei in Drahtform auspressen. Auch das 
Schmieden und Walzen des Eisens, das Treiben des Kupfers, das Prägen 
der Metalle, die Herstellung der nahtlosen Mannesmann sehen Röhren 
sind Prozesse, die zu dieser Kategorie gehören. Die dabei auftretenden 
Deformationen kann man als ein Fließen der Metalle bei hohem Drucke 
bezeichnen, wobei die aneinander gleitenden Schichten einer sehr starken 
inneren Reibung unterworfen sind. 

§ 200. Relaxation. "In einer ruhenden Flüssigkeit ist der Druck 
nach allen Richtungen derselbe; in einer reibenden Flüssigkeit, die in 
Bewegung begriffen ist, sind die Drucke in verschiedenen Richtungen 
verschieden. Nun legt das ganze Verhalten der zähen Flüssigkeiten die 
Annahme nahe, daß sie einer plötzlich einwirkenden Kraft gegenüber 
sich im ersten Momente verhalten wie feste Körper; dann würden also 
auch in der anscheinend ruhenden Flüssigkeit verschiedene Drucke nach 
verschiedenen Richtungen wirken. Aber diese Verschiedenheit muß 
sich mehr oder weniger schnell verlieren und man bezeichnet dies als die 
Relaxation. 

Maxwell hat in seiner dynamischen Theorie der Gase einen auf 
diesen Vorgang bezüglichen Satz entwickelt. Von dem Momente ab, in 
dem die äußere Kraft zu wirken begann, sei die Zeit t verflossen; in 
einer beliebigen Richtung wirkt jetzt der Druck p . Nach vollendeter 
Relaxation sei p der Wert des Druckes; dann ist: 



p' — p = G-e 



t 



Die Differenz p — p hat zu Anfang den Wert C; sie sinkt in der Zeit T 

G 
auf den Wert - „ • Diese Zeit T bezeichnet Maxwell als die Re- 

2-718 

laxationszeit. Er findet, daß T=-j r ; hier ist H der Modul der 

H 

elastischen Reaktion, welche der deformierenden Kraft widerstrebt, u der 
Koeffizient der inneren Reibung. Aus den Angaben der §§ 188 und 199 
ergibt sich die Relaxationszeit für Wasser zu 670 x 10 — 15 sec, für 
Quecksilber zu 46 X 10 -15 sec. Bei Gasen ist der Modul H identisch 



294 Molekular er scheinungen § 201 

mit dem Druck; nun beträgt die innere Reibung der Luft 19*1 x 10 -8 
g-Gew/cm 2 , ihre Relaxationszeit ist somit 

T=2 x lO-^sec. 1 

§ 201. Diffusion. Wenn man in einem Gefäße über eine wässerige 
Lösung von Kupfersulfat vorsichtig Wasser schichtet, so sind die beiden 
Flüssigkeiten zu Anfang durch eine ziemlich scharfe Grenze geschieden. 
Bald aber sieht man, wie die blaue Färbung des Kupfersulfates sich 
nach oben ausbreitet, während nach unten hin die Intensität der Fär- 
bung abnimmt. Man bezeichnet diese Erscheinung, die nicht auf einer 
sichtbaren Strömung, sondern auf einem molekularen Vorgänge beruht, 
als Diffusion. Die Moleküle des gelösten Salzes wandern dabei von den 
Orten größerer nach denen kleinerer Konzentration. Kann man während 
der Zeit t das Konzentrationsgefälle, die Abnahme der Konzen- 
tration auf der Längeneinheit, als konstant betrachten, so ist die Menge 
Salz, die in dieser Zeit durch den Querschnitt q eines Diffusionszylinders 
wandert, gegeben durch 

Q=D 1 qt. 

Hier bezeichnen c und e die Konzentrationen am Anfang und am Ende 

c — c' 
der Strecke l, längs welcher die Konzentration gleichmäßig sinkt, — - — 

das Konzentrationsgefälle, D eine von der Natur des gelösten Körpers 
und des Lösungsmittels abhängende Konstante, den Diffusionskoeffi- 
zienten. Betrachten wir die in der Volumeinheit enthaltene Masse als 
Maß der Konzentration, so ergibt sich für die Dimension des Diffusions- 
koeffizienten die Gleichung [D] = l 2 -t~ l . Nehmen wir als Einheit der 
Zeit den Tag, als Einheit der Länge das Zentimeter, so gibt der Diffu- 
sionskoeffizient die Anzahl g gelöster Substanz, die an einem Tage 
durch ein Quadratzentimeter wandern, wenn das Konzentrationsgefälle 
gleich 1 ist. Die Konzentration ist dabei in g auf das Kubikzentimeter 
anzugeben. Im folgenden sind diese Diffusionskoeffizienten für ein paar 
Substanzen gegeben: 

Salzsäure . 2-4 g pro qcm und Tag 

Harnstoff . 0-81 „ „ „ „ „ 

Rohrzucker 0-31 „ ,, ,, ,, „ 

Eiweiß . . 0-05 „ „ „ „ „ 

Etwas verwickelter ist der Vorgang, wenn zwei verschiedene, aber 
miteinander in jedem Verhältnis mischbare Flüssigkeiten, wie Wasser 
und Alkohol, ineinander diffundieren. 

Wie sich aus den mitgeteilten Zahlen ergibt, ist die Diffusion ein 
sehr langsam verlaufender Vorgang; beschleunigen kann man die 



1 Maxwell, On the dynamical Theory of Gases. 1866. The Scientific Papers. 
Vol. II. p. 69 — 71. — A. Kundt, Über die Doppelbrechung des Lichtes in bewegten 
reibenden Flüssigkeiten. Wied. Ann. 1881. Bd. 13. p. 110. 



§ 202 



Flüssigkeiten 



295 



Mischung zweier Flüssigkeiten nur durch Vergrößerung der Berührungs- 
fläche, und darauf beruht der Nutzen des Rührens. 

§ 202. Osmotischer Druck. Wenn man Kupfersulfatlösung in 
ein unten mit Pergament verschlossenes Gefäß einfüllt, und dieses in 
destilliertes Wasser stellt, so tritt Wasser in das Grefäß ein. Läßt man 
dieses oben in eine engere Röhre ausgehen, so steigt die Kupfersulfat- 
lösung in ihr in die Höhe. Mit der Zeit macht sich auch eine um- 
gekehrte Bewegung, ein Übertritt von Kupfersulfat zum 
Wasser bemerklich; aber auch wenn das Grefäß nicht in 
Wasser, sondern in Kupfersulfatlösung gesetzt wird, steigt 
die Lösung in der Röhre, solange die Konzentration der 
Lösung innen größer ist als außen. Man bezeichnet den 
Vorgang als Osmose, den in dem Gefäß sich einstellen- 
den Druck als osmotischen Druck. 

Höchst überraschend gestalten sich die Beziehungen, 
wenn man eine verdünnte Lösung von dem Lösungsmittel, 
durch eine sogenannte halbdurchlässige Wand trennt, 
die wohl dem Lösungsmittel, aber nicht dem gelösten Stoffe 
den Durchgang gestattet. Für Wasser und Rohrzucker 
besitzt diese Eigenschaft in sehr vollkommener Weise eine 
auf einer porösen Tonzelle niedergeschlagene Membran 
von Ferrocyankupfer. Füllt man die Zelle mit Rohrzucker- 
lösimg und setzt man sie in destilliertes Wasser, so dringt 
Wasser in die Zelle ein; die Lösung steigt in der mit 
der Zelle verbundenen vertikalen Röhre und vermehrt so 
den Druck im Innern (Fig. 218). .Der osmotische Druck 
ist gleich dem schließlich erreichten Maximaldruck, der dem weiteren 
Eindringen von Wasser in die Zelle ein Ziel setzt. Man erhält auf 
diese Weise eine direkte manometrische Messung des Druckes. Für 
verschieden konzentrierte Lösungen ergaben sich so die folgenden Werte: 




Fig. 218. 



Prozentgehalt der 
Zuckerlösung 

1% 
2% 

4°/o 
6°/ 



Spezifisches Gewicht Osmotischer Druck in 

der Zuckerlösung Zentimeter Quecksilber 

1-0026 55-5 

1-0066 101-6 

1-0144 208-2 

1-0223 307-5 



Dichte des ge- 
lösten Zuckers 
0-001003 
0-002013 
0-004057 
0-006134. 



Aus den Zahlen der beiden ersten Kolumnen ergibt sich die Dichte 
des gelösten Zuckers, d. h. die in 1 ccm davon enthaltene Menge in g: 
die Zahlen der letzten Kolumne. Dividieren wir den Druck durch die 
Dichte, so ergeben sich die vier Zahlen: 

55 200, 50 470, 51370, 50130. 

Aus der annähernden Gleichheit derselben ergibt sich der merk- 
würdige und wichtige Satz: 

Der osmotische Druck ist der Konzentration des gelösten 
Stoffes, der Anzahl der g im Kubikzentimeter, proportional. 



296 Molekularerseheinungen § 203 



Die Analogie dieses Satzes mit dem Gesetze von Boyle-Maeiotte 
springt in die Augen. Weitere Untersuchungen, die sich insbesondere auch 
auf die Abhängigkeit des osmotischen Druckes von der Temperatur richten 
mußten, haben gezeigt, daß es sich nicht um eine bloße Analogie, sondern 
um eine vollkommene Identität handelt. Nehmen wir einen Stoff, den 
wir, wie etwa Äther, als Dampf und in wässeriger Lösung kennen. Bei 
dem Dampf ist nach dem BoYLEschen Gesetz das Verhältnis von Druck 
und Dichte bei gegebener Temperatur konstant; seine Abhängigkeit von 
der Temperatur, die wir erst in der Wärmelehre ausführlich studieren 
werden, läßt sich am einfachsten darstellen mit Hilfe der in § 21 ein- 
geführten absoluten Temperatur T, Grade Celsius von — 273° an ge- 
zählt. Ist p der Druck, § die Dichte, so gilt die Gleichung 

wo R eine dem Äther eigentümliche Konstante bezeichnet. Dieselbe 
Gleichung gilt aber auch für den osmotischen Druck p einer verdünnten 
Ätherlösung, wenn wir unter S die Konzentration, d. h. wiederum die 
in der Yolumeinheit enthaltene Äthermasse verstehen. Der osmotische 
Druck einer Lösung ist also genau derselbe wie der Gasdruck, 
den die gelösten Moleküle ausüben würden, wenn das Lösungs- 
mittel entfernt, und der von ihm eingenommeneRaum allein von 
jenen Molekülen im Gaszustande erfüllt würde. Auf indirektem 
Wege kann der osmotische Druck einer verdünnten Lösung aus den in 
der Wärmelehre zu besprechenden Erscheinungen der Gefrierpunkts- 
erniedrigung und Siedepunktserhöhung berechnet werden. 



Drittes Kapitel. Molekularerseheinungen der Grase. 

§ 203. Übersicht über die Erscheinungen. Die Gase zeigen ebenso 
wie die Flüssigkeiten die Erscheinungen der inneren Reibung; der 
Ausfluß eines Gases durch eine lange Kapillarröhre folgt daher, dem in 
§ 199 angeführten Gesetze. Die Erscheinung der Diffusion tritt bei 
Gasen in derselben Weise auf, wie bei Flüssigkeiten. Trennt man zwei 
Gase durch eine poröse Wand, z. B. eine Tonzelle, die keine spezifische 
Wirkung auf die Gase ausübt, so diffundiert das leichtere Gas rascher 
durch die Wand, als das schwerere; es entsteht daher eine Druckdifferenz 
zwischen den beiden Seiten der Wand. So diffundiert Leuchtgas rascher 
durch eine Tonzelle als Luft, und es steigt daher der Druck auf der 
Seite der letzteren. In manchen Fällen beruht die Diffusion durch eine 
Scheidewand auf einer Lösung der Gase in ihrer Substanz. So diffun- 
diert Ammoniak durch eine mit Wasser benetzte Membran, Wasserstoff 
durch Palladiumbleche. 

Der Fall der einfachen Interdiffusion zweier Gase möge noch 
durch einige weitere Bemerkungen erläutert werden. Wir denken uns 



§ 203 Gase 297 

einen vertikalen Zylinder, der in seinem unteren Teile mit einem schweren 
Gase @ x gefüllt wird, über dem ein leichteres ® 2 sich befindet. Der Druck 
sei im ganzen Innern des Zylinders der gleiche und ändere sich auch 
nicht während der Diffusion. Diese bedingt eine mehr und mehr fort- 
schreitende Vermischung beider Gase ; betrachten wir zu irgend einer Zeit 
zwei Querschnitte, a und b, die in der Entfernung l übereinander sich be- 
finden. Die Dichtigkeit des ersten Gases sei in dem Querschnitt a gleich 

S^, in b gleich d^, das Gefälle der Dichtigkeit ist dann - — ^— L -- Unter 

diesen Umständen geht durch einen Querschnitt c, der in der Mitte 
zwischen a und b liegt, während einer kleinen Zeit r eine gewisse Menge 
von © x von unten nach oben hindurch. Ist m 1 die Zahl der hindurch- 
gehenden Gramme, q der Flächeninhalt des Querschnittes, so gilt das 
Gesetz: 

(ja — (5 b 

m i = D l2 J^ • q- t. 

Hier ist D 12 eine von der Natur der beiden Gase abhängende Größe, 
der Diffusionskoeffizient. Er hat ebenso wie der Diffusionkoeffizient 
der Flüssigkeiten die Dimension [D 12 ]= l 2 • t -1 . Er ist dem Drucke 
des Gasgemisches umgekehrt proportional und wächst mit steigender 
Temperatur. 

Dem Diffusionsstrome des Gases & x entspricht natürlich ein umgekehrt 
gerichteter Strom von ($ 2 ; die Zahl m 2 der in der Zeit r durch den Quer- 
schnitt c hindurchgehenden g wird durch die leicht verständliche Gleichung 

<J & — (J a 

bestimmt. 

Für Zentimeter und Sekunde als Einheiten ergeben sich aus den 
Beobachtungen die folgenden Werte der Diffusionskoeffizienten bei Atmo- 
sphärendruck und der Temperatur des schmelzenden Eises. 

Wasserstoff-Sauerstoff • 722 cm 2 sec— 1 

Sauerstoff-Kohlensäure 0-180 „ 

Kohlensäure-Wasserstoff 0-556 „ 

Kohlensäure-Luft 0-151 „ 

Eine andere und wohl etwas anschaulichere Deutung des Diffusions- 
koeffizienten ergibt sich aus der Betrachtung des folgenden Vorganges. 
Zwei große Gasometer 1 und 2 seien mit den Gasen ® a und © 2 bei 
gleichem Druck gefüllt; die Dichten seien 8 X und S 2 . Die Gasometer 
werden miteinander verbunden durch einen Zylinder von der Länge l 
und dem Querschnitt q. Noch seien in keinen der Gasometer bemerk- 
bare Spuren von dem Gase des anderen eingedrungen, dagegen mögen 
sich die Gase in der Verbindungsröhre vermischt haben, so daß die 
Dichte von (5^ auf der Länge l von d\ abnimmt auf Null, die von ® 2 
in umgekehrter Richtung von ^ 2 auf Null. Unter diesen Umständen 
verschwinden infolge der Diffusion in der Zeit r Teilchen des Gases @ 1 



298 Molekular er scheinungen § 203 

aus dem Gasometer 1; das Volumen v von ® x , gemessen bei dem Drucke 
der Gasometer, welches in der Zeit t durch die Verbindungsröhre nach 
dem Gasometer 2 übergeht, ist gegeben durch: 

v = Pu • -j • r ; 

an seine Stelle tritt aus dem zweiten Gasometer ein ebenso großes 
Volumen des Gases © 2 . Dies gilt so lange, bis durch den wechsel- 
seitigen Übergang der Gase die Dichtigkeiten S^ und S 2 merklich ver- 
ändert worden sind. Die Formel ergibt sich aus dem zuvor angeführten 
allgemeinen Gesetz, wenn man d\ b = setzt und mit d^ dividiert. 1 

Die Absorption eines Gases in einer Flüssigkeit können wir ver- 
gleichen mit der wechselseitigen Lösung zweier Flüssigkeiten, die mit- 
einander nicht mischbar, aber bis zu einem gewissen Grade ineinander 
löslich sind, wie z..B. Äther und Wasser. Eine Flüssigkeit absorbiert 
von einem Gase ein Volumen, welches unter dem Drucke des über ihr 
stehenden Gases gemessen sich als konstant erweist. Die absorbierte 
Gasmasse ist danach dem Absorptionsdrucke proportional. 
Absorptionskoeffizient nach Bttnsen ist das Volumen, welches von 
der Volumeinheit der Flüssigkeit aufgenommen ist, gemessen bei dem 
Druck des über der Flüssigkeit stehenden Gases und bei der Temperatur 
von 0° Celsius. 

Die Absorptionskoeffizienten einiger Gase in Wasser und Alkohol 
sind im folgenden zusammengestellt. 

Absorptionskoeffizienten bei 15° Cels. 

Wasser Alkohol 

Stickstoff 0-0143 0-1214 

Wasserstoff 0-0193 0-0672 

Kohlenoxyd • 0243 • 2044 

Sauerstoff 0-0299 0-2840 

Stickoxydul 0-7778 3-2678 

Kohlensäure 1-0020 3-1993. 

Mit wachsender Temperatur nehmen die Absorptionskoeffizienten 
stark ab. Auch bei sehr hohen Drucken tritt eine Abnahme der Koeffi- 
zienten ein. 2 

Hierzu möge noch bemerkt werden, daß man den Absorptionskoeffi- 
zienten neuerdings häufig auch definiert als das Volumen des von 1 ccm 
der Flüssigkeit aufgenommenen Gases, gemessen bei dem Druck und bei 
der Temperatur des über der Flüssigkeit stehenden. Der so definierte 
Absorptionskoeffizient ergibt sich aus dem BüNSENschen durch Multipli- 
kation mit t 



1 + 



273 



1 Maxwell, On the dynamical Theory of Grases. The scientific papers. Vol. II 
p. 26. — O. E. Meyer, Die kinetische Theorie der Grase. Breslau 1877. p. 162. — 
Maxwell, On Loschmidts Experiments on Diffusion in relation to the kinetic Theory 
of Grases. 1. c. p. 343. 

2 Cassuto, Phys. Zeitschr. 1904. p. 233. 



§ 204 Oase 299 

wenn t die Versuchstemperatur bedeutet. Bei dieser Definition gilt 
der Satz, daß das Verhältnis zwischen dem osmotischen Drucke des 
absorbierten Gases und dem Drucke des freien gleich dem Absorptions- 
koeffizienten ist. 

An die Erscheinung der Absorption schließt sich zunächst die der 
Verdichtung von Gasen an der Oberfläche fester Körper, die Adsorp- 
tion. Die Oberfläche fester Körper ist unter gewöhnlichen Umständen 
immer mit einer Schichte von verdichteter Luft überzogen. Auf den 
Eigenschaften dieser adsorbierten Gasschichte beruht das Zustandekommen 
der sogenannten Moser sehen Hauchbilder. Wenn man auf eine 
Metall- oder Glasplatte einen gravierten Metallstempel setzt, nach einiger 
Zeit abnimmt und die Platte behaucht, so wird das Bild des Stempels 
sichthar. Die Dämpfe schlagen sich an den von ihm berührten Stellen 
anders nieder als an den nicht berührten infolge einer Veränderung der 
adsorbierten Gasschicht bei der Berührung zwischen Platte und Stempel. 

Besonders stark ist die Adsorption bei poröser Kohle; ein Volumen 
Buchsbaumkohle adsorbiert die folgenden Volumina verschiedener Gase: 

Ammoniak 90 Kohlenoxyd 9-4 

Schweflige Säure 65 Sauerstoff 9-2 

Stickoxydul 40 Stickstoff 7-5 

Kohlensäure 35 Wasserstoff 1-7. 

Der Adsorptionsdruck betrug bei den Versuchen, aus denen die 
Zahlen berechnet sind, 724 mm. 

Lösung von Gasen in festen Körpern, wie z. B. von Wasser- 
stoff in Platin und Palladium, bezeichnet man als Okklusion. Ein 
Volumteil Palladium okkludiert 960 Volumteile elektrolytisch abge- 
schiedenen Wasserstoffs und dehnt sich dabei um x / 10 seines Volumens aus. 

§ 204. Kinetische Theorie der Gase. Bei den Gasen ist es ge- 
lungen, auf Grund einer hypothetischen Vorstellung von ihrer moleku- 
laren Konstitution ein ziemlich vollständiges und zusammenhängendes 
Bild von ihren physikalischen Eigenschaften zu entwerfen. 

Man denkt sich die Gase bestehend aus einzelnen kleinsten Teilchen, 
den Molekülen, die voneinander im allgemeinen durch große Zwischen- 
räume getrennt sind. Wir nehmen an, diese Moleküle haben die Eigen- 
schaften von harten, elastischen Kugeln und fahren, ähnlich den Mücken 
eines Mückenschwarmes, mit einer gewissen Geschwindigkeit durcheinander. 
Jedes bewegt sich, dem Prinzipe der Trägheit entsprechend, so lange in 
gerader Linie fort, bis es mit einem anderen zusammenstößt und aus seiner 
Bahn abgelenkt wird; in der neuen Richtung bewegt es sich abermals 
geradlinig bis zu einem neuen Zusammenstoß usf. Die ganze Bahn, 
die ein bestimmtes Molekül durchläuft, ist somit durch eine Zickzack- 
linie im Räume dargestellt, bei der lauter aufeinanderfolgende gerad- 
linige Strecken unter allen möglichen Winkeln zusammenstoßen. Da 
man die Bewegungen der einzelnen Gasmoleküle nicht verfolgen kann, 
so ist man in der Gastheorie angewiesen auf die Methode der Statistik. 



300 Molekularerscheinungen § 204 

Anstatt die mannigfach wechselnden Bahngeschwindigkeiten der einzelnen 
Moleküle zu betrachten, operiert man mit gewissen Durchschnittswerten 
der molekularen Geschwindigkeit. Ebenso setzt man an Stelle der 
individuellen veränderlichen Werte, welche die geradlinigen Strecken der 
zickzackförmigen Molekülbahnen besitzen, einen Durchschnittswert, den 
man als die mittlere Weglänge bezeichnet. Wir gehen nun zu einer 
flüchtigen Skizzierung der Theorie über, die auf dem Grunde dieser 
Vorstellungen sich aufbaut. . 

Gesetz von Botle -Maeiotte. Der Druck eines Gases gegen die 
begrenzende Wand rührt her von den Stößen, welche die Moleküle des 
Gases auf sie ausüben. Denken wir uns ein Gasmolekül von der Masse 
fi mit der Geschwindigkeit V senkrecht auf die begrenzende Wand stoßen, 
so wird es von dieser mit unveränderter Geschwindigkeit, aber entgegen- 
gesetzter Bewegungsrichtung reflektiert; die Änderung seiner Bewegungs- 
größe ist 2 /a V. Ebenso groß ist nach § 101 der bei dem Zusammen- 
stoße auf die Wand wirkende Impuls. Man gelangt nun am einfachsten 
zu dem Boyle- Maeiotte sehen Gesetz, wenn man einen Würfel von 
lccm Inhalt betrachtet, Gunter der Annahme, daß die in ihm ent- 
haltenen Gasmoleküle sich in drei Scharen sondern, von denen jede, 
ohne durch die anderen irgendwie gestört zu werden, parallel einer 
Würfelkante hin und herfährt. Nehmen wir (Fig. 219) ein Molekül, das 
parallel der Kante A B gegen die Wand B C sich bewegt. Die Zeit 

zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stößen des 
Moleküls gegen B C ist gleich der Zeit, die es 
braucht, um zweimal die Länge A B zu durch- 



277t 



V 



2 
laufen, d. h. gleich der Zeit -=- , in der es eine 

Strecke von 2 cm zurücklegt. Das Molekül stößt 

somit in einer Sekunde — mal gegen die Fläche 

Fig. 219. ß 0. bei jedem Stoße ist der auf die Wand aus- 

geübte Impuls gleich 2 f.i V, der Gesamtimpuls 
während einer Sekunde somit gleich fiV 2 , entsprechend einer kontinuier- 
lich wirkenden Kraft von gleichem Betrage. Dasselbe gilt aber von den 
übrigen Molekülen. Ist die ganze Zahl der in dem Kubikzentimeter 
enthaltenen Gasmoleküle gleich N, so stößt der dritte Teil davon gegen 
die eine Seitenfläche, der ganze in einer Sekunde ausgeübte Impuls ist 
somit -i-iV^F 2 , entsprechend einem konstanten Drucke von derselben 
Größe. N[x ist die Masse des in dem Kubikzentimeter enthaltenen 
Gases, d. h. seine Dichte ö. Wir können somit die gefundene Beziehung 
auch in der Form schreiben: 

JL — i v 2 

in der ihre Übereinstimmung mit dem Gesetz von Boyle- Maeiotte in 
die Augen springt. Zu demselben Eesultat gelangt man übrigens auch 



§ 204 Gase 301 

dann, wenn man eine gleichförmige Verteilung der Geschwindigkeit V 
auf alle möglichen Richtungen annimmt. V 2 würde zunächst den 
mittleren Wert des Quadrates der molekularen Geschwindigkeit bezeichnen. 
Wir wollen aber, um unsere Betrachtungen nicht unnötig zu verwickeln, 
die molekulare Geschwindigkeit als eine konstante behandeln; dann ist 
V 2 das Quadrat der molekularen Geschwindigkeit, und diese selbst 
gegeben durch: 



= ]/H 



Benützen wir hier die in den §§ 139 und 145 eingeführte virtuelle 
Druckhöhe h des Gases, so wird der in Dynen zu messende Druck 
V — g hö und daher 

V=-]/Ygl^ 

Hiernach ergeben sich die folgenden molekularen Geschwindigkeiten für 
die Temperatur 0° Celsius: 

Wasserstoff 184 400 cm sec— 1 

Stickstoff 49 200 „ 

Sauerstoff 46100 „ 

Kohlensäure 39 200 „ 

DALTONsches Gesetz. Wenn mehrere Gase in einem und dem- 
selben Räume zusammen sind, so verhält sich jedes so, als ob die 
anderen nicht vorhanden wären. Der Gesamtdruck des Gasgemenges 
ist gleich der Summe der Partialdrucke der einzelnen Gase, und diese 
sind für die einzelnen Gase dieselben, wie wenn sie allein den Raum 
erfüllten. Diese Sätze sind eine unmittelbare Konsequenz der im vor- 
hergehenden gegebenen Ableitung des Boyle-Mabiotte sehen Gesetzes. 

Bei der Absorption eines Gasgemenges in einer Flüssigkeit ist für 
jedes einzelne Gas der Partialdruck als der maßgebende Absorptions- 
druck zu betrachten. Hierdurch und durch die Verschiedenheit der 
Absorptionskoeffizienten erklärt es sich, daß die in Wasser absorbierte 
Luft 35°/ Sauerstoff enthält, während der Prozentgehalt der freien 
gleich 21 ist. 

Satz von Avogadro. Zwei Gase mögen gleichen Druck und 
gleiche Temperatur besitzen. Die Molekulargewichte seien ju 1 und (i 2 , 
die molekularen Geschwindigkeiten V 1 und V 2 , die Anzahlen der in 1 cem 
enthaltenen Moleküle N x und N 2 . Als Bedingung der Temperaturgleich- 
heit betrachten wir die Gleichheit der lebendigen Kraft der Moleküle. 
Wir haben dann die Gleichungen: 

3 Jv i.ri y \ _ 3 iV 2 n K 2 ' 

"2 ^1 *1 " = "2 1^2 2 ' 

Somit muß N x = A 7 3 sein. 

Gleiche Volumina zweier verschiedener Gase enthalten 
bei gleichem Druck und gleicher Temperatur gleiche Anzahlen 
von Molekülen. 



J8 3 r > 



302 Molekularerscheinungen § 204 

Gesetz von Gay-Lussac. Die Konstante des Boyle-Mariotte- 
schen Gesetzes, 

d 

ist abhängig von der Temperatur. Benützt man die absolute Temperatur- 
skale, so ist, . wie schon in § 202 erwähnt wurde, für die Temperatur T 

wo R eine dem betrachteten Gas individuelle, von der Temperatur un- 
abhängige Konstante bezeichnet. Wir müssen hiernach annehmen, daß 
die molekulare Geschwindigkeit der Wurzel aus der absoluten Tempe- 
ratur proportional ist, entsprechend der Gleichung 

V=}/3RT~ 

Das Gesetz von van der Waals.' Um die in § 133 erwähnten 
Abweichungen von dem BoYLE-MARiOTTEschen Gesetz zu erklären, kann 
man die Annahme machen, daß zwischen den Gasmolekülen anziehende 
Kräfte existieren von der Art, wie wir sie in der Molekulartheorie der 
Kapillarität betrachtet haben. Aus denselben resultiert dann ein gegen 
die Oberfläche des Gases wirkender normaler Druck K, der sich zu dem 
von den begrenzenden Wänden ausgeübten addiert. Nun ist jener kon- 
stante Kapillardruck proportional mit dem Quadrat der Dichte, oder 
umgekehrt proportional dem Quadrat des Volumens; man kann daher 

setzen: K = — r- , wo a eine neue, dem Gase eigentümliche Konstante 

repräsentiert. Der Gesamtdruck, unter dem dieses steht, ist dann: 

, a 
P H — s-- 

Will man endlich zum Ausdruck bringen, daß bei unendlich großem 
Drucke das Volumen des Gases nicht verschwindet, sondern einen be- 
stimmten Grenzwert b erreicht, so muß man in dem BoYLEschen Gesetz 
an Stelle von b den Wert v — b einsetzen und gelangt so zu der Formel 

(p + -fcj(v-b) = mRT, 

wo nun m die Masse des Gases bezeichnet. Durch diese Gleichung 
lassen sich die in § 133 hervorgehobenen Abweichungen in befriedigender 
Weise darstellen. 

Innere Reibung und mittlere Weglänge. Wenn ein Gas im 
ganzen in strömender Bewegung sich befindet, und verschiedene Schichten 
dabei verschiedene Geschwindigkeit besitzen, so treten infolge der mole- 
kularen Bewegung Teilchen mit kleinerer Strömungsgeschwindigkeit 
in Schichten mit größerer, Teilchen mit größerer Strömungsgeschwindig- 
keit in Schichten mit kleinerer. Darauf beruht die innere Reibung der 
Gase. Für den Koeffizienten derselben ergibt sich der Wert 

Hier bezeichnet § die Dichtigkeit des Gases, V die molekulare Geschwin- 



§ 204 Oase 303 

digkeit, L die mittlere Weglänge. Da man den Koeffizienten der inneren 
Reibung bei Grasen nach denselben Methoden bestimmen kann, wie bei 
Flüssigkeiten, so gibt die Gleichung ein Mittel zur Berechnung der 
mittleren Weglänge. In der folgenden Tabelle sind einige so erhaltene 
Werte zusammengestellt. Die Reibungskoeffizienten geben wie in § 199 
den auf das Quadratzentimeter wirkenden Zug in g-Gewichten, wenn 
die Geschwindigkeitsdifferenz auf 1 cm gleich 1 cm sec -1 ist. Die Tem- 
peratur ist zu 15° angenommen: 



? x 
Wasserstoff 


10 s g-^7- 

cur 
9-4 


L mm 
0-000172 


Kohlensäure 


15-5 


0-000060 


Kohlenoxyd 

Stickstoff 

Sauerstoff 


17-2 

18-1 
20-7 


0-000087 
0-000089 
0-000095. 



Die bei der Berechnung von L zu benutzenden Werte von q in ab- 
solutem Maße, cm - l g sec -1 , ergeben sich aus den Zahlen der Tabelle 
durch Multiplikation mit 981. 

Von der Dichte des Gases ist der Reibungskoeffizient unabhängig; 
die mittlere Weglänge ist daher der Dichte oder dem Drucke umgekehrt 
proportional. Die Zahlen der Tabelle beziehen sich auf den normalen 
Druck von 760 mm. 

Wie die innere Reibung eines Gases von Weglänge und molekularer 
Geschwindigkeit abhängt, so muß auch die wechselseitige Diffusion 
zweier Gase durch ihre molekularen Geschwindigkeiten und Weglängen 
bedingt sein. Es knüpft sich hieran die Möglichkeit, molekulare Weg- 
längen aus den Diffusionskoeffizienten, diese selbst aus den Koeffizienten 
der inneren Reibung zu berechnen. Die wirkliche Verfolgung dieses 
Weges stößt auf Schwierigkeiten, vor allem deshalb, weil die molekularen 
Weglängen der Gase bei ihrer Mischung andere werden. 

Molekulardurchmesser und Molekulerabstand. Es ist von 
vornherein zu erwarten, daß die Weglänge abhängt von dem Durchmesser 
der Moleküle und von ihrer Distanz, oder, was im wesentlichen auf dasselbe 
hinauskommt, von dem Verhältnis des Raumes v, in dem das Gas im ganzen 
verbreitet ist, zu dem Räume k, der von den kugelförmig gedachten Mole- 
külen selbst wirklich ausgefüllt wird. In der Tat ergibt sich zunächst eine 
Beziehung zwischen Weglänge, Molekulardistanz und Molekularhalbmesser. 

Wir denken uns die Moleküle des Gases gleichmäßig in den Mittel- 
punkten eines regelmäßigen, aus lauter gleich großen Würfeln gebildeten 
Zellensystems verteilt. Die Kante eines ein Molekül umschließenden 
Würfels entspricht dann der mittleren Entfernung benachbarter Moleküle. 
Wir bezeichnen diese Entfernung l als den Molekularabstand, den Würfel 
vom Inhalt l 3 als den Molekular würfel. Der Halbmesser der kugelförmig 
gedachten Moleküle sei R, die Weglänge L, dann gilt die Proportion: 

L : l = X 2 : 4 |/2 n B 2 . 
Das Verhältnis zwischen dem Volumen eines Moleküls, ^%R 3 , und dem 



304 Molekularerscheinungen § 204 

des Molekularwürfels, l 3 , setzen wir gleich dem Verhältnis zwischen 
dem Räume k, den die Gesamtheit der Moleküle nach vollständiger Kon- 
densation des Gases einnimmt, und zwischen dem ursprünglichen Vo- 
lumen v im gasförmigen Zustand. Wir haben somit die zweite Gleichung : 

±nR 3 :l 3 = k:v. 
Die Verbindung beider Gleichungen gibt für den Molekulardurchmesser 

die Formel: h 

2B= 8>5L—.> 

V 

für die Molekulardistanz : 



A = L |/ 319 V 

Da ferner /L 3 den von einem Molekül im gasförmigen Zustand im ganzen 

okkupierten Raum darstellt, so ist — = N die Zahl der Moleküle in der 

k 
Volumeinheit. Das V erhältnis — kann aus der Konstanten b des van der 

WAALSschen Gesetzes berechnet werden. Ist die Weglänge L bekannt, 
so ergibt sich die Größe des Molekulardurchmessers, der Molekular- 
abstand und die Zahl der Moleküle in der Volumeinheit. Für Kohlen- 
säure ist bei normalem Druck und normaler Temperatur, d.h. bei 0° Celsius 

A = 0-0005 . 

V 

Somit wird der Molekulardurchmesser 

2R= 0-25 X 10- 6 mm, 
die Molekulardistanz bei normalen Verhältnissen von Druck und Tem- 

P eratlir: A = 2-6x 10- 6 mm, 

die Anzahl der Moleküle im Kubikmillimeter unter derselben Voraussetzung : 

N= 58000 x 10 12 . 
Für Wasserstoff sind die entsprechenden Zahlen: 

— = 0-0003; 2Ä= 0-44 x 10- 6 mm; 

V 

l = 5-3 x 10- 6 mm; N= 6800 x 10 12 . 
Die Werte für ?. und für N müßten nach der AvoGADROschen Regel die- 
selben sein, wie bei Kohlensäure. Die Abweichung illustriert die Un- 
sicherheit, welche den Grundlagen der Rechnung in theoretischer, wie in 
experimenteller Hinsicht noch anhaftet. 

Die vorstehenden Betrachtungen enthalten die Annahme, daß die 
Moleküle im Zustande der Kondensation den Raum lückenlos erfüllen, 
eine Annahme, die in Widerspruch steht mit den Vorstellungen des 
§ 172 über die molekulare Konstitution der Körper. Wir müssen jene 
Vorstellungen abändern, um den Widerspruch zu heben. In der Tat 
genügt es für die Entwickelung der Molekulartheorie, wenn die Moleküle, 
welches immer ihre Beschaffenheit sein mag, sich so verhalten, als ob die 
wechselseitig ausgeübten Kräfte von einzelnen materiellen Punkten aus- 
gingen. 



VIEETES BUCH. 

AKUSTIK. 

Erstes Kapitel. Die musikalischen Töne. 

§ 205. Entstehung der Töne. Wir haben in § 171 gesehen, daß 
eine einfache Welle, die sich in der Luft ausbreitet, die Empfindung 
des Schalles erzeugt, sobald sie unser Ohr trifft. Es fragt sich nun, 
wie die Tonempfindung zustande kommt. Wenn die Luft an irgend 
einer Stelle in regelmäßiger Weise andauernd erschüttert wird, so 
gehen von da Wellenzüge aus, deren einzelne, unter sich gleiche Wellen 
kontinuierlich aufeinander folgen und mit derselben Geschwindigkeit 
durch den Luftraum hindurch sich ausbreiten. In unserem Ohre werden 
sie in regelmäßiger Folge, in genau gleichen Zeitintervallen eintreffen, 
jedesmal die Schallempfindung hervorrufend. Wenn nun die Zahl der 
in einer Sekunde sich häufenden Eindrücke eine gewisse Grenze über- 
steigt, so kommen nicht mehr einzelne Schallstöße zur Empfindung, 
sondern es tritt eine ganz neue Empfindung auf, der musikalische Ton. 

Von der Richtigkeit dieser Anschauung überzeugen wir uns, wenn 
wir Vorgänge betrachten, bei denen musikalische Töne erzeugt werden; 
am nächsten liegt das Beispiel der Klaviersaiten; bei ihnen ist der Ton 
an die Schwingung gebunden, welche durch das Anschlagen der Hämmer 
hervorgerufen wird. Es zeigt sich nun, daß ganz allgemein jede schwingende 
Bewegung, gleichgültig auf welchem Wege sie hervorgerufen wird, einen 
Ton erzeugt, wenn sie nur mit genügender Schnelligkeit vor sich geht. 
Wenn man ein Kartenblatt gegen den Rand eines rasch rotierenden 
Zahnrades hält, so wird es in Schwingungen versetzt und gibt einen 
Ton, dessen Höhe mit der Rotationsgeschwindigkeit zunimmt. In einer 
sehr eigentümlichen Weise wird die schwingende Bewegung bei dem so- 
genannten TKEVELYAN-Instrument erzeugt (Fig. 220 a). Eine Barre von 
Kupfer trägt an ihrer unteren Fläche zwei scharfe hervorragende Leisten, 
so daß sie im Querschnitte die in Fig. 220 b bezeichnete Form besitzt. 
Sie wird in der Flamme eines Bunsenbrenners erhitzt und in schräger 
Stellung mit dem an ihr befindlichen Griffe auf die Tischplatte, mit der 
einen Kante gegen den blank geschabten Rand eines Bleiklötzchens gelegt. 
An der B er ührungs stelle zwischen Kupfer und Blei findet eine energische 
Wärmeströmung von dem ersteren zu dem letzteren statt, und bei der 

Eiecke, Physik I. Dritte Aufl. 20 



306 



Akustik 



§ 205 



schlechten Wärmeleitung des Bleies resultiert daraus eine plötzliche starke 
Erwärmung jener Stelle. Diese hat eine so schnelle Ausdehnung des 
Bleies zur Folge, daß dadurch die Kupferbarre wie durch einen Stoß in 





Fig. 220 a. TitEVELYAN-Instrument. 



Fig. 220b. 



die Höhe geworfen wird, um dann auf die andere Kante zurückzufallen. 
Sobald diese mit dem Blei in Berührung kommt, wiederholt sich bei ihr 
derselbe Vorgang, und auf diese Weise gerät der kupferne Wieger in 
eine schwingende, einen Ton erzeugende Bewegung. 

Wenn man einen Luftstrahl durch eine feine Öffnung austreten läßt, 
so entsteht ein Ton. Er muß durch eine irgendwie mit dem Ausflusse 

verbundene, periodisch sich wiederholende 
Bewegung der Luft erzeugt werden. In 
der Tat sind nun die Verhältnisse eines 
Luftstrahles, der unter hohem Drucke ' 
aus einem Gasometer austritt, überaus 
kompliziert. Fig. 221 1 gibt ein photo- 
graphisches Bild eines Strahles, der bei 
einem Drucke von 48 Atmosphären aus 
einer feinen, runden Öffnung tritt. Der 
Querschnitt des Strahles ist nicht kon- 
stant, sondern zeigt wellenförmige Er- 
weiterungen und Einschnürungen ; in 
seinem Inneren wechselt die Dichte der 
Luft in regelmäßigen Intervallen. In 
geringerem Maßstabe treten solche Ver- 
schiedenheiten auch noch bei kleineren Drucken auf. Mit ihnen müssen 
wellenförmge Bewegungen der umgebenden Luft zusammenhängen, deren 
Ursprung an der Austrittsöffnung gelegen ist, und welche die Ent- 
stehung des Tones veranlassen. Auf ähnlichen Verhältnissen müssen die 
Töne beruhen, die entstehen, wenn eine Peitschenschnur oder ein Draht 
in rascher Bewegung die Luft durchschneiden. Umgekehrt entstehen 
durch die Strömung der Luft gegen einen an seinen Enden befestigten 
Draht die Töne, die man bei den Aolsharfen, bei Telegraphendrähten 
beobachten kann. Die Höhe des Tones steigt mit der Geschwindigkeit 




Fig. 221. Luftstrahl. 



1 E Mäch u. P. Salcher, Optische Untersuchung der Luftstrahlen. Wied. 
Ann. 1890. Bd. 41. p. 144. — E. Emden, Über die Ausströmungserscheinungen 
permanenter Gase. Wied. Ann. 1899. Bd. 69. p. 264. • — Prandtl, Über die statio- 
nären Wellen in einem Gasstrahl. Phys. Zeitschr. 1904. p. 599. 



206 



Die musikalischen Töne 



307 



der Bewegung; bei gleicher Geschwindigkeit geben dickere Drähte tiefere 
Töne als dünne. 

§ 206. Die Tonhöhe. Die für die Unterscheidung der Töne weit- 
aus wichtigste Eigenschaft ist ihre Höhe. Die Frage, von welchen Eigen- 
tümlichkeiten der sie erzeugenden Bewegung die Höhe abhängt, werden 
wir sicher nur entscheiden können, wenn wir uns nicht auf qualitative 
Versuche beschränken, sondern zur Erzeugung der Töne Bewegungen 
von vollkommen bestimmter Periodizität benützen. Wir werden anderer- 
seits auch die auf die Bedingungen ihrer Höhe zu untersuchenden Töne 
nicht ganz willkürlich, sondern so wählen, daß sie ein bestimmtes 
musikalisches Intervall, eine Oktave, Quarte usw. bilden. 

Beide Bedingungen werden erfüllt durch die Konstruktion der 
Sirene. Eine Scheibe, die um ihre Achse in rasche Rotation versetzt 
werden kann, trägt an ihrem Umfange eine vierfache Löcherreihe, wie 
dies in Fig. 222 gezeichnet ist. 
Die Zahl der Löcher betrage in 
der innersten Reihe 40, in der 
folgenden 50, in der dritten 60 
und in der äußersten 80. In der 
Figur ist die Zahl der Löcher 
der Deutlichkeit halber fünfmal 
kleiner genommen. Bläst man 
mit einem Glasröhrchen gegen 
eine Löcherreihe der rotierenden 
Scheibe, so wird der Luftstrahl 
unterbrochen, so oft eine massive 
Stelle der Scheibe vor die Mün- 
dung der Röhre kommt; es tritt 
ein Tropfen Luft in den Raum 
jenseits der Scheibe hinein, so 
oft ein Loch der Mündung gegenübersteht. Bezeichnen wir die Touren- 
zahl der Scheibe, die Anzahl der Umdrehungen in der Sekunde, durch n } 
die Anzahl der Löcher in der Reihe durch z, so gehen in einer Sekunde 
rix, Löcher vor der Röhrenmündung vorbei; ebenso viele Lufttropfen 
werden in den Raum jenseits der Scheibe hinausgeschleudert, von denen 
jeder eine Welle in der Luft erregt. Von der Stelle A des Raumes, 
an der sich die Mündung der Röhre befindet, geht somit ein regel- 
mäßiger Zug von Wellen aus; jede Welle besteht, wie dies in Figur 223 
durch die verschiedene Entfernung der Kreise anschaulich gemacht wird, 
aus einem Teile, in dem die Luft verdichtet, aus einem, in dem sie ver- 
dünnt ist. Die Zahl der in der Sekunde erregten Wellen ist gleich dem 
Produkte n% aus Touren- und aus Löcherzahl. Wir verfolgen diese 
Wellen auf ihrer Bewegung nach unserem Ohre, die sich mit der Ge- 
schwindigkeit des Schalles vollzieht; sie treffen da in denselben Zeit- 
intervallen ein, in denen sie von A ausgehen. Sie setzen mit ihren 

20* 




Fig. 222. Sirene. 



308 



Akustik 



§ 206 



verdichteten und verdünnten Teilen die Luft in unserem Grehörgange in 
eine schwingende, abwechselnd nach innen und nach außen gerichtete 
Bewegung, deren Periode offenbar gleich ist dem Intervalle zwischen 
dem Eintreffen zweier aufeinanderfolgender Wellen. Die Anzahl der 
in einer Sekunde stattfindenden ganzen Schwingungen der Luft be- 
zeichnen wir als die Schwingungszahl des gehörten Tones. 




Fig. 223. Tonwellen. 



Wenn wir nun den Luftstrom gegen die innerste und gegen die 
äußerste Löcherreihe unserer Scheibe richten, so hören wir Grundton 
und Oktave, welches auch die Rotationsgeschwindigkeit sein mag. Für 
das Intervall der Oktave ist danach das Verhältnis der Schwingungs- 
zahlen 40 : 80 oder 1 : 2. Die drei inneren Löcherreihen geben die Töne 
eines Durakkordes. Daraus folgen die Verhältnisse der Schwingungs- 
zahlen für die Töne der folgenden musikalischen Intervalle: 

Große Terz . 40 : SO^oder 4 : 5 
Quinte .... 40 : 60 oder 2 : 3 
Kleine Terz 50 : 60 oder 5 : 6. 

Eine Scheibe mit drei Reihen von 50, 60 und 75 Löchern gibt 
den Mollakkord. Man kann ferner Sirenenscheiben mit einer größeren 
Zahl von Löcherreihen herstellen, so daß die von ihnen erzeugten Töne 
die aufeinanderfolgenden Intervalle einer diatonischen Tonleiter bilden. 
Nimmt man die Schwingungszahl des Grundtones als Einheit, so ergeben 
sich so für die relativen Schwingungszahlen der Durtonleiter die Werte: 



Grundton Sekund gr. Terz Quart Quint gr. Sexte gr. Septime 

1 9/ 5/ 4/ 3/ 5/ . 15/ 

x 18 U 13 ,2 13 IS 

Ebenso ergibt sich für die Molltonleiter: 

Grundton Sekund kl. Terz Quart Quint kl. Sexte kl. Septime 

1 9 / 6 / 4 I 3 / 

1 /8 Ih !3 h 



% 



% 



Oktave 
2. 



Oktave 
2. 



§ 207 Die musikalischen Töne 309 

Für die Töne der sogenannten gleichmäßig temperierten 
Stimmung, die Töne eines Klavieres, können die Schwingimgszahlen 
mit der Sirene bestimmt werden, indem man die Umdrehungszahl der 
Scheibe so reguliert, daß der Ton der Sirene dieselbe Höhe hat, wie der 
zu untersuchende. Zum Zwecke solcher absoluter Bestimmungen der 
Schwingungszahlen hat man die Einrichtung der Sirene in mannigfacher 
Weise verbessert. Vor allem wird mit der Achse ein Tourenzähler ver- 
bunden, der in einem gegebenen Momente in Gang zu setzen oder wieder 
auszurücken ist. Die Löcher werden in der Peripherie einer dickeren, 
eben abgedrehten Metallscheibe angebracht; der Luftstrom wird allen 
Löchern des Kranzes zugleich zugeführt mit Hilfe entsprechender Durch- 
bohrungen einer festen Metallscheibe. Dadurch wird der Ton verstärkt 
und es wird gleichzeitig die Möglichkeit gewonnen, die rotierende Scheibe 
durch den Luftstrom selbst zu treiben, indem man sie mit schiefen 
Durchbohrungen versieht, die alle in demselben Sinne gegen die Löcher 
der festen Scheibe geneigt sind. Die Resultate der Bestimmungen sind 
für die verschiedenen Oktaven in der folgenden Tabelle zusammengestellt. 





(7-2 


(7-1 





c 


<H 


«2 


c 3 


«4 


c 


16-17 


32-33 


64-66 


129-3 


258-7 


517-3 


1035 


2069 


Cis 


17-13 


34-25 


68-51 


137-0 


274-0 


548-1 


1096 


2192 


D 


18-15 


36-29 


72-58 


145-2 


290-3 


580-7 


1161 


2323 


Dis 


19-22 


38-45 


76-90 


153-8 


307-6 


615-2 


1230 


2461 


E 


20-37 


40-74 


81-47 


162-9 


325-9 


651-2 


1304 


2607 


F 


21-58 


43-16 


86-31 


172-6 


345-3 


690-5 


1381 


2762 


Fis 


22-86 


45-72 


91-45 


182-9 


365-8 


731-6 


1463 


2926 


G 


24-22 


48-44 


96-89 


193-8 


387-5 


775-1 


1550 


3100 


Gis 


25-66 


51-32 


102-65 


205-3 


410-6 


821-2 


1642 


3285 



A 27-19 54-37 108-75 217-5 435.0 870-0 1740 3480 
Ais 28-80 57-61 115-22 230-4 460-9 921-7 1843 3687 
H 30-52 61-03 122-07 244-1 488-3 976-5 1953 3906. 

Wenn wir die in dieser Tabelle enthaltenen Zahlen als die 
Schwingungszahlen der Töne, wie sie z. B. von den Saiten eines Klavieres 
erzeugt werden, bezeichnen, so liegt darin die Voraussetzung, daß die 
Höhe eines Tones nur abhängt von der Schwingungszahl, daß Töne von 
gleicher Höhe immer gleichen Schwingungszahlen entsprechen, unabhängig 
davon, ob sie mit der Sirene oder auf irgend eine andere Art erzeugt 
werden. Die Richtigkeit dieses Satzes wird durch alle weiteren Unter- 
suchungen der Akustik bestätigt werden. Sie leuchtet aber auch a priori 
ein, wenn wir bemerken, daß die Tonemfindung unmittelbar nur ab- 
hängen kann von den Schwingungen der Luft in unserem Grehörgang, 
nicht davon wie diese Schwingungen zustande gekommen sind. 

§ 207. Die Konsonanz. Aus den vorhergehenden Untersuchungen 
ergibt sich, daß die Töne um so höher sind, je größer ihre Schwingungs- 
zahl, und zwar verdoppelt sich die Schwingungszahl, so oft wir um das 
Intervall einer Oktave fortschreiten. Ferner ergibt sich aus den rela- 
tiven Schwingungszahlen der Töne der Dreiklänge und der diatonischen 



310 Akustik § 208 

Tonleitern, daß konsonante Töne solche sind, deren Schwingungszahlen 
zueinander im Verhältnisse einfacher ganzer Zahlen stehen, und zwar 
erscheint die Konsonanz um so vollkommener, je einfacher jene Zahlen 
sind. Dem scheint nun die Tahelle des vorhergehenden Paragraphen 
in gewisser Weise zu widersprechen. Zwar finden wir, daß die Schwin- 
gungszahlen der Oktaven sich durchaus wie 1 : 2 verhalten. Dagegen 
ergibt sich für die große Terz, c:e, das Verhältnis 4:5-039, für die 
Quarte, c : f, das Verhältnis 3:4- 004, und für die Quinte, c : g, das Ver- 
hältnis 2 : 2-997. Daraus folgt also, daß die Stimmung unseres Klavieres 
nur in den Oktaven reim dagegen im übrigen eine unreine ist. Es wird 
dies dadurch bedingt, daß wir uns in der Musik nicht mit einer einfachen 
Tonreihe begnügen können, wie sie etwa durch die diatonische Tonleiter 
dargestellt wird; es muß vielmehr möglich sein, von jedem einzelnen 
Tone der Reihe ausgehend eine neue Reihe mit derselben Folge von 
Intervallen zu bilden, und zwar bei einer begrenzten Anzahl von Tönen. 
Die Lösung der Aufgabe ist nur möglich, wenn man sich kleine Ab- 
weichungen von den richtigen Verhältnissen der Intervalle gestattet. 
Eine erste Lösung, bei der aber die Abweichungen für das Ohr nicht 
unmerklich sind, erreicht man, wenn man 11 Töne zwischen den Grund- 
ton und die Oktave einschaltet. Die Oktaven selbst, bei denen eine 
Abweichung am empfindlichsten sein würde, werden dabei rein erhalten, 
während die Verhältnisse der anderen konsonierenden Intervalle in der 
angegebenen Weise verändert sind. 

§ 208. Grenzen der Tonempfindung. Wenn die Tonempfindungen 
nach dem Vorhergehenden durch Bewegungen erzeugt werden, die in 
periodischer Weise mit einer gewissen Geschwindigkeit sich wiederholen, 
so können wir umgekehrt fragen, ob jede schwingende Bewegung eines 
Körpers mit einer Tonempfindung verbunden ist. Es ist dies offenbar 
nicht der Fall, da ja sonst jedes Uhrpendel einen Ton erzeugen müßte. 
In der Tat ergibt die genauere Untersuchung, daß mindestens 16 Schwin- 
gungen in der Sekunde erforderlich sind, um eine Tonempfmdung zu 
erzeugen, und daß andererseits kein Ton mehr hörbar ist, wenn die An- 
zahl der Schwingungen 36000 übersteigt. Bei der Bestimmung der 
Grenzen spielt die subjektive Empfänglichkeit des Beobachters eine große 
Rolle, und es darf daher den angegebenen Zahlen keine absolute Geltung 
zugesprochen werden. 

§ 209. Die Luft als Schallmedium. Wir können der vorhergehen- 
den Bedingung für das Entstehen einer Tonempfindung noch eine weitere 
hinzufügen. Der schwingende Körper erzeugt zunächst einen regel- 
mäßigen Wellenzug in der Luft; wenn dieser in unser Ohr gelangt, so 
setzt er hier die Luft in Schwingung; die Tonempfindung wird unmittel- 
bar nur durch diese erzeugt. Wenn wir einen schwingenden Körper, 
etwa eine Glocke, die wir von außen anschlagen können, in dem eva- 
kuierten Rezipienten einer Luftpumpe aufhängen, hören wir keinen Ton, 
da nun die Schwingungen nicht an die Luft abgegeben werden können. 



§ 210 Die musikalischen Töne 311 

Der Ton tritt auf, sobald wir Luft in den Rezipienten einströmen 
lassen. 

§ 210. Das DoPPLERsche Prinzip. Den vorhergehenden Bemerkungen 
nach scheint die Tonempfindung vollkommen bestimmt, wenn die sie er- 
zeugenden Schwingungen und ein Schallmedium gegeben sind. Dies ist 
aber in der Tat nur der Fall, wenn der tönende Körper und das Ohr ihre 
Entfernung nicht ändern, wenn also beide in Ruhe sind oder beide mit 
derselben Geschwindigkeit sich bewegen. Wir wollen untersuchen, was für 
eine Änderung der Tonempfindung eintritt, wenn der tönende Körper mit 
der Geschwindigkeit c 
dem Ohr sich nähert, 
während er in einer Se- ' — -. — • *° 

künde n ganze Schwin- „. 

, Txr . ■ Fig. 224. 

gungen macht. Wir 

nehmen an, er sei bei 

der ersten Schwingung in dem Punkte A (Fig. 224) 333 m von dem Ohre 

entfernt; dann gelangt die von ihm erzeugte Welle nach einer Sekunde 

ins Ohr; nach Verlauf von einer Sekunde ist der tönende Körper in B 

vom Ohre um 333 — cm entfernt, zugleich macht er die nte Schwingung 

und sendet die nte Welle nach dem Ohre; diese hat aber nur die Strecke 

von 333 — cm zu durchlaufen und trifft daher nach — — — Sekunden 

OOO 

im Ohre ein. Dieses nimmt somit in der Zeit von Sekunden 

n Wellen auf; die im Gehörgange befindliche Luft macht in der Zeit von 

333 c 333 . ™ 

— -— — Sekunden n, also in einer Sekunde — - Schwingungen. Da aber 

333 333 — o 

die Tonempfindung lediglich von der Schwingung der Luft im Gehör- 
gang abhängig ist, so ist die Schwingungszahl des gehörten Tones gleich 

333 n 
333 -^c ' 

also höher als die des tönenden Körpers. Würde umgekehrt der 
letztere mit der Geschwindigkeit c sich von dem Ohre entfernen, so 
wäre die Schwingungszahl des gehörten Tones 

333 n 
333 + c ' 

die Tonhöhe schiene erniedrigt. 

Man bezeichnet diesen Satz, der insbesondere auch für die Wellen- 
bewegung des Lichtes von Bedeutung ist, als das DoppLEEsche Prinzip. 
Von seiner Richtigkeit kann man sich gelegentlich überzeugen, wenn 
man den Ton beobachtet, den die Pfeife einer vorüb erfahrenden Loko- 
motive gibt. 

Durch die vorhergehende Betrachtung wird man leicht weiter geführt 
werden zu der Frage, was eintritt, wenn der die Luftwellen erzeugende 
Körper sich mit einer Geschwindigkeit bewegt, welche die des 



312 



Akustik 



210 



Schalles übertrifft. Der Unterschied dieses Falles gegen den zuvor an- 
genommenen wird durch die Figuren 225 a und 225b anschaulich gemacht. 




Fig. 225 a. 

Im Anfang der Beobachtung befinde sich der Körper in den mit 
bezeichneten Punkten; er bewege sich in der Richtung der Pfeile und 




Fig. 225b. 



sende in regelmäßigen Intervallen Wellen aus, welche durch die in den 
Figuren gezeichneten Kreise dargestellt sind. Bezeichnen wir die Zeit, 



§211 



Die musikalischen Töne 



313 



die zwischen der Aussendung zweier aufeinanderfolgender Wellen ver- 
fließt, durch T, so gelangt der Körper nach den Zeiten T, 2T, ?>T, 4T 
in die Punkte 1, 2, 3, 4. Bestimmen wir den Zustand der Wellen- 
bewegung für den letzten dieser Momente; die von ausgehende Welle hat 
dann zu ihrer Ausbreitung die Zeit 4T; bezeichnen wir die Schall- 
geschwindigkeit durch v, so ist der Halbmesser der von dem Punkte 
ausgehenden Wellenkugel: 0Ä = 4Tv; die von 1, 2, 3 ausgehenden 
Wellen haben sich in dem Momente, in dem der Körper nach 4 ge- 
kommen ist, auf Kugeln ausgebreitet, deren Halbmesser (1 B), (2 C), (3 D) 
beziehungsweise gleich 3Tv, 2Tv, Tv sind. Der Anblick der Figuren 
zeigt, daß die Wellenkugeln ineinandergeschachtelt bleiben, solange 
die Geschwindigkeit des Körpers kleiner ist, als die des Schalles, sie 
drängen sich nur nach der einen Richtung zusammen, während sie in 
der entgegengesetzten ihren Zwischenraum 
vergrößern. Wenn aber das Verhältnis 
der Geschwindigkeiten das umgekehrte ist, 
so überschneiden die später erzeugten 
Wellen die früheren, wie in Figur 225 b. 
Sie besitzen einen gemeinsamen Um- 
hüllungskegel, der durch die von 4 aus 
gezogenen Tangenten unserer Figur dar- 
gestellt ist; die von dem bewegten Körper 
erzeugten Wellen setzen sich in diesem 
Falle zu einer kegelförmigen, sogenannten 
Streckwelle zusammen. Diese ent- 
springt an dem bewegten Körper und 
schreitet mit ihm durch den Raum fort. 
Die Spitze des Kegels ist um so schärfer, 
je größer die Geschwindigkeit des Körpers. 

Diese Wellen hat man bei Geschossen in der Tat beobachtet, mit Hilfs- 
mitteln, die wir in der Optik erwähnen werden. Figur 226 zeigt die 

von einem Mannlicher Proiektil mit 8 mm Kaliber und 530 — Ge- 

sec 

schwindigkeit erzeugten Streckwellen. 1 

§ 211. Beziehung der Akustik zur Mechanik. Wir haben in den 
vorhergehenden Paragraphen den Satz aufgestellt, daß jede Schwingung 
eines Körpers, wenn sie sich mit genügender Schnelligkeit vollzieht, einen 
Ton erzeugt, und daß die Höhe des Tones allein abhängig ist von der 
Schwingungszahl des Körpers. Dieser Satz kann bestätigt werden durch 
Beobachtung von Schwingungen solcher Körper, bei denen man die Ge- 
setze der Bewegung aus den allgemeinen Prinzipien der Mechanik zu 
entwickeln imstande ist. Er kann, seine Richtigkeit vorausgesetzt, auch 
umgekehrt dienen, die aus der allgemeinen Theorie sich ergebenden Ge- 




Fig. 226. Streckwellen. 



1 E. Mach und P. Sälcher, Photo-graphische Fixierung der durch Projektile in 
der Luft eingeleiteten Vorgänge. Wied. Ann. 1887. Bd. 32. p. 277. 



314 Akustik § 212 

setze schwingender Bewegungen durch Beobachtung zu prüfen. In diesem 
Sinne verwenden wir akustische Beobachtungsmethoden ganz besonders 
als ein Mittel zur Untersuchung solcher schwingender Bewegungen der 
Körper, die durch Molekularkräfte hervorgerufen werden. Wenn ein 
elastischer Körper eiuer Deformation unterworfen und dann losgelassen 
wird, oder wenn wir durch einen Schlag seinen Teilchen an einer Stelle 
eine gewisse Geschwindigkeit erteilen, während er an anderen Stellen 
festgehalten wird, so pflanzt sich die Störung des elastischen Gleichge- 
wichtes wellenförmig in dem Körper fort, und es bildet sich bei geeigneter 
Begrenzung eine stehende Schwingung aus. Solche Schwingungen voll- 
ziehen sich aber in sehr kleinen Räumen und in sehr kurzen Zeiten, so 
daß ihre direkte Beobachtung mit großen Schwierigkeiten verbunden 
ist. Aber eben vermöge ihrer Schnelligkeit geben sie Veranlassung zu 
Tönen, aus deren Höhe die Zahl der Schwingungen bestimmt werden 
kann. Andererseits aber kann man die Bewegungen der Körper aus den 
Gesetzen der Elastizität nach den allgemeinen Prinzipien der Mechanik 
bestimmen, kann also auch ihre Schwingungzahl zum voraus auf theo- 
retischem Wege berechnen. Die Übereinstimmung der berechneten und 
der beobachteten Zahl liefert dann die Prüfung für die Richtigkeit der 
aus den allgemeinen Gesetzen der Elastizität gezogenen Folgerungen. 

Zweites Kapitel. Freie Schwingungen tönender Körper. 

§ 212. Schwingungen der Saiten. Wir haben uns schon in § 106 
mit den stehenden Schwingungen beschäftigt, in die eine Saite versetzt 
wird, wenn man sie in der Mitte zur Seite zieht und dann losläßt. 
Bezeichnen wir die Geschwindigkeit, mit der eine Welle längs der Saite 
fortschreitet, durch v, die Saitenlänge durch l, so ist die Schwingungs- 
zahl nach § 106 gegeben durch: 

V 

Die Länge der Saite entspricht der halben Wellenlänge. Für die Ge- 
schwindigkeit v haben wir in § 104 den Wert gefunden: 

v = 1/ 9 

Hier bezeichnet M die Masse des die Saite spannenden Gewichtes, 
also gM die Spannung selbst; m ist die Masse, welche die Längeneinheit 
der Saite besitzt. Wir können diese Gesetze, deren Richtigkeit wir schon 
in § 104 durch Beobachtungen bestätigt haben, zu einer Prüfung der 
Resultate benützen, die wir in dem vorhergehenden Kapitel mit der 
Sirene erhielten. Die Saite erzeugt einen Ton, sobald Länge und Span- 
nung so reguliert werden, daß die Schwingungen mit hinreichender 
Schnelligkeit vor sich gehen. Wenn wir bei gleichbleibender Spannung 
die Länge der Saite auf die Hälfte, ein Drittel, ein Viertel, ein Fünftel 



§212 



Freie Schwingungen tönender Körper 



315 





reduzieren, so erhalten wir die Oktave, die Quinte der Oktave, die 
zweite Oktave, die große Terz der zweiten Oktave. Gleichzeitig stehen aber 

die Schwingungszahlen der ^ 

aufeinanderfolgenden Töne in 
dem Verhältnis der Zahlen 

1:2:3:4:5. 
Es ergehen sich daraus für 
die Schwingungszahlen der ge- 
nannten musikalischen Inter- 
valle dieselben Zahlen, wie in 
dem vorhergehenden Kapitel. 
Um mit Hilfe einer 
schwingenden Saite die ab- 
solute Schwingungszahlirgend 
eines musikalischen Tones zu 
bestimmen, benützen wir das 
Monochord (Fig. 227). Eine 
Saite wird in einem festen, 
gegen eigene Schwingungen 
möglichst gesicherten Gestelle 
vertikal aufgehängt und mit 
einem passenden Gewichte 
gespannt. Sodann wird mit 
Hilfe einer verschiebbaren 
Klemme ein Stück von sol- 
cher Länge abgegrenzt, daß 
der von ihm gegebene Ton 
genau ebenso hoch ist, wie 
der zu untersuchende. Die 
Schwingungszahl des Mono- 
chordtones kann nach den 
angeführten Formeln berech- 
net werden, und damit ist 
zugleich die Schwingungs- 
zahl des zu untersuchenden 
Tones bestimmt. Die auf 
diesem Wege gefundenen Re- 
sultate stimmen vollkommen 
mit den früher angeführten 




Fig. 227. Monochord. 



überein. 

Bei den durch ihre Spannung bedingten Schwingungen einer Saite 
stehen die reellen Bewegungen ihrer Teilchen senkrecht zu der Fort- 
pflanzungsrichtung der Welle, der Längsrichtung der Saite. Man be- 
zeichnet eine solche Schwingung, ebenso wie die ihr entsprechende 
Wellenbewegung, als eine transversale. 



316 



Akustik 



213 



§ 213. übertöne. Die im vorhergehenden betrachtete Schwingung 
einer Saite bezeichnen wir als ihre Grundschwingung, den dabei auf- 
tretenden Ton als den Grundton. Bei demselben sind die Endpunkte 
der Saite selbstverständlich Punkte ohne Bewegung, Knotenpunkte, der 
in der Mitte der Saite liegende Punkt ein Punkt größter Bewegung, 
ein Schwingungsbauch. Außer der Grundschwingung können wir nun 
noch eine Reihe höherer Schwingungen erzeugen. 

Wir berühren die Saite in der Mitte mit dem Finger und zupfen 
oder streichen sie in ein Viertel ihrer Länge. Sie schwingt dann so, 

daß in ihrer Mitte sich ein 




2V 

2l 



.n= 



3V 



Fig. 228. Saitenschwingungen. 



weiterer Knoten bildet, wäh- 
rend die beiden Hälften 
stets in entgegengesetzter 
Schwingungsphase sich be- 
finden. Die Länge der 
Saite entspricht jetzt der 
ganzen Wellenlänge, und 

2 v 
2I die Schwingungzahl ist -— , 

wenn / wieder die Saiten- 
länge bezeichnet. In der- 
selben Weise können wir er- 
reichen, daß sich zwischen 
den Enden der Saite 2, 3, 
4 . . . weitere Knoten bilden, 
daß die Saite in drei Dritteln, 
vier Vierteln, fünf Fünf- 
teln . . . schwingt. Wenn wir eine Saite der Reihe nach mit der Grund- 
schwingung, mit zwei, drei, vier, fünf . . . gleichen Teilen schwingen 
lassen, so erhalten wir Töne, deren Schwingungszahlen sich verhalten, 
wie die Zahlen 

1:2:3:4:5: . . . 

Die entsprechenden Schwingungsformen sind durch Fig. 228 dargestellt. 

Die Reihe der Töne, deren Schwingungszahlen durch die ganzen 
Vielfachen der Schwingungszahl des Grundtones gegeben werden, be- 
zeichnen wir als die Reihe der harmonischen Obertöne. Die Saite 
gibt also durch ihre höheren Schwingungsarten die ganze Reihe 
dieser Töne. 

Von der Existenz der Knotenpunkte bei diesen höheren Schwingungs- 
arten kann man sich leicht überzeugen, wenn man in ihnen kleine 
Reiterchen aus Papier auf die Saite setzt. Sie bleiben während der 
Schwingung ruhig liegen, während sie an anderen Stellen durch die Be- 
wegung der Saite sofort abgeschleudert werden. Unmittelbar sichtbar 
kann man die Knoten und Bäuche bei höheren Schwingungen durch 
einen verhältnismäßig langsam in weiten Grenzen schwingenden Kaut- 



§ 215 Freie Schwingungen tönender Körper 317 

schukschlauch machen. Man befestigt das eine Ende und bewegt das 
andere taktmäßig mit passender Schnelligkeit hin und her. Das in 
der Hand gehaltene Ende des Schlauches bildet dabei einen Knoten 
der Schwingung. Daran knüpft sich eine Bemerkung, die auch für 
die Erklärung anderer Erscheinungen nicht ohne Bedeutung ist. Der 
Knotenpunkt ist in unserem Falle nicht ein Punkt ohne Bewegung, 
sondern nur ein solcher, in dem die Amplitude der Schwingung kleiner 
ist, als in den Nachbarpunkten. Es gehen von ihm fortwährend kleine 
Impulse aus, die sich summieren, wenn ihre Periode mit der Eigen- 
schwingung des Schlauches übereinstimmt, und die ihn dann in weite 
Schwingungen versetzen. 

§ 214. Gespannte Membranen. Mit den Schwingungen der Saiten 
stehen in einer gewissen Analogie die Schwingungen gespannter Mem- 
branen, z. B. eines Trommelfelles. Auch bei ihnen rührt die Kraft, mit 
der ein aus der Gleichgewichtslage herausgebogenes Stück der Membran 
in diese zurückgezogen wird, her von der Spannung. Untersucht hat 
man vorzugsweise Membranen von quadratischer und kreisförmiger Ge- 
stalt, die an ihrem ganzen Rande fest eingespannt wurden. Bei der 
einfachsten Schwingungsart bewegen sich alle Punkte der Membran gleich- 
zeitig nach derselben Seite; der erzeugte Ton heißt der Grundton. Zu 
der Grundschwingung gesellt sich dann aber eine große Zahl von höheren 
Schwingungen, bei denen die Membran sich in eine allmählich steigende 
Zahl von schwingenden Abteilungen teilt; dabei sind benachbarte Ab- 
teilungen stets in entgegengesetzter Eichtung bewegt und voneinander 
getrennt durch Knotenlinien, die ein für allemal in Ruhe bleiben. Die 
Lage dieser Knotenlinien kann man sehr schön sichtbar machen durch 
aufgestreuten Sand, der, von den schwingenden Teilen der Membran ab- 
geworfen, in den Knotenlinien sich ansammelt. 

§ 215. Transversalschwingung von Stäben. Wenn wir einen elasti- 
schen Stab, den wir uns nach der einen Seite unbegrenzt denken 
wollen, horizontal aufhängen 
und gegen sein Ende senkrecht 
zu der Längsrichtung einen 
Schlag führen, so biegen wir 
den Stab, und diese Biegung 
wird ähnlich wie eine Welle an 
ihm entlang sich fortpflanzen. 
Die wirksame Kraft entspringt 
dabei der Biegungselastizität. 
Die Bewegung der einzelnen Fig. 229 - 

Teilchen des Stabes ist zu seiner 

Länge, zu der Fortpflanzungsrichtung der Welle senkrecht; die Schwingung 
ist somit, ebenso wie die einer gespannten Saite, eine transversale. Bei 
einem begrenzten Stabe entstehen durch einen Schlag stehende Wellen; 
ebenso, wenn man den in geeigneten Punkten, Knotenpunkten der ent- 




318 



Akustik 



§ 216 



stehenden Schwingung, festgehaltenen Stab an dem einen Ende mit einem 
Violinbogen streicht. Die Reihe der aufeinanderfolgenden Schwingungen 
eines an beiden Enden freien Stabes ist durch Figur 229 anschaulich 
gemacht; man unterscheidet sie am bequemsten durch die Anzahl der 
Knotenlinien, die auf der Länge des Stabes sich bilden. Ihre Lage kann 
wieder durch aufgestreuten Sand sichtbar gemacht werden. Bei jeder 
einzelnen Schwingungsart bezeichnen wir die Gesamtzahl der Knotenlinien 
durch k. Zählen wir die Knotenlinien von dem einen Ende des Stabes an, 
so bezeichnen wir die Nummer, welche eine bestimmte Knotenlinie dabei 
erhält, durch p. Es sei ferner d p der Abstand der Knotenlinie p von 
dem freien Ende des Stabes, l seine Länge, dann gilt wenigstens ange- 
nähert die Gleichung: 



4 p 



l 



4k - 2 



Es ist ferner die zu der Schwingung mit k Knotenlinien gehörende 
Schwingungszahl: 

'2k - 1 \ 2 n a. 



n = 



4E 



Ö 



Hier bezeichnet a die Dicke des Stabes, 4 E den Elastizitäts- 
modul der Biegung in absolutem Maße, S die Dichte des Stabes. Wie 
man sieht, wachsen die Schwingungszahlen im Verhältnis der Zahlen 
9:25:49:... 

§ 216. Stimmgabeln. Wenn man einen Klangstab um seine Mitte 
biegt, so hat das den Erfolg, daß die Knotenlinien zusammenrücken 
(Fig. 230). Durch fortgesetzte Biegung erhält man so aus dem Klang- 





Fig. 230. 



Fig. 231. 



stabe eine Stimmgabel, bei der die beiden Knotenlinien der ersten 
Schwingung an dem unteren Ende der Zinken einander ziemlich nahe 
liegen; die Zinken schwingen gleichzeitig nach innen und gleichzeitig 
naph außen, das untere Ende der Gabel, an dem der sie tragende 



§217 



Freie Schwingungen tönender Körper 



319 



Stiel befestigt ist, schwingt nach unten, wenn die Zinken nach innen, 
nach oben, wenn sie nach außen gehen (Fig. 231). Die höheren Schwin- 
gungen einer Stimmgabel sind schwach uud werden schnell gedämpft; 
man hört in der Regel nur den Grundton. 

Um die Schwingungszahl einer Stimmgabel zu bestimmen, kann 
man die Schwingungen sich selbst auf einen berußten Zylinder auf- 
schreiben lassen, der mit be- 
kannter Geschwindigkeit ge- 
dreht wird (Fig. 232). Man 
befestigt an der einen Zinke 
der Gabel ein Stückchen von 
einer Feder. Schwingt die 
Gabel parallel der Achse 
des rotierenden Zylinders, so 
schreibt sie ihre Schwin- 
gungen in Form einer Sinus- 
linie auf den Zylinder auf; 
aus der Anzahl der auf 
den Umfang des Zylinders 
gehenden Wellen und der 
Umdrehungsgeschwindigkeit 
läßt sich dann die Schwingungszahl der Gabel leicht berechnen. 

§217. Klangscheiben. Eine quadratische Scheibe von Messing, mög- 
lichst homogen, werde durch eine in ihrer Mitte angreifende Klemme in 
horizontaler Lage gehalten. Wenn man die Scheibe in bestimmten Punkten 
ihres Randes festhält und an bestimmten anderen mit dem Violinbogen 
senkrecht zu ihrer Fläche streicht, so kann man eine große Mannig- 
faltigkeit von Schwingungen erzeugen. Wie die Membranen, so teilen 
sich auch die Platten bei ihrer Schwingung in eine gewisse Zahl von 
Abteilungen, von denen immer zwei benachbarte gleichzeitig in entgegen- 
gesetzter Richtung schwingen und durch eine Knotenlinie getrennt sind. 
Diese Linien machen wir ebenso wie bei den Membranen durch auf- 
gestreuten Sand sichtbar, der sich in den Knotenlinien anhäuft. Einige 




Fig. 232. 
Registrierung der Stimmgabelschwingungen. 





J 


V 


-\ 


r 



Fig. 233. CHLADNische Klangfiguren. 

der auf diese Weise zu erzeugenden Figuren sind in Figur 233 dargestellt, 
.man nennt sie nach ihrem Entdecker die Chladnt sehen Klangfiguren. 
Man kann über die Schwingungsarten einer quadratischen Klang- 
platte eine schematische Übersicht gewinnen auf Grund der folgenden^ 
mit den strengen Bedingungen des Problems allerdings nicht vereinbaren 
Vorstellung. Eine solche Platte AB CD (Fig. 234) betrachtet man zu- 



320 



Akustik 



§ 218 



nächst als einen Klangstab, dessen Längsrichtung mit AB zusammen- 
fällt, der aber in der Richtung A D verbreitert ist, so daß seine Breite 
seiner Länge gleich geworden ist. Bei der einfachsten Schwingung ent- 
stehen dann zwei Knotenlinien EF und GH, deren Lage durch das in 
§ 215 angegebene Gesetz bestimmt werden kann. Nun können wir aber 
mit demselben Rechte die Scheibe A B CD als einen Klangstab betrachten, 

dessen Länge durch A D gegeben, der nach A B 

£ jl £ verbreitert ist. Der einfachsten Schwingung 

würden dann die Knotenlinien JK und LM 
ä entsprechen. Im allgemeinen Falle werden die 
beiden genannten Schwingungen gleichzeitig 
vorhanden sein, ihre Ausschläge sich super- 
ponieren. Nehmen wir an, die Phase der Schwin- 
gungen sei entgegengesetzt, d. h. es schwingen 
vermöge der ersten Schwingungsart die in dem 
Di 1 ir £ Streifen EFG ^befindlichen Teilchen nach oben, 

Fig. 234. während zugleich vermöge der zweiten Schwin- 

gungsart die in JKLM befindlichen Teilchen nach 
unten sich bewegen. Es ergibt sich dann, daß alle in den Diagonalen A G 
und BD liegenden Punkte unter der gleichzeitigen Wirkung der beiden 
Schwingungen in Ruhe bleiben, während die zwischen ihnen eingeschlos- 
senen Dreiecke auf- und abschwingen, so daß je zwei benachbarte gleich- 
zeitig entgegengesetzte Bewegungsrichtungen besitzen. Es ergibt sich 
also die erste von den in Figur 233 dargestellten Schwingungen. 

Von besonderem Interesse sind noch die Schwingungen kreis- 
förmiger Platten. Bei ihnen treten zwei Arten von Knotenlinien auf; 
einmal Kreishalbmesser, die nur in gerader Zahl vorhanden sein 
können, da ja benachbarte Abteilungen gleichzeitig immer entgegen- 
gesetzt schwingen; sodann konzentrische Kreise; diese können für sich 
allein nur auftreten, wenn die Mitte der Platte frei ist. Wird diese 
in ihrem Mittelpunkte festgeklemmt, so können Kreise als Knotenlinien 
nur in Kombination mit Durchmessern vorhanden sein. 





Fig. 235. 

§ 218. Glocken. Aus den Schwingungen kreisförmiger Klangj)latten 
können wir die der Glocken durch eine Deformation ableiten, ebenso 



§ 219 Freie Schwingungen tönender Körper 321 

wie wir die Schwingungen der Stimmgabel aus denen des Klangstabes 
entwickelt haben. Die Knotenlinien einer Glocke teilen den Rand in eine 
gerade Zahl von 4, 6, 8, ... Teilen (Fig. 235). Von zwei durch eine 
Knotenlinie getrennten Segmenten schwingt das eine gleichzeitig nach 
innen, das andere nach außen. Die Knotenlinien einer Glasglocke kann 
man sehr schön nachweisen, wenn man diese mit Wasser füllt und den 
Eand mit einem Violinbogen streicht. Von den Schwingungsbäuchen 
gehen Kräuselungen der Oberfläche aus, und wenn man kräftig streicht, 
so erhebt sich das Wasser an den schwingenden Abteilungen in einem 
Sprühregen feiner Tröpfchen. 

§ 219. Longitudinalschwingungen von Saiten und Stäben. Während 
die bisher betrachteten Schwingungen durch die Spannung oder die Ela- 
stizität der Biegung bedingt waren, hängen die im folgenden betrachteten 
von der Elastizität der Dehnung ab. 

Wenn man eine an den beiden Enden festgeklemmte Saite mit einem 
wollenen Lappen, der etwas mit Kolophonium eingerieben ist, der Länge 
nach streicht, so hört man einen hohen, schrillen Ton, der durch eine 
longitudinale Schwingung der Saite erzeugt wird. 

An irgend einer Stelle der Saite sei das elastische Gleichgewicht 
gestört, indem etwa auf der Strecke AB eine Dilatation, auf BC 
eine Kompression bestehe (Fig. 236). Vermöge der Ausdehnungselasti- 
zität suchen sich die auf AB 

voneinander entfernten Quer- -^ | .B c 

schnitte wieder zu nähern, die 



auf B G zusammengedrängten Fig. 236. 

sich wieder voneinander zu 

entfernen. Es ergibt sich daraus eine wellenförmige Ausbreitung der 
erzeugten Veränderung, welche in ihrem Verlaufe mit der Wellen- 
bewegung an einer gespannten Kette die größte Analogie besitzt, un- 
wesentliche Unterschied ist der, daß bei der Kette die reelle Bewegung 
der einzelnen Glieder gegen die Fortpflanzungsrichtung der Welle senk- 
recht steht, während bei der hier betrachteten Bewegung einer Saite die 
reelle Bewegung ihrer einzelnen Querschnitte mit der Länge der Saite, 
der Richtung, in der die Bewegung fortschreitet, zusammenfällt. Die 
Wellenbewegung einer Kette ist transversal, die auf der Ausdehnungs- 
elastizität beruhende einer Saite longitudinal. Für die Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit der longitudinalen Welle ergibt sich der Ausdruck: 

Hier ist E der Elastizitätsmodul der Ausdehnung in absolutem Maße, 
d die Dichte der Saite. Wenn eine Welle an den festen Enden der Saite 
anlangt, so wird sie reflektiert und durch Interferenz reflektierter Wellen 
bildet sich eine stehende Schwingung aus, in ähnlicher Weise, wie dies 
früher bei den transversalen Wellen der Saite gezeigt worden ist. 

Biec'ke, Physik I. Dritte Aufl. 21 



322 Akustik § 219 

Für die stehende Longitudinalschwingung einer Saite ist natürlich 
gleichfalls Bedingung, daß die beiden Enden Knotenpunkte sind. Die 
einfachste Schwingung ist daher die, bei der alle Querschnitte der Saite 
zu gleicher Zeit in gleichem Sinne sich bewegen, also alle von dem Ende 
A nach B, oder nach Verüuß einer halben Schwingung von B nach A 
(Fig. 237). Dabei findet in den Knotenpunkten ein Wechsel der Dichte 

> statt; während die Quer- 

A * Z. ^ KS schnitte von A nach B 

schwingen, 'wird die Saite 
gegen B hin verdichtet, gegen 
A verdünnt ; wenn die Schwin- 
gungsrichtung sich umkehrt, 
so gilt gleiches von der Ver- 

«- > ^ änderung der Dichtigkeit. Die 

Fig. 237. Mitte der Saite bildet die 

Longitudinalschwingung einer Saite. Grenze zwischen den verdich- 

teten und verdünnten Teilen; 
sie behält immer die normale Dichte, ist aber gleichzeitig die Stelle, 
an welcher die Querschnitte der Saite in der lebhaftesten Bewegung 
sind; die Mitte der Saite ist ein Schwingungsbauch. Die Saitenlänge 
entspricht der halben Wellenlänge, und daher ist die Schwingungszahl; 





< — 




+ 


— * 




. >• 




















_ >> 




1« — 


* — 


K " ' " 


X 


X 



n 



21 

Höhere Schwingungsarten erhält man, wenn man die Saite in zwei 
Hälften, drei Dritteln, usw., schwingen läßt; in benachbarten Ab- 
teilungen sind die Bewegungsrichtungen einander entgegengesetzt; sie 
sind voneinander getrennt durch Knoten, Stellen ohne Bewegung, aber 
mit größtem Wechsel der Dichtigkeit. Eine Anschauung von der Reihe 
der Longitudinalschwingungen einer Saite gibt die Figur 237. Die 
ausgezogenen Pfeile sollen die im Augenblicke vorhandenen Schwingungs- 
richtungen darstellen, die gestrichelten, die nach Verlauf einer halben 
Schwingung eintretenden. Die Schwingungszahlen sind gegeben durch 
die Reihe: 

v 2 v 3 v &v 5 v 

~2~T> ~2~T ' TT' TT' ITT ' ' ' 
Die Saite gibt die ganze Reihe der harmonischen Obertöne. 

Ein Gegenstück zu den longitudinalen Schwingungen der Saite bilden 
die eines Stabes, der an seinen beiden Enden frei ist, während er in 
geeigneten Punkten seiner Länge, Knotenpunkten der zu erzeugenden 
Schwingung, festgehalten wird; die Töne werden hervorgebracht dadurch, 
daß man den Stab, ebenso wie zuvor die Saite, mit einem mit Kolophonium 
eingeriebenen Lappen reibt. Der zuerst festhaftende und plötzlich ab- 
reißende Lappen versetzt den Stab in Schwingung. Wenn es aber ge- 
lingt, durch fortgesetzte Reibung den Ton des Stabes mehr und mehr zu 
verstärken, so muß dies darauf beruhen, daß das Anhaften und Abreißen 



§ 220 Freie Schwingungen tönender Körper 323 

des Lappens eben durch die Schwingung zu einem rhythmischen 
Vorgange sich gestaltet, dessen Periode mit der der Stabschwingung 
übereinstimmt, so daß die Kraft der Reibung mit der Bewegung der 
Stabquerschnitte an der geriebenen Stelle jederzeit gleichgerichtet ist. 
Die Bedingung, welche für die Schwingung des Stabes aus der Freiheit 
seiner Enden folgt, ist die, daß die Enden Stellen ohne Änderung der 
Dichte, aber von größter Be- . >. ^ 



< >. 



•< 



wegung sein müssen, Schwin- 
gungsbäuche. Jede Bewegung, 
die mit dieser Bedingung über- 
einstimmt, repräsentiert eine 
mögliche Schwingungsart des 
Klangstabes. Bei der einfachsten — *- < - — > *— 

° , . * * — X 

befindet sich ein Knoten in der « — *• < --• * 

Mitte, bei der zweiten zwei 

Knoten in 1 / 4> und 3 / 4 der Stab- — *• x j — • • — » ■* — - k ■ — *■ 

länge, bei der dritten drei Kno- * "* /* — — > < — 

ten in x / 6 > 3 le> 5 /e> • • ■ Diese An den Enden freier Klangstab. 

Schwingungen sind durch die 

Figur 238 anschaulich gemacht. Die Länge des Stabes entspricht bei 
ihnen 1 j 2 , 2 / 2 , 3 / 2 , 4 / 2 , ... Wellenlängen. Die Schwingungszahlen ver- 
halten sich wie die Reihe der Zahlen 

1:2:3:4:5:... 

Der an beiden Enden freie Klangstab liefert bei Longitudinal- 
schwingungen die ganze Reihe der harmonischen Obertöne. 

Wir gehen endlich noch über zu den Schwingungen eines an dem 
einen Ende eingeklemmten, an dem anderen, freien Stabes. 

Die Bedingung ist, daß das ' 

feste Ende ein Knoten, das * ^ 

freie ein Bauch der Schwingung 

ist. Am einfachsten wird ihr ^ < 

genügt, wenn alle Querschnitte < * > 

des Stabes in gleichem Sinne 

von dem festen Ende weg und — >- < _ - — >. 

wieder zu ihm zurückschwingen. 



<- -> <-- 



Die Länge des Stabes entspricht „. 
dabei dem vierten Teil der An einem Ende fester Klangstab. 
Wellenlänge, die Schwingungs- 
zahl ist n = -^y , wenn l die Stablänge. Die Reihe der möglichen 

Schwingungen ist durch Figur 239 angedeutet; die Schwingungszahlen 
verhalten sich wie die Zahlen 1:3:5:7:... Jeder an einem Ende ein- 
geklemmte, am anderen freie Stab gibt bei Longitudinalschwingungen 
nur die Reihe der ungeraden Obertöne. 

§ 220. Schwingungen der Pfeifen. Die größte Analogie mit den 

21* 



— > "* — 

-< I > 

> I < i - I ,- > 
<- ■ I -> 1 -± 

— ». f < — - T . > - < ■ • ■ 

— -> ^ _ — > 



324 Akustik § 220 

Longitudinalschwingungen der Klangstäbe besitzen die Schwingungen der 
Orgelpfeifen. Nach § 1 7 1 pflanzt sich eine Verdichtung oder Verdünnung, 
die wir in einer von einer Röhre eingeschlossenen Luftsäule erregen, in 

dieser mit der Geschwindigkeit v=y 1 -41—^ — fort, wo|? den Druck, d die 

Dichte der Luft bezeichnet. Wenn die Röhre begrenzt ist, so geben die 
Reflexionen zu der Bildung stehender Wellen Veranlassung, die der Art 

nach mit den Longitudinal- 
schwingungen der Klangstäbe 
vollkommen übereinstimmen. 
Dabei ist zu beachten, daß an 
einem geschlossenen Ende Ver- 
dichtung als Verdichtung, Ver- 
dünnung als Verdünnung re- 
flektiert wird ; an einem offenen 
Ende dagegen tritt an Stelle 
von Verdichtung Verdünnung 
Fig. 240. Offene Pfeife. U nd umgekehrt. 

Die Schwingungen der Luft 
in einer an beiden Enden offenen Röhre, einer offenen Pfeife, 
sind dieselben, wie die eines an den Enden freien Klangstabes. Die 
offenen Enden sind unter allen Umständen Bäuche der Schwingung; die 
Reihe der möglichen Schwingungsarten ist durch Figur 240 gegeben. 
Die ausgezogenen und gestrichelten Pfeile geben die Bew'egungsrichtungen 
der Luftquerschnitte zu zwei um eine halbe Schwingung auseinander- 
liegenden Zeiten, die Querlinien die Knoten der Schwingung. Die Reihe 

der relativen Schwingungs- 
zahlen ist gegeben durch 
1:2:3:4: ... Die offene 
Pfeife gibt die ganze 
Reihe der harmonischen 
Obertöne. 

Die Schwingungen einer 
an dem einen Ende offenen, 
an dem anderenges chloss e- 
nen, einer sogenannten ge- 
deckten Pfeife stimmen 
üb er ein mit den Longitudinal- 
schwingungen eines am einen 
Ende festen, am anderen Ende freien Stabes. Das gedeckte Ende ist 
Knoten, das offene Bauch der Schwingung. Die verschiedenen Schwin- 
gungsarten sind durch die Figur 241 dargestellt. Die Reihe der rela- 
tiven Schwingungszahlen ist 1:3:5:... Die gedeckte Pfeife gibt 
nur die ungeraden Obertöne. 

Bedeutet l die Pfeifenlänge, v die Geschwindigkeit des Schalles, so 



— i >. 

< 

— £ ** — 

> I < - > 



Fig. 241. Gedeckte Pfeife. 



§221 



Freie Schwingungen tönender Körper 



325 



hat der Grundton einer offenen Pfeife die Schwingungszahl n = 



21' 



der 



einer gedeckten, die Schwingungszahl n = 



4/ 



bei gleicher Länge gibt 




Fig. 242. 



die offene Pfeife die Oktave der gedeckten. 

Die Knotenstellen tönender Pfeifen lassen sich nachweisen mit Hilfe 
sogenannter manometrischer Flammen. Aus der Wand der 
Pfeife (Fig. 242) wird ein kreisförmiges Stück heraus- 
geschnitten und durch eine dünne Kautschukmembran ver- 
schlossen. Über der Membran befindet sich eine luftdichte 
Kapsel, in die durch ein Eohr a Gas geleitet werden 
kann, das aus einer feinen Öffnung am Ende des Rohres b 
heraustritt und angezündet wird, so daß es mit einer 
dünnen spitzen Flamme brennt. Wenn an der Stelle der 
Membran ein Schwingungsknoten sich befindet, so wird 
bei jeder Verdichtung die Membran nach außen, bei jeder 
Verdünnung nach innen getrieben; es wird dadurch das 
Gas in der Kapsel gleichfalls in schwingende Bewegung 
versetzt, die sich dem Flämmchen mitteilt und dieses in eine auf- und 
niederhüpfende Bewegung versetzt. Um diese zu erkennen, betrachtet 
man das Bild der Flamme in 
einem Spiegel (Fig. 243), der um 
eine zu seiner Fläche nahezu 
senkrechte Achse rotiert. Das Bild 
der ruhenden Flamme wird durch 
ihn zu einem Ringe ausgezogen, 
das Bild der schwingenden er- 
scheint als eine aus einzelnen 
Flammen gebildete Krone (Fig. 
244). — Wenn man die Luft 
in der Pfeife in sehr starke 
Schwingung versetzt, so wird die 
Flamme an einer Knotenstelle 



r\ 




Fig. 243. Manometrische Flamme. Fig. 244. Kotierender Spiegel, 

unter Umständen völlig ausgeblasen, während sie ruhig weiter brennt, 
wenn an der Stelle der Membran ein Schwingungsbauch sich befindet. 
§ 221. Schallgeschwindigkeit in festen Körpern. Wir haben ge- 
sehen, daß die Schwingungen der Pfeifen der Art nach mit den longi- 
tudinalen Schwingungen der Klangstäbe übereinstimmen ; der Unterschied 



326 Akustik §221 

liegt in der verschiedenen Höhe der Töne, und diese wird durch die 
verschiedenen Werte der Geschwindigkeiten v bedingt. Bei den Pfeifen 
ist v die Geschwindigkeit des Schalles. 

Ebenso stimmt auch in einem stabförmigen festen Körper die Ge- 
schwindigkeit, mit der sich' eine durch Kompression oder Dilatation er- 
zeugte Welle seiner Länge nach fortpflanzt, überein mit der Schall- 
geschwindigkeit. Es wird dadurch die Frage nahe gelegt, ob v bei 
stabförmigen festen Körpern sich nicht in ähnlicher Weise bestimmen 
läßt, wie die Schallgeschwindigkeit in Luft. In der Tat wurde eine 
solche direkte Messung der Schallgeschwindigkeit in Gußeisen von Biot 
ausgeführt. Er benutzte eine eiserne Röhrenleitung von 951 m Länge; 
an dem einen Ende befestigte er eine Glocke und beobachtete dann an 
dem anderen Ende den doppelten^ durch das Eisen und durch die Luft 
fortgepflanzten Schall der angeschlagenen Glocke. Aus der Zeit, die 
zwischen der ersten und der zweiten Wahrnehmung verfloß, konnte die 
Schallgeschwindigkeit im Eisen berechnet werden. Es ergab sich ein 
Wert von 3500 m in der Sekunde. Dieser muß nun übereinstimmen 

mit dem aus der Elastizitätstheorie sich ergebenden v = T/-*— Der 
Elastizitätsmodul des Eisens in absolutem Maße ist nach § 174: 

E=12 800 X 98 100 000 cm- 1 ■ g • sec~ 2 . 
Die Dichte des Eisens setzen wir gleich 7 • 8, dann ergibt sich der aller- 
dings erheblich abweichende Wert v = 4030 Man muß aber be- 

sec 

denken, daß eine wirkliche Vergleichung der Zahlen nur möglich wäre, 
wenn die für Elastizität und Dichte angenommenen Werte mit denen 
jenes Röhrensystems übereinstimmten. Da beide Eigenschaften von der 
spezifischen Beschaffenheit des Eisens in erheblicher Weise abhängig 
sind, so kann eine genaue Vergleichung der beobachteten Schallgeschwin- 
digkeit mit der berechneten durch das Vorstehende nicht gegeben werden. 
Man kann aber die Schallgeschwindigkeit in einem Metallstabe auch aus 
der Höhe der bei Longitudinalschwingungen auftretenden Töne bestimmen. 
Auf diesem Wege hat man für eine Reihe von Metallen die Schallge- 
schwindigkeit gemessen, und die gefundenen Werte stehen mit den aus 
der Elastizität berechneten in einer durchaus befriedigenden Überein- 
stimmung. 

Die Ergebnisse dieser Betrachtungen stehen in einem gewissen Wider- 
spruch mit den Untersuchungen von § 179. Dort haben wir uns mit der 
Fortpflanzungsgeschwindigkeit longitudinaler Wellen in einem elastischen 
Körper beschäftigt, von dem wir annehmen, daß er sich nach allen Seiten 
umbegrenzt ausdehne. Aus den dort angegebenen Formeln ergibt sich für die 



Fortpflanzungsgeschwindigkeit der abweichende Wert 1 / 



E{\—x) 



i(l + x)(l — 2«) ' 

Der Unterschied erklärt sich dadurch, daß bei dem stabförmigen Körper 
die Längsdilatation verbunden ist mit Querkontraktion; Longitudinal- 



§ 223 Freie Schwingungen tönender Körper 327 

wellen in dem unbegrenzten Körper dagegen werden durch rein longi- 
tudinale Verschiebungen erzeugt, ohne sie begleitende transversale. 

§ 222. Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten. Vermöge der Volum- 
elastizität einer Flüssigkeit muß eine an irgend einer Stelle erzeugte 
Kompression zu einer Welle Veranlassung geben, ebenso wie in einem 
Gase oder in einem festen Körper. Für die Fortpflanzungsgeschwindig- 
keit einer solchen Welle ergibt sich auf Grund der allgemeinen Prin- 
zipien der Mechanik der Ausdruck 

Hier bezeichnet G den Kompressionsmodul der Flüssigkeit in abso- 
lutem Maße, ö ihre Dichtigkeit. Der Wert von G folgt aus dem 
Werte dieses Moduls in dem technischen Maße des § 188 durch 
Multiplikation mit 98 100 000; es ergibt sich dies in derselben Weise 
wie in § 174, wenn der Druck in Dynen pro qcm, statt in kg-Gewichten 
pro qmm ausgedrückt wird. Eine direkte Bestimmung der Schallge- 
schwindigkeit in Wasser wurde im Genfer See ausgeführt; an einer Stelle 
war eine Glocke in das Wasser versenkt, an einer anderen ein Höhrrohr. 
Aus der Zeitdifferenz zwischen dem Anschlag der Glocke und der An- 
kunft des Schalles an der [entfernten Stelle ergab sich die Schallge- 
schwindigkeit zu 1435 Setzen wir die Dichte des Wassers gleich 1, 

° sec 

den Kompressionsmodul in absolutem Maße G = 205 x 98 100 000 
cm -1 • g • sec -2 , so ergibt sich als theoretischer Wert der Schallge- 
schwindigkeit in Wasser v = 1410 — , ein Resultat, das mit der Beob- 

sec 

achtung in befriedigender Weise übereinstimmt. 

In Röhren eingeschlossene Flüssigkeitssäulen kann man ebenso in 
stehende longitudinale Schwingungen versetzen, wie Luftsäulen; die Ge- 
setze sind im wesentlichen dieselben, wie die in § 220 für lufterfüllte 
Pfeifen entwickelten. 

Auch hier möge noch auf einen Zusammenhang mit den Betrach- 
tungen von § 179 hingewiesen werden. Setzen wir in der Formel 

v = 1 / —=r- ' , welche dort für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der 

longitudinalen Wellen angegeben wurde, x gleich dem Grenzwert 0*5 
so wird v = y } { n Übereinstimmung mit der für Flüssigkeiten gelten- 
den Formel. Zwischen dem Elastizitätsmodul der Dehnung E und dem 
Kompressionsmodulus C besteht ferner die Beziehung E=3 C(l —2x) 
ist x = ■ o, so wird E = 0, sofern G keinen unendlich großen Wert hat. 

§ 223. Energie einer schwingenden Saite. Von den speziellen 
Untersuchungen der vorhergehenden Paragraphen wenden wir uns zu 
Betrachtungen von allgemeiner Bedeutung, Anwendungen des Energie- 
prinzips auf Wellenbewegungen; wir beginnen mit der Schwingung der 



328 Akustik §223 

Saiten. Uni die in einer schwingenden Saite enthaltene Energie zu 
bestimmen, zerlegen wir sie in einzelne Stücke, deren Länge der Längen- 
einheit gleich, deren Masse m sei. Wenn wir die Masse jedes Stückes 
in seinem Mittelpunkte konzentriert denken, so zerfällt die Saite in eine 
Reihe Ton Massenpunkten, die wie kleine Pendel hin- und herschwingen. 
Die größte Entfernung, die ein solches Pendel von seiner Ruhelage, von 
der durch die ruhende Saite gegebenen geraden Linie, erreicht, nennen 
wir die Amplitude seiner Schwingung. Wir bezeichnen sie durch a, die 
zu irgend einer anderen Zeit vorhandene Abweichung durch x; ist die 
Schwingungszahl der Saite gleich n, so ist die Dauer einer halben Schwin- 
gung, die Schwingungsdauer im Sinne des Pendelgesetzes, gleich — — . 

Nach § 74 ist dann die Geschwindigkeit, mit der sich das betrachtete Ele- 
ment der Saite im Abstand x von seiner Ruhelage bewegt, gegeben durch: 



2n%']/ a 2 — x 2 ■ 
Die lebendige Kraft ist somit: 

2 n 2 % 2 m[a 2 — x 2 ). 

Für die Kraft, mit der ein Pendel im Abstände x von seiner .Ruhelage 
nach dieser zurückgezogen wird, ergibt sich nach § 74 der Ausdruck: 

4 n 2 n 2 mx. 

Wenn das Pendel von der Ruhelage bis zu der Entfernung x be- 
wegt wird, so ist die von jener Kraft geleistete Arbeit gleich 2n 2 n 2 mx 2 . 
Diese hat sich verwandelt in die potentielle Energie oder Spannkraft des 
aus der Ruhelage entfernten Pendels. Der gefundene Ausdruck gilt ebenso 
für das betrachtete Element der Saite. Es ergibt sich somit, daß für 
jedes einzelne Stück der Saite die Summe der lebendigen Kraft und der 
Spannkraft einen konstanten Wert besitzt: 

2 n 2 n 2 m(a 2 — x 2 ) + 2n 2 n 2 mx 2 = 2% 2 n 2 ma 2 . 

Während der Schwingung wechselt die Energie fortwährend ihre Form; 
in dem Moment, in dem die Saite durch ihre Ruhelage geht, existiert 
sie nur in der Form von kinetischer, wenn die Saite ihre größte Schwin- 
gungsweite erreicht hat, nur in der Form von potentieller Energie. Man 
kann die Mittelwerte der beiden Energieformen während einer ganzen 
Schwingung bestimmen; man findet, daß der Mittelwert der kine- 
tischen Energie ebenso groß ist, wie der der potentiellen, so 
daß also beide Mittelwerte durch den Ausdruck 

n 2 n 2 ma 2 

gegeben sind. Wollen wir den Mittelwert der kinetischen oder poten- 
tiellen Energie für die ganze Saite bestimmen, so müssen wir für jeden 
Abschnitt derselben den obigen Ausdruck mit Rücksicht auf die Ver- 
änderung der Amplitude a bilden und alle den einzelnen Abschnitten 
entsprechenden Energiewerte summieren. Die mittlere kinetische und 



§ 225 Freie Schwingungen tönender Körper 329 

ebenso die mittlere potentielle Energie der ganzen Saite wird somit dureh 
eine Summe von der Form 

"^ % 2 n 2 ma 2 

repräsentiert. 

Die Saite hat, wie sich aus der in § 104 und 105 angedeuteten 
Theorie ergibt, bei ihrer Gründschwingung die Form von Berg oder 
Tal einer Wellenlinie. Betrachten wir sie im Momente der größten 
Abweichung von der Ruhelage, so sind die Ordinaten der Welle zugleich 
die Amplituden a der Pendelschwingungen, die von den einzelnen Ele- 
menten der Saite ausgeführt werden. Bezeichnen wir also durch s den 
Abstand eines der Stücke, in die wir die Saite geteilt hatten, von ihrem 
Anfangspunkte, durch l die Länge der Saite, so können wir 

a = A sm % —r- 

setzen. Die einzelnen von uns betrachteten Amplituden a sind so- 
mit alle proportional mit der Amplitude A, die der Mitte der Saite ent- 
spricht. Ihre ganze Energie kann durch den Ausdruck 

TJ = 2 n 2 n 2 m A 2 'N sin 2 it -^- = % 2 n 2 A 2 • m l 

• 

dargestellt werden; sie ist proportional mit A 2 . Bezeichnen wir A, den 
maximalen Ausschlag in der Mitte der Saite, als Amplitude der Schwin- 
gung schlechtweg, so ist die Energie dem Quadrat der Amplitude 
proportional. 

Nun betrachten wir aber die Energie als Maß für die Intensität 
einer Schwingung. Aus dem Vorhergehenden ergibt sich dann, daß 
die Intensität der Schwingung dem Quadrat ihrer Amplitude 
proportional ist. 

§ 224. Zerstreuung der Energie. Wenn eine Saite im Lufträume 
schwingt, so geht von ihr ein ununterbrochener Zug von Wellen aus; 
die Saite überträgt dabei Energie auf die umgebende Luft und in dem 
Maße, in dem die Wellen im Lufträume fortschreiten, breitet sich diese 
Energie über eine immer größere Luftmasse aus. Nach dem Satze von 
der Erhaltung der Energie muß die Energie der schwingenden Saite 
um den Betrag der abgegebenen Energie sinken, die Amplitude der 
Schwingung, mit deren Quadrat die Energie der Saite proportional ist, muß 
abnehmen. Man bezeichnet den Vorgang als eine Zerstreuung der Energie ; 
die Verbreitung der Energie durch die von der schwingenden Saite aus- 
gehenden Tonwellen als Strahlung. Die allmähliche Abnahme der 
Saitenschwingungen, ihre Dämpfung, ist daher nicht bloß eine Folge 
der inneren Reibung, sondern auch der Ausstrahlung ihrer Energie. 

§ 225. Tonstärke. Nach denselben Prinzipien, die wir im vorbei^ 
gehenden angewandt haben, um die Energie einer schwingenden Saite 
zu bestimmen, wird es möglich sein, die Energie einer in der Luft fort- 



330 Akustik § 226 

schreitenden longitudinalen Welle zu ermitteln. Nur wird dabei nicht 
allein die Länge der Welle in Betracht kommen, wie bei der nur nach 
einer Dimension sich erstreckenden Saite. Eine Luftwelle erfüllt im 
allgemeinen das Innere einer Kugelschale, ihre ganze Energie wird durch 
die Summe der kinetischen und potentiellen Energieen all der Teilchen 
dargestellt, die sich im Inneren der Kugelschale befinden. Wir be- 
schränken uns nun auf die Betrachtung eines von der Tonquelle aus- 
gehenden Schallstrahles. In einer größeren Entfernung von der Ton- 
quelle legen wir senkrecht zu ihm eine Fläche f von 1 qcm Inhalt. 
Wenn die Schwingungszahl des Tones gleich n ist, so gehen in 1 sec 
n Wellen durch die Fläche, die dann einen abgestumpften, nach außen 
sich erweiternden Kegel erfüllen, dessen Basis gleich 1, dessen Länge 
gleich der Schallgeschwindigkeit ist. Jede von diesen Wellen führt, 
wenn sie die Fläche f durchdringt, eine gewisse Energie durch sie hin- 
durch. Die ganze Energie, die auf diese Weise in einer Sekunde durch 
die Fläche f hindurchgeführt wird, nennen wir das mechanische 
Maß der Tonstärke an der Stelle von f. Die Länge einer kugel- 
förmigen Luftwelle ändert sich nun nicht bei ihrer Ausbreitung; die 
Räume der Kugelschalen, die von der Welle der Reihe nach erfüllt 
werden, verhalten sich daher wie die Quadrate ihrer Radien; da aber 
die Gesamtenergie der Welle konstant bleibt, so nimmt der Energiegehalt 
gleicher Volumina ab, entsprechend dem umgekehrten Quadrate der Ent- 
fernung von der Tonquelle. Somit ist auch die Energie, welche von jeder 
einzelnen Welle durch die Fläche f geführt wird, dem Quadrate des Ab- 
standes zwischen f und der Tonquelle umgekehrt proportional, und man 
erhält daher den Satz: Die Tonstärke ist dem Quadrate des Ab- 
standes von der Tonquelle umgekehrt proportional. 

Aus Betrachtungen ähnlich denen von § 223 folgt, daß die Energie 
einer Luftwelle, bei gleichem Inhalt des von ihr erfüllten Raumes, dem 
Quadrate der Schwingungsamplitude proportional ist. Wir werden ferner 
annehmen, daß die Amplitude der Schwingung, in welche die Luft- 
teilchen durch einen tönenden Körper versetzt werden, der Schwingungs- 
amplitude des letzteren selbst proportional ist. Darnach wächst die 
Intensität eines Tones proportional mit dem Quadrate der Schwingungs- 
amplitude des tönenden Körpers. 

Durch die im. vorhergehenden gemachte Festsetzung ist ein mecha- 
nisches Maß für die Tonstärke gegeben. Wir müssen davon unterscheiden 
die Stärke der subjektiven Empfindung, das physiologische Maß, welches 
von dem anatomischen Bau des Ohres abhängt. 

§ 226. Die Klangfarbe. Wir haben uns im folgenden mit einer 
merkwürdigen Eigenschaft der Töne unserer Musikinstrumente zu be- 
schäftigen, die man als ihren Klang bezeichnet. Es- scheint zweckmäßig, 
die hierher gehörenden Verhältnisse zunächst an dem Beispiele der Saiten 
zu erläutern. Wenn wir eine Saite an einer beliebigen Stelle, etwa nahe 
ihrem Ende, zupfen oder streichen, so werden wir zunächst ihren Grund- 



§ 226 Freie Schwingungen tönender Körper 331 

ton hören. Wenn wir nun die Saite in ihrer Mitte leicht mit dem 
Finger berühren, so wird die Grundschwingung zerstört, der Grundton 
verschwindet, aber wir hören jetzt die Oktave. Berühren wir die Saite ganz 
leise in einem Drittel ihrer Länge, so erklingt die Quinte der Oktave, in 
einem Viertel, die zweite Oktave u. s. f. Diese höheren Schwingungsarten 
können nicht erst durch das Anlegen des Fingers erzeugt sein, sie müssen 
schon vorher vorhanden gewesen sein. Es ergibt sich also, daß die 
Saite durch eine beliebige Art der Anregung in einen komplizierten 
Schwingungszustand versetzt wird, deD man als eine Superposition der 
verschiedenen einfachen Schwingungsarten ansehen kann, die wir in 
§ 213 betrachtet haben. In der Tat gelingt es nun bei gesteigerter 
Aufmerksamkeit, bei einer beliebigen Erregung der Saite neben dem 
Grundton und zugleich mit ihm auch die harmonischen Obertöne zu 
hören. Wir müssen also dem Ohre die Fähigkeit' zuschreiben, daß es 
die komplizierte Schwingung, wie sie durch die Superposition der ein- 
fachen Schwingungsarten entsteht, in die letzteren aufzulösen, die ihnen 
entsprechende ßeihe von Tönen aus der komplizierten Bewegung der 
Luft herauszuhören vermag. Die Klangfarbe eines Tones würde dann 
eben darauf beruhen, daß zu dem Grundtone Obertöne treten, deren 
Intensitätsverhältnisse im Vergleich mit der Stärke des Grundtones, je 
nach der Art der Erregung, je nach der Befestigung der Saite, in der 
mannigfachsten Weise variieren können. 

Ebenso beruht dann auch der Klang anderer tönender Körper 
darauf, daß sie bei willkürlicher Erregung in einen komplizierten 
Schwingungszustand geraten, der als eine Superposition von einfachen 
Schwingungen mit bestimmten Intensitätsverhältnissen aufgefaßt werden 
kann. Dementsprechend empfindet das Ohr neben dem Grundton eine 
Eeihe von Obertönen, und ihre Vermischung mit dem Grundton bedingt 
den Klang. Vergleichen wir von diesem Gesichtspunkt aus die Töne der 
offenen und der gedeckten Pfeifen, so sehen wir, daß bei den letzteren 
alle geraden Obertöne fehlen, während die offenen Pfeifen alle Obertöne 
besitzen. Der Klang der gedeckten Pfeife ist weicher, aber auch weniger 
voll als der der offenen. 

Beim Klavier pflegt man die Anschlagstelle des Hammers auf 1 / 7 
der Saitenlänge zu richten; es wird so ein Oberton ausgeschlossen, dessen 
Schwingungszahl das Siebenfache von der des Grundtons ist, und der 
dem Klang der Saite eine gewisse Schärfe geben würde. 

Die im vorhergehenden entwickelte Theorie der Klangfarbe steht in 
einer sehr merkwürdigen Beziehung zu einem von Fouelee aufgestellten 
mathematischen Satze. Auf einer Linie (vergl. z. B. Fig. 245) sei eine 
wellenartige Kurve gezeichnet, die sich in Interwallen von der Länge l 
immer in derselben Weise wiederholt; man bezeichnet 1, die Länge der 
kongruenten, sich wiederholenden Stücke, als die Periode der Kurve- 
Diese kann dann durch eine Superposition von einfachen Wellenlinien 
dargestellt werden, deren erste die Wellenlänge l, deren zweite die 



332 Akustik § 226 

Wellenlänge 1 / 2 X, deren folgende der Reihe nach die Wellenlängen 1 / 3 X 
x / 4 X . . . besitzen. . Jede beliebige Kurve von der Periode X kann also 
gewissermaßen in eine Reihe einfacher Wellen aufgelöst werden, für 
deren Amplitudenverhältnisse die Gestalt der ursprünglich gegebenen 
Kurve maßgebend ist. Hiernach kann man auch die komplizierte 




Fig. 245. Harmonische Zerlegung. 

Schwingungsform, die eine Saite bei einer beliebigen Art der Erregung 
annimmt, nach rein mathematischen Gesichtspunkten zerlegen in über- 
einandergelagerte Wellen, deren Länge gleich der doppelten, der ein- 
fachen Saitenlänge, gleich 2 / 3 , 2 / 4 , 2 / 5 ... davon ist. 




Fig. 246. 

In vollkommener Übereinstimmung hiermit übt das Ohr den kom- 
plizierten Bewegungen der Luft gegenüber die Funktion eines harmo- 
nischen Analysators aus, indem es genau die Töne heraushört, welche den 
bei der geometrischen Zerlegung auftretenden einfachen Wellen ent- 
sprechen. Aber in unserem Bewußtsein, in unserem geistigen Ohre, ver- 
schmelzen die verschiedenen Töne, die das körperliche Ohr zu gleicher 
Zeit empfindet, wieder zu einem einheitlichen Ganzen, dem Klang. 



§ 227 Freie Schwingungen tönender Körper 333 

Beispiele sogenannter harmonischer Zerlegungen komplizierterer 
Kurven sind in den Figuren 245 und 246 gegeben. 

§ 227. Die Vokalklänge und der Phonograph. Für die Unter- 
suchung der Vokalklänge besitzen wir ein ausgezeichnetes Hilfsmittel in 
dem Phonographen von Edison. Er enthält zunächst als wesentlichen Be- 
standteil eine mit Paraffin überzogene vollkommen zylindrische Walze, deren 
Achse durch eine Schraubenspindel gebildet wird, so daß sie bei der Dreh- 
ung gleichzeitig in der Richtung der Achse sich verschiebt. Vor der Walze 
befindet sich in einer Fassung, zwischen Kautschukringen eingepreßt, eine 
Glasmembran von 1 / 8 mm Dicke (Fig. 247a). Sie trägt in ihrer Mitte ein 
Metallplättchen, das durch Scharniere mit einem kleinen Meißel verbunden 
ist, der sich gegen die Oberfläche der Walze leicht anlegt. Wenn man 
gegen die Membran singt oder spricht, während die Walze gedreht 
wird, so gräbt das Meißelchen eine Furche in die Paraffinoberfläche, 





Fig. 247 a. Fig. 247 b. 

deren Berge und Täler den Schwingungen der Membran auf das treueste 
entsprechen. Wenn man einen bestimmten Vokal gegen die Membran 
singt oder spricht, so erhält man eine Furche, welche die für den 
Vokalklang charakteristischen Schwingungen durch ihre Höhen und Tiefen 
genau wiedergibt. Man kann nun das gegen die Membran Gesungene 
oder Gesprochene reproduzieren. Zu diesem Zwecke dient eine ähnliche, 
nur noch etwas dünnere Glasmembran (Fig. 247 b); ihre Mitte ist durch 
Scharniere wieder mit einem Hebel verbunden, der aber an seinem Ende 
eine kleine Kugel trägt, die sich genau in die von dem Schreibmeißel 
gegrabene Furche einlegt. Wenn man die Kugel an den Anfang der 
Furche legt und nun die Walze dreht, so gleitet sie über all die Höhen 
und Tiefen der Furche weg; infolge der Hebelverbindimg bringt sie die 
Membran in eine Bewegung, identisch mit der, durch welche die Furche 
erzeugt wurde. Die Membran ihrerseits wird die Luft wieder in die- 
selben Bewegungen versetzen, durch welche sie früher erschüttert wurde 
d. h. sie wird das reproduzieren, was zuvor gegen sie gesprochen oder 
gesungen ward. 

Will man nun die in die Paraffinfläche gegrabenen Furchen be- 
nützen, um die Eigenschaften der Vokalklänge zu untersuchen, so muß 
man vor allem von ihren Höhen und Tiefen, von ihrem ganzen Verlaufe 
ein vergrößertes Bild herstellen, das in all seinen Einzelheiten ausge- 
messen werden kann. Man hat ein solches Bild auf photographischem 



334 



Akustik 



228 



Wege erhalten; den die schleifende Kugel tragenden Hebel verband man 
mit einem Spiegel, der den Hebungen und Senkungen der Kugel ent- 
sprechend nach oben oder unten sich drehte. Von dem Spiegel wurde 

der Strahl einer elektrischen Lampe 
reflektiert; dieser zeichnete dann 
auf einem mit photo graphischem 
Papier überzogenen, gleichmäßig ro- 
tierenden Zylinder die Bewegungen 
der Kugel in vergrößertem Maß- 
stabe. Einige so erhaltene Kurven 
sind in Figur 248 dargestellt; die 
Vokale sind dabei auf den Ton a 
gesungen. Die Ausmessung der Kur- 
ven hat zu den folgenden .Resultaten 
geführt. 

Die Vokale sind dadurch charak- 
terisiert, daß die Obertöne an be- 
stimmten Stellen der musikalischen 
Skala in ganz besonderem Maße ver- 
stärkt werden. Die Grenzen zwischen denen die für die Vokalklänge 
charakteristischen Obertöne liegen, sind in der folgenden Tabelle zu- 
sammengestellt. l 

1. Oktave 2. Oktave 
Cj t 1 ct 2 e 2 




E 



J 



/WWWW\ 



Fig. 248. Phonographische Kurven. 



3. Oktave 4. Oktave 



U 

A 
E 
J 



c 8 -dis 2 
e 2 -gis 2 
d 2 -e 2 



ais 3 — h 3 



e 4 -f 4 . 



Drittes Kapitel. Erzwungene Schwingungen und Resonanz. 

§ 228. Freie und erzwungene Schwingung. Wenn wir irgend 
einen Körper aus seiner Gleichgewichtslage entfernen und dann loslassen, 
oder wenn wir ihm, während er sich im Gleichgewicht befindet, durch 
einen Schlag eine gewisse Geschwindigkeit erteilen, so schwingt er unter 
der Wirkung seiner inneren Kräfte um die Gleichgewichtslage. Eine 
solche Schwingung nennen wir eine freie Schwingung. Ein Körper kann 
aber auch dadurch in Schwingung gebracht werden, daß man von außen 
her eine periodische Kraft auf ihn wirken läßt. Der Körper schwingt 
dann nicht mit der vermöge seiner inneren Kräfte ihm eigentümlichen 
Periode, sondern mit der Periode der äußeren Kraft. Eine solche 
Schwingung nennen wir eine erzwungene. Die erzwungenen Schwin- 



1 L. Hermann, Phonophotographische Untersuchungen. Arch. f. d. ges. Phys. 
Bd. 53. 1892. — F. Auerbach, Die physikalischen Grundlagen der Phonetik. Zeitschr. 
f. franz. Sp. u. Litt. 16. 1894. p. 117. 



§ 229 Erzwungene Schwingungen und Resonanz 335 

gimgen eines Pendels haben wir in den Paragraphen 81 und 82 studiert. 
Die dort gefundenen Gesetze haben eine typische Bedeutung für die 
entsprechenden Probleme der Akustik. 

Eine erzwungene Schwingung einer Saite erhalten wir, wenn wir ihr 
Ende mit der einen Zinke einer Stimmgabel verbinden, deren Schwin- 
gungen bei ihrer überwiegenden Masse durch die Verbindung nicht 
wesentlich verändert werden. 

Ein Beispiel für eine erzwungene Schwingung einer Membran infolge 
von periodischer Änderung des Luftdruckes haben wir in der Membran 
des Phonographen, ebenso in der Platte des Telephons oder dem Trommel- 
fell des Ohres. 

§ 229. Mittönen von Körpern bei synchroner Schwingung. Wir 

lassen auf einen Körper, der eine bestimmte eigene Schwingung besitzt, 
eine periodische Kraft von außen wirken, wie sie etwa durch die von 
einem tönenden Körper ausgehenden Luftwellen erzeugt wird. Der von 
ihnen getroffene Körper, wir nennen ihn den Resonator, wird in eine 
erzwungene Schwingung versetzt, deren Periode mit der des tönenden 
Körpers übereinstimmt. Wir nehmen an, der Eigenton des Resonators 
läge höher als der des tönenden Körpers. Die Periode der äußeren 
Kraft ist dann eine längere, als die der Eigenschwingung. Nun wollen 
wir die Periode der Kraft verkürzen, so daß sie sich der der Eigen- 
schwingung nähert. Wir finden, daß zugleich die Schwingungsamplitude 
des Resonators wächst; sie erreicht ein sehr deutliches Maximum in dem 
Momente, in dem die Periode der Kraft mit der Periode der Eigen- 
schwingung übereinstimmt, in dem die Schwingungen des Resonators mit 
denen des tönenden Körpers synchron sind. Wird die Periode der Kraft 
noch mehr verkürzt, so nimmt die Schwingungsamplitude des Resonators 
wieder ab. Dieses Ergebnis der Beobachtung wird in einer anscheinend 
übertriebenen Weise durch das Resultat der theoretischen Untersuchung 
bestätigt. 

Bezeichnen wir die Amplitude der periodisch wirkenden Kraft mit 

F, ihre Schwingungszahl durch p, die des Resonators mit n, so ergibt 

w 
sich, daß die Amplitude der erzwungenen Schwingung mit 2 _ 2 pro- 
portional ist. Im Falle der synchronen Schwingung, für n=p, würde 
die Amplitude unendlich groß, während sie in Wirklichkeit nur ein 
Maximum erreicht. Der Widerspruch löst sich dadurch, daß in der 
angegebenen Formel die Wirkung der Reibung nicht berücksichtigt ist, 
daß außerdem bei sehr großen Entfernungen von der Ruhelage nicht 
mehr die einfachen Beziehungen zwischen den Deformationen und den 
entsprechenden Reaktionen gelten, die in der Theorie vorausgesetzt sind. 
Ein schönes Beispiel von Mittönen bei synchroner Schwingung liefern 
zwei Stimmgabeln mit genau gleichem Tone. Wenn man sie in einiger 
Entfernung einander gegenüberstellt und die eine streicht, so hört man 
nach wenigen Sekunden die zweite mit erklingen. Es ist dies die Folge 



336 Akustik § 229 

von Druckkräften der Luftwellen, die von der gestrichenen Gabel aus- 
gesandt werden. So schwach auch der von einer einzelnen Welle ausge- 
übte Impuls im Verhältnis zu der großen Masse der resonierenden Stimm- 
gabel sein mag, bei synchroner Schwingung wird die von jedem erzeugte 
Wirkung durch die nachfolgende im rechten Augenblick eintreffende 
Welle verstärkt und so kommt allmählich eine Schwingung von solcher 
Amplitude zustande, daß sie einen deutlichen Ton erzeugt. Ebenso 
vermag ein Knabe, wenn er taktmäßig an dem Seile einer Glocke zieht, 
die zu Anfang kaum merkbaren Schwingungen immer mehr zu verstärken 
bis der Klöppel anschlägt und die Glocke tönt. Ein einzelner Mann ist 
imstande, die enorme Masse einer Gitterbrücke durch taktmäßiges Treten 
in Schwingung zu bringen. 

Um zu zeigen, daß bei synchroner Schwingung die Resonanz ein 
Maximum besitzt, ist es bequemer, bei ungeänderter Tonquelle die Stim- 
mung des Resonators zu ändern. Dies kann man in einfacher Weise 
erreichen, wenn man gedeckte Pfeifen aus Glaszylindern herstellt, die 
mehr oder weniger hoch mit Wasser gefüllt sind. Als Tonquelle benützt 
man Stimmgabeln uud verändert nun durch Zugießen oder Herausnehmen 
von Wasser die Länge der Pfeifen so lange, bis das Maximum der Reso- 
nanz erreicht ist. So finden wir, daß die gedeckten Pfeifen, die auf die 
Stimmgabeln q 1 , e x , g x , a Y im Maximum resonieren, die Länge von 
32, 25»4, 21-4, 19 cm besitzen. Dies sind aber eben die Längen 
der Pfeifen, welche die Töne c 1 , e x , g y} a x bei ihrer Grundschwingung 
geben. Die experimentelle Bestätigung des angeführten Gesetzes ist 
damit geliefert. Es ist nun aber auch nicht schwer, von dem Grunde der 
Erscheinung eine anschauliche Vorstellung zu gewinnen. Betrachten wir 
die Stimmgabel a v so berechnet sich die Länge der von ihr ausgesandten 

Wellen in der Luft nach der Formel X = — zu 76 cm. Trifft der Wellen- 

n 

zug auf eine feste Wand, so wird er ähnlich wie ein Zug von Wasser- 
wellen reflektiert; die Interferenz der direkten und der reflektierten 
Wellen erzeugt eine stehende Schwingung, deren Schwingungsknoten von- 
einander um die halbe Wellenlänge, d. h. um 38 cm entfernt sind; dabei 
wird ein erster Schwingungsknoten jedenfalls in der reflektierenden 
Fläche selber liegen, der erste Schwingungsbauch also um 19 cm von 
der Wand entfernt sein. Wenn nun die reflektierende Wand durch das 
geschlossene Ende einer gedeckten Pfeife dargestellt wird, so findet im 
allgemeinen zwischen der Eigenschwingung der Pfeife, die einen Bauch am 
freien Ende fordert, und der durch die Reflexion erzeugten stehenden 
Schwingung eine Differenz statt; beide Schwingungen haben verschiedene 
Perioden und wirken sich bis zu einem gewissen Grad entgegen. Wenn 
aber die Pfeife selber den Ton a x gibt, so fällt der erste Bauch der durch 
Reflexion erzeugten stehenden Schwingung auf das freie Ende der Pfeife, 
und beide Schwingungen stehen nun in vollkommener Übereinstimmung. 
Zu einer graphischen Darstellung des Vorganges gelangen wir auf 



§ 230 



Erzwungene Schwingungen und Resonanz 



337 



dem folgenden Wege. Wir halten den von der Stimmgabel ausgesandten 
Wellenzug in einem bestimmten Moment fest, etwa in dem Augenblick 
der größten gegenseitigen Entfernung der Zinken; wir ziehen den Schall- 
strahl, der von der Stimmgabel nach der Pfeife hingeht. Senkrecht zu 
diesem tragen wir die Entfernungen auf, welche die Luftteilchen in den 
aufeinanderfolgenden Querschnitten des Strahles gerade von ihren Ruhe- 
lagen besitzen, nach oben, wenn die Verschiebung im Sinne der fort- 
schreitenden Welle erfolgt, nach unten im entgegengesetzten Falle. Der 
augenblickliche Zustand der Luft auf dem Schallstrahle wird dann durch 
eine ihm folgende Wellenlinie anschaulich gemacht (Fig. 249); seine zeit- 
liche Änderung durch die Fortbewegung der Linie im Sinne des ausgezogenen 
Pfeiles mit der Geschwindigkeit des Schalles. Die reflektierende Wand 
befinde sich bei K. Den Vorgang der Reflexion können wir konstruieren 
mit Hilfe der zweiten gestrichelten Wellenlinie, die wir der ankommenden 
entgegen im Sinne des gestrichelten Pfeiles sich bewegen lassen. Man 
sieht, daß bei K, K x , K 2 , K z die entgegengesetzten Elongationen der 
beiden Wellen sich jederzeit kompensieren, weil die Wellen symmetrisch 



•jE—z? 




Fig. 249. Kesonanz einer Pfeife. 

sind zu der reflektierenden Wand; es sind dies Knoten der Bewegung. 
Bei B, B v B 2 dagegen werden bei der Weiterbewegung der Wellen die 
beiden Ordinaten sich abwechselnd nach unten |und oben summieren; 
wir haben hier die Stellen größter Amplitude der Bewegung, die Schwin- 
gungsbäuche. Ist bei K das geschlossene Ende einer gedeckten Pfeife, 
so findet zwischen der durch Reflexion erzeugten stehenden Schwingung 
und der Eigenschwingung der Pfeife Übereinstimmung statt, wenn ihre 
Länge gleich KB\ die Pfeife resoniert mit ihrem Grundtone. Dasselbe 
wäre aber der Fall, wenn die Länge der Pfeife gleich KB l oder KB 2 
gemacht würde. Die durch Reflexion erzeugte Schwingung würde dann 
mit der ersten oder zweiten von den höheren Schwingungsarten der Pfeife 
übereinstimmen, diese resonierte mit ihrem ersten oder zweiten Obertone. 

Die Resonanz einer Luftsäule auf einen Stimmgabelton benützt man 
zur Verstärkung des letzteren. Man setzt die Stimmgabel auf einen 
hölzernen Resonanzkasten, dessen Luftraum auf ihren Ton abgestimmt ist. 

§ 230. Gleichmäßig resonierende Körper. Saiten, wie überhaupt 
Körper von kleiner Oberfläche und Masse, geben, in schwingende Be- 
wegung versetzt, nur wenig Energie an die umgebende Luft ab, erzeugen 

Rieche, Physik I. Dritte Aufl. 22 



338 



Akustik 



§231 



U 



also für sich genommen nur schwache Töne. Man verbindet sie hei den 
musikalischen Instrumenten mit Eesonanzkörpern von größerer Oberfl äche 
die infolge hiervon geeigneter sind, ihre Schwingungen der Luft mitzu- 
teilen. Diese Körper müssen natürlich durch alle Töne des Instrumentes 
gleichmäßig in Mitschwingung versetzt werden, die Resonanz darf von 
ihrer Eigenschwingung nicht abhängig sein. Bei der Violine und dem 
Klavier sind die Resonanzkörper durch elastische Holzplatten dargestellt, 
bei denen infolge der Dämpfung der Einfluß der eigenen Schwingungen 

nicht merklich wird. 

Auch das Trommelfell des Ohres wird durch 
jeden Ton in einem seiner Stärke entsprechenden 
Maße erregt, ohne daß bestimmte Töne bevorzugt 
werden, weil seine Eigenschwingung einer starken 
Dämpfung unterworfen ist. 

Bei den Membranen des Telephons und des 
Phonographen sind die Schwingungszahlen der 
Eigentöne sehr hoch; auch sie geben für Töne 
von erheblich geringerer Schwingungszahl eine 
gleichmäßige Resonanz. 

§231. Zungenpfeifen und Lippenpfeifen. Von 
den vorhergehenden Betrachtungen machen wir 
zunächst eine Anwendung auf die Theorie der 
Pfeifen. Nach der Art der Erregung unterscheidet 
man Zungenpfeifen (Fig. 250) und Lippenpfeifen 
(Fig. 251). Bei den ersteren wird durch den in 
die Pfeife geleiteten Luftstrom zuerst eine me- 
tallene Zunge in Schwingung versetzt, die Pfeife 
resoniert auf den Ton der Zunge. Dabei ergibt 
sich aus den G-esetzen der erzwungenen Schwingung, 
daß die Pfeife nicht genau auf den Eigenton der 
Zunge abgestimmt zu sein braucht; wenn dies 
nicht der Fall ist, so beobachtet man eine eigen- 
tümliche Rückwirkung der Schwingung der Pfeife 
Wenn z. B. der Eigenton der Zunge tiefer ist als 
der der Pfeife, so wird er erhöht; Zunge und Pfeife schwingen vollkommen 
unisono, aber keine mit ihrer eigenen Periode, vielmehr nähern sie sich 
von entgegengesetzten Seiten her einer gewissen mittleren Schwingung. 
Als Zungenpfeife können wir auch den Kehlkopf mit den Stimmbändern 
und den mit ihm zusammenhängenden Lufträumen betrachten. 

Bei den Lippenpfeifen (Fig. 251) dringt aus der Spalte a ein Luft- 
strahl gegen die Lippe b; an dieser bricht sich der Strahl; es würde 
nun ohne die Pfeife ein schwirrendes Geräusch, unter Umständen auch 
ein Ton, der sogenannte Schneidenton, entstehen. Wir können daraus 
schließen, daß der Luftstrahl in einem Zustande mehr oder weniger 
komplizierter Schwingungen sich befindet, deren Perioden im allgemeinen 



lu 



Fig. 250. Fig. 251. 
Orgelpfeifen. 



auf die der Zunge 



§ 232 



Erzwungene Schwingungen und Resonanz 



339 



einem unregelmäßigen Wechsel unterworfen sind. Die Pfeife wählt nun 
aus den mannigfachen Bewegungen diejenige heraus, die mit ihrer eigenen 
Sphwingung übereinstimmt, sie resoniert auf diese. Sie wirkt aber durch 
ihre Schwingung zurück auf die Schwingungen des Luftstrahles, verstärkt 
die mit ihr harmonierende, schwächt die anderen, bis zuletzt Pfeife und 
Luftstrahl in vollkommen übereinstimmender Weise ihre Schwingungen 
vollziehen; der Luftstrom wendet sich dann regelmäßig abwechselnd 
nach innen und außen. 1 

§ 232. Singende Flammen. Von der übereinstimmenden Schwingung 
eines Gasstromes und einer Pfeife kann man sich eine unmittelbare An- 
schauung verschaffen bei den singenden Flammen. 

In eine lange aus einer Blechröhre hergestellte Pfeife ist von 
unten ein Bunsenbrenner mit ziemlich weiter Mündung geschoben; in 
der Wand befindet sich ein Fenster, durch das man die Flamme be- 
obachten kann; sie gerät in unruhiges Flackern und erregt bei passen- 
der Regulierung des Gaszuflusses einen mächtigen Ton in der Pfeife; 
zugleich sieht man in einem rotierenden Spiegel an Stelle 
des zusammenhängenden Lichtkreises, der bei ruhig brennen- 
der Flamme erscheint, eine Reihe von einzelnen durch 
Zwischenräume getrennten Flammenbildern, ähnlich wie bei 
Figur 243. Bei der Schwingung der Luft in der Pfeife wird 
die Flamme durch jede Verdichtung in das Innere des Brenners 
zurückgedrängt und ausgelöscht. Sobald die Verdichtung 
der Welle vorüber ist, bricht der Gasstrom wieder hervor; 
er entzündet sich von neuem, indem in die Öffnung des 
Brenners ein Netz von Platindraht eingelegt ist. So ab- 
wechselnd erlöschend und sich wieder entzündend erregt die 
Flamme einen anhaltenden, starken Ton in der Pfeife, der 
ausgezeichnet ist durch die Fülle der mit dem Grundton 
verbundenen Obertöne 

Kürzere Glasröhren bringt man zum Tönen durch spitze 
Flammen, die durch Brenner mit einer feinen kreisförmigen 
Öffnung erzeugt werden (Fig. 252). Der Ton tritt in der Eegel 
erst auf, wenn man die Flamme durch Drehen des Gashahnes 
auf eine gewisse Höhe herunterdrückt. Wenn aber die, 
Flamme nicht von selbst zu singen beginnt, so resoniert sie, 
sobald der Ton der Pfeife gesungen oder in anderer Weise 
angegeben wird, und die einmal erregte Schwingung hört nicht wieder auf, 
auch wenn der erregende Ton verschwindet. 

Im Anschluß an das Vorhergehende möge noch der freien sensitiven 
Flammen gedacht werden, bei denen in sehr eigentümlicher Weise hervor- 
tritt, wie leicht die Bewegung eines Strahles durch äußere Einwirkungen 



Fig. 252. 



verändert werden kann. Es sind Gasflammen, die aus zylindrischen Bohren 



1 Wachsmuth. Phys. Zeitschr. 1903. p. 743. 



22' 



340 Akustik §233 

mit feiner Öffnung unter erheblichem Drucke hervorströmen, so daß sie 
eine Länge von etwa einem halben Meter erreichen. Wir haben sie 
zu betrachten als Grasstrahlen, die von der umgebenden, ruhenden 
Luft durch eine zylindrische Mantelfläche getrennt sind, jenseits deren 
ein plötzlicher Abfall der Geschwindigkeit eintritt. Die Umhüllungs- 
fläche des Strahles befindet sich wahrscheinlich in einem Zustand, der 
nahe an ein labiles Gleichgewicht grenzt. Dadurch mag es sich erklären, 
daß die Form des Strahles, die Wirbel, in die er sich schließlich auf- 
löst, durch die mit den Schallwellen verbundenen Bewegungen der Luft so 
leicht verändert werden. Es scheint aber nicht leicht, zu einer genaueren 
Vorstellung darüber zu gelangen, wie das plötzliche Zusammensinken 
zustande kommt, das eintritt, wenn man zischt oder gewisse hohe Töne 
erklingen läßt. Die Grundlage für eine dahin gehende weitere Unter- 
suchung wird gegeben durch eine theoretische Untersuchung von Helm- 
holtz über die Verhältnisse in der Grenzfläche zweier Flüssigkeiten, die 
mit verschiedener Geschwindigkeit übereinander strömen. Er hat gezeigt, 
daß der Zustand der geradlinigen Strömung mit ebener Grenzfläche ein 
Zustand labilen Gleichgewichtes ist, der notwendig zu der Bildung von 
Wogen an der Grenzfläche führt. 

§ 233. Resonatoren. Von der Resonanz machen wir eine wichtige 
Anwendung, um aus einem komplizierten Klang die einzelnen Töne 

zu isolieren und zur Wahrnehmung zu bringen. 
Es geschieht dies mit Hilfe der Helmholtz- 
schen Resonatoren (Fig. 253), kugelförmiger 
Pfeifen mit zwei einander diametral gegen- 
überliegenden Offnungen. Von letzteren wird 
die eine an das Ohr gelegt, während durch 
die andere die Verbindung des inneren kugel- 
förmigen Luftraumes mit der äußeren Luft 
Fig. 253. unterhalten wird. Wenn in dem zu unter- 

suchenden Klang der Eigenton des Resonators 
enthalten ist, so wird dieser deutlich ertönen, und mit einer Reihe 
von abgestimmten Resonatoren kann man daher eine vollständige 
Analyse des Klanges ausführen. 

§ 234. KUNDTsche Staubfiguren. Auf der Resonanz beruht noch 
eine von Kundt eingeführte Messungsmethode, die einer ungemein viel- 
seitigen Anwendung fähig ist. Ein Klangstab (Fig. 254) werde in den 




-o 



Fig. 254. 

Punkten K x und K 2 , in 1 j 4t und 3 / 4 seiner Länge in horizontaler Lage 
eingeklemmt, so daß er, wenn man ihn in der Mitte reibt, seinen ersten 
Oberton erklingen läßt. Das Ende des Klangstabes reicht in eine Glas- 
röhre hinein, die an dem anderen Ende durch einen verschiebbaren Kork 



§ 234 Erzwungene Schwingungen und Resonanz 341 

verschlossen ist. Wenn die Länge der Röhre so reguliert wird, daß irgend 
einer ihrer Obertöne mit dem Tone des Klangstabes übereinstimmt, so 
resoniert sie kräftig; die in ihr enthaltene Luft gerät also in eine stehende 
Schwingung, deren Schwingungszahl dieselbe ist, wie die des Klang- 
stabes. Diese stehende Schwingung kann man dann • sichtbar machen, 
wenn man etwas Korkstaub in die Röhre bringt; dieser bildet, wenn sie 
resoniert, eigentümliche quer durch die Röhre sich legende Rippen 
(Fig. 255); wenn die Länge der Röhre ein ganzes Vielfaches einer halben 
Wellenlänge des vom Klangstab erzeugten Tones ist, so wird der Staub 
von den in Schwingung begriffenen Abteilungen zuweilen ganz wegge- 
fegt, so daß er sich in Häufchen an den Knoten sammelt (Fig. 256). 
Immer ist es möglich, durch Messung die Abstände der Bäuche oder 
der Knoten und hieraus die Wellenlänge des betreffenden Tones in der 
Röhre zu bestimmen. Bezeichnen wir die Geschwindigkeit des Schalles 
im Klangstab durch c, seine Länge durch l, so ist seine Schwingungs- 
zahl n = -j- ; ist 1 die Wellenlänge in der von Luft erfüllten Resonanz- 
röhre, v die Schallgeschwindigkeit, so ist die Schwingungszahl auf der 
anderen Seite gegeben durch n = — • Wir haben also die Beziehung 

K 
C V 

~T ~~ T" 

Betrachten wir die Schallgeschwindigkeit v in der Luft als bekannt, so 
ergibt sich aus der Messung von l und X der Wert von c, die Schall- 
geschwindigkeit in dem 

Klangstabe. Aus dieser 
aber und aus der 
Dichte des Stabes kann _. 

r is 1 255 

nach der in § 221 an- 
geführten Formel seine 
Ausdehnungselastizi- 
tät bestimmt werden. 

Füllen wir die Fi g- 25ß - 

Röhre mit einem an- Kutsche Staubfiguren. 

deren Gase, in dem die Geschwindigkeit des Schalles gleich v sein 
möge, so wird die dem Tone des Klangstabes entsprechende Wellen- 
länge eine andere sein, l'. Wir haben dann die Gleichung: 

c v' 

T ~ ~F~ ' 
und daher auch: 

V V 




l V 

Die Schallgeschwindigkeiten in den beiden Gasen verhalten sich wie 
die Wellenlängen, die einem und demselben Tone in beiden entsprechen. 

Wieder können wir die Geschwindigkeit v berechnen, wenn wir die 
Schallgeschwindigkeit in Luft als gegeben betrachten. Aus der Schall- 



342 Akustik § 235 

geschwindigkeit eines Gases kann aber weiter nach der in § 171 an- 
geführten Formel das Verhältnis k der beiden spezifischen Wärmen bei 
konstantem Druck und bei konstantem Volumen gefunden werden. 

An das Vorhergehende schließen wir noch die folgende allgemeine 
Bemerkung. Die von einer Tonquelle ausgehenden Wellen mögen eine 
Reihe verschiedenartiger Mittel durchdringen; die Wellenlängen in diesen 
verhalten sich dann wie die Schallgeschwindigkeiten, da die Schwingungs- 
zahl immer dieselbe, nämlich gleich der des tönenden Körpers bleibt. 

Endlich möge noch erwähnt werden, daß die Schallgeschwindigkeit 
in Luft bei engen Röhren nach, Kundts Versuchen kleiner ist als im 
freien Raum, wesentlich infolge der Reibung. 1 Bei der Bildung der 
KüKDTSchen Figuren dürften die in § 161 untersuchten Kräfte eine 
wesentliche Rolle spielen. 2 

§ 235. Das CoRTlsche Organ. Eine letzte Anwendung machen wir von 
den Gesetzen der Resonanz auf die Lehre von der Tonempfindung. Im 
Ohre befinden sich überaus zahlreiche, mikroskopisch kleine, schwingungs- 
fähige Plättchen, die wie die Tasten eines Klavieres nebeneinanderliegen. 
Am einen Ende sind sie mit den Fasern des Hörnerven verbunden. Helm- 
holtz nimmt an, daß jedes dieser Plättchen auf einen bestimmten Ton 
abgestimmt sei, so daß es nur, wenn dieser erklingt, die zugehörige 
Nervenfaser erregen kann. Bei einem aus den mannigfachsten Tönen zu- 
sammengesetzten Klang wird jeder Ton das auf ihn abgestimmte Plättchen 
in Erregung bringen; man sieht, wie auf diese Weise das Ohr imstande 
ist, die komplizierteste Luftbewegung in ihre einzelnen Teile, in ihre 
einfachen harmonischen Schwingungen zu zerlegen. 



Viertes Kapitel. Erscheinungen der Interferenz und Schwebung. 

§ 236. Nökrembergs Interferenzversuch. Wenn zwei tönende Körper, 
etwa zwei Stimmgabeln, von genau gleicher Tonhöhe gegeben sind, so 
haben die von ihnen ausgehenden Wellen dieselbe Länge. Wenn nun 
an irgend einer Stelle A des Raumes von der einen Gabel her eine Ver- 
dichtung, von der anderen zugleich eine Verdünnung eintrifft, so werden 
die entgegengesetzten Wirkungen sich aufheben; die Luft an der be- 
treffenden Stelle wird weder verdichtet, noch verdünnt werden. Man 
sieht aber leicht, daß, wenn die Wirkungen der beiden Wellenzüge an 
der Stelle A sich einmal zerstören, dies auch in der Folge der Fall sein 
muß; denn nach einer halben Schwingung der tönenden Körper haben 
sich die von ihnen ausgehenden Wellenzüge um eine halbe Wellenlänge 
verschoben; an derselben Stelle, wo vorher eine Verdichtung war, ist jetzt 
eine Verdünnung und umgekehrt, nach einer ganzen Schwingung aber 



1 Eayleich, Theorie des Schalls, übersetzt von Neesen. II. Bd. p. 372. 

2 W. König, Hydrodynamisch-akustische Untersuchungen. Wied. Ann. 1893. 
Bd. 50. p. 639. 



237 



Erscheinungen der Interferenz und Schwebung 



343 



haben die Verdichtungen und Verdünnungen wieder ganz dieselbe Lage 
wie zu Anfang. Hiernach würde also zu erwarten sein, daß in der 
Umgebung zweier gleichschwingender Stimmgabeln gewisse Stellen vor- 
handen sind, wo die Dichte der Luft immer dieselbe bleibt, wo also kein 
Ton zu hören ist. Übrigens ergibt sich aus Betrachtungen, die wir bei 
der analogen Interferenzerscheinung der Optik anstellen werden, daß die 
Schwingungen zweier einfacher Tonquellen nur dann vollständig sich auf- 
heben können, wenn die letzteren voneinander um mindestens eine halbe 
Wellenlänge entfernt sind. In Wirklichkeit gelingt der Versuch, auch 
bei Berücksichtigung dieser Bedingung, nur unvollkommen wegen der 
störenden Wirkung der Reflexionen, die an den Wänden des Beobachtungs- 
raumes stattfinden. Dazu kommt, daß Stimmgabeln im Grunde nicht 
als einfache Tonquellen zu betrachten sind, was deutlich bei dem in 
§ 237 zu beschreibenden Versuch hervortritt. 

Viel sicherer läßt sich die Interferenz zweier Wellenzüge und das 
dadurch bedingte Verschwinden des Tones nach einem zuerst von Nör- 
kembeeg angegebenen Verfahren zeigen (Fig. 257). Man benützt dabei 
nur eine einzige Stimmgabel und läßt den von ihr ausgehenden Wellen- 
zug in eine Röhre eintreten, die sich an der Stelle a in zwei Zweige 
gabelt; die Länge des einen Zweiges a c d von a bis zu der Stelle d der 
Wiedervereinigung macht man um eine halbe Wellenlänge größer als 



d 



a 





Fig. 257. 
Interferenzröhre. 



Fig. 258. 



die des anderen Zweiges a b d. Der durch den längeren Zweig gehende 
Wellenzug wird dadurch um eine halbe Wellenlänge verzögert; wenn an 
der Stelle d durch a b d gerade eine Verdichtung anlangt, so kommt 
gleichzeitig durch a c d eine Verdünnung, und die entgegengesetzten 
Wirkungen zerstören sich, so daß an der Öffnung e kein Ton zu hören 
ist. Sobald wir aber die eine oder die andere Zweigröhre schließen, 
so daß nur ein Wellenzug zum Ohre gelangen kann, tritt der Ton 
hervor. 

§ 237. Flächen der Stille bei einer Stimmgabel. Wilhelm Weber 
hat eine sehr eigentümliche Interferenz erscheinung bei einer Stimmgabel 



344 



Akustik 



§ 238 



beobachtet. 1 Wenn mau eine angeschlagene Gabel über der Öffnung 
eines Resonators dreht, so bemerkt man, daß der Ton in vier Stellungen 
derselben vollkommen verschwindet. Es gehen von den Zinken vier 
Flächen aus, in denen weder Verdichtung noch Verdünnung der Luft 
durch die Schwingung erzeugt wird. Jede dieser vier Interferenzflächen 
bildet einen Teil eines hyperbolischen Zylinders; die vier Brennlinien 
der Zylinder liegen in den vier äußeren Kanten der Stimmgabelzinken 
und die Flächen selbst divergieren in der durch die Linien der Figur 258 
angedeuteten Weise; die Stimmgabel ist dabei auf eine zu ihrer Länge 
senkrechte Ebene projiziert. 

Die Erklärung der Erscheinung muß jedenfalls in dem Umstand ge- 
sucht werden, daß bei jeder Zinke die Luft auf der vorderen und hin- 
teren Seite gleichzeitig in entgegengesetztem Zustande sich befindet; 
immer wird auf der Seite, nach welcher die Zinken sich bewegen, Ver- 
dichtung, auf der entgegengesetzten Verdünnung entstehen; die Flächen, 
in denen diese verschiedenen Zustände sich ausgleichen, müssen Webers 
hyperbolische Interferenzflächen sein. 

§ 238. Schwebungen. Wenn zwei Stimmgabeln genau gleiche Ton- 
höhe haben, so werden sich ihre Töne entweder fortdauernd verstärken 
oder fortdauernd schwächen, je nachdem von Anfang an Verdichtung 
mit Verdichtung oder Verdichtung mit Verdünnung zusammenfiel; immer 
erhalten wir den Eindruck eines vollkommen gleich dahinfließenden 
Tones. Nun wollen wir die eine G-abel nur ganz wenig verstimmen; wir 
hören jetzt den Ton abwechselnd anschwellen und wieder schwächer 
werden und dies bezeichnen wir als Schwebungen oder Stöße des 
Tones. 

Die Schwingungszahl des höheren Tones sei n v die des tieferen n 2 ; 
in einer Sekunde sendet der erstere n 1 , der zweite n 2 Wellen aus, die 
sich in dieser Zeit über eine Strecke von 332 m ausbreiten. Betrachten 
wir den Strahl, der die Verbindungslinie der beiden Gabeln nach außen 






E 



li 



Fig. 259. Schwebungen. 



verlängert, und grenzen wir auf ihm eine Strecke von 332 m ab, so daß 
in ihrem Anfangspunkt A (Fig. 259) eine Verdichtung der einen Gabel 
mit einer Verdichtung der anderen zusammenfällt. In der Figur sind 
die Stellen der größten Verdichtungen durch vertikale. Striche bezeichnet. 
Nun ist die Wellenlänge Z x des höheren Tones in Metern gegeben durch 



1 Wilhelm Weber, Über Unterbrechungen der Schallschichten in der trans- 
versal schwingende Stäbe und Gabeln umgebenden Luft. Werke Bd. I. p. 64. 



§ 238 Erscheinungen der Interferenz und Schwebung 345 

/, = — , die des tieferen durch L = Gehen wir auf dem Strahle 

vorwärts, so treffen wir also zuerst in dem Abstände l x auf die nächste 
Verdichtung des höheren Tones, dann im Abstände l 2 auf die des tieferen; 
gehen wir weiter, so folgt in dem Abstände 2 l x die dritte Verdichtung 
des höheren, im Abstände 2 l 2 die entsprechende des tieferen Tones. 
Wir sehen, daß die Verdichtung des tieferen Tones immer mehr der 
entsprechenden des höheren voraneilt; ist die Entfernung der beiden 
Verdichtungen gerade auf eine halbe Wellenlänge des höheren Tones 
angewachsen, wie bei B, so fällt die Verdichtung des tieferen Tones 
gerade mit einer Verdünnung des höheren zusammen, und die entgegen- 
gesetzten Wirkungen heben sich auf; wir haben dann weder Verdichtung, 
noch Verdünnung, die Stelle B des Strahles kann also auch keine Ton- 
empfindung erzeugen. Weiterhin entfernt sich die Verdichtung des tieferen 
Tones um mehr als eine halbe Wellenlänge von der entsprechenden des 
höheren, sie nähert sich einer Verdichtung des letzteren, deren Ordnungs- 
zahl um eins höher ist; schließlich fällt wieder eine Verdichtung des 
tieferen Tones mit einer des höheren zusammen. Ist G der Punkt, in 



A 



€- 



E- 



t£- 



332 

n,-n. 2 



Fig. 260. 

dem dies der Fall ist, so ist die auf der Strecke A G liegende Wellen- 
zahl des höheren Tones offenbar um eins größer als die des tieferen; 
gehen von dem tieferen Ton x Wellenlängen auf die Strecke A G, so ist 
sie gleich x + 1 Wellenlängen des höheren; wir haben somit: 

AG ~(x+ 1)1 = xL = -^-. 

Tragen wir (Fig. 260) von A aus die Strecken AC — CE= EG = 

332 
G J . . . = der Reihe nach ab , so werden in all den Punkten G, 

n x - n 2 

E, G, J . . . zwei Verdichtungen zusammenfallen, in den zwischen ihnen 
in der Mitte liegenden eine Verdichtung mit einer Verdünnung. Auf 
einer Strecke von 332 m fällt somit (n x — n 2 ) mal Verdichtung mit Ver- 
dichtung und (n l — n 2 ) mal Verdichtung mit Verdünnung zusammen ; das 
erstere bedingt eine Verstärkung, das letztere eine Schwächung der 
Schwingung. Da aber alle auf der Länge von 332 m liegenden 
Wellen in einer Sekunde in unser Ohr gelangen, so werden auch hier die 
Schwingungen der Luft in einer Sekunde (n x — n 2 ) mal eine Verstärkung, 
und damit abwechselnd (w a — n 2 ) mal eine Schwächung erfahren. Es er- 
gibt sich somit, daß die Anzahl der in einer Sekunde erfolgenden Stöße 
oder Schwebungen gleich der Differenz der Schwingungszahlen der zu- 
sammenklingenden Töne ist. Dies kann man leicht durch den Versuch 
bestätigen, wenn man z. B. zwei ^-Gabeln, von denen die eine, nach 



346 



Akustik 



238 



Scheiblees Vorschlag, auf 440, die andere, nach der Pariser Stimmung, 
auf 435 Schwingungen in der Sekunde justiert ist, zusammenklingen läßt, 
oder wenn man von zwei gleichen Stimmgabeln die eine etwa durch 
Ankleben von Wachs ein wenig verstimmt. 

Man kann von den Schwebungen zweier Stimmgabeln ein sehr an- 
schauliches und schönes Bild in der folgenden Weise entwerfen. Wir 

befestigen an den äußeren 
Flächen der Zinken beider 
Gabeln leichte Spiegel, die 
mit den Zinken zusammen 
schwingen (Fig. 2 61). Wenn 
wir auf den Spiegel der 
einen Gabel einen Licht- 
strahl fallen lassen, so wird 
er reflektiert und zeichnet 
solange der Spiegel in 
Ruhe ist, auf einem in 
geeigneter Weise aufge- 
stellten Schirm einen 
hellen Punkt. Versetzen 
wir die Stimmgabel in 
Schwingung, so wird durch 
die Bewegung des Spiegels 
der Punkt in eine Lichtlinie ausgezogen. Nun stellen wir die zweite 
Gabel mit ihrer Längsrichtung und der durch die Mitten ihrer Zinken 
gehenden Ebene der ersten parallel und so, daß der von dieser 
reflektierte Lichtstrahl auf den Spiegel der zweiten Gabel fällt; er wird 
hier, entsprechend der Zeichnung von Figur 261, abermals reflektiert und 
erzeugt auf dem Schirm, der nun auf die andere Seite der Gabeln zu 
stellen ist, wieder einen hellen Punkt, solange beide Gabeln in Ruhe 




Fig. 261. 
Objektive Darstellung der Scbwebungen. 




Fig. 262. Objektive Darstellung der SchwebuDgen. 

sind. Wenn aber beide Gabeln schwingen, so geschieht dies infolge der 
Verschiedenheit ihrer Schwingungszahlen bald im gleichen, bald im ent- 
gegengesetzten Sinne. Demzufolge werden die durch die Reflexion er- 
zeugten Ablenkungen des Lichtstrahles sich abwechselnd summieren und 
kompensieren ; die Lichtlinie auf dem Schirm wird bald sich in die Länge 
dehnen, bald zu einem Punkte zusammenschrumpfen. Noch anschau- 
licher wird das Bild, wenn wir die zweite Gabel leicht hin- und 
herdrehen, so daß der von ihr reflektierte Strahl abwechselnd auf ver- 
schiedene nebeneinanderliegende Stellen des Schirmes fällt; es entsteht 
dann eine aus einer wellenartigen Linie gebildete, leuchtende Spindel 



§ 238 



Erscheinungen der Interferenz und Schwebung 



347 



(Fig. 262), die an den Stellen der Kompensation sich einschnürt, an denen 
der Summation der Wirkungen sich erweitert, und die durch den Wechsel 
der Amplitude, welchen die sie hildenden Einzelwellen zeigen, das An- 
schwellen und Schwächerwerden des Tones anschaulich macht. 

Man kann die zweite Stimmgabel auch so befestigen, daß ihre Längs- 
richtung horizontal wird, wenn die erste Gabel vertikal aufgestellt ist 
(Fig. 263). Wenn man dann den von der ersten Gabel reflektierten 
Lichtstrahl auf den Spiegel der zweiten fallen läßt, so macht sie 
ihn in horizontalem Sinne hin- und herschwingen, sobald sie selbst 
in Schwingung versetzt wird. Wenn beide Gabeln zusammentönen, 
so entstehen aus der Kombination der vertikalen und der horizontalen 
Strahles eigentümliche Lichtkurven, die sogenannten 



Bewegungen 




Fig. 263. LissAjousche Stimmgabeln. 



des 
LissAJOüschen 
Kurven. Man 
kann ihre ver- 
schiedenen For- 
men konstruieren, 
wenn man zwei 
zu einander senk- 
rechte Pendel- 
schwingungen von 

verschiedenem 
Phasen- und Pe- 
riodenverhältnis 
nach dem Prinzip 
der Kombination 
zu einer resul- 
tierenden Bewe- 
gung vereinigt. 

Schwingen die beiden Gabeln vollkommen unisono, so ergeben sich 
je nach der Phasendifferenz die in Figur 264 gezeichneten Kurven. 
Sind die Schwingungszahlen etwas verschieden, so ändert sich die Phasen- 
differenz stetig mit der Zeit; die von den Gabeln erzeugte LissAjousche 
Figur durchläuft der 
Reihe nach vor- und 
wieder rückwärts die 
Formen der Figur 264; 
die gerade Linie erwei- 
tert sich zu einer Ellipse, Fig. 264. 
diese verwandelt sich 

in einen Kreis, der Kreis geht über in eine Ellipse mit umgekehrter Lage 
der großen und kleinen Achse, die Ellipse in eine gerade Linie usw. 
Der Wechsel wird um so schneller, je größer die Differenz der 
Schwingungszahlen, je größer die Zahl der in einer Sekunde erzeugten 
Schwebungen. 




348 Akustik ■ § 239 

Ebenso wie bei Stimmgabeln treten Schwebungen und Stöße natür- 
lich auch auf bei Saiten und Orgelpfeifen, überhaupt immer da, wo zwei 
Töne von wenig verschiedener Schwingungszahl zusammen erklingen. 

§ 239. Kombinationstöne. Die Schwebungen scheinen eine einfache 
Erklärung zu geben für die Tatsache, daß bei dem Zusammenklange 
zweier Töne noch ein dritter gehört wird, dessen Schwingungszahl gleich 
der Differenz ihrer Schwingungszahlen ist. Man muß dann dem Ohre 
die Fähigkeit zuschreiben, durch Schwebungen in ähnlicher Weise affi- 
ziert zu werden, wie durch einzelne Schallwellen; auch Schwebungen 
müßten eine Tonempfindung erzeugen, wenn sie mit solcher Schnelligkeit 
aufeinander folgen, daß sie einzeln nicht mehr wahrzunehmen sind. 

Daß die Erscheinung nicht in so einfacher Weise zu erledigen ist, 
ergibt sich aus dem Umstände, daß bei dem Zusammenklange zweier Töne 
nicht bloß der angeführte Differenzton, sondern wenn auch schwerer 
hörbar noch ein zweiter Ton erklingt, dessen Schwingungszahl gleich der 
Summe der Schwingungszahlen der Grundtöne ist. Durch den Umstand, 
daß die beiden Kombinationstöne besonders deutlich werden, wenn die 
Grundtöne stark sind, wurde Helmholtz auf die Vermutung geführt, daß 
Schwingungen von großer Amplitude nicht mehr dem einfachen Prinzipe 
der Superposition gehorchen, sondern einen komplizierteren Schwingungs- 
zustand erzeugen. Die Vermutung findet eine gewisse Bestätigung in 
der Theorie der erzwungenen Schwingung eines Pendels. Man muß an- 
nehmen, daß die Kraft, welche das Pendel nach seiner Ruhelage zurück- 
zieht, nicht einfach dem Ausschlage proportional sei, sondern ein zweites 
dem Quadrate des Ausschlages proportionales Glied enthalte. Wirken 
dann zwei periodische Kräfte mit den Schwingungszahlen p und q auf 
das Pendel, so gerät dieses in eine Schwingung, die sich aus sechs ein- 
fachen Schwingungen zusammensetzt. Ihre Schwingungszahlen sind, in 
Übereinstimmung mit der akustischen Beobachtung: p, q, 2p, 2q, p -f- q 
und p — q. 

§ 240. Konsonanz und Dissonanz. Wir haben gesehen, daß der 
Zusammenklang zweier Stimmgabeln von etwas verschiedener Schwin- 
gungszahl Schwebungen erzeugt. Diese haben zunächst, solange sie 
nur ein langsames Auf- und Abwogen des Tones, ein leichtes Beben 
oder Erzittern mit sich bringen, durchaus nichts Unangenehmes. Wenn 
aber die Zahl der Schwebungen wächst, so nehmen sie bald den Charakter 
unangenehmer Stöße oder Schläge an, die dem Tone eine gewisse Rauhig- 
keit erteilen; die zusammenklingenden Töne beginnen zu dissonieren. 
Helmholtz nimmt an, daß die Dissonanz am stärksten empfunden wird, 
wenn in einer Sekunde 33 Stöße erfolgen. Wenn nun die beiden Stimm- 
gabeln noch weiter gegeneinander verstimmt werden, so nimmt die Disso- 
nanz allmählich ab ; sie hört gänzlich auf, wenn die' Zahl der Stöße auf 
mehr als 132 in der Sekunde steigt. Zwei reine, von Obertönen freie 
Schwingungen, wie sie mit Stimmgabeln zu erzeugen sind, fließen glatt und 
ohne Dissonanz nebeneinander her, wenn die Differenz ihrer Schwin- 



§ 240 Erscheinungen der Interferenz und Schwebung 349 

gungszahlen größer als 132 ist; sinkt die Differenz unter diesen Betrag, 
so tritt Dissonanz ein, die bei einer Differenz von 33 ihr Maximum erreicht. 

Die Richtigkeit dieser Sätze kann man auch mit Hilfe von zwei 
Pfeifen nachweisen, die den Grundton möglichst frei von Obertönen geben. 
Wenn man die Röhre der einen nach Art eines Ausziehfernrohres ein- 
richtet, so kann man, vom vollkommensten Zusammenklange ausgehend, 
durch allmähliches Ausziehen die schreiendste Dissonanz erzeugen; man 
wird finden, daß bei noch weiterem Ausziehen die Dissonanz schwächer 
wird und schließlich verschwindet, immer vorausgesetzt, daß sich die 
Obertöne nicht in störender Weise geltend machen. 

Vom Standpunkte der in § 235 entwickelten Lehre von den Ton- 
empfindungen aus wird die Erscheinung der Stöße in folgender Weise 
zu erklären sein. Damit Schwebungen oder Stöße empfunden werden, 
müssen die beiden zusammenklingenden Töne ein und dieselbe CoKTische 
Faser erregen. Wir müssen also den CoETischen Gebilden die Fähig- 
keit zuschreiben, nicht bloß durch einen einzigen Ton von ganz bestimmter 
Schwingungszahl erregt zu werden, sondern durch ein gewisses Intervall 
von Tönen mit erst wachsender und dann wieder abnehmender Stärke. 
Zwei benachbarte Töne würden eine bestimmte Faser in intermittieren- 
der Weise erregen, da ihre Wirkungen sich bald unterstützen, bald auf- 
heben, und dies würde die Empfindung der Schwebungen oder Stöße er- 
zeugen. Nehmen wir nun zwei Töne, deren Schwingungszahlen um mehr 
als 132 differieren. Eine von den CoETischen Fasern ist genau gleich 
gestimmt mit dem einen, etwa dem höheren Tone, und besitzt für ihn 
maximale Resonanz ; sie resoniert weniger auf tiefere Töne, um so weniger, 
je größer die Differenz der Schwingungszahlen wird. Bei einer Differenz 
von 132 Schwingungen in der Sekunde müßte die Wirkung des tieferen 
Tones auf die betrachtete Faser so gering sein, daß sie vom Ohre nicht 
mehr empfunden wird, daß Stöße und Dissonanz verschwinden. 

Wenn wir nun auf Grund der vorhergehenden Sätze ein Urteil über 
Konsonanz oder Dissonanz der gewöhnlichen musikalischen Intervalle 
gewinnen wollen, so müssen wir Rücksicht nehmen auf die ganze Reihe 
der Obertöne, die zu den Grundtönen hinzutreten. Selbst wenn die letz- 
teren konsonieren, können durch die Obertöne Dissonanzen hervorgerufen 
werden, die den ganzen Zusammenklang der beiden Töne doch zu einem 
rauhen machen. In den folgenden Tabellen sind für verschiedene 
musikalische Intervalle die Schwingungszahlen der Grundtöne und die 
ihrer Obertöne zusammengestellt; gleichzeitig ist die Differenz der Schwin- 
gungszahlen der Grundtöne angegeben und hinzugefügt, wie oft diese 
Differenz in der ganzen Tonreihe auftritt. Die Tabellen geben, wie man 
sieht, zugleich Aufschluß über Konsonanz und Dissonanz von Tönen, 
die in verschiedenen Oktaven angeschlagen werden, und bei denen die 
Grundtöne an sich nach der HELMHOLTZschen Theorie keine Dissonanz 
erzeugen würden. Die Schwingungszahl des a x ist zu 440 angenommen; 
die Intervalle sind die der diatonischen Tonleiter. 



350 Akustik § 240 



Oktave: 

Grandton 264 528 

1. Oberton 528 1056 

2. „ 792 1584 

3. „ 1056 2112. 

Differenz der Sckwingungszahlen der Grundtöne 264. Kleinste vor- 
kommende Differenz 264. 

Quinte: 

Grundton 264 396 

1. Oberton 528 792 

2. „ 792 1188 

3. „ 1056 1584 

4. „ 1320 1980 
. 5. „ 1584 2376 

6. „ 1848 

7. „ 2112. 

Differenz der Schwingungszahlen der Grundtöne gleich 132; die 
kleinste vorkommende Differenz ist 132 und tritt im ganzen sechsmal auf. 







Quarte: 






Grundton 


264 


352 


1. 


Oberton 


528 


704 


o 


>) 


792 


1056 


3. 


:i 


1056 


1408 


4. 


)> 


1320 


1760 


5. 


' >; 


1584 


2112 


6. 


?) 


1848 


2464 


7. 


?! 


2112 




8. 




2376. 





Die Differenz der Schwingungszahlen der Grundtöne ist 88 und 
diese Differenz wiederholt sich in der ganzen Tonreihe noch viermal. 

Bleibt die Schwingungszahl des einen Tones gleich 264, so ist die 
Schwingungszahl der großen Terz gleich 330, die der kleinen Terz 
gleich 316*8. Die Schwingungszahlen der Grundtöne differieren bei der 
großen Terz um 66, bei der kleinen Terz um 52-8 Schwingungen. Bei 
der großen Terz kommt die Differenz 66 bis zum 8. Oberton noch drei- 
mal vor, bei der kleinen Terz die Differenz 52-8 noch zweimal. 

Wir sehen, daß die Ergebnisse der Analyse vollkommen mit der 
Theorie übereinstimmen, nach der die Dissonanz beginnt, wenn die 
Differenz der Schwingungszahlen kleiner ist als 132, und um so empfind- 
licher wird, je mehr sich die Differenz der Zahl 33 nähert. 

Wenn wir an Stelle der Töne der diatonischen Tonleiter die der 
temperierten Skala setzen, so gestaltet sich das Resultat ganz ähnlich. 
Nur können infolge der unreinen Stimmung schon bei den Quinten 
Stöße auftreten, die dem Zusammenklange eine gewisse Rauhigkeit geben. 



ZWEITER TEIL. 

OPTIK. 



Einleitung. 

§ 241. Allgemeine Aufgaben der Optik. Der ganze Inhalt der 
Physik beruht auf Beobachtungen; diese geben uns Nachricht von Vor- 
gängen, welche an mehr oder weniger entfernten Stellen des Raumes 
sich abspielen. Wir werden daher unwillkürlich zu der Frage gedrängt, 
wie die sinnlichen Empfindungen von jenen Punkten aus erregt und ver- 
mittelt werden. Für die Empfindungen des Ohres haben wir die Frage 
in dem vorhergehenden Buche beantwortet. Die analogen Untersuchungen 
für die Wirkungen des Lichtes bilden einen wesentlichen Teil der Optik. 
Man kann zunächst unbekümmert darum, welches die Natur des Lichtes 
ist, die Gesetze ermitteln, nach denen seine Wirkungen durch den Raum 
hindurch sich verbreiten; ihre Gesamtheit bildet den Inhalt der geo- 
metrischen Optik. Einen zweiten Teil der Optik bildet die Untersuchung 
des Zusammenhanges, der zwischen der physikalischen und chemischen 
Natur der Körper und zwischen der Art des von ihnen ausgestrahlten 
Lichtes besteht, sowie die Erforschung der besonderen Wirkungen, welche 
die Körper auf von außen kommende Lichtstrahlen ausüben, und welche 
sie umgekehrt von ihnen erleiden. Einen dritten Teil bilden die Unter- 
suchungen, die das eigentliche Wesen des Lichtes, den inneren Mechanis- 
mus seiner Ausbreitung zu enthüllen suchen; sie führen zu der alle 
Gebiete gleichmäßig beherrschenden Wellentheorie des Lichtes. 

Lichtwirkungen empfängt das Auge zunächst von den selbstleuchten- 
den Körpern, der Sonne, den Fixsternen, glühenden Körpern. Die in 
einem verdunkelten Zimmer befindlichen Gegenstände sehen wir nicht; 
sie werden erst sichtbar, wenn sie beleuchtet werden. Der Mond, die Pla- 
neten sind an sich dunkel, sie leuchten nur, wenn das Licht der Sonne auf 
sie fällt. Das von einem selbstleuchtenden Körper ausgehende Licht wirkt 
also nicht nur auf das Auge, sondern auch auf andere Körper und be- 
wirkt, daß auch diese Licht aussenden. Die Beobachtungen der Optik 
beziehen sich ebenso auf das von selbstleuchtenden, wie auf das von 
beleuchteten Körpern ausgehende Licht. 

Die Frage nach dem Mechanismus der Lichtwirkung ist vorerst 
nicht Gegenstand der Untersuchung. Nur das möge hervorgehoben 
werden, daß diese Wirkung jedenfalls keine unmittelbare ist. Es folgt 
dies aus der Tatsache, daß viele Körper die Lichtwirkungen aufheben, 
wenn sie zwischen den leuchtenden Körper und den bis dahin beleuch- 
teten treten. Wir nennen solche Körper undurchsichtig, den hinter 
ihnen entstehenden dunkeln Raum ihren Schatten. 




ERSTES BUCH. 

GERADLINIGE AUSBREITUNG, REFLEXION, 
BRECHUNG UND FARBENZERSTREUUNG. 

Erstes Kapitel. Erscheinungen der geradlinigen Ausbreitung. 

§ 242. Geradlinige Ausbreitung des Lichtes. Die Linien, längs 
deren die Lichtwirkungen sich ausbreiten, nennen wir Lichtstrahlen. 
Aus den geometrischen Verhältnissen des Schattens folgt, daß die Licht- 
strahlen gerade Linien sind. Nehmen wir die Lichtquelle als einen 
leuchtenden Punkt L (Fig. 265), so ist der Schatten, den eine in ihrer 

Nähe befindliche Kugel 
auf einen weißen Schirm 
wirft, ein Kreis, oder 
bei schiefer Stellung des 
^-<C_ [ J II Schirmes, eine Ellipse. 

Allgemein stellt sich der 
Schatten als Durchschnitt 

•cv OCK c , i ... eines Kegels dar, dessen 

h ig. 26o. bchlagschatten. . _ ö ' 

Spitze in dem leuchten- 
den Punkte L liegt, dessen Mantellinien durch die von L aus an 
die Kugel gezogenen Tangenten gebildet werden. Die den Schatten- 
kegel begrenzenden Linien können aber keine anderen sein, als die den 
Rand der Kugel streifenden Lichtstrahlen; sind die Grenzlinien gerade, 
so gilt gleiches von den Strahlen. 

Etwas komplizierter sind die Verhältnisse des Schattens, wenn die 
Lichtquelle nicht ein Punkt, sondern eine ausgedehnte Fläche ist. Für 
jeden ihrer Punkte erzeugt dann die Kugel einen besonderen Schatten- 
kegel. Aus der Durchkreuzung dieser Kegel entstehen in dem Räume 
hinter der Kugel eigentümliche Beleuchtungsverhältnisse, die wir etwas 
genauer zu untersuchen haben. Wir halten uns dabei an das spezielle 
Beispiel von Sonne und Mond. An die beiden Körper legen wir die 
gemeinsamen Berührungskegel BA C und D JE, die nach ihren Scheitel- 
punkten als die Kegel A und J" bezeichnet werden mögen (Fig. 266). 
Für die Punkte einer hinter dem Monde verlaufenden Linie KL, etwa 
einer Strecke der Erdbahn, ergeben sich dann die folgenden Verhältnisse. 
In allen Punkten von K bis a, bis zu dem Mantel des Kegels ./, ist die 
Sonne vollständig sichtbar, diese Punkte werden also von dem Lichte der 
ganzen Sonne getroffen. Tritt der Beobachter in den Kegel / bei a ein, 
so verschwindet ein Teil der Sonnenscheibe und dementsprechend wird 



§ 242 



Erscheinungen der geradlinigen Ausbreitung 



353 




Fig. 266. 



auch die Beleuchtung schwächer. In dem Momente, in dem der Beob- 
achter bei ß in den Kegel A gelangt, verschwindet die Sonne vollständig 
und es tritt Dunkelheit ein, bis bei ß' der Rand des Kegels A wieder 
erreicht wird; bei weiterem Fortschreiten nimmt die Helligkeit zu, bei 
u am Rande des Kegels J leuchtet wieder die ganze Scheibe der Sonne. 
Den kegelförmigen Raum FAQ, in den gar kein Licht eindringt, nennt 
man den Kern schatten des Mondes; er ist umgeben von dem Halb- 
schatten AFa und AG d ', in dem von außen nach innen ein allmählicher 
Übergang von vollkommener Helligkeit zu völligem Dunkel sich vollzieht. 

Liegt die Linie k 

KL hinter A, so 
fällt der Kern- 
schatten fort; in 

den Punkten, 
welche in dem 
Scheitelkegel des 
Kernschattens lie- 
gen, bleibt ein ring- 
förmiger Teil der 
Sonne sichtbar. 

Die vorher- 
gehende Betrach- 
tung enthält zugleich die Grundlage der Theorie der Sonnenfinsternisse; 
die Übereinstimmung der berechneten Eintrittszeiten mit den beobachteten 
liefert einen weiteren Beweis für die geradlinige Ausbreitung des Lichtes. 

Von anderen Erscheinungen und Beobachtungen, die auf der gerad- 
linigen Ausbreitung des Lichtes beruhen, betrachten wir noch die Ent- 
stehung optischer Bilder durch kleine Offnungen. In der Wand 
eines verdunkelten Raumes 
(Fig. 267) befinde sich eine 
kleine Öffnung etwa in Form 
eines Quadrates. Jeder Punkt 
eines außerhalb befindlichen 
Gegenstandes sendet durch 
die Öffnung einen dünnen 
Lichtkegel in den Raum hinein 
und beleuchtet auf der gegen- 
überliegenden Wand einen 
kleinen quadratischen Fleck, 
ein vergrößertes Abbild der 
Öffnung. Die so erleuchteten Quadrate müssen sich an der Wand not- 
wendig in derselben Weise aneinanderreihen, wie die Licht aussendenden 
Punkte an der Oberfläche des Gegenstandes. Sie entwerfen also in ihrer 
Gesamtheit ein Bild des Gegenstandes, das aber kein scharfes sein kann, 
da jeder Punkt des Objektes im Bilde zu einer kleinen quadratischen 

Eiecke, Physik I. Dritte Aufl. 23 




Fig. 267. 



: ;| WSMD 




Fig. 268. 



354 Optik § 243 

Scheibe ausgedehnt erscheint. Überdies ist, wie man leicht sieht, in 
dem Bilde oben und unten vertauscht, dasselbe ist ein umgekehrtes. 

§ 243. Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes. Die Entdeckung, 
daß das Licht mit einer gewissen endlichen Geschwindigkeit sich fort- 
pflanzt, machte der Astronom Römer um das Jahr 1675 bei Gelegenheit 
einer Untersuchung über die Umlaufszeiten der Jupitermonde; diese 
lassen sich sehr einfach bestimmen, wenn man die aufeinanderfolgenden 
Zeiten beobachtet, zu denen die Monde in den Schatten des Jupiter ein- 
tauchen (Fig. 268). Aus einer großen Menge von Beobachtungen, die 
in den verschiedensten Positionen der Erde und des Jupiter angestellt 
worden waren, hatte Cassini jene Umlaufszeiten bestimmt; für den ersten 

der Monde fand er eine solche 
von l 3 / 4 Tagen. Nun beobachtete 
Römer eine gewisse Unregel- 
mäßigkeit der Umlaufszeit, die 
mit der Bewegung der Erde 
zusammenzuhängen schien. Er 
fand die Umlaufszeit zu groß, 
wenn die Erde sich von dem Jupiter entfernte, also an der Stelle A, zu 
klein, wenn sie sich ihm näherte, d. h. in B. Nur in den Stellungen 
der Opposition und Konjunktion, in denen eine merkliche Änderung in 
der Entfernung der Planeten während eines Mondumlaufes nicht eintritt, 
ergab sich die Umlaufszeit in Übereinstimmung mit dem von Cassini be- 
stimmten mittleren Werte. Römer erklärte diese Verschiedenheiten durch 
die Annahme einer endlichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes. 
In der Tat, wenn das Licht eine bestimmte Zeit braucht, um von dem 
Jupiter nach der Erde zu gelangen, so sehen wir in einem bestimmten 
Augenblicke nicht das, was gleichzeitig auf dem Jupiter geschieht, son- 
dern das, was sich eine gewisse Zeit früher dort ereignet hatte; wir 
sehen also die Immersion des Mondes in den Schattenkegel nicht in dem 
Augenblicke, in dem sie wirklich stattfindet, sondern später und zwar um 
so mehr, je weiter die Erde von dem Jupiter entfernt ist, je längere Zeit 
das Licht gebraucht, um von dem Jupiter auf die Erde zu gelangen. 
In der einen Quadratur, an der Stelle A ihrer Bahn, entfernt sich die 
Erde von einer Immersion des Mondes zu der anderen um 6301)00 Meilen 
vom Jupiter; die Beobachtung der zweiten Immersion muß dadurch ver- 
zögert werden um die Zeit, die das Licht zu der Durchlaufung jener 
630 000 Meilen nötig hat. Umgekehrt nähert sich die Erde an der 
Stelle B während eines Mondumlaufes dem Jupiter um 630 000 Meilen; 
die Beobachtung der zweiten Immersion wird dadurch verfrüht, und die 
Zwischenzeit zwischen beiden Beobachtungen, die scheinbare Umlaufszeit 
des Mondes, wird verkürzt. Es ergibt sich so, daß die von Römer be- 
obachteten Abweichungen in der Tat durch die Annahme einer end- 
lichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes ihre Erklärung finden. 
Zu einer Beobachtungsmethode, die eine genauere Bestimmung der Licht- 



§ 243 Erscheinungen der geradlinigen Ausbreitung 355 

geschwindigkeit ermöglicht, führt die folgende Überlegung (Fig. 269). 
Wir lassen Sonne und Jupiter zunächst in Opposition treten, die Stellung 
in der Erde und Jupiter auf demselben von der Sonne ausgehenden 
Radius Vektor sich befinden. Die bezüglichen Positionen der beiden 
Planeten in ihren als Kreise gezeichneten Bahnen mögen durch E x und 
J x bezeichnet werden. Bei dieser relativen Lage beobachten wir den 
Zeitpunkt einer ersten Immersion des Mondes in den Jupiterschatten 
Wir warten dann ab, bis Sonne und Jupiter in Konjunktion treten, bis 
also Erde und Jupiter in entgegengesetzten Punkten E 2 und J 2 eines durch 
die Sonne gezogenen Radius Vektors sich befinden. .Da die Umlaufszeit 
des Jupiter nahezu 12 Jahre beträgt, so hat die Erde von E x bis E 2 12 / 22 
ihrer Bahn, der Jupiter von J x bis J 2 a / 22 seiner Bahn zurückgelegt. 
Gleichzeitig hat der Mond 112 Umläufe um 
den Jupiter vollzogen. Wir beobachten die 
Zeit, wenn er nun zum 113-ten Male in den 
Schatten des Jupiter eintaucht. Bei dieser 
Beobachtung ist aber die Erde um den 
ganzen Durchmesser der Erdbahn weiter von 
dem Jupiter entfernt; der Augenblick des 
Eintritts erscheint also verzögert um die 
Zeit, die das Licht gebraucht, um jenen 
Durchmesser zu durchlaufen. Die Zwischen- 
zeit zwischen der Beobachtung der ersten Yi°-, 269. 
Immersion in E x und der 113-ten in E 2 ist 

gleich der Zeit von 112 Mondumläufen vergrößert um die Zeit, die das 
Licht zum Durchlaufen des Durchmessers der Erdbahn gebraucht Wir 
warten nun weiter, bis Jupiter und Erde die mit J x J 2 und E x E 2 gleichen 
Bogen J 2 J 3 und E 2 E 3 zurückgelegt haben, Sonne und Jupiter wieder 
in Opposition sich befinden. In der Zwischenzeit haben abermals 112 
Mondumläufe stattgefunden und wir beobachten nun den Zeitpunkt der 
225-sten Immersion; dieser erscheint verfrüht, weil die Erde dem 
Jupiter um den ganzen Durchmesser der Erdbahn näher gerückt ist. 
Die Zwischenzeit zwischen der Beobachtung der 113-ten Immersion in 
E 2 und der 225-sten in E s ist gleich der Zeit von 112 Mondumläufen 
vermindert um die Zeit, die das Licht zum Durchlaufen des Erd- 
bahndurchmessers gebraucht. Tatsächlich zeigt sich nun, daß die 
Zeit zwischen der Beobachtung der ersten und 113-ten Immersion um 
33,2 Minuten größer ist, als die Zeit zwischen der Beobachtung der 
113-ten und 225-sten. Die Hälfte der Differenz, 16,6 Minuten, muß 
die Zeit sein, die das Licht zu der Durchlaufung des Erdbalmdurch- 
messers gebraucht. Setzen wir den letzteren gleich 40 000 000 Meilen, so 

ergibt sich die Lichtgeschwindigkeit gleich : ~^^~~ > a l so nahezu gleich 

40 000 geographischen Meilen oder gleich 298 000 km in der Sekunde. 

Eine zweite Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit ergibt sich aus 




23 



* 



356 Optik § 243 

der von Bbadley im Jahre 1726 entdeckten Aberration der Fixsterne. 
Beadley ging aus von einer Bemerkung, die mit der Frage nach der 
Entfernung der Fixsterne von der Erde auf das engste zusammenhängt. Bei 
der Erläuterung seines Gedankenganges sehen wir der Einfachheit halber 
von der Rotation der Erde ab ; wir denken uns, daß sie einfach parallel mit 
sich selber die Sonne umlaufe. Wenn nun ein Fernrohr dauernd auf einen 
bestimmten Fixstern eingestellt bleiben soll, so muß die Richtung seiner 
Achse offenbar in dem Maße geändert werden, in dem die Erde in ihrer 
kreisförmigen Bahn fortschreitet. Betrachten wir, dem unmittelbaren 
Gefühle folgend, den Raum, in dem das Fernrohr aufgestellt ist, als 
ruhend, so wird umgekehrt der Stern im Laufe eines Jahres scheinbar 
eine geschlossene Bahn beschreiben, deren Durchmesser um so größer 
ist, je kleiner seine Entfernung von unserem Sonnensystem, um so kleiner, 
je größer jene Entfernung. Wenn der Durchmesser der Erdbahn der 
Entfernung des Sternes gegenüber verschwindet, so bleibt die Richtung 
des Fernrohres stets dieselbe, und ist keine scheinbare Bewegung des 
Sternes zu beobachten. In der Tat hat Beadley von der gesuchten 
Bewegung keine Spur entdeckt. Die große Mehrzahl der Sterne ist so 
weit entfernt, daß die Unterschiede in der Richtung des Fernrohres, 
welche durch die jährliche Bewegung der Erde bedingt werden, voll- 
kommen verschwindende sind. Nur bei wenigen Sternen ist es mit den 
vollkommeneren Hilfsmitteln einer späteren Zeit gelungen, die Divergenz 
zu messen. Sie erreicht in einem Falle nahezu den Betrag von 1", in 
den übrigen ist sie höchstens gleich l f 2 ". 

Beadley fand nun aber eine andere scheinbare Bewegung der Fix- 
sterne, die abhängig ist von der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des 
Lichtes, und die man als Aberration bezeichnet. 

Das Verständnis der Erscheinung wird erleichtert, wenn man sich 
den Lichtstrahl in eine Reihe einzelner Elemente aufgelöst denkt, die 
mit der Geschwindigkeit des Lichtes in der geraden Richtung des Strahles 
sich bewegen. Welches die Natur dieser Elemente sei, lassen wir vor- 
erst ganz unentschieden; man kann an materielle Teilchen denken, die 
von den leuchtenden Körpern ausgeschleudert werden, oder an Wellen, 
die sich in der Richtung der Strahlen fortpflanzen. Es soll nun das 
Fernrohr so gestellt sein, daß ein Fixstern gerade in seiner Mitte er- 
scheint, daß seine Achse die Sehlinie nach dem Sterne bildet. Betrachten 
wir unter diesen Umständen den Strahl, der das Ende der Fernrohrachse 
trifft; in einem bestimmten Augenblicke liegt eines von den Elementen, 
die dem Strahl entlang sich bewegen, gerade in dem Endpunkte der Achse; 
es bleibt dann auch bei seiner weiteren Bewegung auf der Achse ; denn die 
Richtung, in der es zum Auge gelangt, ist die Richtung, in der wir den 
Stern sehen, die Richtung der Fernrohrachse. Würde die Erde in Ruhe 
sein, so würde die hierin liegende Bedingung erfüllt, wenn die Fernrohr- 
achse mit der nach dem Stern gehenden Geraden zusammenfiele; anders, 
wenn die Erde sich bewegt. Um das Verbleiben des in der Strahlrich- 



243 Erscheinungen der geradlinigen Ausbreitung 357 



tung weitereilenden Elementes auf der Fernrohrachse zu ermöglichen, 
müssen wir diese gegen den Strahl neigen. Wenn wir auf den Augen- 
blick die Vorstellung adoptieren, daß die Elemente der Strahlen durch 
materielle, in geradliniger Wurfbewegung begriffene Teilchen repräsentiert 
seien, können wir dies leicht durch eine Analogie beweisen. Wir setzen 
an Stelle des Sternes eine Regenwolke, aus der bei windstillem Wetter 
die Tropfen senkrecht herabfallen; der Beobachter in einem mit voller 
Geschwindigkeit fahrenden Eisenbahnzuge sieht dann die Tropfen in 
einer gegen die vertikalen Fensterrahmen geneigten Richtung sich be- 
wegen. Wollte er mit dem Wagen eine Röhre so verbinden, daß die 
Tropfen durch sie hindurchfielen, ohne die Wände zu berühren, so dürfte 
er sie nicht in vertikaler Stellung befestigen, sondern müßte sie, im Sinne 
der Bewegung, nach vorwärts neigen, ebenso wie bei unserer astrono- 
mischen Beobachtung die Achse des Fernrohres. 

Die Größe der Neigung kann in der folgenden Weise durch Kon- 
struktion bestimmt werden (Fig. 270). Es sei AE die Bewegungsrich- 
tung der Erde, EA die Richtung des von dem Sterne auf das Fernrohr 
fallenden Strahles; GH sei die gegen die Strahlrichtung geneigte Fern- 
rohrachse. Das Lichtelement, das in einem 
bestimmten Augenblick in H eintrifft, bewegt 
sich mit Lichtgeschwindigkeit längs HA weiter. 
Soll dasselbe stets auf der Fernrohrachse HG 
bleiben, so muß diese durch die Erdbewegung 
in demselben Maße vorgeschoben werden, in 
dem jenes Element längs HA vorwärts eilt. 
Es sei das Lichtelement gelangt bis a; ziehen 
wir ay parallel zu AE, so ist y der Punkt der 
Fernrohrachse, der durch die Erdbewegung Fig. 270. 

nach a geführt wird; er kommt in demselben 

Augenblicke nach a, wie das Element des Lichtstrahles, wenn der Weg 
Ha vom Lichte in derselben Zeit durchlaufen wird, wie der Weg y a von 
der Erde, wenn sich also Ha verhält zu y a wie Lichtgeschwindigkeit 
zur Erdgeschwindigkeit. Nun verhalten sich auch die Strecken HA und 
GA wie Ha und y a. Auch die Wege HA und GA werden somit vom 
Licht und von der Erde in gleichen Zeiten zurückgelegt, das Ende G 
der Fernrohrachse trifft in A zugleich mit dem Lichtelement ein, und dieses 
bleibt während seiner ganzen Bewegung auf der Achse des Fernrohres. Die 
erforderliche Neigung selbst aber wird gefunden durch Konstruktion eines 
Dreieckes, das ähnlich ist dem Dreieck G AH. Von diesem ist gegeben 
der Winkel G AH zwischen der Erdbahn und der Richtung des Licht- 
strahles und das Verhältnis der Seiten HA und GA gleich dem Ver- 
hältnis von Lichtgeschwindigkeit zu Erdgeschwindigkeit. Das hiernach 
konstruierte Dreieck enthält an seiner Spitze H den gesuchten Neigungs- 
winkel. Er ist am größten dann, wenn der Winkel F A E ein rechter 
ist, er ist gleich Null, wenn der Stern in der Richtung der Erdbahn liegt. 




358 



Optik 



§243 




Fig. 271. 



Aberration. 



Wenn aber die Achse eines Fernrohres, das auf einen bestimmten Stern 
eingestellt wird, im Sinne der augenblicklichen Bahngeschwindigkeit der 
Erde gegen die Verbindungslinie zwischen Erde und Stern gedreht ist, 
so ändert sich seine Richtung mit der Richtung der Erdbahn. Es ent- 
steht so der Schein, als ob der Stern selbst am Himmel sich bewegte, 
und diese Bewegung ist es, die wir als Aberration bezeichnen. Die 
Art der Bewegung ergibt sich leicht mit Hilfe der Figur 271. Es sei 

*S die Sonne, die Ellipse gebe eine per- 
spektivische Ansicht der kreisförmig ge- 
dachten Erdbahn; F sei ein Fixstern, A 
der ihm nächste, C der entfernteste Punkt 
der Erdbahn, BD der zu SF senkrechte 
Durchmesser. Die Figur hat einen rein 
schematischen Charakter; denn in der Wirk- 
lichkeit werden die Differenzen der Ent- 
fernungen AF, CF und BF oder DF den 
Entfernungen selbst gegenüber verschwin- 
dend klein sein; die Erdbahn würde dem- 
entsprechend durch einen mikroskopisch 
kleinen Kreis um S dargestellt werden. Der 
Stern erscheint stets verschoben in der 
Richtung der Bewegung, also in der Rich- 
tung der Tangente der Erdbahn. Für die betrachteten Stellen ergeben sich 
darnach die Visierlinien Au, Bß, Cy und D §. Die Sache verhält sich so, 
als ob der Stern in einer der Ekliptik parallelen Ebene einen Kreis a ß y S 
durchliefe. Aus der im vorhergehenden gegebenen Konstruktion des 
Neigungswinkels ergibt sich, daß der Winkel, unter dem der zu SF 
senkrechte Durchmesser a y erscheint, für alle Sterne derselbe ist. Da- 
gegen wechselt die scheinbare Größe des Durchmessers ß 8 mit der Höhe 
des Sternes über der Ekliptik. Für einen Stern im Pole der Ekliptik bleiben 
die beiden Durchmesser gleich; für einen in der Ekliptik selbst auf SA 

liegenden Stern fällt der Durch- 
messer ß d in die Richtung SA] 
der Winkel, unter dem er von A 
oder C aus erscheint, ist Null, 
und an Stelle des von dem Fern- 
rohr im allgemeinen beschriebenen 
elliptischen Kegels tritt der von 
den Richtungen Au und Gy ge- 
bildete Winkel. 
Wir haben so die Erscheinungen der Aberration aus der gegebenen 
Geschwindigkeit des Lichtes entwickelt; man kann natürlich auch um- 
gekehrt die Messung der Aberration zu einer Bestimmung der Lichtge- 
schwindigkeit benützen. Betrachten wir der Einfachheit halber einen in 
der Ekliptik liegenden Stern (Fig. 272). Das auf ihn eingestellte Fern- 




Fig. 272. 




§ 244 Erscheinungen der geradlinigen Ausbreitung 359 

röhr wird an der ihm nächsten Stelle A die Richtung A a, au der fern- 
sten Stelle C die Richtung Cy besitzen. Nach den Beobachtungen von 
Beadley schließen die Richtungen einen Winkel von 40-9", jede der- 
selben mit SF einen Winkel von 20-45" ein. Wenden wir dies an auf 
die Konstruktion des Dreieckes G AH (Fig. 273); dasselbe besitzt bei A 
einen rechten Winkel. Der Winkel an der Spitze H ist gleich 20-45"; 
daraus folgt, daß die Seite AH 10090 mal größer ist als GH. Die 
Seiten A H und G H verhalten sich aber wie Licht- 
geschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit der 
Erde. Die erstere ist somit gleich 10090 x 29-61, 
d. h. gleich 298800 Kilometer in der Sekunde, 
ein Wert, der sich genau in derselben Weise aus Fig. 273. 

der Aberration irgend eines anderen Fixsternes 

ergeben würde. Das Licht aller Fixsterne verbreitet sich also mit der- 
selben Geschwindigkeit durch den Raum. Die nahe Übereinstimmung 
des gefundenen Wertes mit dem aus der Verfinsterung des Jupitermondes 
abgeleiteten zeigt, daß dieselbe Geschwiudigkeit auch dem von seiner 
Oberfläche reflektierten Sonnenlichte zukommt. 

Ihre Ergänzung finden diese Ergebnisse in einer Untersuchung von 
Fizeau, dem es gelang, die Lichtgeschwindigkeit durch Beobachtungen 
an der Oberfläche der Erde zu bestimmen. Das Prinzip, auf dem seine 
Versuche beruhten, war folgendes: Durch die Lücke zwischen zwei 
Zähnen eines gezahnten Rades hindurch wird ein Lichtstrahl gesandt, 
der nach Durchlaufung eines nahezu 9 km langen Weges durch einen 
Spiegel in sich selbst reflektiert wird. Bei ruhendem Rade geht der 
Strahl wieder durch die Lücke durch. Man kann ihn von dem aus- 
gesandten Strahle trennen, wenn man hinter der Lücke eine planparallele 
Glasplatte unter einem Winkel von 45° gegen die Strahlrichtung auf- 
stellt; der zurückkehrende Strahl wird dann von ihr seitlich reflektiert. 
Nun werde das Rad gedreht und zwar mit einer solchen Geschwindig- 
keit, daß der zurückkehrende Strahl gerade den der Lücke folgenden 
Zahn auf seinem Wege findet. Er gelangt dann nicht mehr zu der 
reflektierenden Glasplatte, und das zuvor helle Gesichtsfeld wird dunkel. 
Mißt man die hierzu erforderliche Rotationsgeschwindigkeit, kennt man 
den vom Lichte durchlaufenen Weg, sowie die Breite der Zähne und 
Lücken, so kann man die Lichtgeschwindigkeit berechnen. Die von Coenu 
nach der geschilderten Methode wiederholten Messungen haben für die 
Lichtgeschwindigkeit den Wert von 300 000 km in der Sekunde ergeben. 
§ 244. Beleuchtungsstärke und Lichtstärke. Denken wir uns einen 
leuchtenden Punkt umhüllt von einer Kugel, deren Halbmesser gleich 
1 m ist, so wird eine auf ihr befindliche Fläche von 1 qcm Inhalt eine 
bestimmte Menge von Lichtstrahlen auffangen. Vergrößern wir den Halb- 
messer der Kugel auf 2 m, so werden dieselben Lichtstrahlen nun auf 
eine viermal größere Oberfläche sich verteilen, die Zahl der auf 1 qcm 
fallenden Strahlen ist also viermal kleiner als in der Entfernung von 




360 Optik § 244 

1 m. Bezeichnen wir als Beleuchtungsstärke die Strahlenmenge, 
die auf 1 qcm fällt, so ist diese Stärke in der doppelten Entfernung 
viermal kleiner; allgemein ist sie dem Quadrate der Entfernung um- 
gekehrt proportional, wobei vorausgesetzt ist, daß die Beleuchtung selbst 
eine senkrechte ist. 

Stellen wir eine beliebige Fläche AB (Fig. 274) so, daß sie in 
schiefer Richtung von den Strahlen eines leuchtenden Punktes L ge- 
troffen wird, so sind sämtliche auf die 
Fläche fallenden Strahlen eingeschlossen 
in dem Kegel ALB, der den leuchten- 
den Punkt mit dem Rande der Fläche 
verbindet. Konstruieren wir einen senk- 
**&■ 274, rechten Durchschnitt CD dieses Kegels, 

indem wir von L aus eine Kugelfläche 
beschreiben, deren Halbmesser gleich ist der mittleren Entfernung der 
Fläche AB von L, so hat CD notwendig einen kleineren Flächeninhalt 
als A B. Auf ein Quadratzentimeter von A B fällt somit eine kleinere 
Menge von Lichtstrahlen als auf 1 qcm von CD, die Beleuchtungsstärke 
ist für eine gegen die Strahlenrichtung geneigte Fläche kleiner als für 
die senkrecht getroffene; sie ist proportional dem Sinus des Winkels der 
Strahlen gegen die Fläche. 

Auf den vorhergehenden Sätzen beruht die Photometrie, die Yer- 
gleichung der Lichtstärken verschiedener Lichtquellen, wobei wir als Maß 
der Lichtstärke die in der Entfernung von 1 m bei senk- 
rechtem Strahleneinfall entwickelte Beleuchtungsstärke be- 
trachten. Um die Vergleichungen in einheitlicher Weise durchführen zu 
können, kann man die Lichtstärke einer bestimmten Lichtquelle als Ein- 
heit wählen; hierzu dient die Normalkerze aus Paraffin mit einem Durch- 
messer von 2 cm und einer Flammenhöhe von 5 cm oder die Amylacetat- 
lampe bei einer Dochtdicke von 8 mm und einer Flammenhöhe von 4 cm; 
ihre Lichtstärke verhält sich zu der der Normalkerze wie 1:1-2. Die Stärke 
einer beliebigen Lichtquelle drückt man dann durch die Zahl der Normal- 
kerzen aus, die an ihre Stelle gesetzt werden müssen, um eine Beleuchtung 
von gleicher Stärke zu erzeugen. Das Prinzip, nach dem eine Intensitäts- 
vergleichung praktisch ausgeführt werden kann, ergibt sich aus der folgen- 
den Betrachtung. Die Lichtstärke der Normalkerze sei J n , der zu unter- 
suchenden Lichtquelle /. Wir suchen zwei Abstände r n und r der beiden 
Lichtquellen von einer und derselben Fläche so zu bestimmen, daß sie von 
beiden gleich hell senkrecht beleuchtet wird. Dann haben wir nach dem 
ersten Gesetze: 



j J n 



also J = J 

v 2 7 n r 

' n * n 



In der Entfernung von 1 m erzeugt somit das gegebene Licht dieselbe 

r 2 
Beleuchtung wie eine Zahl von — 7i Normalkerzen, allgemein erzeugen 

diese letzteren dieselbe Helligkeit wie das zu untersuchende Licht, wenn 



§ 244 



Erscheinungen der geradlinigen Ausbreitung 



361 



sie an seine Stelle gesetzt werden. Die zu bestimmende Lichtstärke be- 

trägt - Normalkerzen. 

r n - 

Hinsichtlich der praktischen Ausführung der Messungen begnügen 
wir uns mit der Erwähnung der Apparate von Rumeord und von Bunsen. 
Bei dem Photometer von Rumford (Fig. 275) ist vor einen weißen Schirm 
ein undurchsichtiger Stab 
gestellt. In einige Entfer- 
nung von dem Schirme setzt 
man die zu untersuchende 
Lichtquelle und die Normal- 
kerze; dann beleuchtet die 
erstere das von der Normal- 
kerze entworfene Schatten- 

bild des Stabes, die letztere 
den der Lichtquelle ent- 
sprechenden Schatten. Wer- 




Fig. 275. Rumfords Photometer. 



den die Entfernungen der Lichtquelle und der Kerze von dem Schirme 
so reguliert, daß die beschatteten Flächen gleich dunkel erscheinen, so 
ergibt sich die gesuchte Lichtstärke nach der vorhergehenden Formel. 
Das Photometer von Bunsen beruht auf der folgenden Beobachtung. 
Auf ein Stück weißen Papieres macht man in der Mitte einen Stearin- 
fleck. Stellt man ein Licht hinter das Papier, so erscheint der Fleck hell 
auf dunklerem Grunde, stellt man das Licht vor das Papier, so erscheint 
der Fleck dunkel auf hellem Grunde. Während hinter dem Papiere ein Licht 
von beliebiger aber konstanter Stärke brennt, bringt man das Licht, dessen 
Stärke gemessen werden soll, vor das Papier in eine solche Entfernung r, 
daß der Fleck eben verschwindet. Nach Wegnahme des zu untersuchen- 
den Lichtes führt man denselben Versuch mit einer Normalkerze aus. 
Hat man den Fleck bei der neuen Entfernung r abermals zum Ver- 
schwinden gebracht, so ist das Papier jetzt ebenso hell beleuchtet wie 

vorher durch das Licht. Die Stärke des letzteren ist wieder gegeben 

r i 
durch den Bruch — = ■ 

r„ 2 

Wir haben gesehen, daß die Beleuchtungsstärke abhängt von dem 
Winkel, unter dem die beleuchtete Fläche von den Strahlen getroffen 
wird. Ein ähnliches Gesetz gilt in vielen Fällen für die Emission 
des Lichtes durch eine leuchtende Fläche. Die Sonne erscheint 
wenigstens der oberflächlichen Beobachtung als eine gleichmäßig helle 
Scheibe. Würden die einzelnen Teile ihrer Oberfläche nach allen Rich- 
tungen hin gleichviel Strahlen aussenden, so müßten von dem Rande 
verhältnismäßig mehr Strahlen ins Auge dringen, als von der Mitte, der 
Rand müßte heller erscheinen. Da eine solche Zunahme der Helligkeit 
mit bloßem Auge nicht wahrzunehmen ist, 1 so müssen die am Rande 



1 Vgl. A. M. Clerke, Geschichte der Astronomie während des 19. Jahrhunderts. 
Berlin 1889. p. 281. 



362 Optik § 245 

liegenden Teile der Sonnenoberfläche bei gleicher Fläche weniger Strahlen 
in der Sehrichtung aussenden, als die in der Mitte liegenden. Die 
Intensität der Strahlen muß kleiner sein, wenn sie in schiefer Richtung 
die leuchtende Fläche verlassen, denn unter der Voraussetzung einer 
homogenen Beschaffenheit der Sonnenoberfläche ist der Unterschied der 
Richtung der einzige, der zwischen dem Rand und der Mitte besteht. 
Die Sonne, wie jeder zum Glühen erhitzte Körper, sendet nicht bloß 
Licht, sondern auch Wärme aus. Die Untersuchungen über Wärme- 
strahlung haben zu der Erkenntnis geführt, daß Wärme- und Licht- 
strahlen ihrer Natur nach identisch sind, daß der Unterschied nur auf 
der verschiedenen Empfindlichkeit unserer Nerven beruht. Wärme haben 
wir als eine Form der Energie kennen gelernt, gleiches gilt danach vom 
Lichte, und ein leuchtender Körper gibt ebenso Energie an den um- 
gebenden Raum ab, wie ein tönender. Auf Grund dieser Bemerkungen 
können die im vorhergehenden angeführten Sätze schärfer formuliert, es 
kann auf ihnen eine allgemeine Theorie der Strahlung aufgebaut werden, 
von der wir in späteren Abschnitten noch einzelne Sätze besprechen 
werden. 

Zweites Kapitel. Reflexion des Lichtes. 

§ 245. Diffuse und regelmäßige Reffexion. Ein nicht selbstleuchtender 
Körper wird sichtbar, wenn er beleuchtet wird. Er sendet dann nach allen 
Richtungen des Raumes Lichtstrahlen aus, die aber mit dem auffallenden 
Lichte nicht mehr identisch sind, sondern modifiziert durch die Natur 
des Körpers. Wir bezeichnen diese Strahlen als die diffus reflek- 
tierten; sie machen uns den Körper in seiner eigentümlichen Gestalt 
und Farbe von allen Seiten sichtbar, wenn weißes oder gleichfarbiges 
Licht auf ihn fällt; dagegen reflektiert ein Körper kein diffuses Licht, er 
erscheint schwarz, wenn er von Strahlen getroffen wird, deren Farbe von 
seiner eigenen verschieden ist, z. B. ein roter Körper von grünen Strahlen. 

Ein hiervon wohl unterschiedener Vorgang ist die regelmäßige 
Reflexion, die um so mehr hervortritt, je glatter die Oberfläche des von 
den Lichtstrahlen getroffenen Körpers ist. Sie ist aber auch bei matten 
Flächen, z. B. bei mattgeschliffenem Glase, zu beobachten, wenn die Licht- 
strahlen nahezu streifend auf die Fläche fallen. Bei der regelmäßigen 
Reflexion werden die Strahlen nur nach einer Richtung zurückgeworfen, 
ohne daß ihre Beschaffenheit eine Veränderung erleidet; lassen wir 
Sonnenlicht auf einen horizontal gehaltenen »Spiegel fallen, so erzeugen 
die regelmäßig reflektierten Strahlen einen hellen Fleck an der Decke 
oder der Wand des Zimmers; sie zeigen im Spiegel den leuchtenden 
Körper selbst, nur in einer durch die Reflexion veränderten Richtung. 

§ 246. Das Refiexionsgesetz. Um das Gesetz, nach dem die Richtungs- 
änderung der Strahlen bei der regelmäßigen Reflexion erfolgt, bequem 
ausdrücken zu können, hat man die folgenden Definitionen eingeführt. 



§ 247 



Reflexion des Lichtes 



363 



Dabei ist vorausgesetzt, daß die reflektierende Grenzfläche eine Ebene 
sei. Den Punkt E (Fig. 276), in dem sie von dem einfallenden Licht- 
Strahle LE getroffen wird, nennt man den Einfallspunkt, eine in 
diesem auf der Ebene errichtete Senkrechte 
E N das Einfallslot, die durch einfallen- 
den Strahl und Einfallslot gelegte Ebene 
die Einfallsebene, den Winkel des ein- 
fallenden Strahles mit dem Einfallslote den 
Einfallswinkel, den Winkel des reflek- 
tierten Strahles ER mit dem Lote den 
Reflexionswinkel. Für die Richtung 




Fig. 276. 



des reflektierten Strahles ergibt sich nun 
das Gesetz: 

1. Der reflektierte Strahl liegt in der Einfallsebene auf 
der entgegengesetzten Seite des Einfallslotes, wie der ein- 
fallende Strahl. 

2. Der Reflexionswinkel ist gleich dem Einfallswinkel. 
Den schärfsten Beweis für die Richtigkeit des Gesetzes kann man 

mit Benützung eines Quecksilberhorizontes geben (Fig. 277). Ein 
um eine horizontale Achse A 
drehbares Fernrohr wird auf 
einen beliebigen Fixstern ge- 
richtet, in passendem Abstand 
wird eine flache mit Queck- 
silber gefüllte Schale aufge- 
stellt ; bei einer Drehung nach 
unten erscheint dann das von 
dem Quecksilberhorizonte re- 
flektierte Bild des Sternes im 
Gesichtsfelde. Der direkt in 
das Fernrohr fallende Strahl 
S A liegt somit in einer verti- 
kalen Ebene mit dem reflek- 
tierten Strahl E A. Der auf den Horizont fallende Strahl SE ist aber 
parallel mit SA und liegt somit gleichfalls in der durch EA gehenden 
Vertikalebene, d. h. in der Einfalls ebene; der erste Teil des Satzes ist 
damit bewiesen. Ziehen wir weiter durch A eine vertikale Linie UV, 
wie sie praktisch durch die Normale des Quecksilberhorizontes gegeben 
ist, so ist der Winkel SA V gleich dem Einfallswinkel SEN, der Winkel 
EAU gleich dem Reflexionswinkel AEN. Die Gleichheit der Winkel 
VA S und UAE ist mit Hilfe eines vertikalen von der Achsel getragenen 
Teilkreises leicht zu prüfen, aus ihr folgt aber dann unmittelbar die 
Gleichheit von Einfallswinkel und Reflexionswinkel. 

§ 247. Der ebene Spiegel. Unter den mannigfachen Folgerungen 
und Anwendungen, zu denen das Reflexionsgesetz Veranlassung gibt, 




Fig. 277. 



364 



Optik 



§ 248 




Fig. 278. Ebener Spiegel. 



lieben wir zuerst hervor die Theorie des ebenen Spiegels (Fig. 278). Die 
Lichtstrahlen, die von einem vor ihm befindlichen leuchtenden Punkte A 
auf den Spiegel fallen, werden so reflektiert, daß ihre Rückverlängerungen 
sich in einem Punkte schneiden, der symmetrisch zu A hinter der Ebene 
des Spiegels gelegen ist. Wenn die reflektierten Strahlen ins Auge ge- 
langen, so erwecken sie durch ihre 
Richtung den Anschein, als ob der 
leuchtende Punkt in Ä sich befände. 
Wir nennen daher Ä das Bild des 
Punktes A. Wenn der letztere einem 
ausgedehnten Gegenstande, etwa dem 
Pfeile A B angehört, so wiederholt 
sich dasselbe bei den Strahlen, die 
von den übrigen Punkten von A B 
ausgehen; die ihnen entsprechenden 
Bildpunkte werden sich zu einem 
Bilde AB' des Pfeiles aneinander- 
reihen, das hinter der Ebene des 
Spiegels symmetrisch zu diesem ge- 
legen ist. Die Punkte von Ä B' sind 
nicht wirkliche Ausgangspunkte von Lichtstrahlen, sondern nur Schnitt- 
punkte ihrer geometrischen Rückverlängerungen; wir bezeichnen daher 
das Bild Ä B' als ein scheinbares oder virtuelles, im Gegensatze zu 

den reellen optischen Bil- 
dern, deren einzelne Punkte 
Durchkreuzungspunkte wirk- 
licher Lichtstrahlen sind. 

§ 248. Messung eines 
Prismenwinkels. Eine wichtige 
Anwendung findet das Re- 
flexionsgesetz bei der Messung 
eines Prismenwinkels. Wir 
verstehen in der Optik unter 
einem Prisma ein Stück eines 
durchsichtigen Körpers, das 
zwei eben geschliffene Flächen 
besitzt. Die Linie, in der 
sich diese Flächen schneiden, 
■nj nennt man die Kante, den 
Winkel, den sie miteinander 
bilden, den Winkel des 
Prismas. Um diesen Winkel zu bestimmen, stellt man das Prisma auf 
ein horizontales Tischchen so, daß die Kante vertikal steht. In großer 
Entfernung befinde sich in der Höhe des Prismas ein leuchtender 
Punkt L. Sind L M und L N zwei Strahlen, die horizontal auf die Seiten- 




Fig. 279. 



§ 249 



Reflexion des Lichtes 



365 



flächen AB und CB des in Figur 279 in einem Horizontalschnitt ge- 
zeichneten Prismas fallen, so findet man, daß der Winkel RDS, den 
die reflektierten Strahlen RM und S N miteinander bilden, gleich dem 
doppelten Prismenwinkel ist. Die Richtungen RM und SN sind aber 
diejenigen, in denen das Bild des leuchtenden Punktes in den beiden 
Prismenflächen erscheint. Verbindet man das Tischchen mit einem um 
die vertikale Achse desselben drehbaren Fernrohr, so kann man dieses 
zuerst auf das in AB, dann auf das in CB reflektierte Bild einstellen; 
der Winkel, um den dabei gedreht wird, ist das Doppelte des Prismen- 
winkels. 

§ 249. Winkelmessung mit Spiegel und Skale. Eine dritte An- 
wendung, die in der messenden Physik eine große Rolle spielt, besteht 
in der Messung kleiner Drehungen durch die Ablenkung eines 
reflektierten Lichtstrahles. Der Punkt A (Fig. 280) stelle eine zu 
der Ebene der Zeichnung senkrechte Achse vor, die infolge irgend welcher 
Umstände kleinen Drehungen unterworfen 
ist. Um diese zu beobachten, verbinden 
wir die Achse mit einem Spiegel S T, dessen 
Ebene durch die Achse hindurchgeht oder 
ihr wenigstens sehr nahe liegt. Lassen wir 
auf den Spiegel einen Lichtstrahl LA von 
unveränderlicher Richtung fallen, so wird 
er bei der gegebenen Lage des Spiegels 
reflektiert nach A B\ dreht sich die Achse und 
der mit ihr verbundene Spiegel um den 
Winkel cc, so dreht sich die Spiegelnor- 
male um denselben Winkel NAN' = a\ der 
Einfallswinkel wächst um a, der Winkel zwischen dem einfallenden und 
reflektierten Strahl um BAB' = 2u. Der reflektierte Strahl dreht sich 
in demselben Sinne, aber in doppeltem Maße, wie die reflektierende 
Fläche. Die Drehung des reflektierten Strahles wird gemessen, indem 
man ihn auf einen Maßstab fallen läßt und die Teilstriche B und B' be- 
obachtet, die vor und nach der Drehung von ihm beleuchtet werden. 
Stellt man den Maßstab so, daß er 




Fig. 280. 



in B senkrecht steht zu der anfäng- 
lichen Reflexionsrichtung A B, so wird 
das rechtwinkelige Dreieck ABB' 
vollständig bestimmt durch die 
Seiten A B und BB' ; der Winkel BAB' 
ist dann der doppelte Drehungs- 
winkel. Soll bei einer Drehung des 
Spiegels umgekehrt der reflektierte 
Strahl seine Richtung behalten, so 

muß der einfallende um den doppelten Winkel sich drehen, 
beruht die Winkelmessung mit Fernrohr, Spiegel und 




Fig. 281. 



Darauf 
Skale 



366 Optik § 250 

(Fig. 281). Senkrecht zu der Drehungsachse A des Spiegels wird ein Maß- 
stab aufgestellt, so daß ein von dem Spiegel auf ihn gefälltes Lot gerade 
seinen mittleren Teilstrich B trifft. Das Spiegelbild des Maßstabes wird 
mit einem Fernrohr beobachtet, das so gerichtet ist, daß in der anfäng- 
lichen Lage des Spiegels gerade der Teilstrich B in der Mitte des Ge- 
sichtsfeldes erscheint. Dreht sich der Spiegel, so kommt ein anderer 
Skalenteil B' in die Mitte, und der Winkel B'AB ist dann gleich dem 
doppelten Drehungswinkel ; der Winkel B'AB ergibt sich aber wieder 
aus dem rechtwinkeligen Dreieck B'AB, wenn die Seiten B B! und AB 
bekannt sind. Die Empfindlichkeit der Methode kann durch die Angabe 
erläutert werden, daß bei einer Entfernung zwischen Spiegel und Skale 
von 1-72 m eine Drehung um 1 Minute eine Verschiebung BB' von 
1 mm erzeugt. 

§ 250. Der Heliostat. Bei einer großen Zahl von optischen Unter- 
suchungen benützen wir das Licht der Sonne. Die unmittelbare Ver- 
wendung der Sonnenstrahlen ist aber unbecpiem, einmal wegen der 
schiefen Richtung, dann wegen der fortwährenden Änderung dieser Rich- 
tung durch die Bewegung der Sonne. Die Schwierigkeiten werden be- 
seitigt, wenn es gelingt, den Sonnenstrahlen zunächst eine bestimmte, un- 
veränderliche Richtung zu erteilen, die dann durch Reflexion an einem 
Spiegel leicht in eine beliebige andere verwandelt werden kann. Eine 
solche unveränderliche Richtung, die man den Sonnenstrahlen durch 
Reflexion an einem bewegten Spiegel geben kann, ist die Richtung der 
Erdachse. Diese sei dargestellt durch E A (Fig. 282); S E sei die Richtung 

eines in E einfallenden Sonnenstrahles. 
Soll dieser von einem in E aufgestellten 
Spiegel nach E A reflektiert werden, so muß 
die Spiegelnormale EN den Winkel S EA 
halbieren. Nun bewegt sich aber die Sonne 
am Himmelsgewölbe so, als ob sie um die 
Achse EA in 24 Stunden einmal mit gleich- 
förmiger Geschwindigkeit rotierte. Drehen 
wir in derselben Zeit durch ein mit der 
Achse E A verbundenes Uhrwerk auch den 
Fig. 282. Spiegel herum, so bleibt die gegenseitige 

Stellung von Sonne, Spiegel und Achse die- 
selbe, die Sonnenstrahlen werden immer in der Richtung der Erdachse 
reflektiert. Mit Hilfe eines zweiten Spiegels kann dann diese Richtung 
in eine beliebige andere verwandelt werden. 

§ 251. Die sphärischen Spiegel. Wir wenden uns zu der Reflexion 
an sphärisch gekrümmten Flächen. Die Anwendbarkeit des Reflexions- 
gesetzes auf krumme Oberflächen ergibt sich daraus, daß wir das Flächen- 
element in der Umgebung des Einfallspunktes als eine kleine ebene Fläche 
betrachten können. Das Einfallslot ist durch die Normale der Fläche im 
Einfallspunkte gegeben, die Konstruktion des reflektierten Strahles ist im 





§ 251 Reflexion des Lichtes 367 

übrigen dieselbe wie bei einer ebenen Fläche. Wir beschränken uns im 
folgenden auf die Betrachtung kugelförmig gekrümmter Flächen, der so- 
genannten sphärischen Spiegel. Dieselben könneu das Licht entweder auf 
der inneren hohlen oder auf der äußeren konvexen Seite reflektieren, 
und wir unterscheiden danach Konkav- oder Hohlspiegel und Kon- 
vexspiegel. Wir werden uns mit der Theorie des Hohlspiegels etwas 
ausführlicher beschäftigen, einmal, weil er in der praktischen Optik 
mannigfache Anwendungen findet, dann auch, weil wir dabei gewisse 
Betrachtungen und Beziehungen kennen lernen, die für eine Reihe ana- 
loger Probleme eine typische Bedeutung besitzen. 

Wir beginnen mit einigen Betrachtungen von mehr geometrischem 
Charakter. Der Hohlspiegel werde begrenzt von einem Kreise; die Linie, 
die den sphärischen, auf der 
Kugelfläche liegenden Mittelpunkt 
des Kreises mit dem Kugelmittel- 
punkte verbindet, wird als die Achse 
des Spiegels bezeichnet. Figur 283 
stellt einen Durchschnitt des Spie- 
gels nach seiner Achse dar ; M ist 
der sphärische Mittelpunkt, 

G das Zentrum der Kugel, der 

„ • i i , i Fl g- 283 - Hohlspiegel. 

Krümmungsmittelpunkt des 

Spiegels. 

Wir behandeln die Theorie des Hohlspiegels nicht all- 
gemein, sondern nur unter der speziellen Voraussetzung, daß 
alle in Betracht zu ziehenden Lichtstrahlen sehr kleine Ein- 
fallswinkel besitzen. Um zu untersuchen, was aus dieser Bedingung 
für die Gestalt des Spiegels folgt, ziehen wir von einem, außerhalb GM 
angenommenen Punkt L der Achse den einfallenden Strahl L E\ das Ein- 
fallslot ist gegeben durch die Verbindungslinie des Punktes E mit dem 
Krümmungsmittelpunkt G\ der Einfallswinkel L E G ist Null, wenn L in den 
Krümmungsmittelpunkt fällt; er wird um so größer, je weiter entfernt L auf 
der Achse liegt. Rückt L in unendliche Entfernung, so w T ird der einfallende 
Strahl der Achse parallel. Unter allen von der Achse ausgehenden und in 
E einfallenden Strahlen, von dem Zentralstrahl GE nach außen hin 
gerechnet, besitzt also der Parallelstrahl den größten Einfallswinkel. 
Andererseits aber wächst dieser Winkel mit der Entfernung des Punktes 
E von der Achse ; den am Rande des Spiegels einfallenden Parallelstrahlen 
entspricht daher der größte Winkel LAC; dieser ist gleich dem Winkel 
A GM, den der nach A gehende Kugelradius mit der Achse bildet, oder 
gleich der Hälfte des Winkels BGA, den zwei nach diametral gegen- 
überliegenden Randpunkten gehende Radien miteinander einschließen. 
Diesen Winkel nennen wir die Öffnung des Spiegels; der größte in 
Betracht kommende Einfallswinkel ist somit gleich der halben Spiegel- 
öffnung. Die Bedingung kleiner Einfallswinkel ist erfüllt, 



368 Optik § 251 

wenn der Spiegel eine kleine Öffnung besitzt. Übrigens müssen 
wir bemerken, daß auch bei Spiegeln von kleiner Öffnung noch Strahlen 
denkbar sind, die einen großen Einfallswinkel besitzen. Es sind solche, 
welche die Achse in einem dem sphärischen Mittelpunkte M naheliegenden 
Punkte schneiden; auch diese Strahlen müssen also bei unseren Unter- 
suchungen ausgeschlossen werden. 

Die Beschränkung, die wir mit dem Vorhergehenden unserer Unter- 
suchung auferlegt haben, hat zur Folge, daß in einer naturgetreuen 
Darstellung des Spiegels die Entfernung der Randpunkte A und B von dem 
sphärischen Mittelpunkte M sehr klein wird im Vergleich mit den Abständen 
LM oder GM, daß die in Betracht kommenden Strahlen die Achse unter 
einem sehr spitzen Winkel schneiden. Alle bei der geometrischen Kon- 
struktion zu ziehenden Linien werden sich daher in einem ganz schmalen 
Streifen zu beiden Seiten der Achse zusammenhäufen, sie werden nicht 
mehr deutlich voneinander zu unterscheiden, ihre Schnittpunkte werden 
nicht mehr scharf zu bestimmen sein. Die Möglichkeit einer graphischen 
Entwicklung der TheDrie würde dadurch aufgehoben werden. Um diese 
Schwierigkeit zu umgehen, benützt man den Kunstgriff, alle zur Spiegel- 
achse senkrechten Dimensionen in einem viel größeren Maß- 
stabe zu zeichnen, als die Entfernungen längs der Achse. 

Wir gehen nach diesen Vorbereitungen über zu der Untersuchung 
der optischen Eigenschaften des Hohlspiegels. Schon im vorher- 
gehenden wurden die Strahlen, die mit der Achse des Spiegels parallel 
auf ihn fallen, als Parallelstrahlen bezeichnet; mit Bezug auf diese 
gilt der Satz: 

Parallelstrahlen gehen nach der Reflexion am Spiegel 
durch einen und denselben Punkt seiner Achse, den Brennpunkt 
des Spiegels. 

Der Brennpunkt F liegt in der Mitte zwischen dem sphärischen 
Mittelpunkt und dem Krümmungsmittelpunkt des Spiegels. Die Ent- 
fernung des sphärischen Mittelpunktes 

~—~ " vom Brennpunkte bezeichnen wir als 

Brennweite (Fig. 284). 

Der vorhergehende. Satz läßt eine 

c_ wichtige Verallgemeinerung zu. Parallel- 

strahlen können wir uns ausgehend 

denken von einem auf der Achse des 

Fig. 284. Spiegels in unendlicher Entfernung lie- 

genden Punkte; alle von diesem aus- 
gesandten Strahlen vereinigen sich nach der Reflexion in einem einzigen 
Punkte der Achse, dem Brennpunkte; ebenso durchkreuzen sich die von 
einem beliebigen anderen Punkte P der Achse ausgehenden Strahlen nach 
der Reflexion in einem einzigen Punkte der Achse P l (Fig. 285). Nach 
der Reflexion kommen die von P ausgesandten Strahlen her von P v es 
ist also dieser letztere Punkt das Bild von P. Ist umgekehrt P x ein 




§ 251 



Reflexion des Lichtes 



369 




leuchtender Punkt, so durchkreuzen sich die von ihm ausgehenden 
Strahlen nach der Reflexion in P; die Beziehung zwischen den Punkten 
P und P x ist eine umkehrbare, jeder kann als leuchtender Punkt, jeder 
als Bildpunkt aul- 
treten; die sie ver- 
bindenden Strahlen- 
wege können vom 
Lichte ebensogut in 
der einen, wie in 
der anderen Richtung 
durchlaufen werden. 
Punkte, welche in dieser Beziehung zu einander stehen, bezeichnet man 
allgemein als konjugierte Punkte. In unserem Falle stehen die Ent- 
fernungen der konjugierten Punkte P und P, von dem sphärischen Mittel- 
punkte in einfacher Beziehung zur Brennweite; es gilt nämlich der Satz: 

Die Summe der reziproken Spiegelabstände zweier kon- 
jugierter Punkte ist gleich der reziproken Brennweite. 

Bezeichnen wir die Brennweite durch f, die Entfernungen MP und 
MP t durch p und p v so ist: 

1. = -! + -!. 

f v i\ 

Außer den Parallelstrahlen existiert noch eine zweite Strahlengattung, 
für welche die Reflexion in sehr einfacher Weise sich gestaltet. Es sind 
dies die durch den Krümmungsmittelpunkt des Spiegels hindurchgehen- 
den Strahlen, die Zentralstrahlen. Wie man unmittelbar sieht, gilt 
für diese der Satz: 

Zentralstrahlen werden in sich selbst reflektiert. 

Für einen seitlich von der Achse liegenden Punkt Q (Fig. 285) hat 
der von ihm ausgehende Zentralstrahl QG dieselbe Bedeutung, wie für 
einen Achsenpunkt P die Achse selbst; darausfolgt, daß auch die Strahlen 
eines seitlich von der Achse liegenden Lichtpunktes Q sich nach 
der Reflexion in einem Punkte Q x durchkreuzen, der auf dem von Q aus- 
gehenden Zentralstrahl Q G liegt. 

Die vorhergehenden 
die Verhältnisse der von 
einem Hohlspiegel ent- 
worfenen optischenBil- 
dern zu studieren. 

Das Objekt sei darge- 
stellt durch einen auf der 
Achse senkrecht stehen- 
den Pfeil PO (Fig. 286); 
von der Spitze Q ziehen wir einen Parallelstrahl, der durch die Reflexion 
in einen Brennstrahl verwandelt wird. Außerdem ziehen wir den in 
sich selbst reflektierten Zentralstrahl Q G. Die reflektierten Strahlen 

Eiecke, Physik I. Dritte Aufl. 24 



Sätze enthalten alles, was notwendig ist, um 




Bildkonstruktion. 



370 



Optik 



§251 



kreuzen sich in Q v Durch denselben Punkt müssen nach dem Vorher- 
gehenden auch alle anderen von Q ausgehenden Strahlen nach der 
Reflexion hindurchgehen, es ist Q x das Bild der Pfeilspitze Q. Kon- 
struieren wir in derselben Weise die Bilder der übrigen Punkte des 
Pfeiles, so setzen sie sich zusammen zu einem Bildpfeile, P 1 Q x , der 
gleichfalls zu der Spiegelachse senkrecht steht. Das Bild ist ein reelles, 
da sämtliche Punkte desselben Durchkreuzungspunkte wirklicher Licht- 
strahlen sind; es kann daher auf einem Schirme oder einer Tafel von 
mattem Glase aufgefangen werden. Das Bild ist ferner ein umgekehrtes; 
seine Größe verhält sich zu der Größe des Objektes wie der Bildabstand 
vom Spiegel zum Objektabstand; es ist also: 

PQ - p ' 
während zwischen p und p x die früher erwähnte Relation besteht: 

- + - = -• 

P Vi f 

Für ein Objekt, das in unendlicher Entfernung von dem Spiegel auf 
der Achse liegt, fällt das Bild in den Brennpunkt. In dem Maße, in dem 
das Objekt dem Spiegel sich nähert, entfernt sich das Bild von demselben. 
Liegt das Objekt an der Stelle des Krümmungsmittelpunktes, so fällt das 
Bild an dieselbe Stelle, und die Bildgröße ist gleich der Objektgröße. 
Wird das Objekt dem Spiegel noch weiter genähert, so entfernt sich das 
mehr und mehr vergrößerte Bild immer weiter von dem Spiegel, um 
schließlich in unendlicher Entfernung zu verschwinden, wenn das Objekt 
in den Brennpunkt fällt. Es bleibt also schließlich die Frage übrig, 
welches die Wirkung des Spiegels ist, wenn das Objekt in dem Zwischen- 
raum zwischen Brennpunkt und sphärischem Mittelpunkte, innerhalb 
der Brennweite liegt (Fig. 287). Ziehen wir ebenso wie vorher von 

der Spitze des Pfeiles aus den Parallel- 
strahl Q E und den Zentralstrahl Q C, so 
sehen wir, daß die reflektierten Strahlen 
selbst sich jetzt überhaupt nicht mehr 
schneiden; nur für ihre geometrischen 
Rückverlängerungen existiert ein Schnitt- 
punkt Q x hinter der Fläche des 
Spiegels. Alle Strahlen, die von dem 
Punkte Q ausgehen, werden so reflektiert, 
daß ihre Verlängerungen sich in dem Punkte Q x schneiden. Sie scheinen 
nach der Reflexion von dem Punkte Q l herzukommen, und dieser stellt 
demnach ein virtuelles Bild des Punktes Q dar; in derselben Weise er- 
halten wir die virtuellen Bilder der übrigen Punkte des Pfeiles, und diese 
reihen sich dann zu einem Bildpfeile P l Q 1 aneinander, der ebenso wie 
P Q aufrecht und senkrecht auf der Achse des Spiegels steht. Dabei ist 
zu beachten, daß die Bedingung kleiner Einfallswinkel um so weniger 



OL, 


""£ 




a 




% 


M 


\" 


C 


Fis 


r. 287. 7 


^irtue 


lies Bild. 





§ 252 



Brechung des Lichtes 



371 



erfüllt bleibt, je weiter das Objekt von dem Brennpunkte weg dem Spiegel 
zu rückt. Nehmen wir auf der Achse innerhalb der Brennweite einen 
leuchtenden Punkt P, so werden die Einfallswinkel um so größer, je 
näher wir der Oberfläche des Spiegels kommen, und die im vorhergehen- 
den aufgestellten Sätze sind dann nicht mehr streng richtig. 

Fassen wir die wesentlichen Resultate der Untersuchung zusammen, 
so erhalten wir den Satz: 

Der Hohlspiegel entwirft von einem außerhalb der Brenn- 
weite befindlichen Objekte ein reelles und umgekehrtes Bild 
vor der Spiegelfläche. Die Bildgröße verhält sich zur Objekt- 
größe wie der Bildabstand vom Spiegel zum Objektabstand. 
Das Bild, eines innerhalb der Brennweite liegenden Objektes 
ist ein virtuelles, aufrechtes und vergrößertes, und liegt hinter 
dem Spiegel. 

In ganz analoger Weise ist auch die Theorie des Konvexspiegels 
zu entwickeln. Wir beschränken uns auf die folgenden Bemerkungen; 
haben wir ebenso wie beim Hohlspiegel durch Verbindung des sphärischen 




Fig. 288. Konvexspiegel. 



Fig. 289. Bildkonstruktion. 



Mittelpunktes mit dem Krümmungsmittelpunkt die Achse M G des Spiegels 
konstruiert (Fig. 288), so ergibt sich, daß die einfallenden Parallel- 
strahlen durch die Reflexion zerstreut werden; nur ihre geometrischen 
Rückverlängerungen konvergieren gegen einen Punkt F der Achse, den 
virtuellen Brennpunkt des Spiegels, der wiederum in der Mitte 
zwischen dem sphärischen Mittelpunkte und dem Krümmungsmittelpunkte 
gelegen ist. Zentralstrahlen, die nach dem Krümmungsmittelpunkte hin 
gerichtet sind, werden in sich selbst reflektiert. Die Konstruktion des 
Bildes für einen vor dem Spiegel befindlichen Gegenstand erfolgt ebenso 
wie beim Hohlspiegel durch Benützung des Parallel- und des Zentral- 
strahles; das Bild ist unter allen Umständen ein virtuelles, auf- 
rechtes und verkleinertes (Fig. 289). 

Drittes Kapitel. Brechung des Lichtes. 

§ 252. Das Brechungsgesetz. Fallen Lichtstrahlen, die sich in 
Luft, Wasser, Glas oder einem anderen Körper bewegen, auf die Grenz- 

24* 



372 



Optik 



252 



fläche eines zweiten durchsichtigen Körpers, so wird ihre Bewegung in 
doppelter Weise geändert. Ein Teil wird reflektiert; ein anderer Teil 
dringt in das zweite durchsichtige Mittel ein, aber so, daß die Licht- 
strahlen in der Grenze gebrochen erscheinen. Um die Richtung des ge- 
brochenen Strahles zu fixieren, gebrauchen wir dieselben geometrischen 
Hilfsmittel, wie bei der Reflexion. Das Einfallslot wird in das Innere des 
zweiten Mittels hinein verlängert; der Winkel des gebrochenen Strahles 
mit dem Einfallslot wird bezeichnet als der Brechungswinkel. Das 
Gesetz, das die Richtung des gebrochenen Strahles mit der des ein- 
fallenden verbindet, das Brechungsgesetz, ist in den folgenden Sätzen 
enthalten. 

Der gebrochene Strahl liegt in der Einfallsebene auf der 
entgegengesetzten Seite des Einfallslotes, wie der einfallende 
Strahl. 

Der Sinus des Einfallswinkels steht zu dem Sinus des 
Brechungswinkels in demselben Verhältnis, welches auch die 
Neigung des einfallenden Strahles gegen die brechende Ober- 
fläche sein mag. 

Dieses Verhältnis, das nur abhängt von der Natur der 
Mittel, zwischen denen der Übergang des Lichtes sich voll- 
zieht, heißt das Brechungsverhältnis. 

Der Charakter der Brechung oder Refraktion ist hiernach ein 
wesentlich anderer als der der Reflexion. Die letztere erfolgt an der 
Oberfläche der verschiedenartigsten Körper in genau derselben Weise; 
das Brechungsverhältnis, die Richtungsänderung der Strahlen bei ihrem 
Übergang von einem Mittel zum anderen, hängt ab von der besonderen 
Natur der beiden Mittel. Jedem einzelnen Paare von Körpern entspricht 

ein besonderes Brechungs Verhältnis und daher 
auch ein besonderes Maß der Richtungsänderung. 
Daß das Brechungsverhältnis auch abhängt von 
der Farbe der Strahlen, sei nur vorläufig erwähnt; 
ausführlich werden wir hierüber im folgenden 
Kapitel berichten. . 

Zu einer oberflächlichen Prüfung des Brechungs- 
gesetzes kann man einen halbkreisförmigen, mit 
Wasser gefüllten Glastrog (Fig. 290) benützen, 
dessen gerade Seitenfläche mit schwarzem Papier 
so bedeckt ist, daß nur in der Achse E der zylin- 
drischen Mantelliäche ein schmaler vertikaler Spalt 
frei bleibt. Auf diesen wirft man in horizontaler 
Richtung die Strahlen einer intensiven Lichtquelle, etwa einer elektrischen 
Lampe. Fallen die Strahlen senkrecht in der Richtung NE auf die 
ebene Grenzfläche des Wassers, so findet keine Brechung statt, und es 
wird durch die in das Wasser eindringenden Strahlen eine Stelle in der 
Mitte der halbkreisförmigen Hinterwand beleuchtet, dem Spalte gerade 




Fig. 290. Brechung. 



§ 253 Brechung des Lichtes 373 

gegenüber. Wenn man nun den Trog dreht, so daß die Strahlen in der 
schiefen Richtung LE in den Spalt einfallen, so sieht man die Brechung 
des in das Wasser eindringenden Strahles. Füllt man den Trog bis zu 
einer solchen Höhe, daß gerade die Hälfte des Spaltes unter Wasser 
sich befindet, so wird man auf der Rückseite zwei hell beleuchtete 
Linien haben. Die eine bei 11 entspricht der oberen Hälfte des Spaltes; 
sie wird erzeugt von den über den Wasserspiegel weggehenden Strahlen, 
die keine Ablenkung erlitten haben; die untere bei G rührt von den 
im Wasser gebrochenen Strahlen her. Trägt die Rückwand des Troges, 
von der Mitte des Halbkreises ausgehend, eine Gradteilung, so kann 
man den Einfalls- und den Brechungswinkel unmittelbar ablesen und 
so eine, wenn auch nur rohe, Berechnung des Brechungsverhält- 
nisses und eine Prüfung seiner Konstanz ausführen. Seine wahre Be- 
stätigung findet das Brechungsgesetz darin, daß all die Folgerungen, die 
sich aus ihm ziehen lassen, durch die Erfahrung bestätigt werden, daß 
die feinen Messungsmethoden, die sich auf dasselbe gründen, noch nie 
zu widersprechenden Resultaten geführt haben. Indessen ist es not- 
wendig, schon hier darauf aufmerksam zu machen, daß das Brechungs- 
gesetz in der angegebenen Form nur für solche Körper gilt, 
die in optischer Beziehung nach allen Richtungen hin sich 
gleich verhalten, für die sogenannten isotropen Körper. 

§ 253. Konstruktion des gebrochenen Strahles. An das Brechungs- 
gesetz knüpft sich zunächst die Aufgabe, zu irgend einem einfallenden 
Strahle den gebrochenen zu finden. Betrachten wir zuerst das spezielle 
Beispiel von Luft und Wasser, für welche das 
Brechungsverhältnis gleich 4 / 3 ist, so wird die äJji—JT^j? ä, 

Aufgabe durch folgende Konstruktion gelöst «i ^"' /H 

(Fig. 291). Es sei F die Grenzfläche der beiden y t — 1./ \ 

Mittel, E der Einfallspunkt, LE der in der ; / / 

Luft sich bewegende Strahl ; wir nehmen auf • ,'/ 

dem einfallenden Strahl einen beliebigen Punkt F . y F 

C und machen E A — 4 / 3 E C; mit EA als l E 

Halbmesser beschreiben wir einen Kreisbogen, / 

ziehen durch C eine Paralle zu dem Einfalls- / 

lot, bis sie den Bogen in B trifft. Die Linie BE / 

gibt verlängert den gebrochenen Strahl EG. G 

Ist das zweite Mittel nicht Wasser, sondern Fl S- 291 - 

Glas, so ist das Brechungsverhältnis gleich 

3 / 2 und wir haben nun EA = 3 / 2 E C zu machen; allgemein ist EA gleich 

EG multipliziert mit dem Brechungsverhältnis; bezeichnen wir dieses 

durch n, so ist EA = n X EG 

Die Richtigkeit der Konstruktion ergibt sich leicht, wenn wir 
durch E das Einfallslot EN ziehen und auf dieses die Senkrechten Acc, 
Bß, Cy fällen. Es ist dann: Aa:Gy — n:\, ebenso Aa:Bß = n:l 
oder auch: 



374 



Optik 



§254 



Äa . Bß 



= n : 1. 



AE * £.£ 

Die linksstehenden Brüche sind aber nichts anderes als der Sinus des 
Einfalls- und der des Brechungswinkels. 

§ 254. Umkehr und Kombination von Brechungsverhältnissen. Die 

Übersicht über die bei der Kombination verschiedener durchsichtiger 
Mittel auftretenden Brechungsverhältnisse wird sehr erleichtert durch 
zwei allgemeine Sätze, die sich aus den optischen Eigenschaften plan- 
paralleler Platten ergeben. 

Wir richten ein Fernrohr auf ein sehr entferntes Objekt, einen 
leuchtenden Punkt an der Erdoberfläche oder einen Stern. Bringen wir 
vor das Objekt eine planparallele Platte aus irgend einem durchsichtigen 
Mittel, so wird dadurch die Einstellung in keiner Weise geändert. 

Daraus folgt, daß die Lichtstrahlen 
beim Durchgang durch eine plan- 
parallele Platte keine .Richtungs- 
änderung erleiden. Die Parallelen FF 
und HH (Fig. 292) stellen die Grenz- 
flächen der Platte vor; das Mittel, 
aus dem sie hergestellt ist, werde 
bezeichnet durch den Buchstaben b, 
das beiderseits an die Platte an- 
stoßende Mittel durch a. Zur Bezeich- 
nung von Brechungsverhältnissen be- 
dient man sich des Buchstabens n\ 
um auszudrücken, daß er sich auf den Übergang aus dem Mittel a in 
das Mittel b bezieht, benützen wir das Symbol n(a, b). Das Brechungs- 
verhältnis für den umgekehrten Übergang von b zu a ist dann repräsen- 
tiert durch n (b, d). 

LE sei der auf die obere Grenzfläche einfallende Strahl, EE' der 
gebrochene und EL' der parallel mit LE in das Mittel a wieder aus- 
tretende. Bezeichnen wir mit u und ß Einfalls- und Brechungswinkel 
bei E, mit u und ß' dieselben Winkel bei E', so ist: 

u = ß' und ß = a. 
Somit : 




Fig. 292. Planparallele Platte. 



n (a, b) 



sin a 



sin(?' 



sin ß sin «' n (b, a) 

Ist das Brechungsverhältnis von einem Mittel a zu einem 
Mittel b gleich n{a,b), so ist das Brechungsverhältnis für den 

umgekehrten Übergang des Lichtes von b zu a gleich — t— rr - 

Aus der Gleichheit der Winkel a und ß', ß und d folgt, daß das 
Licht den Weg LEE' Li auch in umgekehrter Richtung durchlaufen 
kann. Stellen wir die Lichtquelle auf in L' , und ist L' E' der auf die 
untere Grenzfläche der Platte fallende Strahl, so geht er in der Richtung 



§ 255 



Brechung des Lichtes 



375 



E' E durch sie hindurch, um in der Sichtung E L in das Mittel a wieder 
auszutreten. Ebenso, wie dem Strahle L E als dem einfallenden der Strahl 
EE' als der gebrochene entspricht, so gehört zu dem Strahle E' E als 
dem in dem Mittel b einfallenden der Strahl EL als der in a gebrochene. 
Ebenso wie bei der SeHexion gilt auch bei der Brechung der Satz: 

Ein Strahlenweg kann vom Lichte ebenso in der einen, 
wie in der entgegengesetzten Sichtung durchlaufen werden. 

Wir haben schon bemerkt, daß das Brechungsverhältnis von Luft 

zu Glas 3 L ist: es ist also . = -^ • Kehren wir die Bewesrungsrich- 

' 2 ' sm p 2 o o 

tung des Lichtes um, so wird ß Einfallswinkel, a Brechungswinkel, und 
wir erhalten für den umgekehrten Übergang das Brechungsverhältnis 

^P = — in Übereinstimmung mit dem allgemeinen Satze. 

sma 3 

Der im vorhergehenden abgeleitete Satz läßt eine Verallgemeinerung 
zu, die sich auf die Tatsache stützt, daß zwei verschiedene planparallele 
Platten zusammengelegt die Sich- 
tung eines Lichtstrahles ebensowenig 
ändern, wie eine einzige. Bezeichnen 
wir das Mittel, von dem die zu- 
sammengesetzte Platte umgeben ist, 
durch a, die eine planparallele Platte 
durch b, die andere durch c, so wird 
ein Lichtstrahl, der in E (Fig. 293) 
auf die obere Fläche der Platte ein- 
fällt, in derselben den gebrochenen 
Weg E E x E 2 zurücklegen und in E 2 
parallel mit seiner ursprünglichen 
Sichtung nach E 2 L 2 austreten. Für 
die bei den verschiedenen Über- 
gängen auftretenden Brechungsverhältnisse ergibt sich die Beziehung 

n (a, b) X n (b, c) X n (c, a) = 1 
oder 

n (a, b) X n ib } c) = n (a, c). 

Kennt man hiernach die Brechungsverhältnisse für die Kombination 
zweier Stoffe a und c mit einem und demselben dritten b, so kann man 
das Brechungsverhältnis für die Kombination von a mit c aus jenen be- 
rechnen. Es ist z. B. das Brechungsverhältnis von Luft zu Wasser 
gleich 4 / 3 , von Luft zu Grlas gleich 3 / 2 , somit das Brechungsverhältnis 




Fig. 293. 
Zusammengesetzte planparallele Platte. 



q q 

von Wasser zu Glas gleich — x — 

4 2 



§ 255. Optisch dichtere und optisch dünnere Mittel. Mit Sück- 
sicht auf gewisse theoretische Vorstellungen über die Natur der Licht- 
bewegung hat man dasjenige von zwei Mitteln, in dem der Strahl mit 
dem Einfallslote den kleineren Winkel einschließt, das optisch dichtere, 



376 



Optik 



256 



das, in dem jener Winkel der größere ist, das optisch dünnere genannt. 
So ist Glas optisch dichter als Luft, Alkohol optisch dichter als Wasser. 
§ 256. Brechung des Lichtes durch ein Prisma. Eine ungemein 
vielseitige Verwendung findet bei optischen Versuchen und bei der Kon- 
struktion optischer Instrumente die Brechung durch ein Prisma; wir 
werden sie daher im folgenden einer etwas eingehenderen Betrachtung 
unterziehen. Wir nehmen an, das Prisma sei auf einen horizontalen 
Tisch so gestellt, daß seine Kante (vergl. § 248) — die sogenannte 

brechende Kante — vertikal steht. 
Wir betrachten die Brechung eines 
in horizontaler Richtung senkrecht zu 
der Kante auf das Prisma fallenden 
Strahles. Ist das Prisma optisch 
dichter als Luft, was in der Regel 




Fig. 294. 



der Fall sein wird, so wird der Strahl an der ersten Prismenfläche 
dem Einfallslot zu, an der zweiten Fläche von ihm weg gebrochen 
(Fig. 294). Die hierdurch bedingte Richtungsänderung hängt nur ab 
von dem Winkel, unter dem der Strahl die Prismenfläche trifft, sie ist 
unabhängig von der speziellen Lage des Einfallspunktes; wenn es sich 
also nur darum handelt, die Richtung zu bestimmen, nach der ein auf 
das Prisma fallender Strahl gebrochen wird, so kann man den Strahl 
parallel mit ' sich selbst so verlegen, daß er unendlich nahe an der 
Prismenkante durchgeht. Die Richtungsänderung bleibt dieselbe, aber 
die Konstruktion des gebrochenen Strahles wird wesentlich vereinfacht. 




Fig. 295. Brechung durch eiu Prisma. 

Es sei 5 U (Fig. 295) ein Normalschnitt des Prismas; um den 
Punkt 0, die Projektion der brechenden Kante, konstruieren wir zwei 
Kreise, deren Halbmesser O S und s sich verhalten wie 1 : n, wenn n 
das Brechungsverhältnis des Prismas gegen Luft ist. Wir bezeichnen 
den ersteren als den Kreis 1, den zweiten als den Kreis n. Es sei L 
ein in dem Normalschnitt sich bewegender Lichtstrahl, der in unend- 



§ 257 Brechung des Lichtes 377 

lieh nahe der Kante einfällt. Wir ziehen L l parallel zu der Normale N 
der ersten Prismenfläche, dann ist l O nach der Konstruktion von § 253 
der in das Prisma eintretende gebrochene Strahl. Schneidet l den Kreis 
n auf der anderen Seite in m, so ziehen wir durch m die Parallele m M 
zu der Normale N' der zweiten Prismenfläche ; M ist dann der zu 
L O gehörende, aus dem Prisma wieder austretende Strahl. Der äußerste 
von den in einfallenden Strahlen ist der Strahl S 0, der streifend an 
der Oberfläche des Prismas hingleitet, bis er sie in trifft. Um den 
ihm entsprechenden gebrochenen Strahl zu finden, ziehen wir Ss parallel 
zu N\ verlängern s bis zu dem Schnitt t mit dem Kreise n, ziehen 
t T parallel zu N' ; dann ist T der gebrochene Strahl, welcher dem 
streifend einfallenden entspricht. Fällt umgekehrt ein Strahl in der 
Richtung T auf das Prisma, so tritt er längs OS streifend aus; die 
jenseits TO liegenden Strahlen gehen nicht mehr .durch das Prisma 
hindurch. 

Ziehen wir den Durchmesser a Ob senkrecht zu der Halbierungs- 
linie P des Prismenwinkels und die Linien a A und b B parallel zu 
den Normalen ON und ON', so gehört OB als austretender Strahl zu 
OA als einfallendem; es sind ferner OA und OB symmetrisch zu O P; 
der Einfallswinkel A ON ist gleich dem Austritts winkel B N' ' ; ebenso der 
Brechungswinkel a N gleich dem Einfallswinkel b N'. Der den Strahlen- 
winkel AO B messende Bogen ABB ist für diese Incidenz größer als für 
jede andere, die Ablenkung, die der Strahl durch das Prisma erleidet, 
kleiner als für jede andere Incidenz. Man bezeichnet daher den bei gleich- 
winkeligem Ein- und Austritt auftretenden Ablenkungswinkel, das Supple- 
ment des Winkels A OB, als den Winkel der kleinsten Ablenkung. 1 

§ 257. Bestimmung des Brechungsverhältnisses. Um das Brechungs- 
verhältnis eines Körpers gegen 

Luft zu bestimmen, schneiden wir _ _ •* - - ' " 

aus ihm ein Prisma und befestigen ___ — -~-'~~~~"7\ = ~~^--^-jL 

dieses so auf einem horizontalen A f~" 
drehbaren Tischchen, daß die \ / 

Kante vertikal steht. Wir lassen \ / 

parallele Lichtstrahlen in horizon- \ / 

taler Eichtung durch das Prisma x. <- 

fallen und drehen dieses, bis das ^---__ 

Minimum der Ablenkung erreicht -pie. 296. 

ist. Bezeichnen wir unter diesen 

Umständen den Winkel der direkten und der gebrochenen Strahlen, 

den Winkel der kleinsten Ablenkung, durch Ö, den brechenden Winkel 

des Prismas, den Winkel, den seine beiden Flächen miteinander bilden 

durch (f (Fig. 296), so ist das Brechungsverhältnis: 

1 E. Keusch, Die Lehre von der Brechung und Farbenzerstreuung des Lichtes 
an ebenen Flächen und in Prismen, in mehr synthetischer Form dargestellt. Pogg. 
Ann. 1862. Bd. 116. p. 241. 



378 Optik § 258 



sm 

n = 



sm f 



§ 258. Absolutes Brechungsverhältnis und atmosphärische Strahlen- 
brechung. Die im vorhergehenden angedeutete Methode liefert die 
Brechungsverhältnisse für den Übergang des Lichtes von Luft zu irgend 
einem anderen Körper. Für die Zwecke der praktischen Optik ist ihre 
Kenntnis genügend ; wenn man aber darauf ausgeht, den Zusammenhang 
der Lichtbrechung mit anderen Eigenschaften der Körper zu untersuchen, 
so erscheint der spezifische Einfluß, den die Luft auf den Wert jener 
Verhältnisse ausübt, als ein störendes Element. Von diesem Standpunkte 
aus erscheint es richtiger^ die Brechungsverhältnisse der Körper 
gegen den leeren Raum zu bestimmen; diese bezeichnet man als 
absolute Brechungsverhältnisse oder Brechungsverhältnisse schlechtweg. 

Die absoluten Brechungsverhältnisse der Körper erhält man nach 
§ 254, wenn man die gegen Luft mit dem absoluten Brechungsverhältnis 
der Luft multipliziert. 

Das absolute Brechungsverhältnis der Luft ergibt sich aus der 
atmosphärischen Strahlenbrechung, vermöge deren die von einem 
Sterne kommenden Lichtstrahlen nach der Vertikalen abgelenkt werden. 
Aus astronomischen Beobachtungen über die scheinbaren, durch die 
Brechung veränderten Zenithdistanzen der Fixsterne ergibt sich für das 
absolute Brechungsverhältnis der Luft bei Normal-Druck und -Temperatur 
der Wert 1.00 029. 

Die Bestimmung der atmosphärischen Strahlenbrechung, des Weges, 
den ein Lichtstrahl in der Atmosphäre der Erde zurücklegt, wenn er 
entweder von außen her in sie eindringt, oder, von einem irdischen Ob- 
jekte ausgehend, Luftschichten von verchiedener Dichte durchdringt, 
bildet einen speziellen Fall eines Problemes von nicht geringem Interesse. 
Denken wir uns einen Körper, der aus parallelen Schichten von ver- 
schiedenem Brechungsverhältnis besteht. Wenn ein Lichtstrahl sich in 
ihm bewegt, so wird er an jeder Grenzfläche zweier Schichten eine 
Brechung erleiden; sein Weg besteht aus einer Reihe von geradlinigen 
Strecken, die sich zu einem polygonalen Zuge aneinander reihen. Wenn 
die Schichten mit ihren verschiedenen optischen Eigenschaften konti- 
nuierlich in einander übergehen, wenn das Brechungsverhältnis im Inneren 
des Körpers von Ort zu Ort in irgend einer Weise stetig sich ändert, 
so tritt an Stelle des gebrochenen Zuges ein stetig gekrümmter 
Lichtstrahl. Das Studium dieser gekrümmten Strahlen hat insbeson- 
dere für die Physik der Sonne zu wichtigen Ergebnissen geführt; es 
gelang, das Vorhandensein eines scheinbar scharfen Sonnenrandes durch 
die Strahlenbrechung in einer Atmosphäre von abnehmender Dichte 
zu erklären; die Annahme einer bestimmten Grenze zwischen einem 



§ 259 Brechung des Lichtes 379 

Sonnenkörper und einer Sonnenatmosphäre wird dadurch überflüssig 
gemacht. 1 

§ 259. Brechungsvermögen und Molekularrefraktion. Untersuchungen, 
die mit der sogenannten elektromagnetischen Theorie des Lichtes zu- 
sammenhängen, und von denen wir später berichten werden, machen es 
wahrscheinlich, daß das Brechungsverhältnis n in einer gewissen Be- 
ziehung zu der Körperdichte d steht. Es ergibt sich, daß der Ausdruck 

R = i- • ?-=-! 

d ri* + 2 

eine von Temperatur und Druck, sogar von dem Aggregatzustand unab- 
hängige Konstante sein muß; eine Folgerung der Theorie, die durch die 
Erfahrung in bemerkenswerter Weise bestätigt worden ist. Man be- 
zeichnet die Konstante R als das spezifische Brechungsvermögen. 
Die Formel für R kann man auch so schreiben: 

„__w — l n.+ l 

"~ d ' ra 2 + 2 ' 

Die in Betracht kommenden Werte von n schwanken, solange Ände- 
rungen des Aggregatzustandes ausgeschlossen werden, innerhalb enger 
Grenzen. In noch höherem Grade ist dies der Fall bei dem Bruche 

-s — -• Es erweist sich daher auch "-— in den meisten Fällen als 
ri 4- 2 d 

konstant, und in der Tat ist es dieser Ausdruck, der zuerst auf Grund 
der empirischen Daten als spezifisches Brechungsvermögen eingeführt 
wurde. 

Der Satz von der Konstanz des spezifischen Brechungsvermögens 
kann benützt werden zu einer Berechnung des absoluten Brechungsver- 
hältnisses der Luft, indem man durch Beobachtung die Brechungsver- 
hältnisse beim Übergange des Lichtes zwischen Luftschichten von ver- 
schiedener Dichte bestimmt. 

Wir bezeichnen diese Dichten mit d und d' , die entsprechenden 
absoluten Brechungsverhältnisse mit n und n'\ dann ist mit Benützung 
des vereinfachten Ausdruckes, den wir für das spezifische Brechungs- 
vermögen eingeführt haben: 

n — 1 ri — 1 



d d! 

Anßerdem ist nach § 254 

ri = n X n{d, d'). 

Ist n (d, d') durch eine Beobachtung gefunden, so haben wir zwei 
Gleichungen, aus denen wir n und ri berechnen können. 

Das Produkt aus dem spezifischen Brechungsvermögen und dem 



1 Dr. A. Schmidt, Die Strahlenbrechung auf der Sonne, ein geometrischer Bei- 
trag zur Sonnenphysik. Stuttgart 1891. — Erklärung der Sonnenprotnberanzen 
als Wirkungen der Refraktion in einer hochverdünnten Atmosphäre der Sonne 
Stuttgart 1895. 



380 



Optik 



260 



Molekulargewicht eines Stoffes nennt man seine Molekularrefraktion. 
Es knüpft sich an die Einführung dieses Begriffes die Aufgabe, den 
Zusammenhang zu ermitteln, der zwischen der Molekularrefraktion einer 
chemischen Verbindung und den Molekular- oder Atomrefraktionen ihrer 
Bestandteile vorhanden ist. 

§ 260. Totalreflexion. Wir kehren nun zurück zu der in § 253 
gegebenen Konstruktion des gebrochenen Strahles. Es handle sich um den 
Übergang des Lichtes von einem optisch dünneren zu einem dichteren 
Mittel. Wir konstruieren (Fig. 297) um den Einfallspunkt E als Mittel- 
punkt einen Kreis mit dem Halbmesser EN und einen zweiten mit dem 
Halbmesser En = n X E N, wo n das Brechungsverhältnis für den be- 
trachteten Übergang ist. Wir bezeichnen, wie in § 256, den ersten 

Kreis mit 1, den zweiten mit 
n. Ein Strahl, der längs der 
Normale NE einfällt, erleidet 
keine Brechung, dagegen eine 
allmählich zunehmende, wenn 
der Einfallswinkel wächst. Der 
letzte in Betracht kommende 
Strahl ist der, welcher, längs 
der Grenzfläche hingleitend, 
streifend in dem Punkte E ein- 
fällt; ziehen wir Ss parallel 
zu dem Einfallslote, so gibt sE 
die Richtung des gebrochenen 
Strahles. Nehmen wir den von 
der anderen Seite her streifend 
einfallenden Strahl, so ist der 
ihm zugehörende gebrochene durch die Linie t E gegeben. Die Strahlen 
s E und t E sind danach die äußersten der gebrochenen Strahlen ; den 
Winkel, den sie mit dem Einfallslote bilden, nennt man den Grenz- 
brechungswinkel. Der Strahlenfächer, der in dem dünneren Mittel, 
in einem Winkelraum von 180° von allen Seiten her gegen den Punkt 
E einfällt, zieht sich somit beim Eindringen in das dichtere Mittel auf 
einen Fächer zusammen, dessen Winkel gleich dem doppelten des Grenz- 
brechungswinkels ist. Für Luft und Glas ist das Brechungsverhältnis gleich 
3 / 3 , der Grenz brechungswinkel ergibt sich daher aus der Gleichung: 

l =A ZU ^ = 42°. 
sinf» 2 ' 

Der Winkel des in das Glas eindringenden Strahlenfächers beträgt 84°. 

Die Wege der Strahlen sind umkehrbar; wenn wir also jenen 

Strahlenfächer, mit seiner Öffnung von 84°, als einen betrachten, der in 

Glas in dem Punkte E der Grenzfläche einfällt, so breitet er sich in 

Luft zu einem Fächer aus, dessen Strahlen den ganzen vor E liegenden 

Winkelraum von 180° erfüllen. Lassen wir nun in Glas einen Strahl 




Fig. 297. 



§ 260 Brechung des Lichtes 381 

gegen E sich bewegen, dessen Einfallswinkel größer ist, als der zuvor 
berechnete Grenzbrechungswinkel, so wird dieser nicht mehr in die Luft 
austreten können. Während im allgemeinen ein Strahl, der die Grenz- 
fläche zweier Mittel trifft, in zwei sich teilt, den reflektierten und den 
gebrochenen, fällt für Strahlen, deren Einfallswinkel größer ist, als der 
Grenzbrechungswinkel, der gebrochene Strahl weg, sie werden, wie man 
sagt, total reflektiert. Der Grenzbrechungswinkel bestimmt also die 
Grenze zwischen den Strahlen, welche, in dem optisch dichteren Mittel 
die Grenzfläche treffend, die gewöhnliche, mit Brechung verbundene, und 
denen, welche die totale Reflexion erleiden; man bezeichnet daher den 
Grenzbrechungswinkel auch als den Winkel der Totalreflexion. 

Wir haben in § 244 die Vorstellung gestreift, daß ein Lichtstrahl 
eine bestimmte Menge von Energie mit sich führe; diese kann durch 
eine Teilung des Strahles nicht vermehrt werden, und daraus folgt, daß 
die bei der Reflexion und Brechung auftretenden Teilstrahlen einzeln 
genommen eine kleinere Menge von Energie enthalten, als der ursprüng- 
liche; sie besitzen dementsprechend auch geringere Lichtstärken. Bei 
den total reflektierten Strahlen aber findet ein Energieverlust nicht statt, 
sie haben dieselbe Intensität, wie die einfallenden. Eine total reflek- 
tierende Fläche hat daher die Eigenschaft eines vollkommenen Spiegels. 
Als solcher wird in vielen Fällen 
die Hypotenusenfläche eines recht- 
winkligen Glasprismas benützt. Läßt 
man einen Lichtstrahl LE (Fig. 298) 
senkrecht auf die eine Kathete 
auffallen, so trifft er die Hypo- 
tenusenfläche in E unter einem 
Einfallswinkel von 45°, der größer 
ist, als der Winkel der Total- 
reflexion; der Strahl wird somit an 
der Hypotenuse total reflektiert und L 

tritt durch die andere Katheten- m , , , s " 29 ®\ ^ n . 
n .. ■, i i , • i TT lotale und gewöhnliche Ketiexion. 

flache senkrecht wieder aus. Von 

dem Helligkeitsunterschiede der 

total und der partiell reflektierten Strahlen kann man sich leicht über- 
zeugen, wenn man zwei rechtwinklige Prismen in der in Figur 298 
angegebenen Weise zusammenstellt. Man kann dann von einem und dem- 
selben Gegenstand in der einen Hypotenusenfläche ein durch gewöhnliche, 
in der anderen ein durch Totalreflexion erzeugtes Spiegelbild beobachten; 
das letztere ist das ungleich hellere. 

Da der W T inkel der Totalreflexion mit dem Brechungsverhältnis 
durch die Gleichung: l 

^~i> = n 
sinp 

zusammenhängt, so kann seine Beobachtung zur Bestimmung des Brechuugs- 

verhältnisses dienen. 




382 



Optik 



261 



§261. Der Photometerwürfel. In einer sehr sinnreichen Weise wurde 
die Totalreflexion von Lummer und Beodhcn zu der Konstruktion eines 
Photonieters verwertet. Sollen die Stärken zweier Lichtquellen Q 1 und Q 2 
verglichen werden, so müssen wir die Beleuchtungsstärken zweier Flächen 
vergleichen, deren eine nur von Q x , deren andere nur von Q 2 Licht 
erhält. Die Sicherheit der Vergleichung hängt wesentlich davon ab, 
daß die beiden Flächen unmittelbar aneinandergrenzen. Zu diesem 
Zwecke dienen zwei rechtwinklig gleichschenklige Prismen A und B: 
das eine davon, A, ist am Rande abgeschliffen, wie dies in Figur 299 
angedeutet ist. Die beiden Prismen sind mit ihren Hypotenusen fest 

aufeinander gepreßt, so daß 



ftj 



— 



T-, 



a, 



S r 




keine Luftschicht zwischen 
ihnen bleibt ; die Berührungs- 
fläche ist dann vollkommen 
durchsichtig, es findet keiner- 
lei Reflexion an derselben 
statt. Blicken wir senk- 
recht gegen die eine Ka- 
thete des Prismas B, so er- 
halten wir einerseits Licht, 
welches in der Richtung L 
durch die Berührungsfläche 
der Prismen hindurchge- 
gangen ist, andererseits 
Licht, welches von dem 
Rande der Hypotenuse von 
B in derselben Richtung 
total reflektiert wurde. F x F 2 
ist ein Schirm, dessen beide 
Seiten mit weißem Gipse 
überzogen sind. Die eine Seite wird von der Lichtquelle Q v die andere 
von Q 2 senkrecht beleuchtet. S i undS 2 sind zwei gleiche Spiegel ; S 2 ist so 
aufgestellt, daß das Spiegelbild der Fläche F 2 durch die Berührungsfläche 
der Prismen hindurch in der Richtung L erscheint. Die von der Fläche F 1 
ausgehenden Strahlen werden zuerst von dem Spiegel S x reflektiert; sie 
fallen dann durch die eine Kathete von B auf die Hypotenuse, gehen in 
der Mitte ungehindert durch, werden aber an dem freien Rande in der 
Richtung L total reflektiert. In der Tat wird also der mittlere Teil 
der Hypotenusenfläche nur von F 2 , die unmittelbar daran grenzenden 
Teile des Randes nur von F x unter sonst gleichen Umständen beleuchtet. 
Die Lichtquellen Q x und Q 2 werden bei der Messung in solche Ent- 
fernungen von dem Schirme F x F 2 gebracht, daß der Glas Würfel dem in 
der Richtung L blickenden Auge gleichmäßig hell erscheint. 

§ 262. Brechung an einer sphärischen Fläche. Bisher bezogen sich 
unsere Untersuchungen auf den Fall, daß die verschiedenen Medien in 



Fi a;. 299. Photometer würfel. 



§ 262 



Brechung des Lichtes 



383 



ebenen Flächen aneinandergrenzen. Daß unsere Konstruktion des ge- 
brochenen Strahles auch bei gekrümmten Flächen anwendbar bleibt, er- 
gibt sich, wie bei den sphärischen Spiegeln, daraus, daß die Oberfläche 
in der Nähe des Einfallspunktes als eine kleine ebene Fläche betrachtet 
werden kann. Wir beschränken uns im folgenden auf den Fall der 
kugelförmigen Begrenzung, sowie auf die Betrachtung von Strahlen mit 
kleinem Einfallswinkel. Der Charakter der Untersuchungen ist ein aus- 
gesprochen geometrischer; wir gehen daher nicht auf alle Einzelheiten 
der Beweisführung ein, sondern begnügen uns. soweit dies angeht, mit 
einem mehr historischen Bericht über das physikalisch Wichtige. 

Es sei r (Fig. 300 a) Krümmungsmittelpunkt der sphärischen Grenz- 
fläche zweier verschiedener Medien; ihr Rand sei gegeben durch einen 
Kugelkreis, dessen sphärischen Mittelpunkt wir als Scheitelpunkt 
bezeichnen. Die Linie r ist die Achse des von den beiden Mitteln ge- 
bildeten brechenden Systems. Eia Lichtstrahl, der nach dem Krümmungs- 
mittelpunkte r gerichtet ist, geht ungeändert durch die Grenzfläche hin- 
durch. Bezeichnen 
wir den Raum vor 
der Fläche als den 
Raum I, so gehen 
achsenparallele 
Strahlen in I nach 
der Brechung in dem 
hinter der Fläche 
liegenden Raum II 

durch einen und denselben Punkt cp 2 der Achse. Ebenso gehen achsen- 
parallele Strahlen im Räume II nach der Brechung in dem Räume I 
durch einen und denselben Punkt cp v Die Punkte cf 1 und cp 2 heißen 
die Brennpunkte der Kombination, die Abstände (OcpJ = cp Y und 
0(p 2 ) = <p 2 die Brennweiten. Bezeichnen wir das Brechungsverhältnis 
von I gegen 77 durch n, so ist: 




Fig. 300 a. Brechung an sphärischer Grenzfläche. 



<Pi = 



n — 1 



( f>2 



nr 
n — 1 



Die Richtigkeit der Formeln ergibt sich leicht aus der Betrachtung 
der Figur 300b. Wir bemerken, daß der Winkel OrM gleich dem 
Einfallswinkel a des Parallelstrahles -ist, der von der linken Seite her 
in M einfällt. Der Winkel rMcp 2 ist gleich dem Brechungswinkel ß, 
somit der Winkel Orp 2 M = a — ß. Wenn wir nun bedenken, daß alle 
in Betracht kommenden Winkel unserer Voraussetzung nach sehr klein 
sind, so können wir mit einem genügenden Grade von Annäherung den 
Bogen 031= q> 2 x^z Ocf> 2 M setzen; andererseits ist OM=r O x <=^ OrM. 
Bezeichnen wir die Brennweite Orp 2 einfach mit <f 2 , den Krümmungs- 
halbmesser r O mit r, so ergibt sich: 



^2 



_ r . 



384 



Optik 



§ 262 



Nach dem Breclmngsgesetz ist aber sin a / siu ß = n, oder wegen der Be- 
dingimg kleiner Winkel ajß = n. Somit erhalten wir in der Tat die Formel : 



C f 2 = 



nr 



n — 1 



an- 



In ähnlicher Weise läßt sich auch die Richtigkeit des für rp 1 
gegebenen Ausdruckes beweisen. Der Brennpunkt q^ liegt aber auf der 
entgegengesetzten Seite von wie cp 2 . Wir deuten dies dadurch an, 

daß wir der Brennweite cp x einen negativen Wert geben: cp — - 

Bei dieser Festsetzung gelten noch die folgenden Beziehungen: 

9>i 



n 



= — n 



und qp. + (p 9 = r 



Bildkonstruktion. Auf der Verlängerung des in M einfallenden 
Parallelstrahles nehmen wir einen Punkt Q 1 (Fig. 300 b). Gegen diesen 
konvergiere ein in dem Räume I vor der sphärischen Fläche sich be- 




Fig. 300 b. 

wegendes Strahlenbündel. Der nach Q 1 zielende Parallelstrahl ver- 
wandelt sich in den Brennstrahl Mcp % , der nach Q x gehende Zentral- 
strahl erleidet keine Brechung. Er schneidet den Brennstrahl in Q r 
Es läßt sich zeigen, daß alle Strahlen, welche in dem Räume vor der 
brechenden Fläche nach Q x konvergieren, nach der Brechung durch den 
Punkt Q 2 hindurchgehen. Wir bezeichnen Q 2 als das Bild von Q v oder 
als den mit Q l konjugierten Punkt. Fällen wir von Q 1 und Q t die 
Lote Q x P 1 und Q 2 P 2 auf die Achse der Linse, so sind auch P 1 und P 2 
konjugierte Punkte. Gleiches gilt von allen Punktpaaren der beiden 
Linien Q x Pj und Q 2 P 2 , welche auf demselben Zentralstrahle gelegen 
sind. Die Punkte von Q r P x und Q 2 P 2 entsprechen sich paarweise wie 
Bild und Objekt. 

Hieran schließen sich noch ein paar wichtige numerische Beziehungen. 
Wir wollen von M aus das Lot Mm auf die Achse fällen. Aus der Be- 
dingung der unendlich kleinen Öffnung folgt, daß die gerade Linie Mm 
von dem Bogen MO kaum zu unterscheiden sein wird, daß wir die 
Punkte und m als zusammenfallend betrachten dürfen. Die Ent- 
fernungen Pj und P 2 mögen mit x, und x 2 bezeichnet werden. Aus 



§ 262 Brechung des Lichtes 385 

der Ähnlichkeit der Dreiecke y 2 m M und cp 2 P 2 Q 2 einerseits, der Dreiecke 
r P x Q x und r P 2 Q 2 andererseits folgen dann die Beziehungen : 

P* Q-2 <pt - %2 x a - r 



Daraus ergibt sich: 



1\ Q x 9 2 x x - r 



[x x - x 2 ) cf 2 = (x x -r)x 2 , 

oder durch Division mit x 1 x 2 und mit Benützung der im vorhergehenden 
angegebenen Beziehungen zwischen tp v cp 2 und r: 

Hieraus folgt endlich die symmetrische Formel: 

9>i, ■ <Pg '__ | 
% x x 2 

Setzen wir für rp x und cp 2 ihre Ausdrücke durch den Krümmungshalb- 
messer r, so erhalten wir noch: 

n 1 n — 1 

x 2 x t r 

Zum Abschlüsse dieses Formelsystems fehlt schließlich noch eine 
Beziehung, die sich aus der folgenden Betrachtung ergibt. Durch den 
vorderen Brennpunkt cp x ziehen wir den nach Q x hinzielenden Strahl; 
er trifft die Grenzfläche in M' und verwandelt sich in den Parallelstrahl 
M'Q 2 . Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke cp x OM' und <p x P x Q x folgt 
mit Rücksicht auf den negativen Wert von cp x : 

P* Qt _ qpi 
Pi Qi ' (fi - *■! 

Diese Sätze gelten unter der Voraussetzung, daß die Öffnung der 
Grenzfläche, die wir ebenso bestimmen, wie in § 251, klein ist, daß immer 
nur kleine Einfallswinkel in Frage kommen. In der Figur ist überdies 
angenommen, daß der Raum / von dem optisch dünneren Mittel erfüllt 
sei. Der umgekehrte Fall führt zu analogen Sätzen, nur verlieren die 
Brennpunkte die Eigenschaft, wirkliche Durchkreuzungspunkte von Licht- 
strahlen zu sein, und werden zu virtuellen Punkten. 

Es dürfte nicht überflüssig sein, dem Vorhergehenden noch eine er- 
läuternde Bemerkung nachzuschicken. Unsere Betrachtung wird viel- 
leicht den Eindruck des Künstlichen erwecken. In der Tat schiene es 
natürlicher, in Figur 300 b den Punkt Q x auf der anderen Seite von M, 
d. h. auf dem einfallenden Parallelstrahle selbst anzunehmen, die Punkte 
der Linie P x Q x würden dann wirkliche Ausgangspunkte von Lichtstrahlen 
sein, wir hätten ein reelles Objekt, dem bei passender Wahl von Q x ein 
reelles Bild P 2 Q 2 entsprechen würde. Allein man wird sich leicht über- 
zeugen, daß diesem Vorteile der Nachteil gegenübersteht, daß die geo- 
metrischen Verhältnisse bei der neuen Figur weniger übersichtlich sich 
gestalten; hierin liegt der Grund für die getroffene Wahl. 

Riecke, Physik I. Dritte Aufl. 25 



386 



Optik 



§ 263 



Fig. 301. 



§ 263. Theorie der Linsen. Linse nennen wir einen aus einem 
durchsichtigen Mittel hergestellten Körper, der von zwei Kugelflächen 
begrenzt ist. Die Linie, welche die Mittelpunkte r x und r 2 der beiden 
Kugeln verbindet, bezeichnen wir als die Achse der Linse, die Punkte, in 
denen die Achse die Kugelflächen schneidet, als die Scheitelpunkte der 
Linsenflächen; in der Eegel werden diese letzteren durch die Kreise 
begrenzt, deren sphärische Mittelpunkte in den Scheitelpunkten liegen; 
zu der vollständigen Begrenzung des Linsenkörpers gehört dann noch 
eine die beiden Kreise verbindende Zylinderfläche. Von der so ent- 
stehenden Linsenform gibt Figur 301 eine Vorstellung. Die Theorie 

der Linsen führt nun zu einfachen 
und übersichtlichen Resultaten nur 
dann, wenn die Einfallswinkel der 
rzr=>- z in Betracht kommenden Licht- 
strahlen sehr klein sind. Es folgt 
daraus, ebenso wie bei dem Hohl- 
spiegel, die Bedingung, daß die 
Offnungswinkel der begrenzenden 
Kugelflächen A x i\ B x und A. 2 r 2 B 2 klein sein sollen. Wir fügen dieser 
Bedingung noch die weitere hinzu, daß die Dicke der Linse, der 
Abstand ihrer Scheitelpunkte, sehr klein sein soll gegen die 
Krümmungshalbmesser der Linsenflächen. Die im folgenden 
zu entwickelnden Gesetze stellen dann die Lichtbrechung der Linsen 
um so genauer dar, je dünner diese sind, und wir drücken dies in 
kurzem so aus, daß wir sagen, sie gelten für unendlich dünne Linsen. 
Unter den gemachten Voraussetzungen sind nun sechs Linsenformen 
denkbar, deren Axenschnitte durch die Figur 302 dargestellt sind. Die 

Formen a, b, c besitzen einen scharfen 
Rand, sie sind in der Mitte dicker 
als am Bande, die Formen d, e, f sind 
in der Mitte dünner als am Bande. 
Man überzeugt sich nun leicht, daß 
dies einen fundamentalen Unterschied 
in der Wirkungsweise der Linsen 
bedingt. Lassen wir auf eine Linse 
von der ersteren Gattung ein Bündel 
von Strahlen fallen, die der Achse par- 
allel sind, so verhalten sich die von 
den einzelnen Strahlen getroffenen 
Stellen der Linse wie Prismen, deren brechende Kanten nach außen gewandt 
sind. Die Strahlen werden durch die Brechung gesammelt, ihre vorher 
parallelen Richtungen werden in konvergierende verwandelt. Man nennt 
daher Linsen, die in der Mitte dicker sind als am Rande, Sammel- 
linsen und unterscheidet bikonvexe, plankonvexe uud konkavkonvexe 
Sammellinsen entsprechend den Figuren a,b, c. Lassen wir umgekehrt 



La LA 

Fig. 302. Linsenforrnen. 



§ 263 Brechung des Lichtes. 387 

auf eine Linse der zweiten Gattung, bei der die Mitte dünner ist als 
der Rand, ein Bündel von Strahlen parallel zu der Achse fallen, so ver- 
halten sich die getroffenen Stellen der Linse, wie Prismen mit nach 
innen gewandter Kante. Die Strahlen werden nach außen gebrochen und 
zerstreut. Linsen der zweiten Gattung nennt man daher Zerstreuungs- 
linsen und unterscheidet bikonkave, plankonkave, konvexkonkave Zer- 
streuungslinsen entsprechend den Figuren d, e, f. 

Wir behandeln im folgenden etwas ausführlicher die Theorie der 
Sammellinse. Für die Figuren gilt die Bemerkung, die wir bei den 
Hohlspiegeln gemacht haben; die zu der Achse senkrechten Dimensionen 
sind in einem sehr vergrößerten Maßstabe gezeichnet. Die Linse selbst 
repräsentieren wir, der Voraussetzung einer sehr geringen Dicke ent- 
sprechend, in der Regel durch einen einfachen zu der Achse senkrechten 
Strich, der dann ein Symbol zugleich für die vordere und hintere Linsen- 
fiäche ist. Der Punkt, in dem' dieser Strich die Achse schneidet, entspricht 
ebenso den beiden Scheitelpunkten. Wir führen ihn in vorläufiger 
Weise als das Zentrum der Linse ein, bemerken aber zugleich, daß 
sich bald Gelegenheit zu einer schärferen Bestimmung dieses Punktes 
ergeben wird. Auf der Achse selbst müssen natürlich die Krümmungs- 
mittelpunkte r x und r 2 der vorderen und hinteren Linsenfiäche angegeben 
sein. Der Körper der Linsen selbst wird in der Regel aus Glas bestehen, 
und dann ist das Brechungsverhältnis nahe gleich 3 / 2 . Damit sind dann 
alle Voraussetzungen gegeben, um mit den in § 253 und § 262 ent- 
wickelten Hilfsmitteln die Wege der Lichtstrahlen durch die Linse hin- 
durch zu verfolgen und so 
die Theorie der Linse zu ent- 
wickeln. Wir beschränken 
uns darauf, die Resultate der 
Untersuchung mitzuteilen. 

Achsenparallele Strah- Fig. 303. 

len und Brennpunkte. Ein Bündel von achsenparallelen Strahlen 
wird von der Linse so gebrochen, daß die Strahlen hinter der Linse 
durch einen Punkt der Achse, den Brennpunkt, hindurchgehen (Fig. 303). 

Achsenparallele Strahlen verwandeln sich beim Durchgang 
durch die Linse in Brennstrahlen. 

Die Entfernung des Brennpunktes von dem Zentrum nennen wir die 
Brennweite; da wir Parallelstrahlen von beiden Seiten auf die Linse 
fallen lassen können, so erhalten wir zwei Brennpunkte.; die entsprechen- 
den Brennweiten sind aber gleich, sobald die vordere und hintere Linsen- 
fläche an dasselbe Mittel, z. B. beide an Luft grenzen. Bei einer bikon- 
vexen Linse bestimmt sich dann die Brennweite aus dem Brechungs- 
verhältnis n gegen Luft und. aus den Krümmungshalbmessern r x ' und r 2 
der vorderen und hinteren Linsenfläche nach der Formel: 




i- = (re ._ 1)11. + 1 



25 : 



388 



Optik 



263 




Fig. 304. 



Bei einer konvexkonkaven Linse tritt an Stelle der Summe der 
reziproken Krümmungshalbmesser deren Differenz. 

Zentralstrahlen. Für das Folgende müssen wir den Rahmen 
unserer Betrachtung etwas erweitern, indem wir zunächst von dem all- 
gemeinen Falle einer sogenannten Stablinse von größerer Dicke aus- 
gehen; legen wir (Fig. 304) an die beiden Grenzflächen in E 1 und E 2 
zwei parallele Tangentialebenen, so verhält sich die Linse für einen 
Strahl, der in ihrem Inneren die Richtung E x E 2 besitzt, wie eine plan- 
parallele Platte ; die Richtungen L x E 1 und E 2 L 2 der zu E 1 E 2 gehörenden 
einfallenden und austretenden Strahlen sind somit iDarallel; verlängern 

wir die Strahlen L x 23, und L 2 E 2 
m bis zu ihrem Schnitt mit der 

Achse, so erhalten wir auf dieser 
zwei Punkte E 1 und II 2 , die 
Hauptpunkte, mit sehr be- 
merkenswerten Eigenschaften, 
Bezeichnen wir den Raum vor 
der Linse als den Raum I, den 
von der Linse selbst erfüllten 
als II, den Raum hinter der 
Linse als III\ es ergeben sich die folgenden Sätze, die in derselben 
Weise für eine beliebige Kombination von brechenden Flächen gelten, 
so lange nur ihre Krümmungsmittelpunkte auf derselben Achse liegen, 
und das erste Mittel mit dem letzten identisch ist. 

Zu jedem Strahl, der in dem Räume 1 nach dem Punkte 
H l zielt, gehört in dem Räume III ein paralleler, der durch 
den Punkt E 2 geht. 

Legen wir durch die Punkte H 1 und E 2 Ebenen senkrecht 
zu der Achse, die sogenannten Hauptebenen, und nehmen wir in 
diesen die Punkte J^ und J 2 auf einer Parallelen zur Achse, 
so entspricht einem Strahl, der im Räume / nach J^ zielt, 
ein Strahl in III, der rückwärts verlängert durch J 2 geht; die 
Punkte J x und J 2 sind konjugiert. 

Bei der unendlich dünnen Linse, deren Theorie den eigentlichen 
Gegenstand unserer Betrachtung bildet, fallen die Punkte E x und E 2 
und die durch sie gelegten Ebenen zusammen. In schärferer Weise als 
früher können wir nun das Zentrum einer unendlich dünnen Linse 
als den Vereinigungspunkt von E l und E 2 definieren; wir erhalten 
dann zugleich den Satz: 

Bei einer unendlich dünnen Linse gehen Zentralstrahlen, 
d. h. solche, die nach ihrem Zentrum gerichtet sind, unge- 
brochen durch. 

Bei der Untersuchung der Parallelstrahlen und Brennpunkte haben 
wir die Linse durch einen einfachen zu der Achse senkrechten Strich re- 
präsentiert; nach dem Vorhergehenden ist es richtiger, wenn wir uns 



§ 263 



Brechung des Lichtes 



389 



diesen Strich durch das Zusammenfallen der beiden Hauptebenen EL J 1 
und H 2 J 2 entstanden denken. 

Konjugierte Punkte. Strahlen, die von einem leuchtenden Punkte 
ausgehen, schneiden sich nach dem Durchgange durch die Linse entweder 
selber oder mit ihren Rückverlängerungen in einem und demselben Punkte, 
dem Bildpunkte. Die Beziehung zwischen leuchtendem Punkt und Bildpunkt 
ist umkehrbar, sie sind einander konjugiert (§ 251). Unter Umständen 
schneiden sich in beiden konjugierten Punkten nur die Rückverlängerungen 
der einander entsprechenden Strahlen ; dies gilt z.B. von zwei konjugierten 
Punkten J und J, der Hauptebenen in Fig. 304. 

Brennebenen. Die Ebenen, die wir durch die Brennpunkte F, 
und F 2 einer Linse senkrecht zu ihrer Achse legen, nennen wir Brenn- 
ebenen. Nehmen wir in der ersten Brennebene (Fig. 305) den Punkt G v 
so geht der Zentralstrahl G 1 C ungeändert durch die Linse hindurch, 



der Parallelstrahl G, M verwandelt sich in den Brennstrahl MF : die 



Linien 1 CimäMF 2 



sind aber parallel 
und daraus folgt, daß 
der von G x aus- 
gehende Strahlen- 
kegel beim Durch- 
gang durch die Linse 
in ein Bündel von 




Fig. 



305. 

Parallelstrahlen sich verwandelt, deren Richtung 
durch den Zentralstrahl G 1 C gegeben wird. Wenn umgekehrt ein Bündel 
schiefer Parallelstrahlen auf die Linse fällt, so vereinigen sich diese nach 
der Brechung in dem Punkte G x , in dem die Brennebene von dem zu 
dem Bündel gehörenden Zentralstrahle getroffen wird. 

Bildkonstruktionen. Vor der Linse, außerhalb ihrer Brennweite, 
sei ein Objekt in Gestalt eines zur Achse senkrechten Pfeiles F x Q l auf- 
gestellt (Fig. 306). Von 
der Spitze Q x ziehen wir 
den Parallelstrahl Q x M, 
der sich in den Brenn- 
strahl MF 2 verwandelt; 
der Zentralstrahl Q x C 
geht ungeändert durch; 
beide schneiden sich in 

Q 2 ; ziehen wir Q 2 P 2 senkrecht zur Achse, so ist dieses das reelle um- 
gekehrte Bild von Q 1 P V Bezeichnen wir die Abstände P 1 Cund P 2 C 
des Gegenstandes und des Bildes von der Linse durch p x und p 2 , so 
gilt die Beziehung: l l l 

Vi 1h ~ f 
Die Summe der reziproken Abstände des Bildes und des 
Objektes von der Linse ist gleich der reziproken Brennweite. 
Ferner ergibt sich der Satz: 



a 




. M 


^\f, / 










i 


F* 


C 







Fig. 306. Eeelles Bild. 



a, 



390 



Optik 



§ 263 



a 2l 




X, " 




M 






/ 


(\^ 




i 


'e F, / 


i 


C 




F 2 



Fig. 307. Virtuelles Bild. 



Die Bildgröße verhält sich zur Objektgröße, wie der Bild- 
abstand zum Objektabstand. 

Wir bezeichnen dieses Verhältnis als die Vergrößerung m der 
Linse und erhalten dafür die Ausdrücke; 

m . _ p s & __ Pl == f -= g » ~ f 
P 1 Q l Pl Pl -f f " 

Liegt das Objekt unendlich fern auf der Achse, so fällt das Bild in 
den hinteren Brennpunkt; nähert sich das Objekt dem vorderen Brenn- 
punkte, so entfernt sich das Bild von dem hinteren; fällt das Objekt in 
den vorderen Brennpunkt, so verschwindet das Bild im Unendlichen. 
Wenn das Objekt innerhalb der Brennweite liegt, so gibt die 

Konstruktion der Figur 307 
das zugehörige Bild; man 
sieht, daß dieses ein vir- 
tuelles, aufrechtes und 
vergrößertes ist. Zugleich 
gilt die Beziehung: 

_l i_ _l_ 

Pi Pi ' f 
Fassen wir die Resultate 
zusammen so erhalten wir den Satz: 

Eine Sammellinse entwirft von einem außerhalb der Brenn- 
weite gelegenen Objekte ein reelles, umgekehrtes Bild auf 
ihrer anderen Seite, vergrößert oder verkleinert je nach dem 
Verhältnis des Bildabstandes von der Linse zumObjektabstand. 
Das Bild eines innerhalb der Brennweite gelegenen Objektes 
ist ein virtuelles, aufrechtes und vergrößertes auf derselben 
Seite wie das Objekt. 

Sphärische Abweichung. Die Bedürfnisse der praktischen Optik 
nötigen in gewissen Fällen zu der Verwendung von Linsen mit größerer 
Öffnung und einer im Vergleich mit den Krümmungshalbmessern größeren 
Dicke. Nun folgt aus den für die Vergrößerung gegebenen Formeln, daß 
starke Vergrößerung mit kleiner Brennweite verbunden ist; diese aber 
erfordert Linsen mit kleinen Krümmungshalbmessern und solche erhalten 
aus praktischen Gründen große Öffnung und Dicke. Mit Bezug hier- 
auf ist es wichtig, sich über die Abweichungen zu orientieren, die unter 
diesen Verhältnissen den vorhergehenden Gesetzen gegenüber sich geltend 
machen. Die wichtigste Veränderung ist die, daß einem leuchtenden 
Punkte P 1 der Achse nicht mehr ein einziger Bildpunkt P 2 entspricht, 
sondern eine Linie, die dadurch entsteht, daß die am Rande der Linse 
durchgehenden Strahlen sich in einem näherliegenden Punkte vereinigen, als 
die in der Nähe des Zentrums durchgehenden (Fig. 308). Man kann sich 
hiervon leicht überzeugen, wenn man das reelle Bild betrachtet, das 
eine solche Linse von einem Gegenstande, etwa einer Flamme, auf 
einem hinter der Linse befindlichen Schirme entwirft; dasselbe ist zu- 



§ 263 



Brechung des Lichtes 



391 




Fig. 308. 



nächst undeutlich; wenn man aber durch eine Blende mit kreisförmiger 
Öffnung die Randstrahlen abhält, so gelingt es leicht, durch Verschiebung 
des Schirmes ein scharfes Bild zu erhalten. Wenn man jetzt umgekehrt 
durch eine volle Kreisscheibe die in der Umgebung des Zentrums ein- 
fallenden Strahlen abhält, so muß man den Schirm gegen die Linse zu 
verschieben, um abermals ein deutliches Bild zu erhalten. Entfernt man 
nun die Blende, so erzeugen die von der Mitte der Linse kommenden, 
Strahlen um jeden Punkt des 
Bildes einen Kreis zerstreuten 
Lichtes, der das verwaschene 
Aussehen des Bildes bedingt. 
Der Durchmesser dieses 
Kreises, die größere oder 
geringere Undeutlichkeit des 
Bildes hängt von der Lage 

des Punktes P 1 und von den geometrischen Eigenschaften der Linse 
ab. Um ein bestimmtes Maß für diese Verhältnisse zu gewinnen, be- 
trachten wir Parallelstrahlen; ihnen entspricht nun nicht mehr ein ein- 
zelner Brennpunkt, sondern eine Brennlinie, deren Länge wir als die 
sphärische Abweichung bezeichnen. Für Linsen von gleicher 
Brennweite kann die sphärische Abweichung sehr verschiedene Werte 
haben, und man kann sich daher die Aufgabe stellen, eine Linse von 
kleinster Abweichung bei vorgeschriebener Brennweite zu konstruieren 
Wir gehen hierauf nicht näher ein, sondern beschränken uns darauf, das 
Gesagte an dem Beispiel einer plankonvexen Linse zu erläutern. Wir 
können bei ihr die Parallelstrahlen entweder auf die plane oder auf die 
konvexe Seite fallen lassen (Fig. 309a und 309b); die sphärische Ab- 
weichung ist in dem erste- 
ren Falle viermal so groß, 
wie im letzteren. Will 
man also mit einer plan- 
konvexen Linse von einem 
entfernten Gegenstand ein 
deutliches Bild entwerfen, 
so muß man die konvexe 

Seite dem Objekte zuwenden. Soll umgekehrt die plankonvexe Linse 
von einem außerhalb der Brennweite, aber nahe dem Brennpunkt liegen- 
den Objekt ein stark vergrößertes reelles Bild geben, so muß ihre plane 
Seite nach dem Objekt gerichtet sein. 

Ein anderes Mittel, die störende Wirkung der sphärischen Ab- 
weichung zu verringern, besteht in der Ersetzung einer Linse von kleiner 
Brennweite durch zwei Linsen mit größeren Brennweiten f x und /" 2 ; 
hintereinander geschaltet wirken diese wie eine Linse, deren Brennweite cf 
gegeben ist durch: l l l 

<P /i f% 





Fig. 309 a. Fig. 309b. 

Sphärische Abweichung. 



392 



Optik 



§264 



Zerstreuungslinsen. Um die Theorie der Zerstreuungslinsen zu 
entwickeln, benützen wir einen geometrischen Apparat, der mit dem bei 
den Sammellinsen eingeführten im wesentlichen übereinstimmt; die 
Definitionen der Achse, der achsenparallelen Strahlen, des Zentrums, der 
Brennweite sind dieselben wie dort. 

Parallelstrahlen werden durch eine Zerstreuungslinse divergierend 
gebrochen; die Brennpunkte der Linse sind virtuell, d. h. nur die Rück- 
verlängerungen der gebrochenen Parallelstrahlen gehen durch sie hindurch. 
Zentralstrahlen gehen ungeändert durch die Linse. 
Die Bildkonstruktion ergibt sich aus Figur 310. Dem Objekte 

Pj Q l entspricht un- 
ter allenTJmständen 
ein virtuelles, auf- 
rechtes und ver- 
kleinertes BildP 2 Q r 
Die Beziehung zwischen 
Objektabstand p v Bild- 
abstand j9 2 und Brenn- 
weite f ist: 



«7 




M 


'^^^ 


1 


— _____ Ü 2 _ . 


■ " " 




P-, 


F 2 F 2 


C 

) 


\ 



Fig. 310. Zerstreuungslinse. 



1 1 1 

Pi Vi f 

§ 264. Astigmatische Strahlenbündel. Bei den bisherigen Be- 
trachtungen haben wir im wesentlichen immer die Bedingung festge- 
halten, daß die einfallenden Strahlen nur sehr kleine Einfallswinkel be- 
sitzen sollen. Für den Fall größerer Einfallswinkel haben wir nur den 




Fig. 311. 



Satz angeführt, daß einem leuchtenden Punkte nicht mehr ein konju- 
gierter Punkt, sondern eine Linie entspreche. Allein die Veränderung, 
welche das einfallende Strahlenbündel bei der Brechung an einer 
sphärischen Grenzfläche erleidet, wird durch diesen Satz doch nur un- 
vollkommen beschrieben, und es erscheint nicht überflüssig, diese Ver- 
hältnisse etwas genauer zu untersuchen. 

Wir betrachten den Fall einer konvexen, sphärischen Fläche, deren 
Scheitel in 0, deren Krümmungsmittelpunkt in r gelegen sei (Fig. 311). 



§ 264 Brechung des Lichtes 393 

Auf der Achse Or befinde sich in A ein leuchtender Punkt. Wir 
werden nun nicht die Veränderungen untersuchen, die der ganze von A 
aus auf die brechende Fläche fallende Strahlenkegel erleidet; wir zer- 
legen vielmehr jenen Kegel in lauter ganz schmale von A ausgehende 
Bündel, und beschränken uns auf die Untersuchung der Veränderungen 
eines solchen Bündels. Haben wir ihre Gesetze ermittelt, so wird es 
immer möglich sein, rückwärts die Veränderung des ganzen Strahlen- 
kegels zu ermitteln. 

Die Begrenzung des zu betrachtenden Bündels konstruieren wir in 
folgender Weise. Der in Figur 311 gezeichnete Kreis stellt einen Schnitt 
der sphärischen Fläche mit einer durch ihre Achse Or gelegten Ebene 
dar. Auf dem Kreise nehmen wir in beliebiger Entfernung von 0, aber 
sehr nahe beieinander die Punkte M und N. Wir ziehen nach diesen 
Punkten die Strahlen A M und A N. Nun drehen wir die Figur um die 
Achse Or um einen sehr kleinen Winkel, so daß die Ebene AMr eine 
neue, aber von der früheren nur wenig abweichende Lage einnimmt. Die 
Punkte M und N beschreiben dann auf der sphärischen Fläche zwei 
Kreise MM' und NN', die von der neuen Lage der Ebene OMr be- 
grenzt, deren Endpunkte auf der Oberfläche durch den Kreisbogen M'N' 
verbunden werden. Auf der sphärischen Fläche entsteht so ein Recht- 
eck MNN'M'. Dieses machen wir zur Basis eines von A ausgehenden 
Strahlenkegels, und die Veränderung, welche dieser Kegel bei der 
Brechung erleidet, soll im folgenden untersucht werden. Wir bezeichnen 
das von A ausgehende Strahlenbündel als ein homozentrisches, eben 
um anzudeuten, daß alle seine Strahlen durch einen Punkt gehen. 

Um unsere Aufgabe zu lösen, konstruieren wir zuerst die zu AM 
und AN gehörenden gebrochenen Strahlen MC und NC, die sich in 
dem Punkte B kreuzen. Der ganze zwischen A M und AN eingeschlossene 
Strahlenfächer verwandelt sich dann in einen gegen B konvergierenden. 
Die Schnittpunkte der einzelnen Strahlen mit der Achse erfüllen die 
Strecke CG'. Wir lassen nun die Figur um die Achse Or rotieren, 
bis MN in die Lage M'N' kommt. Das entspricht einer Zerlegung des 
von A nach dem Rechtecke MNN'M' hingehenden Strahlenbündels in 
eine Reihe von Fächern, die in den aufeinanderfolgenden Meridian- 
ebenen liegen. Bei der Rotation bleiben die Punkte C und C unver- 
ändert; sie sind für alle jene Fächer dieselben. Dagegen beschreibt der 
Punkt i? einen kleinen Kreisbogen BB' \ seine Punkte geben die Kreuzungs- 
punkte der aufeinanderfolgenden gebrochenen Fächer. Wenn die Drehung 
eine sehr kleine ist, so können wir den Kreisbogen BB' als eine gerade 
Linie betrachten. Diese Linie steht dann senkrecht auf einer Ebene, 
die wir durch CG' und durch die Mitte von BB' hindurchlegen. Die 
Linien CG' und BB' nennen wir Brennlinien. Das ursprüngliche 
homozentrische Strahlenbündel wird also durch die Brechung an der 
sphärischen Fläche in ein solches mit zwei Brennlinien verwandelt; jeder 
Strahl des gebrochenen Bündels schneidet die eine und die andere Brenn- 



394 Optik § 264 

linie. Ein Strahlenbündel von dieser Art nennt man ein astigmatisches. 
Der zwischen den beiden Brennlinien von Strahlen erfüllte Raum ist in 
Figur 312 besonders gezeichnet. 

Als Maß des Astigmatismus können wir die Entfernung der Punkte 
B und betrachten. Zwischen den Abständen der Punkte B und C 
von dem Einfallspunkt M ergibt eine geometrische Untersuchung, von 
der wir nur das Resultat anführen, eine bemerkenswerte Beziehung. Es 




Fig. 312. 

sei u der Einfallswinkel, ß der Brechungswinkel des Strahles AM, n das 
Brechungsverhältnis; dann ist: 

1 — cos 2 a n cos 2 ß n 

MA . " — MB M~ C" 

Aus dieser Gleichung läßt sich eine Bedingung dafür ableiten, daß 

die astigmatische Differenz B G verschwindet. Dies ist der Fall, 

wenn MB — MG; die Bedingung ist also: 

1 — 'cos 2 et n (cos 2 ß — 1) 

MA~~ MB ' 

t -, sin a 

oder da •—. — ^ = n , 

sm ß 

MA = — n X MB. 

Das negative Zeichen deutet an, daß der Punkt A nicht vor der sphä- 
rischen Fläche, sondern hinter derselben liegen muß. Die astigmatische 
Differenz kann also nur für ein Strahlenbündel verschwinden, welches 
gegen einen virtuellen, hinter der sphärischen Fläche liegenden Punkt A 
konvergiert. 

Die Konstruktion von Kummer. Die im vorhergehenden gefundene 
Bedingung wird in sehr sinnreicher Weise durch die folgende Konstruktion 
verwirklicht. Der stark ausgezogene Kreis der Figur 313 repräsentiere 
einen Meridianschnitt der brechenden sphärischen Fläche. Wir können 
uns denken, die ihm entsprechende Kugel sei rings umgeben von Luft 
und sei in ihrem ganzen Inneren mit einem optisch dichteren Medium, 
etwa mit Glas oder Wasser ausgefüllt; ihr Brechungsverhältnis sei n. 
Gegeben sei ein einfallender Strahl SM; wir suchen zunächst den zu 
ihm gehörenden gebrochenen. Dies kann nach Kummer in der folgenden 
Weise geschehen. Zu dem mit dem Halbmesser r beschriebenen, die 



§ 264 



Brechung des Lichtes 



395 



brechende Fläche repräsentierenden Kreise zeichnen wir zwei konzen- 
trische, den einen, größeren mit dem Halbmesser nr, den anderen, 

kleineren mit dem Halbmesser Der einfallende Strahl schneide den 

n 

größeren Kreis in A. Wir ziehen den Halbmesser r A, welcher den 
inneren Kreis in B schneidet. Ziehen wir die Linie MB, so gibt diese 
den gebrochenen Strahl. Ziehen wir nämlich den Halbmesser r M, so 
ist <£r r M A gleich dem Einfallswinkel a, <$zr MB gleich dem Brechungs- 
winkel ß. Es verhält sich ferner: 

r A:r M = r M:r B = n:\. 

Die Dreiecke rMA und rBM sind somit ähnlich. Daraus folgt 
<^C r A M = ß und 

sin <I r M A sin a rA 



sin <£ r A M 



sin (9 



r M 



= n, 



in Übereinstimmung mit dem Brechungsgesetze. Außerdem verhält sich 

M A\MB — r A\rM= n\\. Es erfüllen also die Punkte A und B die 

Bedingung MA = nxMB. 

Rechnen wir die Strecke 

M A negativ, wenn der Punkt 

A auf der Verlängerung des 

einfallenden Strahles in das 

brechende Mittel hinein liegt, 

so erhalten wir: 

M A == — n X MB. 

Diese Gleichung ist aber 
identisch mit der Bedingung, 
die wir für das Verschwinden 
der astigmatischen Differenz 
aufgestellt haben. Wenn 
also ein in Luft sich fort- 
pflanzendes Strahlenbündel 
homozentrisch gegen den 
Punkt A konvergiert, so 
konvergiert das gebrochene 
Strahlenbündel in dem zwei- 
ten Medium ebenfalls homo- 
zentrisch gegen den Punkt B. Man erkennt dies ohne weiteres daraus, 
daß der Punkt B vollkommen bestimmt ist durch A, und unabhängig 
von dem Einfallspunkte M des nach A zielenden Strahles. 

Wir wollen das Ergebnis der Betrachtung noch einmal zusammen- 
fassen. Gregeben sei ein brechendes Mittel, das von einer Kugel vom 
Halbmesser r begrenzt sei, etwa ein Wassertropfen oder eine Glaskugel. 
Im Abstände n r vom Mittelpunkte der Kugel befinde sich ein Punkt A, 
gegen den im umgebenden Lufträume ein Strahlenbündel konvergiert. 




Fig. 313. 



396 Optik § 265 

Der ganze die Kugel treffende Strahlenkegel wird durch die Brechung 
wieder in einen Kegel verwandelt; seine Spitze B liegt auf dem Halb- 

messer r A, ihr Abstand von dem Mittelpunkte der Kugel ist — Da 

Strahlenwege umkehrbar sind, so können wir auch sagen: dem leuchten- 
den Punkte B im Inneren der Kugel entspricht ein virtueller Bildpunkt A 
im Lufträume. Die punktförmige Abbildung des leuchtenden Punktes 
ist in diesem merkwürdigen Falle ganz unabhängig von der Größe der 
Einfallswinkel (Fig. 313). 

§ 265. Doppelbrechung. Ehe wir die Lehre von der Brechung 
verlassen, scheint es zweckmäßig, die am Schlüsse von § 252 gemachte Be- 
merkung über die beschränkte Gültigkeit des Brechungsgesetzes noch etwas 
weiter auszuführen. Das in § 252 aufgestellte Gesetz gilt darnach nur für 
isotrope Körper, deren optische Eigenschaften nach allen Richtungen 
dieselben sind. Zu diesen gehören vor allen die Flüssigkeiten, ferner 
glasartige Körper und die Kristalle des regulären Systems. Wesentlich 
komplizierter gestalten sich die Erscheinungen bei den Kristallen der übrigen 
Systeme, wie überhaupt bei Körpern, deren optische Eigenschaften von 
der Richtung abhängig sind, in der sich die Lichtstrahlen in ihrem Inneren 
bewegen. Wir bezeichnen solche Körper als anisotrope. Zu ihnen gehört 
auch die Mehrzahl der organisierten Substanzen; ihr Verhalten ist aber 
noch weiter dadurch kompliziert, daß sie inhomogen sind, daß sie 
höchstens innerhalb mikroskopisch kleiner Bereiche konstante Eigenschaften 
besitzen, während diese im allgemeinen von Ort zu Ort sich ändern. 

Um uns über die eigentümlichen Erscheinungen der Brechung in nicht- 
regulären Kristallen in vorläufiger Weise zu orientieren, untersuchen wir 
im folgenden die optischen Eigenschaften des isländischen Kalkspats. 

Der Kalkspat gehört der sogenannten rhomboedrisch-hemiedrischen 
Gruppe des hexagonalen Kristallsystems an; er spaltet in ausgezeichneter 
Weise nach den drei Flächen eines Rhomboeders, und man kann daher 
leicht Spaltstücke von beliebigen Verhältnissen erhalten. Sie stellen sich 
dar als Parallelepipeda; aber die sechs sie begrenzenden Parallelogramme 
sind dadurch ausgezeichnet, daß sie gleich große stumpfe und natürlich 
auch gleiche spitze Winkel besitzen. Lassen wir nun auf eine Kalk- 
spatplatte von einem leuchtenden Punkte L aus einen Strahl öder ein 
Strahlenbündel senkrecht auffallen (Fig. 314 und 315) so bemerken wir, 
daß sie durch die Kalkspatplatte in zwei zerlegt, doppelt gebrochen 
werden. Stellen wir hinter diese Platte einen Schirm, so erhalten wir auf 
diesem zwei beleuchtete Flecke G o und G a . Von diesen liegt O o in der 
geraden Fortsetzung der einfallenden Strahlen, dagegen entspricht G a seit- 
lich abgelenkten Strahlen. Drehen wir die Platte um den einfallenden 
Strahl, so bleibt der Fleck G an seiner Stelle, während G a einen 
Kreis um G o beschreibt. Der dem ersteren entsprechende Strahl E G 
wird somit durch die Kalkspatplatte ebensowenig von seiner senkrechten 
Einfallsrichtung abgelenkt wie durch eine Glasplatte, er folgt dem ge- 



§ 265 



Brechung des Lichtes 



397 



Ea 



wohnlichen Breclmngsgesetz und wird daher als der ordentliche be- 
zeichnet; den zweiten Strahl, der in der Kalkspatplatte die dem ge- 
wöhnlichen Brechungsgesetz durchaus widersprechende Richtung EE a 
verfolgt, nennt man den außer- 
ordentlichen. 

Um die gegenseitige Lage 
der beiden Strahlen genauer an- 
geben zu können, müssen wir 
auf die kristallographischen 
Eigenschaften des Kalkspats 
noch etwas näher eingehen. 
Ein durch Spalten hergestelltes 
Rhomboeder ist, wie schon er- 
wähnt wurde, begrenzt von sechs 
Parallelogrammen, die paarweise 



/, - 



E 



Co 



Fig. 314. 




Fig. 315. Brechung im Kalkspat. 



kongruent und gleichgerichtet 
sind. Ihre Winkel sind die- 
selben, und es stoßen in zwei 
gegenüberliegenden Ecken des 
Rhomboeders je drei gleich 
große stumpfe Winkel von 

101° 53' zusammen. Bei der Figur 316 ist angenommen, daß das 
Rhomboeder mit einer Fläche auf das Zeichenblatt gelegt sei und nun 
von oben betrachtet werde. und 0' sind die stumpfen Ecken. In 
den sechs übrigen Ecken, die wie im Kranze zwischen den beiden 
stumpfen liegen, trifft immer ein stumpfer 
mit zwei spitzen Winkeln zusammen, von 
denen jeder gleich dem Supplemente des 
stumpfen ist. Ziehen wir durch die stumpfe 
Ecke eine Linie A, die mit den drei 
in ihr zusammenstoßenden Kanten gleiche 
Winkel einschließt, so gibt sie die Richtung 
der kristallographischen Hauptachse 
des Kalkspats. Eine durch die Achse OA 
senkrecht zu einer der Flächen des Rhom- 
boeders gelegte Ebene nennen wir einen 
Haupts chnitt. In sehr einfacher Weise 
gestalten sich diese Konstruktionen, wenn 
wir, wie in Figur 316, die Kanten des Rhomboeders alle gleich lang 
machen, so daß seine Form wirklich die eines Rhomboeders im geo- 
metrischen Sinne wird. Die Verbindungslinie 0' der beiden stumpfen 
Ecken gibt dann die Richtung der Hauptachse; die Diagonalebene 
OB O'B' ist der auf der Fläche CB'I) senkrecht stehende Haupts chnitt. 
Es falle nun auf die obere Fläche des Rhomboeders ein Strahl LE 
(Fig. 317) in einem Punkte der Diagonale OB senkrecht ein. Der ordent- 




B' 

Fig. 316. 
Kalkspatrhomboeder. 



398 



Optik 



265 



liehe Strahl geht ungeändert durch, der außerordentliche bleibt im Haupt- 
schnitt OBO' B, wird aber im Sinne der Richtung OB abgelenkt und 
tritt in E a parallel mit dem einfallenden Strahle wieder aus dem Rhom- 
boeder aus. Verschieben wir den Einfallspunkt nach irgend einem 








E 


1 1 

/ / 


j 


4 




E 0' 



B' 




\A> 



Fig. 317. 



Fig. 318. 




Fig. 319. 



anderen Punkte der Grenzfläche E , so wird in den Richtungen der ge- 
brochenen Strahlen nichts geändert. Die charakteristische Eigentümlichkeit 

der Kristalle besteht ja überhaupt darin, daß 
Eigenschaften, die sich auf Vorgänge von bestimmter 
Richtung beziehen, auch nur von der Richtung 
abhängen, also längs aller parallelen Geraden die 
gleichen sind. Ziehen wir durch E (Fig. 318) eine 
Linie EÄ parallel zu 0', so können wir sie 
mit demselben Recht als Hauptachse benützen wie 
', und eine durch E' Ä zu der Rhomboederfläche 
senkrecht gelegte Ebene ist ebensogut ein Haupt- 
schnitt, wie die Diagonalebene OBO' B'. In jener 
Ebene liegen die zu L' E gehörenden gebrochenen 
Strahlen ebenso wie die Strahlen E E o und EE a in der Ebene OBO' B. 
Wir ergänzen die im vorhergehenden geschilderte Erscheinung noch 
durch einige weitere Beobachtungen. Schneidet man aus einem Kalk- 
spat eine Platte (Fig 319), deren Flächen senkrecht stehen zu der 
Hauptachse OA, so erzeugt ein senkrecht auffallender Lichtstrahl LE auf 
einem hinter der Platte aufgestellten Schirme nur einen einzigen Licht- 
punkt in der Verlängerung von LE. Längs der Hauptachse findet somit 
nur einfache Brechung statt. 

Aus einem Kalkspat schneiden wir ein Prisma ABC (Fig. 320), 
dessen Kante B senkrecht zu der Hauptachse A G steht, und dessen 
Flächen gegen diese gleich geneigt sind; bringen wir das Prisma in die 
Stellung der kleinsten Ablenkung, so wird ein durch dasselbe gehender 
Lichtstrahl im Inneren in der Richtung der Hauptachse sich bewegen. 



§ 266 



Farbenzerstreuung des Lichtes 



399 



Man kann also nach der in § 257 angegebenen Methode das Brechungs- 
verhältnis n eines solchen Strahles bestimmen. 

Endlich betrachten wir noch ein Kalkspatprisma, dessen Kante der 
Hauptachse des Kristalles parallel ist (Fig. 321); in einem solchen findet 
Doppelbrechung statt; für beide Strahlen kann aber nach der Methode 
des § 257 das Brechungsverhältnis bestimmt- werden. Für den stärker 




oRJ/Jitiing cLe/r 
Jtaufcbcuce 




Fig. 320. 



Fig. 321. 



abgelenkten E G o ergibt sich derselbe Wert n o , wie in der Richtung 
der Achse; er entspricht dem ordentlichen, dem gewöhnlichen Brechungs- 
gesetze folgende Strahle. Der weniger stark abgelenkte Strahl E a G a 
dagegen liefert ein anderes Brechungsverhältnis n a , das kleiner als n o 
ist. Es entspricht n a einem senkrecht zu der Hauptachse sich bewegen- 
den außerordentlichen Strahl. 



Viertes Kapitel. Farbenzerstreuung des Lichtes. 

§ 266. Newtons Fundamentalversuche. Bald nachdem das Gesetz 
der Brechung entdeckt war, suchte man es zur Erklärung einer Er- 
scheinung zu benützen, die von Alters her die Phantasie und das Nach- 
denken des Menschen beschäftigt hatte, der Erscheinung des Regenbogens. 
Allein erst Newton gelang es, durch eine Reihe von planmäßig an- 
gestellten Versuchen die Gesetze zu enthüllen, auf denen die Farbener- 
scheinung des Bogens beruht. Das wesentliche Resultat seiner Unter- 
suchung besteht in dem Satze: 

Das weiße Licht ist zusammengesetzt aus vielen farbigen 
Strahlen, die sich durch ihre verschiedene Brechbarkeit von- 
einander unterscheiden. 

Die Richtigkeit des Satzes ergibt sich aus den folgenden Beob- 
achtungen. 

In den geschlossenen Fensterladen eines Zimmers schneidet man 
einen kleinen vertikalen Spalt und läßt durch diesen mit Hilfe eines 
Heliostaten ein Band von horizontalen Sonnenstrahlen fallen (Fig. 322). 
Auf der gegenüberliegenden Wand entsteht ein weißes Bild S des Spaltes ; 
bringt man nun in den Weg der Lichtstrahlen ein Prisma Ä mit verti- 
kaler Kante, so entsteht da, wo. das gebrochene Bild zu erwarten ist, 
ein horizontaler Streifen, der von dem einen zu dem anderen Ende 



400 



Optik 



§ 266 



J 



I 




Fig. 322. Zerlegung des Sonnenlichtes. 



die Regenbogenfarben, rot, orange, gelb, grün, blau, indigo, violett, zeigt: 
das Spektrum. 

Daß die farbigen Strahlen durch die Substanz des Prismas erst 
erzeugt werden, ist nicht wahrscheinlich, da sie bei den verschiedensten 
Prismen im wesentlichen in derselben Weise auftreten. Es bietet sich 
also in der Tat als das Einfachste die Annahme Newtons, daß jene 
Strahlen schon in dem weißen Lichte enthalten waren und durch das 

Prisma nur infolge ihrer 
verschiedenen Brech- 
barkeit voneinander ge- 
trennt wurden. Da das 
rote Ende des Spek- 
trums, von besonderen, 
später zu erwähnenden 
Fällen abgesehen, das 
am wenigsten, das vio- 
lette das am meisten 
abgelenkte ist, so muß 
den roten Strahlen die kleinste, den violetten die größte Brechbarkeit 
zukommen. 

Eine direkte Prüfung dieser Anschauung ergibt sich, wenn man 
das von einem vertikalen Spalt entworfene Spektrum durch ein zweites 
Prisma B mit horizontaler Kante betrachtet. Das horizontale Band des 
Spektrums erscheint dann als ein schiefes Parallelogramm r v , welches 

von dem einen nach dem 
anderen Ende hin von den 
vertikalen Streifen der 
Spektralfarben durchzogen 
wird. Das rote Ende r 
ist dabei am wenigsten, 
das violette v am meisten 
von der ursprünglichen 
Lage abgelenkt, entspre- 
chend den Verhältnissen 
der Figur 322. Das schiefe 
Spektrum gewährt darnach eine unmittelbare Anschauung von den 
Brechungsverhältnissen der verschiedenen Strahlen, der Dispersion der 
Farben, auf seiner Erzeugung beruht eine wichtige Methode ihrer 
Untersuchung, die Methode der gekreuzten Prismen. 

Mit Benützung des elektrischen Lichtes können wir den Funda- 
mentalversuch Newtons in folgender Weise wiederholen. Wir werfen 
die Strahlen der elektrischen Lampe auf einen vertikalen Spalt und ent- 
werfen von diesem mit einer Linse C ein deutliches, scharfes Bild 5 
(Fig. 323). Wenn wir nun auf den Weg der Strahlen hinter der Linse 
ein Prisma P mit vertikaler Kante stellen, so erscheint in abgelenkter 




Fig. 323. 



Objektive Darstellung des Spektrums 



§ 267 Farbenzer. Streuung des Lichtes 401 

Kichtung, aber in derselben Entfernung vom Prisma, das Spektrum in 
Gestalt eines rechteckigen Bandes, in dem die Regenbogenfarben in 
vertikalen Streifen von rot bis violett nebeneinander gereibt sind. Bei 
dieser Versucbsanordnung wird es besonders deutlich, daß das Spektrum 
aus einer Reihe von verschiedenfarbigen Spaltbildern besteht, die sich 
nach der Brechbarkeit der erzeugenden Strahlen ordnen. Es ergibt sich 
gleichzeitig, daß die verschiedenen Farben um so besser voneinander 
getrennt werden, daß das Spektrum um so reiner ist, je enger der Spalt 
gemacht wird. Wenn man umgekehrt den Spalt erweitert, so über- 
lagern sich die verschiedenfarbigen Bilder, wie Stufen einer Treppe, 
in immer größerer Ausdehnung, das Spektrum wird immer mehr ver- 
waschen. Bei sehr weitem Spalt erscheint die Mitte des vom Spektrum 
bedeckten Rechteckes weiß und nur die Ränder sind rot und blau ge- 
färbt. Diese Beobachtung steht mit der NEwTONschen Annahme in voll- 
kommener Übereinstimmung; wenn in der Mitte des Rechteckes die von 
allen Farben erzeugten Spaltbilder sich überdecken, so kommen von dort 
aus auch alle möglichen Strahlen ins Auge und müssen dann wieder 
die Empfindung des Weiß erzeugen. 

Die Synthese des weißen Lichtes aus den farbigen Strahlen des 
Spektrums können wir noch durch den folgenden Versuch nachweisen. Da 
der Weg, den die aus einem weißen Strahle entstehenden farbigen Strahlen 
im Inneren des Prismas zurückzulegen haben, ein verhältnismäßig kleiner 
ist, so trennen sie sich hier nur 
wenig und treten nahezu an der- 
selben Stelle A der zweiten Pris- 
menfläche aus (Fig. 324). Wenn 
wir von dieser Stelle mit einem 
Hohlspiegel ein reelles Bild B ent- 
werfen, so sehen wir ein weißes 
Bild, das durch die Wiederver- 
einigung der verschiedenfarbigen Fi„ 324, 
Strahlen erzeugt wird. 

Endlich kann man auch Pigmentfarben zu weißem Lichte vereinigen. 
Es geschieht dies mit dem sogenannten Farbenkreisel; auf einer kreis- 
förmigen Scheibe werden sieben Sektoren von bestimmter Größe mit 
Farben bemalt, die den sieben Spektralfarben möglichst ähnlich sind; 
wird die Scheibe in rasche Umdrehung versetzt, so vermischen sich im 
Auge die von den verschiedenen Sektoren herrührenden Eindrücke und 
erzeugen die Empfindung des Weiß. 

§ 267. Die FRAUNHOFERschen Linien. Wenn man ein reines Spek- 
trum der Sonne entwirft, so bemerkt man feine schwarze Linien, die an 
einzelnen Stellen, parallel der Richtung des Spaltes, die Farben durch- 
ziehen; man bezeichnet sie nach ihrem Entdecker als FRAUNHOFERsche 
Linien. In dem Lichte der Sonne fehlen hiernach gewisse Farben von der 
Brechbarkeit, wie sie der Lage jener schwarzen Linien entspricht. Auf die 

Riecke, Physik I. Dritte Aufl. 26 




402 



Optik 



268 



Aa BC 

irrt 



D 



E b 
grün 



flau 

Fig. 325. 



OUti. 



Kl' 



Erklärung der Erscheinung werden wir später eingehen, vorläufig sind 
die Linien für uns überaus wertvoll als Mittel zur Orientierung im 
Spektrum. Figur 325 gibt die wichtigsten Linien in ihrer Lage zu 
den fünf hauptsächlichsten Farben des Sonnenspektrums. Die Linien 
werden nach Fbatjnhoeee durch die beigesetzten Buchstaben bezeichnet. 
Bei der Entwickelung der NEWTONSchen Theorie haben wir von der 
verschiedenen Brechbarkeit des Hot, des Gelb usw. gesprochen; diese 

Begriffe sind sehr 
unbestimmter Na- 
tur, da die verschie- 
denen Farben im 
Spektrum einen 
mehr oder weniger 
breiten Raum ein- 
nehmen